Dipartimento di Matematica

Roma TRE




AL310 - Istituzioni di Algebra Superiore
a.a. 2012/2013 - I Semestre




Diario delle Lezioni



Settimana 1: 
24/9 Introduzione al corso. Formule risolutive delle equazioni di terzo grado.
28/9 Il campo dei quozienti di un dominio. Caratteristica e sottocampo fondamentale.

Settimana 2:
1/10  Ampliamenti di campi. Il grado di un ampliamento. La moltiplicatività del grado.  Ampliamenti semplici e finitamente generati. Elementi algebrici e trascendenti. Il teorema di Kronecker per gli ampliamenti semplici.
5/10  Ampliamenti semplici algebrici. Basi. Polinomio minimo. Ampliamenti quadratici. Ampliamenti algebrici. Il campo dei numeri algebrici non ha grado finito.

Settimana 3:
8/10    Gli ampliamenti algebrici finitamente generati sono tutti e soli quelli di grado finito. Esempi. Il composto di due campi: caso dei gradi coprimi. Il gruppo delle radici n-sime dell'unità. Radici n-sime primitive.
12/10  Polinomi ciclotomici. Irriducibilità dei polinomi ciclotomici: dimostrazione nel caso di grado primo. Calcolo dei primi polinomi ciclotomici. Calcolo delle radici n-sime primitive dell'unità per n = 3, 4, 5, 6, 8.  Ampliamenti ciclotomici.

Settimana 4:
15/10 
Campi di definizione. Costruzione di campi di spezzamento e loro grado. Esempi.
19/10  Estensioni di immersioni di campi. Estensioni ad un ampliamento semplice. Immersioni in C. Primi esempi.

Settimana 5:
22/10 Ancora sulle estensioni di immersioni. F-immersioni e F-isomorfismi. Il gruppo degli F-automorfismi di un ampliamento di F. Esempi di immersioni in C.  Esempi di gruppi di automorfismi di campi di spezzamento.
26/10 Separabilità. In caratteristica zero ogni polinomio irriducibile è separabile. Esempio di un polinomio irriducibile non separabile in caratteristica p. Come estendere una immersione di campi ad un ampliamento finito. Due campi di spezzamento su F sono F-isomorfi.


Prima prova di valutazione intermedia: 30 Ottobre, ore 9:30, Aula B3 (testo del compito)


Settimana 6:
5/11 Esistenza ed unicità dei campi finiti di ordine ammissibile. Esempi.
9/11 Polinomi irriducibili su F_p. Sottocampi di campi finiti. L'automorfismo di Frobenius.

Settimana 7:
12/11 Campi algebricamente chiusi e chiusure algebriche.
16/11 Separabilità. Il Teorema dell'Elemento Primitivo. Esempi.

Settimana 8:
19/11 Normalità. Caratterizzazione degli ampliamenti normali finiti come campi di spezzamento. Chiusura normale.
23/11 Ampliamenti di Galois e gruppi di Galois. Il gruppo di Galois di un polinomio come gruppo di permutazioni.

Settimana 9:
26/11 La corrispondenza di Galois. Esempi.
30/11 Il teorema fondamentale della corrispondenza di Galois. Dimostrazione.

Settimana 10:
3/12 Dipendenza algebrica. Polinomi simmetrici. Enunciato del Teorema fondamentale. Esempi.
5/12 Il polinomio generale di grado n. Suo gruppo di Galois. Discriminante di un polinomio.
7/12 Ampliamenti radicali. Il gruppo di Galois di un ampliamento normale radicale puro. Risolubilità per radicali.

Settimana 11
:
10/12 Gruppi risolubili. Risolubilità di S_n. Il gruppo di Galois di un polinomio risolubile per radicali è risolubile. Polinomi di 5 grado su Q che non sono risolubili.
14/12  Esempi di gruppi risolubili. Sottogruppi risolubili di S_5. Gruppi semplici. Serie normali e serie di composizione. Cenni sul problema inverso. Polinomi irriducibili su Q con gruppo ciclico assegnato.

Settimana 12:
17/12  Equazioni di quarto grado. Formule risolutive e gruppo di Galois. Caso biquadratico.


Seconda prova di valutazione intermedia: 11 Gennaio, ore 9:30, Aula F