Universitą
degli studi
Roma Tre
Anno Accademico 2010/2011


Dipartimento di Matematica


FM210 - Fisica Matematica 1 (Equazioni differenziali ordinarie)
Docenti: Guido Gentile e Livia Corsi
Tutorato: Roberto Feola


1. Caratteristiche del corso

1.1. Contenuto del corso
Equazioni differenziali lineari e non lineari. Stabilità secondo Lyapunov. Insiemi limite. Sistemi gradiente. Sistemi planari e sistemi meccanici unidimensionali. Sistemi meccanici conservativi a più gradi di libertà: moti centrali, problema dei due corpi. Cambiamento di sistemi di riferimento. Forze apparenti. Vincoli. Sistemi rigidi.
I Semestre - Crediti: 9 b

1.2. Testi consigliati
Il corso si basa sul testo Introduzione ai sistemi dinamici. 1. Equazioni differenziali, analisi qualitativa e alcune applicazioni, dove sono proposti anche altri riferimenti bibliografici.

1.3. Modalità degli esami
L'esame consiste in una prova scritta (eventualmente sostituita dagli esoneri durante lo svolgimento del corso) e una prova orale.

2. Orario

Le lezioni si svolgono Martedì e Giovedì alle ore 09.00 - 11.00 in aula G, le esercitazioni Giovedì alle ore 14.00 - 16.00 in aula 009. (Data d'inizio del corso: Martedì 28 Settembre 2010).
L'orario di ricevimento si può trovare sulla pagina docenti del dipartimento.

3. Prove d'esonero

Prima prova d'esonero: Giovedì 4 novembre 2010 - ore 9.00 - aula F. Testo della prova.
Seconda prova d'esonero: Mercoledì 5 gennaio 2011 - ore 9.00 - aula 009. Testo della prova. Risultati della prova.

4. Prove d'esame

Prima prova d'esame: Lunedì 10 gennaio 2011 - ore 9.00 - aula G. Testo della prova. (Prova orale: Giovedì 13 gennaio 2011 - ore 10.00; Lunedì 17 gennaio 2011 - ore 10.00).
Seconda prova d'esame: Martedì 15 febbraio 2011 - ore 9.00 - aula G. Testo della prova. (Prova orale: Venerdì 18 febbraio 2011 - ore 10.00).
Terza prova d'esame: Giovedì 9 giugno 2011 - ore 9.00 - aula F. Testo della prova. (Prova orale: Giovedì 23 giugno 2011 - ore 10.00).
Quarta prova d'esame: Martedì 13 settembre 2011 - ore 9.00 - aula G. (Prova orale: Mercoledì 21 settembre 2011 - ore 10.00).

5. Raccolta d'esercizi

Una raccolta di testi e (a volte) soluzioni di prove d'esonero e d'esame si può trovare qui.

6. Tutorato

Le lezioni di tutorato si svolgono Lunedì alle ore 14.00 - 16.00 in aula 009. (Ultima lezione di tutorato: Martedì 4 Gennaio 2011 alle ore 11.00 - 13.00 in aula G).
I testi e le soluzioni degli esercizi svolti durante le lezioni di tutorato si possono trovare qui.

7. Calendario d'esami

Le date si possono trovare sulla pagina del calendario d'esami (I semestre A.A. 2010/2011).

8. Programma d'esame

1. Equazioni differenziali ordinarie: teoria generale
Definizione di sistema dinamico. Sistemi dinamici ed equazioni differenziali ordinarie. Traiettorie e orbite. Flusso di un sistema dinamico. Funzioni lipschitziane e funzioni di classe C1. Sistemi autonomi e non autonomi. Problema di Cauchy. Teorema di esistenza (solo enunciato) e unicità locale per sistemi dinamici di classe C1. Esempi e controesempi. Lemma di Gronwall. Teorema della dipendenza continua dai dati iniziali. Prolungamento di una soluzione e soluzione massimale. Teorema del prolungamento della soluzione e sue implicazioni. Teorema della dipendenza differenziabile dai dati iniziali (solo enunciato). Equazioni a variabili separabili.

2. Operatori lineari
Spazi vettoriali e operatori lineari: richiami. Norma uniforme e sue proprietà. Cambiamenti di base. Somma diretta. Spettro di un operatore lineare. Operatori lineari diagonalizzabili e non diagonalizzabili. Operatori lineari semisemplici e operatori lineari nilpotenti. Autospazi generalizzati. Teorema di decomposizione primaria (solo enunciato). Decomposizione di un operatore lineare nella somma diretta di un operatore semisemplice e di uno nilpotente. Esponenziale di un operatore lineare: definizioni e proprietà.

3. Equazioni differenziali lineari
Sistemi di equazioni differenziali lineari del primo ordine a coefficienti costanti omogenee. Teorema di esistenza e unicità globale della soluzione. Equazioni differenziali lineari di ordine qualsiasi a coefficienti costanti. Ricerca delle soluzioni nella forma di polinomi pesati con fattori esponenziali. Sistemi planari lineari: analisi qualitativa del moto. Oscillatore armonico. Sistemi di equazioni differenziali lineari non omogenee. Metodo di variazione delle costanti. Oscillatore armonico smorzato forzato (con forzante periodica). Risonanza.

4. Analisi qualitativa del moto: teoria generale
Stabilità secondo Ljapunov. Punti di equilibrio stabile, asintoticamente stabile, attrattivo e instabile. Bacino d'attrazione. Insiemi limite. Sistemi dinamici linearizzati. Stabilità di un punto d'equilibrio nel caso in cui la matrice corrispondente al sistema linearizzato abbia tutti gli autovalori con parte reale strettamente negativa. Instabilità di un punto d'equilibrio nel caso in cui la matrice corrispondente al sistema linearizzato abbia almeno un autovalore con parte reale strettamente positiva (solo enunciato). Teorema di stabilità di Ljapunov. Teorema di stabilità di Barbašin-Krasovskij. Pendolo semplice con e senza attrito. Sistemi meccanici conservativi. Teorema di Dirichlet sulla stabilità dei sistemi meccanici conservativi. Cicli limite. Traiettorie periodiche. Comportamento di un sistema dinamico lontano dai punti d'equilibrio: teorema della scatola di flusso.

5. Alcuni esempi di analisi qualitativa del moto
Sistemi planari. Teorema di Poincaré-Bendixson (solo enunciato) e sue applicazioni. Sistemi che ammettono una costante del moto: curve di livello e studio qualitativo delle traiettorie. Soluzioni periodiche e soluzioni asintotiche: traiettorie omocline ed eterocline. Sistemi predatore-preda ed equazioni di Lotka-Volterra: leggi di Volterra. Sistemi gradiente: proprietà e analisi qualitativa.

6. Analisi qualitativa per sistemi unidimensionali
Sistemi meccanici conservativi: conservazione dell'energia e curve di livello. Studio dell'energia potenziale. Orbite chiuse e traiettorie periodiche. Moti asintotici. Stabilità dei punti d'equilibrio e punti critici del potenziale. Tempi di percorrenza delle orbite, periodi come integrali definiti e stime di periodi.

7. Moti centrali
Forze centrali. Problema dei due corpi. Moti centrali. Gradiente in coordinate polari e in coordinate sferiche. Conservatività delle forze centrali. Conservazione del momento angolare per le forze centrali. Moto radiale e moto angolare. Condizioni di periodicità del moto. Teorema di Bertrand (solo enunciato). Campo centrale armonico e campo centrale coulombiano: equazioni delle orbite. Velocità areolare. Leggi di Keplero.

8. Moti relativi
Moto in un sistema di coordinate mobili. Cambiamento di sistemi di riferimento. Trasformazioni rigide, traslazioni e rotazioni. Velocità angolare. Forze d'inerzia: forza inerziale di traslazione, forza inerziale di rotazione, forza centrifuga e forza di Coriolis. Teorema di Coriolis. Esempi e applicazioni.

9. Vincoli
Vincoli. Vincoli onolomi bilateri. Vincolari regolari e indipendenti. Superficie di vincolo. Forze vincolari. Traiettorie virtuali. Principio di d'Alembert.

10. Sistemi rigidi
Sistemi rigidi. Spazio delle configurazioni dei sistemi rigidi. Caratteristiche cinematiche dei sistemi rigidi: energia cinetica e momento angolare. Applicazione del principio di d'Alembert ai sistemi rigidi: equazioni cardinali della dinamica. Teorema di König. Momenti d'inerzia. Operatore d'inerzia: assi d'inerzia e momenti principali d'inerzia. Teorema di Huygens-Steiner. Calcolo dei momenti principali d'inerzia in alcuni sistemi semplici, quali: sbarra, disco, anello, cilindro, sfera, cono, lastra. Equazioni di Eulero: analisi qualitativa del moto.

9. Diario delle lezioni

Lezione 1 (28/09/2010)
Introduzione al corso. Richiami sugli operatori lineari: definizioni, cambiamenti di base, sottospazi invarianti, somma diretta di spazi vettoriali e di operatori lineari, operatori diagonalizzabili, norma uniforme, commutatore di operatori lineari, spettro di un operatore lineare, polinomio caratteristico (Cap. 1, §1).
Lezione 2 (28/09/2010)
Complessificazione di uno spazio vettoriale e di un operatore lineare (Cap. 1, §1). Esponenziale di un operatore lineare: definizione (Cap. 1, §2).
Lezione 3 (30/09/2010)
Esponenziale di un operatore lineare: proprietà (Cap. 1, §2). Sistemi di equazioni differenziali lineari del primo ordine: costruzione esplicita della soluzione e dimostrazione della sua esistenza globale e unicità (Cap. 2, §5).
Lezione 4 (30/09/2010)
Operatori semisemplici e nilpotenti (Cap. 1, §1). Autospazi generalizzati; teorema di decomposizione primaria (solo enunciato) e teorema 3.14 sulla decomposizione unica di un operatore lineare su uno spazio vettoriale complesso nella somma di un operatore diagonale e uno nilpotente che commutano (Cap. 1, §3).
Lezione 5 (05/10/2010)
Teorema 3.19 sulla decomposizione unica di un operatore lineare su uno spazio vettoriale reale nella somma di un operatore semisemplice e uno nilpotente che commutano (Cap. 1, §3). Ricerca della soluzione come combinazione lineare di esponenziali con coefficienti polinomiali nel tempo (Cap. 2, §7).
Lezione 6 (05/10/2010)
Discussione dell'esempio 7.4 del Cap. 2. Sistemi lineari planari: matrici diagonalizzabili con autovalori coincidenti (Cap. 2, §6).
Lezione 7 (07/10/2010)
Sistemi lineari planari: matrici diagonalizzabili con autovalori distinti, matrici semisemplici con autovalori complessi, matrici non diagonalizzabili (Cap. 2, §6). Nodi propri e impropri, sorgenti e pozzi, punti di sella, centri e moti a spirale (Cap. 2, §6).
Lezione 8 (07/10/2010)
Equazioni differenziali lineari di ordine qualsiasi: legame con i sistemi lineari del primo ordine e polinomio caratteristico (Cap. 2, §8). Caso dell'oscillatore armonico (Osservazione 8.10 del Cap. 2). Sistemi di equazioni differenziali lineari non omogenei: metodo di variazione delle costanti e ricerca della soluzione come somma di una soluzione particolare e della soluzione generale del sistema omogeneo associato (Cap. 2, §9).
Lezione 9 (12/10/2010)
Definizioni: sistemi dinamici ed equazioni differenziali ordinarie; sistemi autonomi; traiettorie, orbite, flussi; funzioni lipschitziane; problema di Cauchy; enunciato del teorema di esistenza e unicità (Cap. 3, §10). Esempio 10.42 del Cap. 3 (campo vettoriale non lipschitziano). Definizioni: prolungamento di una soluzione e soluzione massimale (Cap. 3, §12). Esempio 12.2 del Cap. 3.
Lezione 10 (12/10/2010)
Lemma di Gronwall, dimostrazione del teorema di unicità (Cap. 3, §11). Regolarità della soluzione nel tempo (Cap. 3, §10). Teorema della dipendenza continua dai dati iniziali; enunciato del teorema della dipendenza differenziabile dai dati iniziali (Cap. 3, §11). Teorema del prolungamento e sua applicazione al teorema della dipendenza contnua dai dati iniziali (Cap. 3, §12).
Lezione 11 (19/10/2010)
Sistemi non autonomi; sistemi non autonomi in Rn visti come sistemi autonomi in Rn+1; equazioni a variabili separabili (Cap. 3, §13). Punti d'equilibrio e stabilitą secondo Ljapunov: punti d'equilibrio stabile, punti d'equilibrio instabile, punti attrattivi, punti d'equilibrio asintoticamente stabile; esempi e controesempi (Cap. 4, §16). Osservazione 16.6 del Cap. 4: esempio di punto d'equilibrio attrattivo ma non stabile.
Lezione 12 (19/10/2010)
Insiemi ω-limite e α-limite: definizione; esempi: punto d'equilibrio asintoticamente stabile e ciclo limite, esempio di sistema che ammette un ciclo limite (Cap. 4, §16). Proprietà degli insiemi ω-limite (Cap. 4, §16.9). Dimostrazione delle proprietà 2 e 4 (Cap. 4, §16) Osservazione 16.23 del Cap. 4 come esempio di insieme ω-limite illimitato non connesso. Linearizzazione e sistema lineare associato (Cap. 4, §17). Caso di tutti gli autovalori con parte reale negativa, enunciato del Teorema 17.9 (Cap. 4, §17). Caso di un autovalore con parte reale positiva, enunciato del Teorema 17.13 (Cap. 4, §17).
Lezione 13 (21/10/2010)
Controesempio dell'osservazione 17.16 del Cap. 4. Sistemi meccanici conservativi (Cap. 4, §16). Enunciato del teorema di Ljapunov; funzione di Ljapunov; enunciato e dimostrazione del teorema di Dirichlet (Cap. 4, §18). Applicazione al caso di sistemi unidimensionali con energia potenziale quartica.
Lezione 14 (21/10/2010)
Sistemi con costante del moto, curve di livello e analisi qualitativa (Cap. 5, §20). Teorema 20.32 del Cap. 5 sull'assenza di punti d'equilibrio asintoticamente stabile e di cicli limite in sistemi con costante del moto che non sia nulla su alcun aperto. Enunciato del teorema di Barbašin-Krasovskij (Cap. 4, §18). Analisi qualitativa di un sistema unidimensionale con energia potenziale quartica e applicazione del teorema di Barbašin-Krasovskij al caso con attrito.
Lezione 15 (26/10/2010)
Dimostrazione della proprietà 5 degli insiemi ω-limite (Cap. 4, §16) Lemma 18.8 e lemma 18.10 del Cap. 4 (entrambi senza dimostrazione).
Lezione 16 (26/10/2010)
Dimostrazione del teorema di Ljapunov (Cap. 4, §18). Dimostrazione del teorema di Barbašin-Krasovskij (Cap. 4, §18). Lemma 18.2 del Cap. 4: se K è un insieme compatto positivamente invariante allora Lω(x) ≠ ∅ ∀ xK. Lemma 18.12 del Cap. 4.
Lezione 17 (28/10/2010)
Lemma 18.15 del Cap. 4. Teorema di Poincaré-Bendixson (solo enunciato). Applicazioni del teorema di Poincaré-Bendixson: teorema 20.25, teorema 20.27 e teorema 20.30 del Cap. 5.
Lezione 18 (28/10/2010)
Teorema 20.36 del Cap. 5 sulla determinazione di traiettorie periodiche in sistemi con costante del moto che non sia nulla su alcun aperto. Lemma 17.3 del Cap. 4. Lemma 17.7 del Cap. 4 (dimostrazione nel caso di operatori diagonalizzabili). Dimostrazione del teorema 17.9 del Cap. 4.
Lezione 19 (09/11/2010)
Sistemi gradiente: definizioni e proprietą (Cap. 5, §21). Confronto tra sistemi gradiente e sistemi che ammettono costanti del moto (inclusi i sistemi meccanici conservativi).
Lezione 20 (09/11/2010)
Esercizio 1 del Cap. 5. Teorema 21.9 del Capitolo 5: gli insieme ω-limite dei sistemi gradiente sono costituiti solo da punti d'equilibrio.
Lezione 21 (11/11/2010)
Equazioni di Lotka-Volterra: modello predatore-preda, studio qualitativo delle equazioni, stabilità dei punti d'equilibrio, costante del moto, traiettorie periodiche (Cap. 5, §22).
Lezione 22 (11/11/2010)
Equazioni di Lotka-Volterra: leggi di Volterra (Cap. 5, §22). Teorema della scatola di flusso: enunciato e inizio della dimostrazione (Cap. 4, §19).
Lezione 23 (16/11/2010)
Teorema della scatola di flusso: fine della dimostrazione (Cap. 4, §19).
Lezione 24 (16/11/2010)
Sistemi a un grado di libertà: conservazione dell'energia, punti d'equilibrio; curve di livello (Cap. 6, §25,26). Teorema 26.9: soluzioni definite globalmente nel tempo per sistemi con energia potenziale limitata inferiormente (Cap. 6, §26). Studio qualitativo a partire dal grafico dell'energia potenziale: curve di livello in corrispondenza di punti d'inversione, punti di flesso e punti di minimo (Cap. 6, §27).
Lezione 25 (18/11/2010)
Studio qualitativo a partire dal grafico dell'energia potenziale: curve di livello in corrispondenza di punti di massimo (Cap. 6, §27). Traiettorie omocline ed eterocline (Cap. 6, §27).
Lezione 26 (18/11/2010)
Tempi di percorrenza e periodi come integrali definiti (Cap. 6, §28). Stime di periodi per soluzioni periodiche di sistemi unidimensionali (Cap. 6, §29). Esempio 29.4 del Cap. 6.
Lezione 27 (23/11/2010)
Problema dei due corpi e forze centrali (Cap. 7, §30). Gradiente in coordinate sferiche (Cap. 7, §30 ed esercizi 1 e 3). Lemma 30.6: una forza centrale è conservativa.
Lezione 28 (23/11/2010)
Richiami sul prodotto vettoriale in R3; richiami sul momento angolare; conservazione del momento angolare e sue conseguenze; moti unidimensionali nel caso di momento angolare nullo; moti planari nel caso di momento angolare non nullo: conservazione dell'energia, studio del moto della variabile radiale come moto unidimensionale; energia potenziale efficace (Cap. 7, §30).
Lezione 29 (25/11/2010)
Moti complessivamente periodici in campi centrali: condizioni sull'incremento della variabile angolare in un periodo della variabile angolare (Cap. 7, §30). Enunciato del teorema di Bertrand (Cap. 7, §32).
Lezione 30 (25/11/2010)
Discussione esplicita del campo centrale armonico (Cap. 7, §31). Discussione esplicita del campo centrale gravitazionale: inizio (Cap. 7, §31).
Lezione 31 (30/11/2010)
Discussione esplicita del campo centrale gravitazionale: conclusione (Cap. 7, §31). Velocità areolare e leggi di Keplero (Cap. 7, §31).
Lezione 32 (30/11/2010)
Trasformazioni rigide, rotazioni e traslazioni; rotazioni e matrici ortogonali; matrice di rotazione intorno a un asse (Cap. 8, §33).
Lezione 33 (02/12/2010)
Velocità angolare; velocità di trascinamento; velocità assoluta e velocità relativa; sistemi di riferimento inerziali e principio di relatività galileiana (Cap. 8, §33).
Lezione 34 (02/12/2010)
Forze apparenti: forza inerziale di rotazione, forza centrifuga, forza di Coriolis; teorema di Coriolis; applicazioni: diminuzione di peso all'equatore, pendolo di Foucault, sasso lasciato cadere in un pozzo, giostra rotante, effetto della forza di Coriolis sulle rotaie di una ferrovia, effetto della forza di Coriolis e della forza centrifuga sulle anse di un fiume (Cap. 8, §34).
Lezione 35 (07/12/2010)
Sistemi rigidi e spazio delle configurazioni dei sistemi rigidi (Cap. 9, §36). Caratteristiche cinematiche dei sistemi rigidi: quantità di moto, momento angolare ed energia cinetica (Cap. 9, §37). Operatore d'inerzia: proprietà e forma esplicita in una base qualsiasi (Cap. 10, §42).
Lezione 36 (07/12/2010)
Teorema di König (Cap. 9, §37). Operatore d'inerzia: momenti d'inerzia; assi d'inerzia; momenti principali d'inerzia; sistemi discreti e sistemi continui; sistemi con un asse di simmetria (Cap. 10, §42). Calcolo dei momenti principali d'inerzia in alcuni sistemi semplici - I parte: disco (Cap. 10, §42 ed esercizio 12).
Lezione 37 (14/12/2010)
Calcolo dei momenti principali d'inerzia in alcuni sistemi semplici - II parte: asta, anello sottile, anello spesso, sfera, lastra (Cap. 10, §42 ed esercizi 10, 11, 13, 16, 18).
Lezione 38 (14/12/2010)
Teorema di Hyugens-Steiner (Cap. 10, §42). Vincoli: definizione; vincoli autonomi, vincoli olonomi e vincoli bilateri, vincolari regolari e indipendenti, superficie di vincolo, forze vincolari (Cap. 9, §35).
Lezione 39 (16/12/2010)
Traiettorie virtuali (Cap. 9, §35). Principio di d'Alembert ed espressione delle forze vincolari in termini dei moltiplicatori di Lagrange (Cap. 9, §39). Applicazione ai sistemi rigidi: equazioni cardinali della dinamica. (Cap. 9, §40).
Lezione 40 (16/12/2010)
Sistemi unidimensionali: esercizio 2 della seconda prova d'esonero del 09-06-2004.
Lezione 41 (21/12/2010)
Equazioni di Eulero: analisi qualitativa del moto; discussione analitica nel caso di momenti principali d'inerzia uguali e nel caso di sistemi con un asse di simmetria; discussione grafica nel caso di momenti principali d'inerzia distinti; rotazioni stazionarie (Cap. 10, §44).
Lezione 42 (21/12/2010)
Calcolo dei momenti principali d'inerzia in alcuni sistemi semplici - III parte: cono (Cap. 10, §42 ed esercizio 19).

10. Diario delle esercitazioni

Esercitazione 1 (30/09/2010)
Esponenziale di matrici: il determinante dell'esponenziale è uguale all'esponenziale della traccia (esercizio 6 del tutorato 1 del 27-02-2008). Sistemi lineari: esercizio 5 del tutorato 2 del 07-03-2007.
Esercitazione 2 (30/09/2010)
Sistemi lineari: esercizio 1 della prova scritta del 08-06-2010, esercizio 1 della prova scritta del 05-07-2010.
Esercitazione 3 (07/10/2010)
Il metodo di variazione delle costanti (ved. qui ). Cenni sulle serie di Fourier.
Esercitazione 4 (07/10/2010)
Oscillatore armonico forzato smorzato: esercizi 27 e 28 del Cap. 2.
Esercitazione 5 (21/10/2010)
Il pendolo semplice (Cap. 5, §23).
Esercitazione 6 (21/10/2010)
Sistemi planari: esercizio 6 della prima prova d'esonero del 17-04-2009.
Esercitazione 7 (28/10/2010)
Sistemi planari: esercizio 6 della prima prova d'esonero del 09-04-2008.
Esercitazione 8 (28/10/2010)
Sistemi planari: esercizio 1 della prova scritta del 09-01-2009.
Esercitazione 9 (29/10/2010)
Sistemi planari: esercizio 3 del tutorato 5 del 28-03-2007.
Esercitazione 10 (29/10/2010)
Sistemi lineari: per ogni n≥2, calcolo della soluzione generale del sistema lineare x'1=x1, x'k=xk-1+xk, per k=2,...,n. Insiemi ω-limite: esercizio 3 della prima prova d'esonero del 17-04-2009.
Esercitazione 11 (11/11/2010)
Sistemi gradiente: esercizio 2 della prima prova d'esonero del 09-04-2008.
Esercitazione 12 (11/11/2010)
Sistemi gradiente: esercizio 2 della prima prova d'esonero del 17-04-2009. Sistemi planari: esercizio 3.4 della prima prova d'esonero del 04-11-2010.
Esercitazione 13 (18/11/2010)
Sistemi unidimensionali: esercizio 2 della seconda prova d'esonero del 30-05-2008.
Esercitazione 14 (18/11/2010)
Sistemi unidimensionali: esercizio 3 della seconda prova d'esonero del 04-06-2009.
Esercitazione 15 (25/11/2010)
Sistemi unidimensionali: esercizio 3 del tutorato 7 del 18-04-2007. Sistemi gradiente: esercizio 3 della prova scritta del 15-09-2008.
Esercitazione 16 (25/11/2010)
Sistemi unidimensionali: esercizio 2 della prova scritta del 25-01-2010.
Esercitazione 17 (02/12/2010)
Moti centrali: esercizio 2 del tutorato 8 del 02-05-2007.
Esercitazione 18 (02/12/2010)
Moti centrali: esercizio 5 della seconda prova d'esonero del 04-06-2007.
Esercitazione 19 (09/12/2010)
Sistemi di riferimento: esercizio 1 della seconda prova d'esonero del 04-06-2009, esercizio 2 della seconda prova d'esonero del 04-06-2007.
Esercitazione 20 (09/12/2010)
Sistemi di riferimento: esercizio 6 della prova scritta del 09-06-2008.
Esercitazione 21 (09/12/2010)
Calcolo dei momenti principali d'inerzia del cilindro (Cap. 10, §42 ed esercizio 14). Momenti d'inerzia: esercizio 6 della seconda prova d'esonero del 04-06-2009.
Esercitazione 22 (09/12/2010)
Sistemi di riferimento: esercizio 6 della prova scritta del 18-06-2008.
Esercitazione 23 (14/12/2010)
Sistemi di riferimento, sistemi planari, sistemi unidimensionali, separazione di variabili e sistemi lineari: esercizio 1 del tutorato 11 del 15-05-2008 (prime due domande, tre soluzioni per la seconda domanda).
Esercitazione 24 (14/12/2010)
Sistemi conservativi e vincoli: esercizio 5 della prova scritta 25-01-2010. Sistemi unidimensionali: esercizio 2 della prova scritta 18-06-2004.