Contenuto del corso
Meccanica lagrangiana e sistemi vincolati. Variabili cicliche.
Costanti del moto e simmetrie. Sistemi di oscillatori lineari e
piccole oscillazioni. Meccanica hamiltoniana. Flussi hamiltoniani.
Teorema di Liouville e del ritorno. Trasformazioni canoniche.
Funzioni generatrici. Metodo di Hamilton-Jacobi e variabili azione-angolo.
Introduzione alla teoria delle perturbazioni.
Modalità degli esami
L'esame consiste in un colloquio orale in cui lo studente dovrà discutere
gli argomenti di teoria trattati a lezione e la soluzione degli esercizi del testo
Introduzione ai sistemi dinamici. 2.
2. Orario
Le lezioni si svolgono Martedì e Giovedì alle ore 11.00 - 13.00 in aula 009.
(Data d'inizio del corso: Martedì 28 Settembre 2010.)
L'orario di ricevimento si può trovare sulla pagina
docenti del dipartimento.
3. Calendario d'esami
Le date si possono trovare sulla pagina del
calendario d'esami (I semestre A.A. 2010/2011).
4. Programma d'esame
1. Vincoli
Gradi di libertà e sistemi vincolati. Vincoli olonomi e anolonomi.
Vincoli indipendenti e regolari. Superficie di vincolo.
Traiettorie virtuali. Principio di d'Alembert.
Vincoli di mobilità e vincoli anolonomi integrabili.
Forze vincolari. Richiami sui sistemi rigidi e sull'operatore d'inerzia.
Equazioni cardinali della dinamica dei sistemi rigidi: traiettorie virtuali per sistemi rigidi e
applicazione del principio di d'Alembert ai sistemi rigidi.
Moto di rotolamento senza strisciamento.
Vincoli anolonomi integrabili e vincoli propriamente anolonomi.
2. Meccanica lagrangiana
Sistemi lagrangiani. Equazioni di Eulero-Lagrange. Primo principio variazionale
di Hamilton (principio di minima azione): equivalenza tra equazione di Newton ed
equazioni di Eulero-Lagrange. Problemi di esistenza e unicità per problemi
con condizioni al contorno.
Coordinate generalizzate e lagrangiana vincolata.
Formalismo lagrangiano per sistemi vincolati: equivalenza
tra equazione di Newton supplementata dal principio di d'Alembert ed equazioni di
Eulero-Lagrange per sistemi vincolati. Calcolo delle forze vincolari.
Alcuni esempi notevoli di sistemi lagrangiani: pendolo semplice, pendolo doppio
e pendolo con punto di sospensione che oscilla.
3. Studio dei sistemi lagrangiani
Sistemi indipendenti dal tempo. Energia. Configurazioni d'equilibrio:
studio della stabilità. Teorema di Dirichlet.
Energia potenziale centrifuga in sistemi rotanti.
Variabili cicliche e momenti conservati. Metodo di
Routh e lagrangiana ridotta. Applicazione al problema dei due corpi.
4. Simmetrie e costanti del moto
Gruppi a un parametro di diffeomorfismi. Trasformazioni di coordinate e loro
sollevamenti. Campi vettoriali, momenti associati ai campi vettoriali e momenti coniugati.
Gruppi di simmetrie a un parametro: teorema di Noether.
Richiami sul teorema della scatola di flusso.
Prodotto di Lie di campi vettoriali.
Commutatività di campi vettoriali e commutatività di gruppi a un parametro.
Teorema: due gruppi a un parametro commutano se solo se commutano i campi
vettoriali associati.
Teorema di Frobenius. Gruppi di simmetrie a più parametri:
teorema di Noether nel caso di gruppi di simmetrie a più parametri.
Sistemi invarianti per traslazioni e sistemi invarianti per rotazioni.
5. Teoria delle piccole oscillazioni
Linearizzazione. Lagrangiana quadratica. Piccole oscillazioni e oscillazioni proprie.
Frequenze normali ed equazione caratteristica. Pendoli identici accoppiati. Battimenti.
Pendoli accoppiati con masse e lunghezze diverse.
Piccole oscillazioni per sistemi vincolati. Relazioni tra le frequenze proprie di un sistema
lagrangiano vincolato e le frequenze del sistema senza vincoli:
teorema di Rayleigh-Courant-Fisher.
6. Meccanica hamiltoniana
Spazio delle fasi. Trasformata di Legendre. Hamiltoniana ed equazioni di Hamilton.
Secondo principio variazionale di Hamilton. Campo vettoriale hamiltoniano.
Campi a divergenza nulla. Teorema di Liouville. Teorema del ritorno di Poincaré.
7. Trasformazioni canoniche
Trasformazioni di coordinate nello spazio delle fasi. Matrici simplettiche.
Determinante delle matrici simplettiche. Trasformazioni che conservano
la struttura canonica. Trasformazioni canoniche e trasformazioni simplettiche.
Trasformazioni indipendenti e dipendenti dal tempo.
Parentesi di Poisson e loro proprietà: bilinearità, antisimmetricità
e identità di Jacobi. Parentesi di Poisson fondamentali e
integrali primi. Caratterizzazione delle trasformazioni canoniche
in termini delle parentesi di Poisson. Richiami sulle forme differenziali
e sul teorema di Stokes. Matrici antisimmetriche non singolari e direzione di rotore.
Invariante integrale di Poincaré-Cartan. Differenziale a tempo
bloccato. Condizione di Lie.
8. Funzioni generatrici e metodo di Hamilton-Jacobi
Funzioni generatrici indipendenti e dipendenti dal tempo. Funzioni generatrici di
prima e seconda specie. Funzione generatrice dell'identità.
Estensione di un cambiamento di coordinate a una trasformazione simplettica
nello spazio delle fasi. Equazione di Hamilton-Jacobi.
Integrale generale e integrale completo. Funzione principale di Hamilton.
Funzione caratteristica di Hamilton. Sistemi unidimensionali e problemi di
non località. Sistemi separabili.
9. Variabili azione-angolo
Variabili azione-angolo. Sistemi unidimensionali. Sistemi a più dimensioni:
teorema di Liouville-Arnold. Caso dei sistemi separabili.
Dimostrazione del teorema di Liouville-Arnold per sistemi separabili.
Dimostrazione del teorema di Liouville-Arnold nel caso generale.
Sistemi integrabili. Integrabilità del problema dei due corpi.
10. Cenni di teoria delle perturbazioni
Tori invarianti. Vettori diofantei. Sistemi quasi-integrabili.
Equazione di Hamilton-Jacobi e serie perturbative.
Teoria perturbativa al primo ordine ed equazione omologica.
Problemi di convergenza delle serie in dimensione qualsiasi.
Serie di Birkhoff per i sistemi isocroni. Divergenza delle serie di Birkhoff.
Teoria perturbativa al primo ordine per sistemi anisocroni.
Enunciato del teorema KAM.
5. Diario delle lezioni
Lezione 1 (28/09/2010)
Lagrangiana; spazio delle traiettorie e spazio delle deformazioni; funzionale d'azione;
punti stazionari del funzionale d'azione ed equazioni di Eulero-Lagrange;
primo principio variazionale di Hamilton; equazioni di Newton ed equazioni
di Eulero-Lagrange per sistemi meccanici conservativi (Cap. 11, §47).
Lezione 2 (28/09/2010)
Vincoli: definizione; vincoli olonomi; vincoli regolari e indipendenti, superficie di vincolo;
traiettorie virtuali (Cap. 9, §35). Principio di d'Alembert (Cap. 9, §39).
Lagrangiana per sistemi vincolati; equazioni di Newton supplementate
dal principio di d'Alembert ed equazioni di Eulero-Lagrange
per sistemi meccanici conservativi vincolati; determinazione delle forze
vincolari (Cap. 11, §49).
Lezione 3 (30/09/2010)
Alcuni esempi semplici di sistemi lagrangiani:
pendolo semplice e pendolo doppio (esercizio 6 del Cap. 11).
Pendolo con punto di sospensione che oscilla: lagrangiana ed equazioni
di Eulero-Lagrange (esercizio 7 del Cap. 11). Cenni sull'equazione di Mathieu:
diagramma di stabilità, lingue di Arnold, stabilità
del pendolo capovolto.
Lezione 4 (30/09/2010)
Vincoli anolonomi, vincoli di mobilità, moto di rotolamento
senza strisciamento, vincoli anolonomi integrabili
e vincoli propriamente anolonomi (Cap. 9, §41).
Disco che rotola senza strisciare su un piano (esempio 41.13 del Cap. 9).
Lezione 5 (05/10/2010)
Disco che rotola senza strisciare all'interno di una suferficie circolare o
cilindro che rotola senza strisciare all'interno di una suferficie cilindrica
(esempio 41.14 del Cap. 9).
Equazioni cardinali della dinamica dei sistemi rigidi:
traiettorie virtuali per sistemi rigidi e
applicazione del principio di d'Alembert ai sistemi rigidi
(Cap. 9, §40).
Lezione 6 (05/10/2010)
Energia cinetica per sistemi meccanici conservativi vincolati: lemma 53.4 del Cap. 12.
Esercizio del Cap. 12, §55: prima parte (lagrangiana ed equazioni di Eulero-Lagrange).
Lezione 7 (07/10/2010)
Richiami sul teorema di Ljapunov e sul teorema di Dirichlet;
posizioni d'equilibrio e loro stabilità (Cap. 12, §53).
Esercizio del Cap. 12, §55: seconda parte (determinazione delle
posizioni d'equilibrio e discussione della loro stabilità,
calcolo delle forze vincolari).
Lezione 8 (07/10/2010)
Sistemi di riferimento rotanti e forze apparenti nel formalismo
lagrangiano. Esercizio del Cap. 12, §55: terza e ultima parte
(piano rotante: energia potenziale centrifuga, posizioni d'equilibrio
relativo e loro stabilità, calcolo delle forze vincolari).
Variabili cicliche, momenti conservati e metodo di Routh:
teorema di Routh e sua applicazione al problema dei due corpi
(Cap. 12, §54).
Lezione 9 (12/10/2010)
Esercizio 10 del Cap. 12.
Lezione 10 (12/10/2010)
Esercizio 12 del Cap. 12.
Lezione 11 (19/10/2010)
Gruppi a un parametro di diffeomorfismi e campi vettoriali associati;
trasformazioni di coordinate e loro sollevamenti;
momenti, momenti coniugati e momenti conservati; gruppi di simmetrie (Cap. 13, §57).
Lezione 12 (19/10/2010)
Traslazioni e rotazioni (Cap. 13, §57). Teorema di Noether (Cap. 13, §57).
Prodotto di Lie di campi vettoriali e sue proprietà (Cap. 13, §58).
Lezione 13 (21/10/2010)
Commutazione di gruppi di diffeomorfismi e di campi vettoriali (Cap. 13, §58).
Teorema 58.11 del Cap. 13.
Lezione 14 (21/10/2010)
Teorema di Frobenius (Cap. 13, §58).
Prodotto di Lie dei sollevamenti di campi vettoriali (Cap. 13, §58).
Teorema di Noether nel caso di più gruppi di simmetrie (Cap. 13, §58).
Lezione 15 (26/10/2010)
Esempio di gruppi commutanti: sistemi invarianti per traslazioni (Cap. 13, §58).
Esempio di gruppi non commutanti: sistemi invarianti per rotazioni (Cap. 13, §58).
Lezione 16 (26/10/2010)
Teoria delle piccole oscillazioni: approssimazione lineare delle equazioni di Eulero-Lagrange,
forme quadratiche definite positive, equazione caratteristica per determinare
le frequenze proprie e matrice del cambiamento di base (Cap. 14, §60).
Pendoli accoppiati con masse e lunghezze uguali nell'approssimazione
delle piccole oscillazioni: frequenze proprie (Cap. 14, §61).
Lezione 17 (26/10/2010)
Pendoli accoppiati con masse e lunghezze uguali nell'approssimazione
delle piccole oscillazioni: moti in fase e in opposizione di fase (Cap. 14, §61).
Fenomeno dei battimenti (Cap. 14, §61).
Lezione 18 (26/10/2010)
Pendoli accoppiati con masse e lunghezze
diverse nell'approssimazione delle piccole oscillazioni (Cap. 14, §61).
Piccole oscillazioni per sistemi vincolati. Relazioni tra le frequenze proprie di un sistema
lagrangiano vincolato e le frequenze del sistema senza vincoli:
teorema di Rayleigh-Courant-Fisher (Cap. 14, §62).
Lezione 19 (09/11/2010)
Esercizio 9 del Cap. 14 (prima parte).
Lezione 20 (09/11/2010)
Esercizio 9 del Cap. 14 (seconda parte).
Trasformate di Legendre in R (Cap. 16, §65).
Lezione 21 (11/11/2010)
Trasformate di Legendre in Rn (Cap. 16, §65).
Hamiltoniana, equazioni di Hamilton, equazioni canoniche (Cap. 16, §65).
Campi vettoriali a divergenza nulla e trasformazioni che conservano il volume (Cap. 16, §65).
Lezione 22 (11/11/2010)
Teorema di Liouville e teorema del ritorno di Poincaré (Cap. 16, §65).
Apparente paradosso dell'esperimento di Maxwell (Cap. 16, §65).
Metodo di Routh nel formalismo hamiltoniano (Cap. 16, §65).
Lezione 23 (16/11/2010)
Secondo principio variazionale di Hamilton (Cap. 16, §66).
Matrici simplettiche: definizioni e proprietà (Cap. 17, §67).
Trasformazioni di coordinate: trasformazioni canoniche, trasformazioni simplettiche,
trasformazioni che conservano la struttura canonica delle equazioni (Cap. 17, §67).
Lezione 24 (16/11/2010)
Teoremi 67.20 (le trasformazioni canoniche conservano la struttura canonica delle equazioni) e
67.29 (una trasformazione indipendente dal tempo è simplettica se e solo se conserva
la struttura canonica delle equazioni con la stessa hamiltoniana) del Cap. 17.
Determinante di una matrice simplettica (Cap. 17, § 67).
Lezione 25 (18/11/2010)
Parentesi di Poisson: definizione e proprietà (Cap. 17, §68).
Integrali primi e parentesi di Poisson (Cap. 17, §68).
Parentesi di Posson fondamentali (Cap. 17, §68).
Teorema 68.14 del Cap. 17: criterio per determinare se una trasformazione è canonica.
Lezione 26 (18/11/2010)
Esercizi 8, 9, 28 e 35 del Cap. 17.
Lezione 27 (23/11/2010)
Richiami sulla definzione di rotore e sul lemma di Stokes in R3.
Matrici antisimmetriche non singolari; forme differenziali non singolari;
spazio delle fasi esteso, direzione di rotore, linee di rotore e tubo di rotore (Cap. 17, §69).
Forma differenziale di Poincaré-Cartan, invariante integrale di Poincaré-Cartan,
invariante integrale relativo di Poincaré-Cartan (Cap. 17, §69).
Lezione 28 (23/11/2010)
Differenziale a tempo bloccato e condizione di Lie (Cap. 17, §70).
Funzioni generatrici (Cap. 17, §70).
Procedimento di prima e seconda specie (Cap. 17, §70).
Calcolo della Hamiltoniana nelle nuove coordinate a partire dalla
funzione generatrice (Cap. 17, §70).
Lezione 29 (25/11/2010)
Procedimenti di terza e quarta specie (Cap. 17, §70).
Funzione generatice della trasformazione identità; estensione di una trasformazione
di coordinate di posizione a una trasformazione canonica tramite un procedimento di
seconda specie (Cap. 17, §70).
Esercizi 43, 44, 45 e 48 del Cap. 17.
Lezione 30 (25/11/2010)
Esercizi 29 e 38 del Cap. 17. Teorema 70.27 ed esercizio 37 del Cap. 17:
il flusso hamiltoniano definisce una trasformazione canonica.
Rivisitazione del teorema di Liouville (esercizio 41 del Cap. 17).
Lezione 31 (30/11/2010)
Equazione di Hamilton-Jacobi; funzione principale di Hamilton;
funzione caratteristica di Hamilton; sistemi unidimensionali (Cap. 18, §71)
Lezione 32 (30/11/2010)
Sistemi separabili e separazione di variabili (Cap. 18, §71).
Variabili azione-angolo; enunciato del teorema di Arnold-Liouville;
teorema di Arnold-Liouville nel caso semplice di sistemi separabili
(Cap. 18, §72).
Lezione 33 (02/12/2010)
Inizio della dimostrazione del teorema di Arnold-Liouville nel caso generale (Cap. 18, §73).
Lezione 34 (02/12/2010)
Continuazione della dimostrazione del teorema di Arnold-Liouville nel caso generale (Cap. 18, §73).
Lezione 35 (07/12/2010)
Conclusione della dimostrazione del teorema di Arnold-Liouville nel caso generale (Cap. 18, §73).
Lezione 36 (07/12/2010)
Hamiltoniana in variabili azione-angolo per sistemi unidimensionali con energia potenziale
V(q)=q2n (esercizio 16 del Cap. 18).
Variabile azione-angolo per l'oscillatore armonico (Cap. 19, §75).
Esercizio del Cap. 18, §74: inizio.
Lezione 37 (14/12/2010)
Esercizio del Cap. 18, §74: conclusione.
Integrabilità del problema dei due corpi e calcolo dei corrispondenti periodi
(esercizio 27 del Cap. 18).
Lezione 38 (14/12/2010)
Variabili azione-angolo per il problema dei due corpi
(esercizio 30 del Cap. 18).
Introduzione alla teoria delle perturbazioni (Cap. 19, §76).
Lezione 39 (16/12/2010)
Teoria perturbativa al primo ordine ed equazione omologica;
sistemi isocroni e sistemi anisocroni;
condizione di non risonanza e vettori diofantei (Cap. 19, §76).
Lezione 40 (16/12/2010)
Teoria perturbativa a tutti gli ordini: problemi di definizione;
perturbazioni di sistemi isocroni: serie di Birkhoff (Cap. 19, §77).
Divergenza delle serie di Birkhoff (Cap. 19, §77 ed esercizi 5 e 7).
Lezione 41 (21/12/2010)
Stime dei coefficienti della serie di Birkhoff;
teorema di Nekhorošev per perturbazioni di sistemi isocroni
(Cap. 19, §77).
Lezione 42 (21/12/2010)
Sistemi anisocroni: problemi di definizioni delle serie perturbative;
sistemi quasi-integrabili; cenni sul teorema KAM:
enunciato e implicazioni (Cap. 19, §77).
