MAT1
(Corso di Laurea in Scienze Geologiche) Docenti: Guido Gentile e Francesco Davì
1. Caratteristiche del corso
1.1. Contenuto del corso
Numeri. Funzioni reali di variabile reale.
Limiti di funzioni. Funzioni continue. Derivate.
Studio del grafico di una funzione. Integrali.
Vettori. Matrici.
I Semestre -
Crediti: 9
1.2. Testi consigliati
Il corso si basa sul testo
"Calcolo differenziale e integrale Vol.1" di Nikolaj S. Piskunov
(Editori Riuniti, Roma, 1988).
Uno schema delle lezioni si può trovare
qui: gli argomenti
del diario delle lezioni si riferiscono ai paragrafi di tale schema.
1.3. Modalità degli esami
L'esame consiste in una prova scritta (eventualmente sostituita dagli esoneri
durante lo svolgimento del corso) e una prova orale.
2. Orario e ricevimento
2.1. Orario
Le lezioni si svolgono Lunedì alle ore 10.15 - 11.45,
Martedì alle ore 9.15 - 10.00 e
Giovedì alle ore 10.15 - 11.45 in aula E.
Le esercitazioni Martedì alle ore 12.00 - 13.30 (Turno A)
e Venerdì alle ore 8.30 - 10.00 (Turno B) in aula E.
(Data d'inizio del corso: Lunedì 1 Ottobre 2012).
Nel periodo 7 - 18 Gennaio l'orario delle lezioni è il seguente:
• Esercitazioni (Turno A): Giovedì 17 Gennaio ore 10.15 - 11.45
e Venerdì 18 Gennaio ore 9.15 - 11.00.
• Esercitazioni (Turno B): Martedì 8 Gennaio ore 12.00 - 13.30
e Venerdì 11 Gennaio ore 8.30 - 10.00.
2.2. Ricevimento
L'orario di ricevimento si può trovare sulla pagina
docenti del dipartimento.
Il ricevimento del Dott. Francesco Davì è il Venerdì
dalle 10.00 alle 13.00 in Aula E
(per richiedere un diverso appuntamento scrivere a: davi@di.uniroma1.it).
3. Prove d'esonero
Prima prova d'esonero: Sabato 24 Novembre 2012 - ore 10.00 - Aula F
(dalla lettera A alla lettera L) e Aula G (dalla lettera M alla lettera Z).
Testo del compito.
Risultati.
Seconda prova d'esonero: Martedì 22 Gennaio 2013 - ore 10.00 - Aula E.
Testo del compito.
Risultati.
[Orale: si vedano le date degli orali del primo appello delle prove d'esame.]
4. Prove d'esame
Prova d'esame - primo appello: 31 Gennaio 2013 - ore 10.00 - Aula G.
Testo del compito.
Risultati.
Orale: 04 Febbraio 2013 - ore 10.00 - Stanza 305.
Prova d'esame - secondo appello: 21 Febbraio 2013 - ore 10.00 - Aula E.
Testo del compito.
Risultati.
Orale: 25 Febbraio 2013 - ore 10.00 - Stanza 305.
Prova d'esame - terzo appello: 16 Aprile 2013 - ore 10.00 - Aula E.
Testo del compito.
Risultati.
Orale: 19 Aprile 2013 - ore 10.00 - Stanza 305.
Prova d'esame - quarto appello: 24 Giugno 2013 - ore 10.00 - Aula E.
Testo del compito.
Risultati.
Orale: 27 Giugno 2013 - ore 10.00 - Stanza 305.
Prova d'esame - quinto appello: 18 Luglio 2013 - ore 10.00 - Aula E.
Testo del compito.
Risultati.
Prova d'esame - sesto appello: 13 Settembre 2013 - ore 10.00 - Aula E.
Testo del compito.
Risultati.
Orale: 17 Settembre 2013 - ore 10.30 - Stanza 305.
Prova d'esame - settimo appello: 5 Novembre 2013 - ore 14.00 - Aula E.
Testo del compito.
Risultati.
Orale: 11 Novembre 2013 - ore 16.00 - Stanza 305.
5. Programma d'esame
1. I numeri reali
Cenni sui numeri naturali, interi e razionali.
Fattoriale e formula del binomio.
Definizione assiomatica dei numeri reali.
Cenni sull'assioma di Dedekind.
Cenni sui numeri complessi.
Sottoinsiemi e intervalli dell'asse reale.
2. Funzioni reali di variabile reale
Piano cartesiano. Estremo inferiore ed estremo superiore.
Modulo di un numero reale. Funzioni reali di variabile reale.
Dominio e codominio di una funzione.
Funzioni elementari principali: potenze,
funzioni trigonometriche, esponenziali e logaritmi.
Equazioni e disequazioni di primo e secondo grado.
Grafico di una funzione: definizione, rette, parabole.
Grafici delle funzioni elementari principali.
Funzioni pari e funzioni dispari.
Traslazioni di grafici e loro significato.
Funzioni composte.
Funzioni inverse.
Funzioni trigonometriche inverse.
Funzioni elementari.
3. Limiti
Funzione distanza. Definizione di limite di una funzione.
Limite finito e limite infinito.
Limite destro e limite sinistro. Funzioni limitate.
Proprietà dei limiti: limite della somma, limite del prodotto,
limite del rapporto.
Teoremi sui limiti: teorema del confronto
e teorema della permanenza del segno.
Definizione del numero di Nepero come limite.
4. Funzioni continue
Definizione di funzione continua.
Proprietà delle funzioni continue.
Funzioni discontinue.
Minimi e massimi assoluti di funzioni continue.
Enunciato del teorema di Weierstrass.
Teoremi sulle funzioni continue:
teorema della permamenza del segno e
teorema dell'esistenza degli zeri.
5. Funzioni derivabili
Rapporto incrementale. Definizione di derivata.
Funzioni derivabili. Significato geometrico della derivata.
Regole di derivazione.
Derivata di una funzione composta. Derivata della funzione inversa.
Derivate di ordine qualsiasi. Funzioni di classe Cn.
Teoremi sulle funzioni derivabili: teoremi di Rolle, di Lagrange e di Cauchy.
Forme indeterminate. Teoremi di de l'Hôpital.
6. Studio del grafico di una funzione
Funzioni crescenti e decrescenti.
Punti stazionari, assimi e minimi relativi, punti estremali
e punti di flesso orizzontale.
Funzioni convesse e concave.
Legame tra la concavità e il segno della derivata seconda.
Punti di flesso obliquo.
Studio dei massimi e minimi di una funzione continua.
Asintoti verticali, orizzontali e obliqui.
Schema per lo studio del grafico di una funzione.
7. Vettori nel piano
Vettori nel piano. Equazioni parameriche
ed equazione cartesiana di una retta nel piano:
equazione di una retta
passante per due punti ed equazione di una retta passante
per un punto e con direzione assegnata.
Vettori linearmente indipendenti. Prodotto scalare.
Proiezione di un vettore lungo una direzione assegnata.
Distanza di un punto da una retta.
8. Vettori nello spazio
Vettori nello spazio. Equazioni parameriche
ed equazione cartesiana di una retta nello spazio:
equazione di una retta
passante per due punti ed equazione di una retta passante
per un punto e con direzione assegnata.
Vettori linearmente indipendenti. Prodotto scalare.
Prodotto vettoriale.
Area del parallelogramma individuato
da due veittori. Distanza di un punto da un piano.
9. Matrici e sistemi di equazioni lineari
Matrici. Matrici quadrate. Somma di matrici.
Prodotto di una matrice per un numero reale.
Determinante di una matrice quadrata.
Prodotto di matrici. Prodotto a destra e prodotto a sinistra.
Potenza intera di una matrice quadrata.
Matrice trasposta. Matrice inversa. Matrici simmetriche.
Sistemi di due o tre equazioni lineari. Metodo di Cramer.
Calcolo della soluzione attraverso la matrice inversa.
Autovalori e autovettori. Polinomio caratteristico.
Diagonalizzazione di una matrice 2×2.
10. Integrali
Somme integrali. Integrali definiti.
Significato geometrico dell'integrazione di funzioni positive.
Proprietà degli integrali definiti.
Primitiva di una funzione. Integrali indefiniti.
Teorema fondamentale del calcolo.
Integrali di alcune funzioni elementari principali.
11. Metodi di integrazione di funzioni elementari
Metodo di integrazione per sostituzione.
Metodo di integrazione per parti.
Funzione razionali regolari.
Scomposizione di funzioni razionali in elementi semplici.
Integrazione degli elementi semplici.
Integrazione delle funzioni razionali.
12. Formula di Taylor
Approssimazione di funzioni con polinomi.
Formula di Taylor. Formula di MacLaurin.
Formula di Lagrange per il resto.
Infinitesimi. Formula di Taylor di alcune funzione elementari principali:
esponenziale, seno e coseno. Calcolo della formula di Taylor
per alcune funzioni elementari: 1/(1-x),
1/(1+x), 1/(1+x2), ln(1+x), arctgx, tgx.
6. Diario delle lezioni
Lezione 1 (01/10/2012)
Cenni sui numeri naturali, interi e razionali
e loro legame con le soluzioni delle equazioni di primo grado (§1.1-4).
Numeri reali e loro legame con le soluzioni delle equazioni di secondo grado (§1.5).
Lezione 2 (01/10/2012)
Definizione assiomatica dei numeri reali (§1.6).
Sezione ed elemento separatore di una sezione e assioma di Dedekind (§1.6).
Cenni sui numeri complessi (§1.7).
Asse reale e intervalli dell'asse reale (§1.8).
Lezione 3 (02/10/2012)
Piano cartesiano (§2.1)
Massimo, mimimo, maggioranti, minoranti, estremo superiore, estremo inferiore
di un insieme (§2.2).
Insiemi superiormente e inferiormente limitati (§2.2).
Lezione 4 (02/10/2012)
Modulo di un numero reale e sue proprietà (§2.3).
Lezione 5 (02/10/2012)
Variabile reale e funzione di variabile reale (§2.4).
Dominio di una funzione (§2.4).
Grafico di una funzione (§2.4).
Grafico di una funzione lineare (§3.3).
Lezione 6 (04/10/2012)
Equazioni di primo e secondo grado (§3.3)
Disequazioni di primo grado (§3.4).
Grafico di una funzione quadratica (§3.3).
Disequazioni di secondo grado (§3.5).
Lezione 7 (04/10/2012)
Esercizi sulle disequazioni (§3.5).
Lezione 8 (08/10/2012)
Codominio di una funzione (§2.4).
La funzione potenza: dominio, codominio e grafico (§3.2).
La funzione esponenziale: dominio, codominio e grafico (§3.7).
Lezione 9 (08/10/2012)
La funzione logaritmo: dominio, codominio e grafico (§3.8).
Funzioni trigonometriche (seno, coseno, tangente e cotangemte):
dominio, codominio e grafico (§3.6).
Lezione 10 (09/10/2012)
Funzioni pari e dispari (§3.9). Grafici ottenuti
per traslazioni orizzontali o verticali (§3.9).
Esempi: seno e coseno, potenze pari o dispari, parabole (§3.9).
Lezione 11 (11/10/2012)
Funzioni iniettive, suriettive e biunivoche:
definizioni ed esempi (§4.1).
Lezione 12 (11/10/2012)
Funzione composta e funzione inversa: definizioni (§4.2-3).
Lezione 13 (15/10/2012)
Funzione inversa: potenze, esponenziali e logaritmi (§4.3).
Funzioni trigonometriche inverse (§4.4)
Funzioni elementari principali (§3.1).
Funzioni elementari (§4.5).
Lezione 14 (15/10/2012)
Distanza tra due punti dell'asse reale (§5.1).
Introduzione al concetto di limite (§5.2).
Lezione 15 (16/10/2012)
Definizione di limite (§5.2).
Lezione 16 (18/10/2012)
Esempi di limite (§5.3).
Limite destro e limite sinistro (§5.4).
Funzioni limitate (§5.5).
Lezione 17 (18/10/2012)
Alcuni teoremi sui limiti: enunciato e dimostrazione
dei teoremi 5.7 e 5.14, enunciato dei
teoremi 5.8, 5.9 e 5.10 (§5.6).
Lezione 18 (22/10/2012)
Alcuni teoremi sui limiti: dimostrazione dei teoremi 5.8 e 5.9,
enunciato e dimostrazione dei teoremi 5.11, 5.12 e 5.13
(§5.6).
Lezione 19 (22/10/2012)
Esempi di limite (§5.7).
Il numero di Nepero: definizione come limite di (1+1/x)x
per x→∞ e di (1+x)1/x per x→0
(§5.8).
Funzioni continue (§6.1). Funzioni discontinue (§6.3).
Lezione 20 (23/10/2012)
Fattoriali e formula del binomio (§1.2)
Continuità delle funzioni trigonometriche e
delle potenze a esponente intero (§6.1).
Calcolo di alcuni limiti notevoli usando la continuità (§6.1).
Proprietà delle funzioni continue (§6.2).
Lezione 21 (25/10/2012)
Massimi e minimi di una funzione continua (§6.4).
Teoremi sulle funzioni continue: enunciato dei teoremi 6.4, 6.5 e 6.9,
enunciato e dimostrazione dei teoremi 6.6 e 6.8 (§6.4).
Lezione 22 (25/10/2012)
Definizione di derivata e funzioni derivabili (§7.1).
Derivate di alcune funzioni elementari principali (§7.1).
Significato geometrico della derivata (§7.2).
Lezione 23 (29/10/2012)
Teorema 7.2: una funzione derivabile è continua (§7.2).
Regole di derivazione ed esempi (§7.3).
Derivata di una funzione composta ed esempi (§7.4).
Lezione 24 (29/10/2012)
Derivata della funzione inversa ed esempi (§7.5).
Derivate delle funzioni trigonometriche inverse (§7.5).
Derivate di ordine qualsiasi (§7.6).
Funzioni di classe Cp (§7.6).
Lezione 25 (30/10/2012)
Forme indeterminate ed enunciati dei teoremi
di de l'Hôpital (§8.2).
Lezione 26 (05/11/2012)
Teoremi sulle funzioni derivabili: teorema di Rolle,
di Lagrange e di Cauchy (§8.1).
Dimostrazione del Teorema di de l'Hôpital (§8.2).
Funzioni crescenti e decrescenti (§9.1).
Legame con la derivata prima (§9.1).
Lezione 27 (05/11/2012)
Massimi e minimi relativi (§9.1).
Punti estremali e punti stazionari (§9.1).
Legame tra punti estremali e derivata prima (§9.1).
Massimi e minimi assoluti di una funzione derivabile (§9.4).
Lezione 28 (06/11/2012)
Legame tra punti estremali e derivata seconda (§9.3).
Funzioni convesse e funzioni concave (§9.5).
Legame tra concavità e derivata seconda (§9.5).
Lezione 29 (08/11/2012)
Punti di flesso orizzontale e obliquo (§9.1).
Asintoti verticali, orizzontali e obliqui (§9.6).
Schema per lo studio del grafico di una funzione (§9.2 e 9.7).
Lezione 30 (08/11/2012)
Studio del grafico di alcune funzioni (§9.8).
Lezione 31 (13/11/2012)
Esercizi del "compito c" del primo esonero dell'A.A. 2011/2012.
Lezione 32 (15/11/2012)
Vettori nel piano (§10.1).
Somma di vettori (§10.1). Moltiplicazione
di un vettore per un numero (§10.1).
Lezione 33 (15/11/2012)
Versori degli assi (§10.1). Vettore nullo (§10.1).
Rette nel piano: equazione cartesiana ed
equazioni parametriche (§10.2).
Lezione 34 (19/11/2012)
Equazione di una retta nel piano passante per un punto e
parallela a un vettore dato (§10.3).
Vettori linearmente indipendenti nel piano (§10.3).
Lezione 35 (19/11/2012)
Prodotto scalare nel piano (§10.4).
Proprietà del prodotto scalare (§10.4).
Distanza di un punto da una retta (§10.4).
Lezione 36 (20/11/2012)
Vettori nello spazio: versori dello spazio,
prodotto scalare nello spazio, vettori linearmente indipendenti
nello spazio (§10.5).
Prodotto vettoriale (§10.6).
Rette nello spazio: equazione cartesiana ed
equazioni parametriche (§10.7).
Equazione di una retta nello spazio passante per un punto e
parallela a un vettore dato (§10.3).
Lezione 37 (22/11/2012)
Rette nel piano e nello spazio (§10.7).
Piani (§10.8). Distanza di un punto da un piano (§10.8).
Matrici (§11.1). Somma di matrici (§11.1).
Matrici diagonali, matrice identità, matrice nulla (§11.1).
Lezione 38 (22/11/2012)
Prodotto di una matrice per un numero reale (§11.1).
Determinante di una matrice 2×2 (§11.2).
Determinante di una matrice 3×3 (§11.2).
Definizione ricorsiva del determinante di una matrice n×n (§11.2).
Prodotto vettoriale come determinante formale di una matrice (§11.2).
Lezione 39 (26/11/2012)
Prodotto di matrici (§11.3). Prodotto a destra e a sinistra
(§11.3). Vettori visti come matrici colonne (§11.3).
Prodotto di una matrice per un vettore (§11.3).
Lezione 40 (26/11/2012)
Proprietà del prodotto di matrici (§11.3).
Matrice trasposta, matrice dei cofattori e matrice inversa (§11.4).
Matrici non singolari e matrici invertibili (§11.4).
Proprietà della matrice trasposta (§11.4).
Calcolo della matrice inversa (§11.4).
Lezione 41 (27/11/2012)
Sistemi equazioni lineari e soluzioni espresse in termini di
determinanti di matrici: metodo di Cramer (§11.6).
Proprietà della matrice inversa (§11.4).
Matrici simmetriche (§11.5).
Lezione 42 (29/11/2012)
Autovalori e autovettori (§11.7).
Polinomio caratteristico (§11.7).
Esempi di matrici con autovalori reali distinti
o coincidenti e con autovalori complessi (§11.7).
Lezione 43 (29/11/2012)
Matrici 2×2: esistenza di autovettori linearmente indipendenti
nel caso di autovalori distinti (§11.8).
Matrici simmetriche: autovalori reali e autovettori ortogonali
(§11.7-8).
Base degli autovettori (§11.8).
Diagonalizzazione di una matrice 2×2
e matrice del cambiamento di base (§11.8).
Lezione 44 (03/12/2012)
Somma integrale, somma integrale inferiore e
somma integrale superiore (§12.1).
Integrale definito (§12.1).
Lezione 45 (03/12/2012)
Funzioni integrabili e integrale di una funzione continua (§12.1).
Integrale della funzione costante e della funzione f(x)=x (§12.1).
Lezione 46 (04/12/2012)
Proprietà degli integrali definiti (§12.2).
Teorema della media (§12.2).
Primitiva di una funzione (§12.3).
Integrale indefinito (§12.3).
Teorema fondamentale dal calcolo (§12.4).
Lezione 47 (06/12/2012)
Integrali di alcune funzioni elementari (§12.4).
Integrazione per sostituzione (§13.1).
Lezione 48 (06/12/2012)
Esempi di integrazione per sostituzione (§13.1).
Lezione 49 (10/12/2012)
Esempi di integrazione per sostituzione (§13.1).
Integrazione per parti (§13.2).
Lezione 50 (10/12/2012)
Esempi di integrazione per parti (§13.2).
Lezione 51 (11/12/2012)
Elementi semplici e loro integrazione (§13.3).
Scomposizione di funzioni razionali in elementi semplici (§13.3).
Lezione 52 (13/12/2012)
Integrazione di funzioni razionali (§13.3).
Lezione 53 (13/12/2012)
Esempi di integrazione di funzioni razionali (§13.3).
Lezione 54 (17/12/2012)
Approssimazione di una funzione con un polinomio (§14.1).
Formula di Taylor (§14.1).
Formula di Mac Laurin (§14.1).
Formula di Lagrange per il resto (§14.1).
Formula di MacLaurin della funzione ex (§14.2).
Lezione 55 (17/12/2012)
Infinitesimi di ordine n.
Calcolo di alcuni limiti con la formula di Taylor (§14.12).
Formula di MacLaurin della funzione sinx (§14.3).
Formula di MacLaurin della funzione cosx (§14.4).
Lezione 56 (18/12/2012)
Formula di MacLaurin delle funzioni 1/(1-x), 1/(1+x),
1/(1+x2), ln(1+x), arctgx, tgx,
√1+x (§14.5-11).
Lezione 57 (20/12/2012)
Formula di Taylor di alcune funzioni elementari (§14.11).
Lezione 58 (20/12/2012)
Calcolo di alcuni limiti mediante la formula di Taylor (§14.12).
7. Diario delle esercitazioni (Turno A)
Esercitazione 1 & 2 (09/10/2012)
Esercizi sulle disequazioni di primo e secondo grado (§3.5 e 3.10).
Esercitazione 3 & 4 (16/10/2012)
Esercizi su domini e codomini di funzione (§4.6).
Esercitazione 5 & 6 (23/10/2012)
Esercizi su limiti di funzioni (§5.10 e 6.5).
Esercitazione 7 & 8 (30/10/2012)
Esercizi sulle derivate (§7.7). Esercizi sui limiti (§8.3).
Esercitazione 9 & 10 (06/11/2012)
Esercizi sullo studio del grafico di una funzione (§9.1, 9.2, 9.5 e 9.8).
Esercitazione 11 & 12 (13/11/2012)
Esercizi del "compito c"
e del "compito a"
del primo esonero dell'A.A. 2011/2012.
Esercitazione 13 & 14 (20/11/2012)
Esercizi sui vettori e sulle rette nel piano e nello spazio (§10.9).
Esercitazione 15 & 16 (27/11/2012)
Esercizi sulle matrici (§11.9).
Esercizi su piani nello spazio (§10.9).
Esercitazione 17 & 18 (04/12/2012)
Esercizi su autovalori, autovettori e diagonalizzazione di matrici 2×2 (§11.9).
Esercitazione 19 & 20 (11/12/2012)
Esercizi sugli integrali (§13.4).
Esercitazione 21 & 22 (18/12/2012)
Esercizi sugli integrali (§13.4).
Esercitazione 23 & 24 (17/01/2013)
Esercizi del secondo esonero
dell'A.A. 2011/2012.
Esercitazione 25 & 26 (18/01/2013)
Esercizi del "compito a"
del secondo appello dell'A.A. 2011/2012.
8. Diario delle esercitazioni (Turno B)
Esercitazione 1 & 2 (05/10/2012)
Esercizi sulle disequazioni di primo grado, secondo grado, fratte e
con modulo: testo
e soluzione.
Esercitazione 3 & 4 (12/10/2012)
Esercizi su disequazioni con modulo, esponenziale e logaritmo.
Esercizi sul dominio di una funzione:
testo
e soluzione.
Esercitazione 5 & 6 (19/10/2012)
Esercizi su disequazioni trigonometriche. Esercizi sui limiti:
testo
e soluzione.
Esercitazione 7 & 8 (26/10/2012)
Esercizi sui limiti:
testo
e soluzione.
Esercitazione 9 & 10 (02/11/2012)
Esercizi sulle derivate e sui limiti:
testo
e soluzione.
Esercitazione 11 & 12 (09/11/2012)
Esercizi sullo studio del grafico di una funzione:
testo
e soluzione.
Esercitazione 13 & 14 (16/11/2012)
Esercizi del "compito b" del primo esonero dell'A.A. 2011/2012:
testo
e soluzione.
Esercitazione 15 & 16 (23/11/2012)
Esercizi su vettori e rette nel piano:
testo
e soluzione.
Esercitazione 17 & 18 (30/11/2012)
Esercizi su vettori e rette nello spazio e su matrici:
testo
e soluzione.
Esercitazione 19 & 20 (07/12/2012)
Esercizi su matrici:
testo
e soluzione.
Esercitazione 21 & 22 (14/12/2012)
Esercizi su integrali:
testo
e soluzione.
Esercitazione 23 & 24 (21/12/2012)
Esercizi su integrali:
testo
e soluzione.
Esercitazione 25 & 26 (08/01/2013)
Esercizi sul calcolo di limiti mediante la formula di Taylor:
testo
e soluzione.
Esercitazione 27 & 28 (11/01/2013)
Esercizi di riepilogo in preparazione del secondo esonero:
testo
e soluzione.
