Settimana 1:
20/9: Introduzione al corso:
un
po' di storia. Formule risolutive per le equazioni di terzo grado.
23/9: Caratteristica. Radici multiple e
polinomi separabili. Ampliamenti di campi. Grado. Elementi algebrici e
trascendenti. Il polinomio minimo di un elemento algebrico.
Settimana
2:
27/9: Caratterizzazione degli
ampliamenti semplici, algebrici e trascendenti. Ampliamenti finitamente
generati. Esempi.
30/9: Ampliamenti algebrici. Ampliamenti finiti:
moltiplicatività del grado. Caratterizzazione degli ampliamenti
finiti come quelli algebrici finitamente generati. Chiusura
algebrica
in
un
campo.
Il campo dei numeri
algebrici non è finito su Q. Il
composto di due campi (caso finito): esempi.
Settimana
3:
4/10: Il sottocampo fondamentale. Campo
di definizione di un polinomio. Costruzione di radici. Campi di
spezzamento. Esempi.
7/10: Omomorfismi
di campi: F-immersioni e F-automorfismi. Esempi di immersioni in C.
Estensioni di una immersione ad un ampliamento finito.
Settimana 4:
11/10: Estensioni di immersioni: esempi.
Isomorfismi tra campi di spezzamento. Gruppi di Galois di un polinomio:
primi esempi.
14/10: Sospensione della didattica su richiesta del Preside.
Settimana
5:
18/10: Esistenza e unicità di
campi finiti di ordine ammissibile. Esempi. Automorfismi di campi
finiti: l'omomorfismo di Fröbenius.
21/10: Polinomi irriducibili su Fp. Separabilità in
caratteristica p. Radici dell'unità. Il polinomio ciclotomico.
Ampliamenti ciclotomici.
Settimana
6:
25/10: Ampliamenti
ciclotomici: massimo sottocampo
reale, il gruppo di Galois. Dipendenza algebrica. Polinomi simmetrici:
polinomi simmetrici elementari, enunciato del teorema fondamentale,
polinomio discriminante.
28/10: Dimostrazione del teorema fondamentale sulle funzioni
simmetriche. Polinomio generale: campo di definizione e campo di
spezzamento. Il gruppo di Galois del polinomio generale.
Prima prova di valutazione
intermedia: Lunedì 8
Novembre, ore 9:30, Aula F
Settimana
7:
9/11: Il discriminante di un polinomio:
relazione con i coefficienti, significato per il campo di spezzamento.
Discussione delle equazioni irriducibili di terzo grado su Q in
funzione del discriminante. Il discriminante di X^p-1. Il p-esimo
ampliamento ciclotomico contiene un ampliamento quadratico.
11/11: Il gruppo di Galois di un polinomio come gruppo di permutazioni.
Esempi di immersioni in Sn. Il
polinomio generale ha gruppo di Galois totale. Enunciato del teorema di
risolubilità. Il teorema di Ruffini-Abel. Un polinomio di grado
p irriducibile su Q con soltanto due radici non reali ha gruppo di
Galois totale.
Settimana
8:
15/11: Gruppi finiti risolubili.
Caratterizzazione ed esempi. Cenni sui gruppi semplici. Non
risolubilità di Sn e An
per n ≥ 5.
18/11: Campi algebricamente chiusi e chiusura algebrica. Definizione di
ampliamenti normali e separabili.
Settimana
9:
23/11: Elementi coniugati.
Caratterizzazioni degli ampliamenti finiti normali e
separabili. Enunciato del Teorema dell'Elemento Primitivo.
25/11:
Dimostrazione del Teorema dell'Elemento
Primitivo. Ampliamenti di Galois finiti.
Settimana
10:
29/11:
Enunciato della Corrispondenza di Galois nel caso finito. Illustrazione
con esempi.
30/11: Dimostrazione del Teorema Fondamentale della Corrispondenza di
Galois.
Settimana 11:
6/12: Cenni
sul problema inverso. Costruzione di polinomi con gruppo ciclico
assegnato. Ampliamenti radicali. Campo di spezzamento e gruppo di
Galois del polinomio X^n-a.
9/11: Risolubilità per radicali. Polinomi risolubili hanno
gruppo di Galois risolubile. Possibili gruppi di Galois di polinomi
irriducibili di grado 4 e 5.
Settimana
12:
13/12:
Costruzioni con riga e compasso. Caratterizzazione dei punti
costruibili. Costruzioni impossibili.
14/12: Numeri costruibili. Poligoni costruibili. Il
teorema di Gauss.
Seconda
prova
di
valutazione
intermedia:
Lunedì 10
Gennaio, ore 14,30.