Settimana 1:
24/9 Introduzione al
corso. Formule risolutive delle equazioni di terzo
grado.
28/9 Il campo dei
quozienti di un dominio. Caratteristica e sottocampo
fondamentale.
Settimana 2:
1/10 Ampliamenti di campi. Il grado di un
ampliamento. La moltiplicatività del
grado. Ampliamenti semplici e finitamente
generati. Elementi algebrici e trascendenti. Il
teorema di Kronecker per gli ampliamenti semplici.
5/10 Ampliamenti semplici algebrici. Basi.
Polinomio minimo. Ampliamenti quadratici. Ampliamenti
algebrici. Il campo dei numeri algebrici non ha grado
finito.
Settimana 3:
8/10 Gli
ampliamenti algebrici finitamente generati sono tutti e
soli quelli di grado finito. Esempi. Il composto di due campi: caso dei gradi coprimi.
Il gruppo delle radici n-sime dell'unità. Radici
n-sime primitive.
12/10
Polinomi ciclotomici. Irriducibilità dei polinomi
ciclotomici: dimostrazione nel caso di grado primo. Calcolo dei primi polinomi ciclotomici. Calcolo delle radici n-sime primitive
dell'unità per n = 3, 4, 5, 6, 8. Ampliamenti ciclotomici.
Settimana
4:
15/10 Campi di definizione. Costruzione di campi di spezzamento e loro grado. Esempi.
19/10 Estensioni di immersioni di campi.
Estensioni ad un ampliamento semplice. Immersioni in C.
Primi esempi.
Settimana 5:
22/10 Ancora sulle
estensioni di immersioni. F-immersioni e F-isomorfismi.
Il gruppo degli F-automorfismi di un ampliamento di F.
Esempi di immersioni in C. Esempi di gruppi di
automorfismi di campi di spezzamento.
26/10
Separabilità. In caratteristica zero ogni
polinomio irriducibile è separabile. Esempio di
un polinomio irriducibile non separabile in
caratteristica p. Come estendere una immersione di campi
ad un ampliamento finito. Due campi di spezzamento su F
sono F-isomorfi.
Prima prova di
valutazione intermedia: 30 Ottobre, ore 9:30, Aula B3 (testo
del compito)
Settimana
6:
5/11
Esistenza ed unicità dei campi finiti di ordine
ammissibile. Esempi.
9/11 Polinomi
irriducibili su F_p. Sottocampi di campi finiti.
L'automorfismo di Frobenius.
Settimana 7:
12/11 Campi algebricamente
chiusi e chiusure algebriche.
16/11
Separabilità. Il Teorema dell'Elemento Primitivo.
Esempi.
Settimana 8:
19/11
Normalità. Caratterizzazione degli ampliamenti
normali finiti come campi di spezzamento. Chiusura
normale.
23/11 Ampliamenti di Galois e gruppi di Galois. Il gruppo
di Galois di un polinomio come gruppo di permutazioni.
Settimana 9:
26/11 La
corrispondenza di Galois. Esempi.
30/11 Il teorema fondamentale della corrispondenza di
Galois. Dimostrazione.
Settimana 10:
3/12
Dipendenza algebrica. Polinomi simmetrici. Enunciato del
Teorema fondamentale. Esempi.
5/12 Il polinomio generale di grado n. Suo gruppo di
Galois. Discriminante di un polinomio.
7/12 Ampliamenti radicali. Il
gruppo di Galois di un ampliamento normale radicale
puro. Risolubilità per radicali.
Settimana 11:
10/12 Gruppi risolubili. Risolubilità di
S_n. Il gruppo di Galois di un polinomio risolubile per
radicali è risolubile. Polinomi di 5 grado su Q che non sono risolubili.
14/12
Esempi di gruppi risolubili. Sottogruppi
risolubili di S_5. Gruppi semplici. Serie normali e
serie di composizione. Cenni sul problema
inverso. Polinomi irriducibili su Q con gruppo
ciclico assegnato.
Settimana 12:
17/12 Equazioni di
quarto grado. Formule risolutive e gruppo di
Galois. Caso biquadratico.
Seconda prova di
valutazione intermedia: 11 Gennaio, ore 9:30, Aula F