FM1 - Equazioni differenziali e Meccanica
Docenti: Guido Gentile e Livia Corsi
Tutorato: Roberto Feola e Luca Schaffler
1. Caratteristiche del corso
1.1. Contenuto del corso
Equazioni differenziali lineari. Stabilità secondo Lyapunov. Insiemi limite.
Sistemi planari e sistemi meccanici unidimensionali.
Sistemi meccanici conservativi a più gradi di libertà:
moti centrali, problema dei due corpi. Cambiamento di sistemi di riferimento.
Forze apparenti. Sistemi rigidi.
II Semestre -
Crediti: 7,5 b |
1.2. Testi consigliati
Il corso si basa sul testo
Introduzione ai sistemi dinamici. 1. Equazioni differenziali, analisi
qualitativa e alcune applicazioni,
dove sono proposti anche altri riferimenti bibliografici.
1.3. Modalità degli esami
L'esame consiste in una prova scritta (eventualmente sostituita dagli esoneri
durante lo svolgimento del corso) e un colloquio orale in cui si discute la prova scritta.
2. Orario
Le lezioni si svolgono Martedì e Giovedì alle ore 09.00 - 11.00
in aula F, le esercitazioni Lunedì alle ore 11.00 - 12.00 in aula F.
(La prima lezione ha avuto luogo lunedì 22 Febbraio 2010).
L'orario di ricevimento si può trovare sulla pagina
docenti del dipartimento.
3. Prove d'esonero
Prima prova d'esonero: martedì 13 aprile 2010 - ore 9.00 - aula F.
Testo della prova.
Seconda prova d'esonero: martedì 1 giugno 2010 - ore 9.00 - aula F.
Testo della prova.
4. Prove d'esame
Prima prova d'esame: martedì 8 giugno 2010 - ore 9.00 - aula G.
Testo della prova.
Colloquio orale: 10 giugno 2010 - ore 9.00.
Seconda prova d'esame: lunedì 5 luglio 2010 - ore 9.00 - aula G.
Testo della prova.
Colloquio orale: 8,9,16 luglio 2010 - ore 10.00.
Terza prova d'esame: giovedì 9 settembre 2010 - ore 9.00 - aula B3.
Testo della prova.
Colloquio orale: 14 settembre 2010 - ore 10.00.
Quarta prova d'esame: lunedì 10 gennaio 2011 - ore 9.00 - aula da fissare.
5. Raccolta d'esercizi
Una raccolta di testi e (a volte) soluzioni di prove d'esonero e d'esame
si può trovare qui.
6. Tutorato
Le lezioni di tutorato si svolgono Mercoledì alle ore 16.00 - 18.00.
I testi e le soluzioni degli esercizi svolti durante le lezioni di tutorato
si possono trovare qui.
7. Calendario d'esami
Le date si possono trovare sulla pagina del
calendario d'esami (II semestre).
8. Programma d'esame
1. Equazioni differenziali ordinarie: teoria generale
Definizione di sistema dinamico. Sistemi dinamici ed equazioni differenziali ordinarie.
Traiettorie e orbite. Flusso di un sistema dinamico. Funzioni lipschitziane e funzioni di classe
C1. Sistemi autonomi e non autonomi. Problema di Cauchy.
Teorema di esistenza (solo enunciato) e unicità locale per sistemi dinamici
di classe C1.
Esempi e controesempi. Lemma di Gronwall. Teorema della dipendenza continua dai dati iniziali.
Prolungamento di una soluzione e soluzione massimale. Teorema del prolungamento
della soluzione e sue implicazioni. Teorema della dipendenza differenziabile dai dati
iniziali (solo enunciato). Equazioni a variabili separabili.
2. Operatori lineari
Spazi vettoriali e operatori lineari: richiami. Norma uniforme e sue proprietà.
Cambiamenti di base. Somma diretta. Spettro di un operatore lineare. Operatori
lineari diagonalizzabili e non diagonalizzabili. Operatori lineari semisemplici e operatori
lineari nilpotenti. Autospazi generalizzati. Teorema di decomposizione primaria
(solo enunciato). Decomposizione di un operatore lineare nella somma diretta di
un operatore semisemplice e di uno nilpotente. Esponenziale di un operatore lineare:
definizioni e proprietà.
3. Equazioni differenziali lineari
Sistemi di equazioni differenziali lineari del primo ordine a coefficienti costanti
omogenee. Teorema di esistenza e unicità globale della soluzione.
Equazioni differenziali lineari di ordine qualsiasi a coefficienti costanti.
Ricerca delle soluzioni nella forma di polinomi pesati con fattori esponenziali.
Sistemi planari lineari: analisi qualitativa del moto. Oscillatore armonico.
Sistemi di equazioni differenziali lineari non omogenee. Metodo di variazione delle costanti.
Oscillatore armonico smorzato forzato (con forzante periodica). Risonanza.
4. Analisi qualitativa del moto: teoria generale
Stabilità secondo Ljapunov. Punti di equilibrio stabile,
asintoticamente stabile, attrattivo e instabile.
Bacino d'attrazione. Insiemi limite. Sistemi dinamici linearizzati.
Stabilità di un punto d'equilibrio nel caso
in cui la matrice corrispondente al sistema
linearizzato abbia tutti gli autovalori con parte reale strettamente negativa.
Instabilità di un punto d'equilibrio nel caso
in cui la matrice corrispondente al sistema linearizzato
abbia almeno un autovalore con parte reale strettamente positiva (solo enunciato).
Teorema di stabilità di Ljapunov.
Teorema di stabilità di Barbašin-Krasovskij. Pendolo
semplice con e senza attrito. Sistemi meccanici conservativi. Teorema di Dirichlet
sulla stabilità dei sistemi meccanici conservativi.
Cicli limite. Traiettorie periodiche. Comportamento di un sistema dinamico
lontano dai punti d'equilibrio: teorema della scatola di flusso.
5. Alcuni esempi di analisi qualitativa del moto
Sistemi planari. Teorema di Poincaré-Bendixson (solo enunciato)
e sue applicazioni.
Sistemi che ammettono una costante del moto: curve di livello e
studio qualitativo delle traiettorie. Soluzioni periodiche e soluzioni asintotiche:
traiettorie omocline ed eterocline. Sistemi gradiente:
proprietà e analisi qualitativa. Sistemi predatore-preda ed equazioni di Lotka-Volterra.
6. Analisi qualitativa per sistemi unidimensionali
Sistemi meccanici conservativi: conservazione dell'energia e curve di livello. Studio
dell'energia potenziale. Orbite chiuse e traiettorie periodiche. Moti asintotici.
Stabilità dei punti d'equilibrio e punti critici del potenziale.
Tempi di percorrenza delle orbite, periodi come integrali definiti e stime di periodi.
7. Moti centrali
Forze centrali. Problema dei due corpi. Moti centrali.
Gradiente in coordinate polari e in coordinate sferiche.
Conservatività delle forze centrali.
Conservazione del momento angolare per le forze centrali.
Moto radiale e moto angolare.
Condizioni di periodicità del moto. Teorema di Bertrand: enunciato
e dimostrazione. Campo centrale armonico e campo centrale coulombiano:
equazioni delle orbite. Velocità areolare. Leggi di Keplero.
8. Moti relativi
Moto in un sistema di coordinate mobili. Cambiamento di sistemi di riferimento.
Trasformazioni rigide, traslazioni e rotazioni. Velocità angolare.
Forze d'inerzia: forza inerziale di traslazione,
forza inerziale di rotazione, forza centrifuga e forza di Coriolis.
Teorema di Coriolis. Esempi e applicazioni.
9. Sistemi rigidi
Sistemi rigidi. Spazio delle configurazioni dei sistemi rigidi. Caratteristiche cinematiche
dei sistemi rigidi: energia cinetica e momento angolare. Teorema di König.
Momenti d'inerzia. Operatore d'inerzia: assi d'inerzia e momenti principali d'inerzia.
Teorema di Huygens-Steiner. Calcolo dei momenti principali d'inerzia in alcuni sistemi semplici,
quali: sbarra, disco, anello, cilindro, sfera, cono, lastra.
Equazioni di Eulero: analisi qualitativa del moto.
9. Diario delle lezioni
Lezione 1 (22/02/2010)
Definizioni: sistemi dinamici ed equazioni differenziali ordinarie;
sistemi autonomi e non autonomi; traiettorie, orbite, flussi; funzioni lipschitziane;
problema di Cauchy; enunciato del teorema di esistenza e unicità (Cap. 3, §10).
Definizioni: prolungamento di una soluzione e soluzione massimale
(Cap. 3, §12).
Lezione 2 (23/02/2010)
Lemma di Gronwall, dimostrazione del teorema di unicità (Cap. 3, §11).
Corollario 12.17 e lemma 12.19,
teorema del prolungamento della soluzione e suo corollario (Cap. 3, §12).
Lezione 3 (23/02/2010)
Regolarità della soluzione nel tempo (Cap. 3, §10).
Teorema della dipendenza continua dai dati iniziali; enunciato del
teorema della dipendenza differenziabile dai dati iniziali
(Cap. 3, §11).
Equazioni a variabili separabili: discussione generale
(Cap. 3, §13).
Lezione 4 (25/02/2010)
Equazioni a variabili separabili: esempio 13.11 ed esercizi 16 e 17 del Cap. 3.
Richiami sugli operatori lineari: definizioni, somma diretta,
norma uniforme; cambiamenti di base; operatori diagonalizzabili, semisemplici e nilpotenti (Cap. 1, §1).
Lezione 5 (25/02/2010)
Commutatore di un operatore lineare (Cap. 1, §1).
Esponenziale di un operatore lineare: definizione e proprietà;
esponenziale di operatori diagonalizzabili, semisemplici e nilpotenti
(Cap. 1, §2).
Lezione 6 (02/03/2010)
Dimostrazione delle proprietà degli
esponenziale di operatori (Cap. 1, §2).
Sistemi di equazioni differenziali lineari (Cap. 2, §5).
Lezione 7 (02/03/2010)
Caso di operatori semisemplici: esempio 7.7 del Cap. 2.
Ricerca della soluzione come combinazione lineare di esponenziali
con coefficienti polinomiali nel tempo.
Sistemi lineari non omogenei: metodo di variazione delle costanti
(Cap. 2, §9).
Lezione 8 (4/03/2010)
Autospazi generalizzati; teorema di decomposizione primaria (solo enunciato)
e teorema 3.14 sulla decomposizione unica di un operatore lineare nella
somma di un operatore semisemplice e uno nilpotente che commutano (Cap. 1, §3).
Lezione 9 (04/03/2010)
Ricerca della soluzione come combinazione lineare di esponenziali
con coefficienti polinomiali nel tempo (Cap. 2, §5).
Esempio 7.12 del Cap. 2 (inizio).
Lezione 10 (09/03/2010)
Esempio 7.12 del Cap. 2 (continuazione).
Analisi qualitativa di sistemi planari lineari
nel caso di operatori diagonalizzabili: nodi propri, pozzi, sorgenti, selle
(Cap. 2, §6).
Lezione 11 (09/03/2010)
Analisi qualitativa di sistemi planari lineari
nel caso di operatori semisemplici: centri e moti a spirali (Cap. 2, §6).
Soluzione di un sistema lineare omogeneo come somma della
soluzione generale del sistema lineare omogeneo associato
e di una soluzione particolare (Cap. 2, §9).
Lezione 12 (11/03/2010)
Analisi qualitativa di sistemi planari lineari
nel caso di operatori non diagonalizzabili: nodi impropri, pozzi e sorgenti (Cap. 2, §6).
Lezione 13 (11/03/2010)
Discussione dell'oscillatore armonico smorzato forzato come
esempio notevole di sistema planare lineare:
esempi 8.8 e 9.12 ed esercizi 23, 24, 25, 26 e 27 del Cap. 2.
Lezione 14 (16/03/2010)
Stabilità secondo Ljapunov: punti d'equilibrio,
punti d'equilibrio stabile, punti d'equilibrio instabile,
punti attrattivi, punti d'equilibrio asintoticamente stabile,
esempi e controesempi (Cap. 4, §16). Linearizzazione:
sistema lineare associato, caso di tutti gli autovalori con parte reale
negativa, enunciato del Teorema 17.9 (Cap. 4, §17).
Lezione 15 (16/03/2010)
Linearizzazione: caso di un autovalore con parte reale
positiva, enunciato del Teorema 17.13 (Cap. 4, §17).
Controesempio dell'osservazione 17.16 del Cap. 4. Sistemi meccanici conservativi
(Cap. 4, §16). Enunciato del teorema di Ljapunov; enunciato
e dimostrazione del teorema di Dirichlet (Cap. 4, §18).
Lezione 16 (18/03/2010)
Enunciato del teorema di Barbašin-Krasovskij (Cap. 4, §18).
Applicazione al caso di sistemi unidimensionali con
energia potenziale quartica. Sistemi con costante del moto,
assenza di punti d'equilibrio asintoticamente stabile
in sistemi con costante del moto che non sia nulla su alcun aperto,
teorema 20.32 (Cap. 5, §20).
Lezione 17 (18/03/2010)
Pendolo semplice: analisi qualitativa in assenza di attrito
(Cap. 5, §23).
Lezione 18 (23/03/2010)
Richiami sulle superfici regolari e applicazione al
caso del pendolo semplice; separatrice; moti oscillatori,
moti rotatori e moti asintotici; traiettorie omocline ed eterocline;
pendolo semplice in presenza di attrito (Cap. 5, §23).
Lezione 19 (23/03/2010)
Sistemi gradiente: definizioni e proprietà
(Cap. 5, §21).
Confronto tra sistemi gradiente e sistemi che ammettono costanti
del moto (inclusi i sistemi meccanici conservativi).
Esercizio 10 del Cap. 5 (inizio).
Lezione 20 (25/03/2010)
Esercizio 10 del Cap. 5 (continuazione).
Insiemi ω-limite: definizione; esempi: punto
d'equilibrio asintoticamente stabile e ciclo limite;
esempio di sistema che ammette un ciclo limite (Cap. 4, §16).
Lezione 21 (25/03/2010)
Proprietà degli insiemi ω-limite (Cap. 4, §16.9).
Dimostrazione delle proprietà 2, 4 e 5 (Cap. 4, §16)
Esempio di insieme ω-limite illimitato non connesso (Cap. 4, §16).
Lezione 22 (30/03/2010)
Lemma 18.2 (con dimostrazione) e
Lemmi 18.8 e 18.10 (senza dimostrazione) del Cap. 4.
Dimostrazione del teorema di Ljapunov e del teorema di
Barbašin-Krasovskij (Cap. 4, §18).
Lemma 17.3 (con dimostrazione) e Lemma 17.7 (con dimostrazione
nel caso diagonalizzabile) del Cap. 4.
Lezione 23 (30/03/2010)
Dimostrazione del teorema Teorema 17.9 (Cap. 4, §17).
Esercizi 21 e 37 del Cap. 5.
Lezione 24 (02/04/2010)
Esercizio 25 del Cap. 5.
Lezione 25 (02/04/2010)
Esercizio 15 del Cap. 5.
Impostazione dell'esercizio 28 del Cap. 5.
Lezione 26 (19/04/2010)
Sistemi a un grado di libertà: conservazione dell'energia,
punti d'equilibrio; curve di livello (Cap. 6, §25,26).
Teorema 26.9: soluzioni definite globalmente nel tempo
per sistemi con energia potenziale limitata inferiormente
(Cap. 6, §26).
Inizio dello studio qualitativo a partire dal grafico
dell'energia potenziale (Cap. 6, §27).
Lezione 27 (20/04/2010)
Lemmi 18.12 e 18.25 (con dimostrazione) del Cap. 4.
Definizione di insieme alfa limite (Cap. 4, §16).
Lemma 20.23 (senza dimostrazione) del Cap. 5.
Lezione 28 (20/04/2010)
Alcuni risultati sui sistemi planari:
Teorema di Poincaré-Bendixson (teorema 20.12 del Cap. 5);
Teoremi 20.25, 20.27, 20.30 e 20.32 (con dimostrazione)
del Cap. 5; Teorema 20.32 (con dimostrazione nel caso in cui ci sia
un punto d'equilibrio stabile) del Cap. 5.
Lezione 29 (22/04/2010)
Continuazione dello studio qualitativo a partire dal grafico
dell'energia potenziale (Cap. 6, §27).
Lezione 30 (22/04/2010)
Periodi come integrali definiti (Cap. 6, §28,29).
Esercizio 2 della seconda prova d'esonero del 09-06-2004.
Lezione 31 (27/04/2010)
Teorema della scatola di flusso (Cap. 4, §19).
Lezione 32 (27/04/2010)
Equazioni di Lotka-Volterra: modello predatore-preda, studio qualitativo
delle equazioni, leggi di Volterra (Cap. 5, §22).
Lezione 33 (29/04/2010)
Stime di periodi per soluzioni periodiche di sistemi unidimensionali (Cap. 6, §29).
Forze centrali e problema dei due corpi (Cap. 7, §30).
Lemma 30.6: una forza centrale è conservativa.
Gradiente in coordinate polari e in coordinate sferiche
(Cap. 7, §30 ed esercizi 1,2,3).
Lezione 34 (29/04/2010)
Conservazione del momento angolare e sue conseguenze;
conservazione dell'energia e studio del moto della variabile radiale
come moto unidimensionale; energia potenziale efficace
(Cap. 7, §30).
Lezione 35 (04/05/2010)
Moti complessivamente periodici in campi centrali:
condizioni sull'incremento della variabile angolare in un periodo
della variabile angolare (Cap. 7, §30).
Lezione 36 (04/05/2010)
Enunciato del teorema di Bertrand e inizio della dimostrazione:
dati iniziali vicino al punto di minimo, dati iniziali con energia
che tende all'infinito (Cap. 7, §32).
Lezione 37 (06/05/2010)
Continuazione della dimostrazione del teorema di Bertrand:
dati iniziali con energia che tende a zero (Cap. 7, §32).
Lezione 38 (06/05/2010)
Esercizio 4 della prova scritta del 07-06-2007.
Lezione 39 (11/05/2010)
Discussione esplicita del caso armonico e gravitazionale (Cap. 7, §31).
Lezione 40 (11/05/2010)
Velocità areolare e leggi di Keplero (Cap. 7, §31).
Lezione 41 (13/05/2010)
Trasformazioni rigide, rotazioni e traslazioni; velocità
angolare; velocità di trascinamento (Cap. 8, §33).
Lezione 42 (13/05/2010)
Forze apparenti: forza inerziale di rotazione, forza centrifuga,
forza di Coriolis; teorema di Coriolis; applicazioni: pendolo di Foucault,
sasso lasciato cadere in un pozzo, giostra rotante (Cap. 8, §34).
Lezione 43 (18/05/2010)
Altre applicazioni del teorema di Coriolis: effetto della forza
di Coriolis e della forza centrifuga sulle anse di un fiume
(Cap. 8, §34).
Esercizio 3 della prova d'esame del 05-09-2000.
Lezione 44 (18/05/2010)
Esercizio 1 della prova d'esame del 07-06-2007
ed esercizio 2 della seconda prova d'esonero del 04-06-2007.
Lezione 45 (20/05/2010)
Sistemi rigidi e spazio delle configurazioni dei sistemi rigidi (Cap. 9, §36).
Caratteristiche cinematiche dei sistemi rigidi: quantità di moto,
momento angolare ed energia cinetica (Cap. 9, §37).
Operatore d'inerzia: proprietà e forma esplicita
in una base qualsiasi (Cap. 10, §42).
Lezione 46 (20/05/2010)
Operatore d'inerzia: momenti d'inerzia; assi d'inerzia;
momenti principali d'inerzia; sistemi discreti e sistemi continui;
sistemi con un asse di simmetria (Cap. 10, §42).
Calcolo dei momenti principali d'inerzia in alcuni sistemi semplici:
sbarra, disco, anello sottile, anello spesso
(Cap. 10, §42 ed esercizi 10-13).
Teorema di König (Cap. 9, §37).
Teorema di Hyugens-Steiner (Cap. 10, §42).
Lezione 47 (25/05/2010)
Equazioni di Eulero: analisi qualitativa del moto; discussione analitica nel caso
di momenti principali d'inerzia uguali e nel caso di sistemi con un asse di simmetria;
discussione grafica nel caso di momenti principali d'inerzia distinti (Cap. 10, §44).
Lezione 48 (25/05/2010)
Calcolo dei momenti principali d'inerzia in alcuni sistemi semplici:
cono, lastra, sistema di quattro punti materiali disposti ai vertici
di un rettangolo (Cap. 10, §42 ed esercizi 14 e 19).
10. Diario delle esercitazioni
Esercitazione 1 (08/03/2010)
Esponenziale di matrici: esercizio 2 della prova scritta 11-09-2009.
Sistemi lineari: esercizio 1 della prova scritta 09-06-2008 (due soluzioni).
Separazione di variabili: esercizio 1 del tutorato 1 del 28-02-2007.
Esercitazione 2 (15/03/2010)
Il metodo di variazione delle costanti (ved. qui
). Sistemi lineari: esercizio 2 della prova scritta 25-06-2009.
Esercitazione 3 (22/03/2010)
Sistemi planari: esercizio 2 del tutorato 5 del 26-03-2008 (prime tre domande).
Esercitazione 4 (29/03/2010)
Sistemi gradiente: esercizio 3 della prova scritta 15-09-2008, esercizio 3 della prova scritta 09-06-2008.
Esercitazione 5 (08/04/2010)
Sistemi planari: esercizio 1 della prova scritta 09-01-2009.
Insiemi ω-limite: esercizio 4 della prima prova d'esonero 09-04-2008.
Esercitazione 6 (08/04/2010)
Bacini d'attrazione: esercizio 2 del tutorato 4 del 19-03-2008.
Sistemi lineari: esercizio 1 della prova scritta 25-01-2010.
Esercitazione 7 (26/04/2010)
Sistemi unidimensionali: esercizio 2 della prova scritta 25-01-2010.
Esercitazione 8 (03/05/2010)
Sistemi unidimensionali: esercizio 3 della seconda prova d'esonero 04-06-2010.
Esercitazione 9 (10/05/2010)
Moti centrali: esercizio 1 del tutorato 9 del 09-05-2007,
esercizio 2 del tutorato 10 del 13-05-2009.
Esercitazione 10 (17/05/2010)
Moti centrali: esercizio 5 della seconda prova d'esonero 04-06-2007.
Esercitazione 11 (24/05/2010)
Sistemi di riferimento: esercizio 6 della prova scritta 09-06-2008.
Calcolo dei momenti principali d'inerzia del cilindro.
Esercitazione 12 (27/05/2010)
Sistemi di riferimento, sistemi planari, moti unidimensionali, separazione di variabili, sistemi lineari:
esercizio 1 del tutorato 11 del 15-05-2008 (prime due domande).
Esercitazione 13 (27/05/2010)
Momenti d'inerzia: esercizio 6 della prova scritta 25-06-2009.
Sistemi di riferimento: esercizio 5 della prova scritta 09-01-2009.
