Università
degli studi
Roma Tre
Anno Accademico 2009/2010


Dipartimento di Matematica


FM3 - Meccanica lagrangiana e hamiltoniana
Docente: Guido Gentile


1. Caratteristiche del corso

Contenuto del corso
Meccanica lagrangiana e sistemi vincolati. Variabili cicliche. Costanti del moto e simmetrie. Sistemi di oscillatori lineari e piccole oscillazioni. Meccanica hamiltoniana. Flussi hamiltoniani. Teorema di Liouville e del ritorno. Trasformazioni canoniche. Funzioni generatrici. Metodo di Hamilton-Jacobi e variabili azione-angolo. Introduzione alla teoria delle perturbazioni.
II Semestre - Crediti: 6 b/d

Testi consigliati
Il corso si basa sui testi Introduzione ai sistemi dinamici. 1. Equazioni differenziali, analisi qualitativa e alcune applicazioni e Introduzione ai sistemi dinamici. 2. Formalismo lagrangiano e hamiltoniano e dove sono proposti anche altri riferimenti bibliografici.

Modalità degli esami
L'esame consiste in un colloquio orale in cui lo studente dovrà discutere gli argomenti di teoria trattati a lezione e la soluzione degli esercizi del testo Introduzione ai sistemi dinamici. 2.

2. Orario

Le lezioni si svolgono Martedì e Giovedì alle ore 11.00 - 13.00 in aula 009.
L'orario di ricevimento si può trovare sulla pagina docenti del dipartimento.

3. Calendario d'esami

Le date si possono trovare sulla pagina del calendario d'esami (II semestre).

4. Programma d'esame

1. Vincoli
Gradi di libertà e sistemi vincolati. Vincoli olonomi e anolonomi. Vincoli indipendenti e regolari. Superficie di vincolo. Traiettorie virtuali. Principio di d'Alembert. Vincoli di mobilità e vincoli anolonomi integrabili. Forze vincolari. Richiami sui sistemi rigidi e sull'operatore d'inerzia.

2. Meccanica lagrangiana
Sistemi lagrangiani. Equazioni di Eulero-Lagrange. Primo principio variazionale di Hamilton (principio di minima azione): equivalenza tra equazione di Newton ed equazioni di Eulero-Lagrange. Problemi di esistenza e unicità per problemi con condizioni al contorno. Coordinate generalizzate e lagrangiana vincolata. Formalismo lagrangiano per sistemi vincolati: equivalenza tra equazione di Newton supplementata dal principio di d'Alembert ed equazioni di Eulero-Lagrange per sistemi vincolati. Calcolo delle forze vincolari. Alcuni esempi notevoli di sistemi lagrangiani: pendolo semplice, pendolo doppio, pendolo sferico.

3. Studio dei sistemi lagrangiani
Sistemi indipendenti dal tempo. Energia. Configurazioni d'equilibrio: studio della stabilità. Teorema di Dirichlet. Variabili cicliche e momenti conservati. Metodo di Routh e lagrangiana ridotta. Applicazione al problema dei due corpi.

4. Simmetrie e costanti del moto
Gruppi a un parametro di diffeomorfismi. Trasformazioni di coordinate e loro sollevamenti. Campi vettoriali, momenti associati ai campi vettoriali e momenti coniugati. Gruppi di simmetrie a un parametro: teorema di Noether. Richiami sul teorema della scatola di flusso. Prodotto di Lie di campi vettoriali. Commutatività di campi vettoriali e commutatività di gruppi a un parametro. Teorema: due gruppi a un parametro commutano se solo se commutano i campi vettoriali associati. Teorema di Frobenius (senza dimostrazione). Gruppi di simmetrie a più parametri: teorema di Noether nel caso di gruppi di simmetrie a più parametri.

5. Teoria delle piccole oscillazioni
Linearizzazione. Lagrangiana quadratica. Piccole oscillazioni e oscillazioni proprie. Frequenze normali ed equazione caratteristica. Pendoli identici accoppiati. Battimenti. Pendoli accoppiati con masse e lunghezze diverse. Piccole oscillazioni per sistemi vincolati. Teorema di Rayleigh-Courant-Fisher.

6. Moto dei corpi rigidi pesanti
Angoli di Eulero. Precessione. Trottola di Lagrange. Moto merostatico e moto di nutazione. Trottola addormentata e trottola veloce.

7. Meccanica hamiltoniana
Spazio delle fasi. Trasformata di Legendre. Hamiltoniana ed equazioni di Hamilton. Secondo principio variazionale di Hamilton. Campo vettoriale hamiltoniano. Campi a divergenza nulla. Teorema di Liouville. Teorema del ritorno di Poincaré.

8. Trasformazioni canoniche
Trasformazioni di coordinate nello spazio delle fasi. Matrici simplettiche. Determinante delle matrici simplettiche. Trasformazioni che conservano la struttura canonica. Trasformazioni canoniche e trasformazioni simplettiche. Trasformazioni indipendenti e dipendenti dal tempo. Parentesi di Poisson e loro proprietà: bilinearità, antisimmetricità e identità di Jacobi. Parentesi di Poisson fondamentali e integrali primi. Caratterizzazione delle trasformazioni canoniche in termini delle parentesi di Poisson. Richiami sulle forme differenziali e sul teorema di Stokes. Matrici antisimmetriche non singolari e direzione di rotore. Invariante integrale di Poincaré-Cartan. Differenziale a tempo bloccato. Condizione di Lie.

9. Funzioni generatrici e metodo di Hamilton-Jacobi
Funzioni generatrici indipendenti e dipendenti dal tempo. Funzioni generatrici di prima e seconda specie. Funzione generatrice dell'identità. Estensione di un cambiamento di coordinate a una trasformazione simplettica nello spazio delle fasi. Equazione di Hamilton-Jacobi. Integrale generale e integrale completo. Funzione principale di Hamilton. Funzione caratteristica di Hamilton. Sistemi unidimensionali e problemi di non località. Sistemi separabili.

10. Variabili azione-angolo
Variabili azione-angolo. Sistemi unidimensionali. Sistemi a più dimensioni: teorema di Liouville-Arnold. Caso dei sistemi separabili. Dimostrazione del teorema di Liouville-Arnold per sistemi separabili. Dimostrazione del teorema di Liouville-Arnold nel caso generale. Sistemi integrabili. Integrabilità del problema dei due corpi.

11. Cenni di teoria delle perturbazioni
Tori invarianti. Vettori diofantei. Sistemi quasi-integrabili. Equazione di Hamilton-Jacobi e serie perturbative. Teoria perturbativa al primo ordine ed equazione omologica. Problemi di convergenza delle serie in dimensione qualsiasi. Serie di Birkhoff per i sistemi isocroni. Divergenza delle serie di Birkhoff. Teoria perturbativa al primo ordine per sistemi anisocroni. Enunciato del teorema KAM.

5. Diario delle lezioni

Lezione 1 (23/02/2010)
Lagrangiana; spazio delle traiettorie e spazio delle deformazioni; funzionale d'azione; punti stazionari del funzionale d'azione ed equazioni di Eulero-Lagrange; primo principio variazionale di Hamilton; equazioni di Newton ed equazioni di Eulero-Lagrange per sistemi meccanici conservativi (Cap. 11, §47).
Lezione 2 (23/02/2010)
Vincoli: definizione; vincoli olonomi; vincoli regolari e indipendenti, superficie di vincolo; traiettorie virtuali (Cap. 9, §35). Principio di d'Alembert (Cap. 9, §39).
Lezione 3 (25/02/2010)
Richiami sui sistemi rigidi; traiettorie virtuali per sistemi rigidi; equazioni cardinali della dinamica (Cap. 9, §36,40). Vincoli anolonomi, vincoli di mobilità; moto di rotolamento senza strisciamento, esempi 41.13 e 41.14 (Cap. 9, §41).
Lezione 4 (25/02/2010)
Lagrangiana per sistemi vincolati; equazioni di Newton supplementate dal principio di d'Alembert ed equazioni di Eulero-Lagrange per sistemi meccanici conservativi vincolati (Cap. 11, §49).
Lezione 5 (02/03/2010)
Esempi di sistemi lagrangiani: pendolo doppio e pendolo sferico (esercizi 6 e 12 del Cap. 11). Sistemi lagrangiani indipendenti dal tempo: conservazione dell'energia (Cap. 12, §53).
Lezione 6 (02/03/2010)
Energia cinetica per sistemi meccanici conservativi vincolati (Cap. 12, §53). Metodo di Routh: variabili cicliche, lagrangiana ridotta e teorema di Routh (Cap. 11, §54).
Lezione 7 (04/03/2010)
Richiami sul problema dei due corpi e sui moti centrali (Cap. 7, §30). Applicazione del metodo di Routh al problema dei due corpi (Cap. 12, §54).
Lezione 8 (04/03/2010)
Esercizio del Cap. 12, §55.
Lezione 9 (09/03/2010)
Esercizio 10 del Cap. 12.
Lezione 10 (09/03/2010)
Esercizio del Cap. 12, §56: impostazione.
Lezione 11 (11/03/2010)
Gruppi a un parametro di diffeomorfismi e campi vettoriali associati; momenti, momenti coniugati e momenti conservati; gruppi di simmetrie (Cap. 13, §57).
Lezione 12 (11/03/2010)
Traslazioni e rotazioni (Cap. 13, §57). Teorema di Noether (Cap. 13, §57). Prodotto di Lie di campi vettoriali (Cap. 13, §58).
Lezione 13 (16/03/2010)
Commutazione di gruppi di diffeomorfismi e di campi vettoriali (Cap. 13, §58). Teorema 58.11 del Cap. 13.
Lezione 14 (16/03/2010)
Teorema di Frobenius - solo enunciato (Cap. 13, §58). Sollevamento di un campo vettoriale; prodotto di Lie dei sollevamenti di campi vettoriali (Cap. 13, §58). Teorema di Noether nel caso di più gruppi di simmetrie (Cap. 13, §58). Esempio di gruppi commutanti: sistemi invarianti per traslazioni (Cap. 13, §58).
Lezione 15 (18/03/2010)
Esempio di gruppi non commutanti: sistemi invarianti per rotazioni (Cap. 13, §58). Teoria delle piccole oscillazioni: approssimazione lineare delle equazioni di Eulero-Lagrange, forme quadratiche definite positive, equazione carateristica per determinare le frequenze proprie e matrice del cambiamento di base (Cap. 14, §60).
Lezione 16 (18/03/2010)
Pendoli accoppiati con masse e lunghezze uguali nell'approssimazione delle piccole oscillazioni, moti in fase e in opposizione di fase (Cap. 14, §61).
Lezione 17 (23/03/2010)
Fenomeno dei battimenti (Cap. 14, §61). Pendoli accoppiati con masse e lunghezze diverse nell'approssimazione delle piccole oscillazioni (Cap. 14, §61).
Lezione 18 (23/03/2010)
Piccole oscillazioni per sistemi vincolati; ellissoide associato a un sistema legrangiano; ellissoide associato a un sistema lagrangiano vincolato; principio del minimax (Cap. 14, §62).
Lezione 19 (25/03/2010)
Relazioni tra le frequenze proprie di un sistema lagrangiano vincolato e le frequenze del sistema senza vincoli: teorema di Rayleigh-Courant-Fisher (Cap. 14, §62).
Lezione 20 (25/03/2010)
Esercizio 6 del Cap. 14. Esercizio 7 del Cap. 14: impostazione.
Lezione 21 (30/03/2010)
Angoli di Eulero (Cap. 10, §43). Precessione regolare: definizione ed esempi (Cap. 10, §45).
Lezione 22 (30/03/2010)
Analisi qualitativa del moto della trottola di Lagrange: inizio (Cap. 15, §63).
Lezione 23 (02/04/2010)
Analisi qualitativa del moto della trottola di Lagrange: continuazione (Cap. 15, §63).
Lezione 24 (02/04/2010)
Trottola addormentata e trottola veloce (Cap. 15, §64).
Lezione 25 (20/04/2010)
Trasformata di Legendre, Hamiltoniana, equazioni di Hamilton, equazioni canoniche (Cap. 16, §65). Campi vettoriali a divergenza nulla e trasformazioni che conservano il volume (Cap. 16, §65). Teorema di Liouville (Cap. 16, §65).
Lezione 26 (20/04/2010)
Teorema del ritorno di Poincaré; apparente paradosso dell'esperimento di Maxwell (Cap. 16, §65). Metodo di Routh nel formalismo hamiltoniano (Cap. 16, §65).
Lezione 27 (22/04/2010)
Secondo principio variazionale di Hamilton (Cap. 16, §66). Matrici simplettiche: definizioni e proprietà (Cap. 17, §67).
Lezione 28 (22/04/2010)
Trasformazioni di coordinate: trasformazioni canoniche, trasformazioni simplettiche, trasformazioni che conservano la struttura canonica delle equazioni (Cap. 17, §67). Teoremi 67.20 (le trasformazioni canoniche conservano la struttura canonica delle equazioni) e 67.29 (una trasformazione indipendente dal tempo è simplettica se e solo se conserva la la struttura canonica delle equazioni con la stessa hamiltoniana) del Cap. 17.
Lezione 29 (27/04/2010)
Determinante di una matrice simplettica (Cap. 17, §67). Parentesi di Poisson: definizione e proprietà (Cap. 17, §68). Integrali primi e parentesi di Poisson (Cap. 17, §68).
Lezione 30 (27/04/2010)
Parentesi di Posson fondamentali (Cap. 17; §68). Teorema 68.14 del Cap. 17: criterio per determinare se una trasformazione è canonica. Esercizi 8, 9, 30 del Cap. 17.
Lezione 31 (29/04/2010)
Matrici antisimmetriche non singolari; forme differenziali non singolari; spazio delle fasi esteso, direzione di rotore, linee di rotore e tubo di rotore (Cap. 17, § 69). Forma differenziale di Poincaré-Cartan, invariante integrale di Poincaré-Cartan, invariante integrale relativo di Poincaré-Cartan (Cap. 17, § 69).
Lezione 32 (29/04/2010)
Differenziale a tempo bloccato e condizione di Lie (Cap. 17, §70). Funzioni generatrici e procedimento di prima specie (Cap. 17, §70).
Lezione 33 (04/05/2010)
Procedimento di seconda specie; funzione generatice della trasformazione identità; estensione di una trasformazione di coordinate di posizione a una trasformazione canonica tramite un procedimento di seconda specie (Cap. 17, §70).
Lezione 34 (04/05/2010)
Esercizi 35, 38, 44 e 45 del Cap. 17.
Lezione 35 (06/05/2010)
Teorema 70.27 del Cap. 17: il flusso hamiltoniano definisce una trasformazione canonica. Rivisitazione del teorema di Liouville (esercizio 41 del Cap. 17). Esercizi 28 e 48 del Cap. 17.
Lezione 36 (06/05/2010)
Equazione di Hamilton-Jacobi; funzione principale di Hamilton; funzione caratteristica di Hamilton; sistemi unidimensionali (Cap. 18, §71)
Lezione 37 (11/05/2010)
Sistemi separabili e separazione di variabili (Cap. 18, §71). Variabili azione-angolo; enunciato del teorema di Arnold-Liouville (Cap. 18, §72).
Lezione 38 (11/05/2010)
Esercizio del Cap. 18, §74.
Lezione 39 (13/05/2010)
Integrabilità del problema dei due corpi: determinazione delle variabili azione-angolo (esercizi 27, 29 e 30 del Cap. 18).
Lezione 40 (13/05/2010)
Dimostrazione del teorema di Arnold-Liouville nel caso semplice di sistemi separabili (Cap. 18, §72).
Lezione 41 (18/05/2010)
Inizio della dimostrazione del teorema di Arnold-Liouville nel caso generale (Cap. 18, §73).
Lezione 42 (18/05/2010)
Continuazione della dimostrazione del teorema di Arnold-Liouville nel caso generale (Cap. 18, §73).
Lezione 43 (25/05/2010)
Conclusione della dimostrazione del teorema di Arnold-Liouville nel caso generale (Cap. 18, §73). Variabile azione-angolo per l'oscillatore armonico (Cap. 19, §75). Teoria perturbativa al primo ordine ed equazione omologica (Cap. 19, §76). Condizione di non risonanza e vettori diofantei (Cap. 19, §76).
Lezione 44 (25/05/2010)
Teoria perturbativa a tutti gli ordini: problemi di definizione; serie di Birkhoff e problemi di convergenza; cenni sul teorema KAM: enunciato e implicazioni (Cap. 19, §77).