FM1 - Equazioni differenziali e Meccanica
Docenti: Guido Gentile e Livia Corsi
Tutorato: Roberto Feola e Luca Battaglia
1. Caratteristiche del corso
1.1. Contenuto del corso
Equazioni differenziali lineari. Stabilità secondo Lyapunov. Insiemi limite.
Sistemi planari e sistemi meccanici unidimensionali.
Sistemi meccanici conservativi a più gradi di libertà:
moti centrali, problema dei due corpi. Cambiamento di sistemi di riferimento.
Forze apparenti. Sistemi rigidi.
II Semestre -
Crediti: 7,5 b |
1.2. Testi consigliati
Il corso si basa sul testo
Introduzione ai sistemi dinamici. 1. Equazioni differenziali, analisi
qualitativa e alcune applicazioni,
dove sono proposti anche altri riferimenti bibliografici.
1.3. Modalità degli esami
L'esame consiste in una prova scritta (eventualmente sostituita dagli esoneri
durante lo svolgimento del corso) e in un colloquio orale facoltativo.
2. Orario
Le lezioni si svolgono Martedì e Giovedì alle ore 09.00 - 11.00,
le esercitazioni Lunedì alle ore 11.00 - 12.00.
L'orario di ricevimento si può trovare sulla pagina
docenti del dipartimento.
3. Prove d'esonero
Prima prova d'esonero: venerdì 17 aprile - aula F - ore 9.00.
Testo e
Soluzione della prova.
Seconda prova d'esonero: giovedì 4 giugno - aula F - ore 14.00.
Testo e
Soluzione della prova.
4. Prove d'esame
Prima prova d'esame: giovedì 11 giugno - aula G - ore 9.00.
Testo della prova.
Seconda prova d'esame: giovedì 25 giugno - aula G - ore 9.00.
Testo della prova.
Terza prova d'esame: venerdì 11 settembre - aula F - ore 9.00.
Testo della prova.
Quarta prova d'esame: lunedì 25 gennaio - aula F - ore 9.00.
Testo della prova.
5. Raccolta d'esercizi
Una raccolta di testi e (a volte) soluzioni di prove d'esonero e d'esame
si può trovare qui.
6. Tutorato
Le lezioni di tutorato si svolgono Mercoledì alle ore 16.00 - 18.00.
I testi e le soluzioni degli esercizi svolti durante le lezioni di tutorato
si possono trovare qui.
7. Calendario d'esami
Le date si possono trovare sulla pagina del
calendario d'esami (II semestre).
8. Programma d'esame
1. Equazioni differenziali ordinarie: teoria generale
Definizione di sistema dinamico. Sistemi dinamici ed equazioni differenziali ordinarie.
Traiettorie e orbite. Flusso di un sistema dinamico. Funzioni lipschitziane e funzioni di classe
C^1. Sistemi autonomi e non autonomi. Problema di Cauchy. Teorema di esistenza
(solo enunciato) e unicità locale per sistemi dinamici di classe C^1.
Esempi e controesempi. Lemma di Gronwall. Teorema della dipendenza continua dai dati iniziali.
Prolungamento di una soluzione e soluzione massimale. Teorema del prolungamento
della soluzione e sue implicazioni. Teorema della dipendenza differenziabile dai dati
iniziali (solo enunciato). Equazioni a variabili separabili.
2. Operatori lineari
Spazi vettoriali e operatori lineari: richiami. Norma uniforme e sue proprietà.
Cambiamenti di base. Somma diretta. Spettro di un operatore lineare. Complessificazione
e decomplessificazione di uno spazio vettoriale e di un operatore lineare. Operatori
lineari diagonalizzabili e non diagonalizzabili. Operatori lineari semisemplici e operatori
lineari nilpotenti. Autospazi generalizzati. Teorema di decomposizione primaria
(solo enunciato). Decomposizione di un operatore lineare nella somma diretta di
un operatore semisemplice e di uno nilpotente. Esponenziale di un operatore lineare:
definizioni e proprietà.
3. Equazioni differenziali lineari
Sistemi di equazioni differenziali lineari del primo ordine a coefficienti costanti
omogenee. Teorema di esistenza e unicità globale della soluzione.
Equazioni differenziali lineari di ordine qualsiasi a coefficienti costanti.
Ricerca delle soluzioni nella forma di polinomi pesati con fattori esponenziali.
Sistemi planari lineari: analisi qualitativa del moto. Oscillatore armonico.
Sistemi di equazioni differenziali lineari non omogenee. Metodo di variazione delle costanti.
Oscillatore armonico smorzato forzato (con forzante periodica). Risonanza.
4. Analisi qualitativa del moto: teoria generale
Stabilità secondo Ljapunov. Punti di equilibrio stabile,
asintoticamente stabile, attrattivo e instabile.
Bacino d'attrazione. Insiemi limite. Sistemi dinamici linearizzati.
Stabilità di un punto d'equilibrio nel caso
in cui la matrice corrispondente al sistema
linearizzato abbia tutti gli autovalori con parte reale strettamente negativa.
Instabilità di un punto d'equilibrio nel caso
in cui la matrice corrispondente al sistema linearizzato
abbia almeno un autovalore con parte reale strettamente positiva (solo enunciato).
Teorema di stabilità di Ljapunov.
Teorema di stabilità di Barbašin-Krasovskij. Pendolo
semplice con e senza attrito. Sistemi meccanici conservativi. Teorema di Dirichlet
sulla stabilità dei sistemi meccanici conservativi.
Cicli limite. Traiettorie periodiche. Comportamento di un sistema dinamico
lontano dai punti d'equilibrio: teorema della scatola di flusso.
Teorema di Poincaré-Bendixson (solo enunciato).
5. Alcuni esempi di analisi qualitativa del moto
Sistemi planari. Sistemi che ammettono una costante del moto: curve di livello e
studio qualitativo delle traiettorie. Soluzioni periodiche e soluzioni asintotiche:
traiettorie omocline ed eterocline. Sistemi gradiente:
proprietà e analisi qualitativa. Equazioni di Lotka-Volterra.
6. Analisi qualitativa per sistemi unidimensionali
Sistemi meccanici conservativi: conservazione dell'energia e curve di livello. Studio
dell'energia potenziale. Orbite chiuse e traiettorie periodiche. Moti asintotici.
Stabilità dei punti d'equilibrio e punti critici del potenziale.
Tempi di percorrenza delle orbite, periodi come integrali definiti e stime di periodi.
7. Moti centrali
Forze centrali. Problema dei due corpi. Moti centrali.
Gradiente in coordinate polari e in coordinate sferiche.
Conservatività delle forze centrali.
Conservazione del momento angolare per le forze centrali.
Moto radiale e moto angolare.
Condizioni di periodicità del moto. Teorema di Bertrand (solo enunciato).
Campo centrale armonico e campo centrale coulombiano: equazioni delle orbite.
Velocità areolare. Leggi di Keplero.
8. Moti relativi
Moto in un sistema di coordinate mobili. Cambiamento di sistemi di riferimento.
Trasformazioni rigide, traslazioni e rotazioni. Velocità angolare.
Forze d'inerzia: forza inerziale di traslazione,
forza inerziale di rotazione, forza centrifuga e forza di Coriolis.
Teorema di Coriolis. Esempi e applicazioni.
9. Vincoli
Vincoli. Vincoli onolomi bilateri. Vincolari regolari e indipendenti.
Superficie di vincolo. Forze vincolari. Traiettorie virtuali.
Principio di d'Alembert. Vincoli di rigidità.
10. Sistemi rigidi
Sistemi rigidi. Spazio delle configurazioni dei sistemi rigidi. Caratteristiche cinematiche
dei sistemi rigidi: energia cinetica e momento angolare. Teorema di König.
Caratteristiche dinamiche dei sistemi rigidi: equazioni cardinali della dinamica.
Applicazione del principio di d'Alembert ai sistemi rigidi. Momenti
d'inerzia. Operatore d'inerzia: assi d'inerzia e momenti principali d'inerzia. Momento
d'inerzia rispetto a un asse fissato. Teorema di Huygens-Steiner. Calcolo dei
momenti principali d'inerzia in alcuni sistemi semplici, quali: sbarra, disco, anello,
cilindro, sfera, cono, lastra. Equazioni di Eulero: analisi qualitativa del moto.
