Per ulteriori informazioni, oltre quelle sotto riportate, contattare il docente
(gentile@mat.uniroma3.it).
1. Programma (orientativo)
I parte. Sistemi quasi-integrabili.
Richiami sui sistemi integrabli: trasformazioni canoniche, metodo di
Hamilton-Jacobi, variabili azione-angolo. Teorema di Arnold-Liouville.
Teoria delle perturbazioni: serie perturbative, serie di Birkhoff e
problemi di convergenza. Teorema di Nekhorošev. Vettori diofantei.
Teorema KAM: persistenza di tori invarianti per perturbazioni di sistemi integrabili.
Tecniche diagrammatiche e analisi multiscala. Alberi e rappresentazione
diagrammatica dei tori invarianti.
II parte. Elementi di teoria ergodica.
Partizioni. Frequenze di visita e moti simbolici.
Moti quasi-periodici e loro proprietà ergodiche.
Teorema di Birkhoff. Sistemi ergodici e sistemi mescolanti.
Potenziali e loro energie.
Misure di Gibbs: esistenza e unicità.
Misure di Gibbs su Z_+.
Proprietà variazionali delle misure di Gibbs.
Applicazioni espansive sull'intervallo.
III parte. Sistemi iperbolici.
Sistemi iperbolici. Sistemi di Anosov. Esempio del gatto di
Arnold. Pavimenti di Markov: dinamica simbolica per sistemi iperbolici.
Codifica della misura di volume e della sua restrizione a Z_+.
Foliazioni stabili e instabili. Misura SRB.
Stabilità strutturale e perturbazioni del gatto di Arnold.
Serie perturbative e tecniche diagrammatiche
per la funzione di coniugazione e i coefficienti di espansione e di contrazione.
Gatti di Arnold accoppiati.
2. Prerequisiti
Meccanica analitica: Sistemi lagrangiani e sistemi hamiltoniani
(dei brevi richiami saranno comunque forniti all'inizio del corso)
3. Modalità degli esami
L'esame consiste nella discussione dei seguenti esercizi:
(1) Dimostrazione che le serie di Lindstedt sono definite a tutti gli ordini
(verifica della condizione di compatibilità con il formalismo grafico);
cfr. la lezione 16.
(2) Dimostrazione del Lemma di Bryuno; cfr. la lezione 19.
(3) Calcolo esplicito del terzo ordine per la funzione di coniugazione
per perturbazioni del gatto di Arnold; cfr. la lezione 30.
(4) Calcolo esplicito del terzo ordine per i coefficienti di espansione e contrazione
per perturbazioni del gatto di Arnold; cfr. la lezione 31.
e nella presentazione di una delle seguenti tesine:
(1) Applicazioni espansive sull'intervallo ([4], Cap. 5, §5.4).
(2) Reticoli di gatti di Arnold accoppiati e stabilità strutturale uniforme
([4], Cap. 10, §10.2).
4. Orario delle lezioni
Il corso sarà un corso di letture, con una lezione di 2 ore a settimana
(occasionalmente 3: cfr. il diario delle lezioni).
Le lezioni si svolgono orientativamente il lunedì alle ore 9.00-11.00 in aula 311.
Prima lezione:
1 Marzo 2010.
Ultima lezione:
8 Giugno 2010.
5. Testi consigliati
[1] G. Gentile,
Introduzione ai sistemi dinamici.
2. Formalismo lagrangiano e hamiltoniano,
disponible in rete.
[2] G. Gallavotti,
Quasi-integrable mechanical systems,
Phénomènes critiques, systèmes aléatoires, théories de jauge,
Lectures at the XLIII summer school in Les Houches, 1984, Ed. K. Osterwalder, R. Stora, Elseviers,
p. 541-624, disponibile in
rete
[3] G. Gentile,
Quasi-periodic motions in dynamical systems. Review of a renormalisation group approach,
J. Math. Phys. 51 (2010), no. 1, 015207, 34 pp.,
disponibile in rete
[4] G. Gallavotti, F. Bonetto, G. Gentile,
Aspects of ergodic, qualitative and statistical theory of motion,
Texts and Monographs in Physics,
Springer, 2004, disponibile in
rete
6. Diario delle lezioni
Lezione 1 (01/03/2010)
Richiami di meccanica analitica I. Hamiltoniane ed equazioni di Hamilton;
teorema di Liouville, teorema del ritorno di Poincaré, esperimento
di Maxwell ([1], Cap. 16, § 65). Matrici simplettiche; trasformazioni canoniche,
trasformazioni simplettiche, trasformazioni che conservano la struttura canonica delle equazioni
([1], Cap. 17,§ 67).
Lezione 2 (01/03/2010)
Richiami di meccanica analitica II.
Parentesi di Poisson ([1], Cap. 17, §68).
Forma differenziale di Poincaré-Cartan ([1], Cap. 17, §69).
Funzioni generatrici di seconda specie, differenziale a tempo bloccato,
condizione di Lie ([1], Cap. 17, §70).
Lezione 3 (08/03/2010)
Richiami di meccanica analitica III. Equazione di Hamilton-Jacobi
([1], Cap. 18, §71). Variabili azione-angolo ([1], Cap. 18, §72).
Lezione 4 (08/03/2010)
Teorema di Arnold-Liouville: enunciato e inizio della dimostrazione
([1], Cap. 18, §73).
Lezione 5 (15/03/2010)
Teorema di Arnold-Liouville: conclusione della dimostrazione
([1], Cap. 18, §73).
Lezione 6 (15/03/2010)
Perturbazioni di sistemi integrabili. Ricerca delle
soluzioni nella forma di serie di potenze nel caso
di sistemi Hamiltoniani analitici ([2], §3).
Lezione 7 (22/03/2010)
Equazione omologica; teoria perturbativa a tutti gli ordini;
teoria perturbativa risonante ([2], §3).
Lezione 8 (22/03/2010)
Caso unidimensionale; perturbazione di oscillatori armonici;
vettori diofantei; discussione di perturbazioni che
siano polinomi triogonometrici di grado qualsiasi
([2], §3,4).
Lezione 9 (29/03/2010)
Stime perturbative al primo ordine ([2], §3).
Stime per sistemi isocroni perturbati: teoria
perturbativa a tutti gli ordini ([2], §4).
Lezione 10 (29/03/2010)
Divergenza delle serie di Birkhoff: esempi ([2], §4).
Teoremi di trivialità di Poincaré ([2], §5).
Lezione 11 (09/04/2010)
Teorema di Nekhorošev per sistemi isocroni ([2], §6).
Lezione 12 (09/04/2010)
Teorema di Nekhorošev per sistemi convessi ([2], §6).
Lezione 13 (19/04/2010)
Teorema KAM; enunciato; parametri dell'hamiltoniana iniziale;
separazione della perturbazione in un polinomio trigonometrico
e un resto; controllo dei piccoli divisori ([2], §8).
Lezione 14 (19/04/2010)
Primo passo iterativo: trasformazione canonica, traslazione e riscalamento
delle azioni; nuovi valori dei parametri dell'hamiltoniana finale ([2], §8).
Lezione 15 (26/04/2010)
Passo iterativo generale: conclusione della dimostrazione del teorema KAM ([2], §8).
Lezione 16 (26/04/2010)
Sistemi hamiltoniani quasi-integrabili e ricerca di soluzioni quasi-periodiche
analitiche nel parametro perturbativo; teoria perturbativa a tutti gli ordini
(serie di Lindstedt) e condizioni di compatibilità; formalismo grafici,
alberi ed espansione in alberi dei coefficienti della serie perturbativa ([3], §2,3,4).
Lezione 17 (03/05/2010)
Dimostrazione che la serie perturbativa è ben definita a tutti gli ordini;
conteggio degli alberi; stime dei coefficienti ([3], §5).
Lezione 18 (03/05/2010)
Problemi di convergenza; esempi di alberi che ammettono stime con fattoriali;
analisi multiscala: ammassi e risonanze ([3], §5).
Lezione 19 (03/05/2010)
Lemma di Bryuno sul numero di linee non risonanti; cancellazioni ([3], §6, App. A).
Dimostrazione della convergenza delle serie perturbative: idee di base e
strategia generale ([3], §7).
Lezione 20 (03/05/2010)
Dimostrazione della convergenza della serie perturbativa:
discussione di aspetti tecnici, analisi multiscala con funzioni
regolari a supporto compatto ([3], §6,7).
Lezione 21 (10/05/2010)
Definizione di sistema dinamico discreto e continuo (flusso);
esempi: flusso hamiltoniano, applicazione standard, gatto di Arnold,
applicazioni espansive dell'intervallo; richiami di base di teoria della misura;
isomorfismi di sistemi dinamici ([4], Cap. 1, §1.2,1,3).
Lezione 22 (10/05/2010)
Esempi di applicazioni discrete non interpolabili con flussi:
gatto di Arnold e applicazione standard ([4], Cap. 1, esercizio 1.2.9;
Cap. 9, esercizio 9.3.1). Partizioni: partizioni di Borel,
topologiche e analiticamente regolari; moti simolici e storie;
spazio delle storie e traslazione; partizioni separanti e applicazioni
espansive rispetto a una partizione ([4], Cap. 1, §1.4, esercizio 1.4.5).
Lezione 23 (17/05/2010)
Codici simbolici e frequenze di visita; storie con frequenze definite
([4], Cap. 1, §1.4).
Sistemi hamiltoniani integrabili: rotazioni sul toro ed esistenza
delle frequenze di visita ([4], Cap. 2, §2.1).
Lezione 24 (17/05/2010)
Storie ergodiche e mescolanti; enunciato del teorema di Birkhoff;
sistemi dinamici ergodici e mescolanti ([4], Cap. 2, §2.2).
Lezione 25 (24/05/2010)
Dimostrazione del teorema di Birkhoff ([4], Cap. 2, App. 2.2).
Misure di probabilità: insieme delle misure invarianti, ergodiche
e mescolanti ([4], Cap. 2, §2.2).
Distribuzioni stazionarie, ergodiche, mescolanti;
relazione tra insiemi di misure e insiemi di distribuzioni
([4], Cap. 2, §2.2,2.3).
Lezione 26 (24/05/2010)
Enunciato del teorema di decomposizione ergodica
([4], Cap. 2, §2.4).
Matrice di compatibilità, pavimenti e pavimenti di Markov
([4], Cap. 4, §4.1).
Lezione 27 (24/05/2010)
Sistemi di Anosov o sistemi iperbolici regolari: definizione e proprietà;
esempio del gatto di Arnold; rettangoli ([4], Cap. 4, §4.2).
Inizio della dimostrazione dell'esistenza di pavimenti di Markov
per sistemi iperbolici nel caso d=2 ([4], Cap. 4, §4.2).
Lezione 28 (31/05/2010)
Conclusione della dimostrazione dell'esistenza di pavimenti di Markov
per sistemi iperbolici nel caso d=2 ([4], Cap. 4, §4.2).
Lezione 29 (31/05/2010)
Probabilità condizionate; coefficienti di contrazione ed espansione;
potenziali di contrazione ed espansione; codice simbolico per la misura
di volume ([4], Cap. 4, §4.3).
Lezione 30 (31/05/2010)
Perturbazioni di sistemi iperbolici e stabilità strutturale:
espansione in alberi e analiticità della coniugazione
nel caos del gatto di Arnold ([4], Cap. 10, §10.1).
Lezione 31 (08/06/2010)
Costruzione delle varietà stabile e instabile nel caso
del gatto di Arnold ([4], Cap. 10, §10.3).
Lezione 32 (08/06/2010)
Spazio dei potenziali; stati di Gibbs; equazioni DLR; esistenza
degli stati di Gibbs (solo enunciato); condizioni di unicità degli stati di
Gibbs (solo enunciato); stati di Gibbs su Z e su Z+;
relazioni tra stati di Gibbs su Z e stati di Gibbs su Z+
([4], Cap. 5, §5.1, 5.2, 5.3).
Lezione 33 (08/06/2010)
Proprietà variazionali degli stati di Gibbs: pressione di un potenziale;
piano tangente; principio variazionale ([4], Cap. 6, §6.1).
Misura SRB: definizione ed esistenza per sistemi iperbolici;
formula di Pesin; codice simbolico per la misura SRB ([4], Cap. 6, §6.2, 6.3).
