FM3 - Meccanica lagrangiana e hamiltoniana Docente: Guido Gentile
1. Caratteristiche del corso
Contenuto del corso
Meccanica lagrangiana e sistemi vincolati. Variabili cicliche.
Costanti del moto e simmetrie. Sistemi di oscillatori lineari e
piccole oscillazioni. Meccanica hamiltoniana. Flussi hamiltoniani.
Teorema di Liouville e del ritorno. Trasformazioni canoniche.
Funzioni generatrici. Metodo di Hamilton-Jacobi e variabili azione-angolo.
Introduzione alla teoria delle perturbazioni.
Modalità degli esami
Alla fine del corso gli studenti che intendano sostenere l'esame dovranno
presentare una serie di esercizi svolti e discuterli, anche in connessione
con gli argomenti di teoria trattati a lezione.
2. Orario
Le lezioni si svolgono Martedì e Giovedì alle ore 11.00 - 13.00.
L'orario di ricevimento si può trovare sulla pagina
docenti del dipartimento.
3. Calendario d'esami
Le date si possono trovare sulla pagina del
calendario d'esami (II semestre).
4. Programma d'esame
1. Vincoli
Gradi di libertà e sistemi vincolati. Vincoli olonomi e anolonomi.
Vincoli indipendenti e regolari. Superficie di vincolo.
Traiettorie virtuali. Principio di d'Alembert.
Vincoli di mobilità e vincoli anolonomi integrabili.
Forze vincolari. Richiami sui sistemi rigidi e sull'operatore d'inerzia.
2. Meccanica lagrangiana
Sistemi lagrangiani. Equazioni di Eulero-Lagrange. Primo principio variazionale
di Hamilton (principio di minima azione): equivalenza tra equazione di Newton ed
equazioni di Eulero-Lagrange. Problemi di esistenza e unicità per problemi
con condizioni al contorno. Formalismo lagrangiano per moti su varietà.
Coordinate generalizzate e lagrangiana vincolata.
Formalismo lagrangiano per sistemi vincolati: equivalenza
tra equazione di Newton supplementata dal principio di d'Alembert ed equazioni di
Eulero-Lagrange per sistemi vincolati. Calcolo delle forze vincolari.
Alcuni esempi notevoli di sistemi lagrangiani.
3. Studio dei sistemi lagrangiani
Sistemi indipendenti dal tempo. Energia. Configurazioni d'equilibrio:
studio della stabilità. Teorema di Dirichlet.
Variabile cicliche e momenti conservati. Metodo di
Routh e lagrangiana ridotta. Applicazione al problema dei due corpi.
4. Simmetrie e costanti del moto
Gruppi a un parametro di diffeomorfismi. Trasformazioni di coordinate e loro
sollevamenti. Campi vettoriali, momenti conservati e momenti coniugati.
Gruppi di simmetrie a un parametro: teorema di Noether.
Richiami sul teorema della scatola di flusso.
Prodotto di Lie di campi vettoriali.
Commutatività di campi vettoriali e commutatività di gruppi a un parametro.
Teorema di Frobenius. Gruppi di simmetrie a più parametri:
teorema di Noether nel caso di gruppi di simmetrie a più parametri.
5. Teoria delle piccole oscillazioni
Linearizzazione. Lagrangiana quadratica. Piccole oscillazioni e oscillazioni proprie.
Frequenze normali ed equazione caratteristica. Pendoli identici accoppiati. Battimenti.
Pendoli accoppiati con masse e lunghezze diverse. Rigidità.
Piccole oscillazioni per sistemi vincolati. Teorema di Rayleigh-Courant-Fisher.
6. Meccanica hamiltoniana
Spazio dele fasi. Trasformate di Legendre. Equazioni di Hamilton.
Secondo principio variazionale di Hamilton. Campo vettoriale hamiltoniano.
Campi a divergenza nulla. Teorema di Liouville. Teorema del ritorno di Poincaré.
7. Trasformazioni canoniche
Trasformazioni di coordinate nello spazio delle fasi. Matrici simplettiche.
Determinante delle matrici simplettiche. Trasformazioni che conservano
la struttura canonica. Trasformazioni canoniche e trasformazioni simplettiche.
Trasformazioni indipendenti e dipendenti dal tempo.
Parentesi di Poisson e loro proprietà: bilinearità, antisimmetria
e identità di Jacobi. Parentesi di Poisson fondamentali e
integrali primi. Caratterizzazione delle trasformazioni canoniche
in termini delle parentesi di Poisson. Richiami sulle forme differenziali
e sul teorema di Stokes. Matrici antisimmetriche non singolari e direzione di rotore.
Invariante integrale di Poincaré-Cartan. Differenziale a tempo
bloccato. Condizione di Lie.
8. Funzioni generatrici e metodo di Hamilton-Jacobi
Funzioni generatrici indipendenti e dipendenti dal tempo. Funzioni generatrici di
prima e seconda specie. Funzione generatrice dell'identità.
Estensione di un cambiamento di coordinate a una trasformazione simplettica
nello spazio delle fasi. Equazione di Hamilton-Jacobi.
Integrale generale e integrale completo. Funzione principale di Hamilton.
Funzione caratteristica di Hamilton. Sistemi unidimensionali e problemi di
non località. Sistemi separabili.
9. Variabili azione-angolo
Variabili azione-angolo. Sistemi unidimensionali. Sistemi a più dimensioni:
teorema di Liouville-Arnold. Caso dei sistemi separabili.
Dimostrazione del teorema di Liouville-Arnold per sistemi separabili.
Dimostrazione del teorema di Liouville-Arnold nel caso generale.
Sistemi completamente integrabili.
Integrabilità del problema dei due corpi.
10. Cenni di teoria delle perturbazioni
Tori invarianti. Vettori diofantei. Sistemi quasi-integrabili.
Equazione di Hamilton-Jacobi e serie perturbative.
Teoria perturbativa al primo ordine ed equazione omologica.
Analisi a tutti gli ordini per sistemi unidimensionali.
Problemi di convergenza delle serie in dimensione qualsiasi.
Teorema di trivialità di Poincaré.
Serie di Birkhoff per i sistemi isocroni. Divergenza delle serie di Birkhoff.
Teoria perturbativa al primo ordine per sistemi anisocroni.
Enunciato del teorema KAM.
