Università degli studi di Roma Tre Corso di Laurea in Matematica, a.a. 2005/2006 TE1 (Teoria di Galois) - Prof. S. Gabelli Appello B, 11 Luglio 2006

1. Determinare la cardinalità del campo di spezzamento di f(X) = X^{5} − X^{2} + 2X − 1 su 𝔽_{3}

2. Dimostrare che cos \frac{2π}{n} e sin \frac{2π}{n} sono algebrici su ℚ di grado \frac{φ(n)}{2}.

3. Sia f(X) = X^{4} − 3 ∈ ℚ[X]

(a) Trovare il campo di spezzamento E di f.

(b) Determinare tutti i sottocampi E di grado 4. Quali sono normali?.

4. Sia α = \sqrt[3]{4} e K = ℚ(α)

(a) Determinare il grado di K su ℚ.

(b) Esprimere l’inverso di β = \frac{α^{3}+α^{2}+2α+2}{α^{2}+2α+1} come polinomio di grado al più 2 in α.