Università
degli studi
Roma Tre
Anno Accademico 2013/2014


Dipartimento di Matematica e Fisica


FM410 - Fisica Matematica 3 (Meccanica analitica)

Docente: Guido Gentile


1. Caratteristiche del corso

Contenuto del corso
Meccanica lagrangiana e sistemi vincolati. Variabili cicliche. Costanti del moto e simmetrie. Sistemi di oscillatori lineari e piccole oscillazioni. Meccanica hamiltoniana. Flussi hamiltoniani. Teorema di Liouville e del ritorno. Trasformazioni canoniche. Funzioni generatrici. Metodo di Hamilton-Jacobi e variabili azione-angolo. Introduzione alla teoria delle perturbazioni.
I Semestre - Crediti: 7 b

Testi consigliati
Il corso si basa sui testi Introduzione ai sistemi dinamici. 1. Equazioni differenziali, analisi qualitativa e alcune applicazioni e Introduzione ai sistemi dinamici. 2. Formalismo lagrangiano e hamiltoniano e dove sono proposti anche altri riferimenti bibliografici.

Modalità degli esami
L'esame consiste in un colloquio orale in cui lo studente dovrà discutere gli argomenti di teoria trattati a lezione e la soluzione degli esercizi del testo Introduzione ai sistemi dinamici. 2.

2. Orario

Le lezioni si svolgono Lunedì e Mercoledì alle ore 14.00 - 16.00 in aula 211. (Data d'inizio del corso: Lunedì 23 Settembre 2013.)
L'orario di ricevimento si può trovare sulla pagina docenti del dipartimento.

3. Calendario d'esami

Le date si possono trovare sulla pagina del calendario d'esami (I semestre A.A. 2013/2014).

4. Programma d'esame

1. Vincoli
Gradi di libertà e sistemi vincolati. Vincoli olonomi e anolonomi. Vincoli indipendenti e regolari. Superficie di vincolo. Traiettorie virtuali. Principio di d'Alembert. Vincoli di mobilità e vincoli anolonomi integrabili. Forze vincolari. Richiami sui sistemi rigidi e sull'operatore d'inerzia. Equazioni cardinali della dinamica dei sistemi rigidi: traiettorie virtuali per sistemi rigidi e applicazione del principio di d'Alembert ai sistemi rigidi. Moto di rotolamento senza strisciamento. Vincoli anolonomi integrabili e vincoli propriamente anolonomi.

2. Meccanica lagrangiana
Sistemi lagrangiani. Equazioni di Eulero-Lagrange. Primo principio variazionale di Hamilton (principio di minima azione): equivalenza tra equazione di Newton ed equazioni di Eulero-Lagrange. Problemi di esistenza e unicità per problemi con condizioni al contorno. Coordinate generalizzate e lagrangiana vincolata. Formalismo lagrangiano per sistemi vincolati: equivalenza tra equazione di Newton supplementata dal principio di d'Alembert ed equazioni di Eulero-Lagrange per sistemi vincolati. Calcolo delle forze vincolari. Alcuni esempi notevoli di sistemi lagrangiani: pendolo semplice, pendolo doppio e pendolo con punto di sospensione che oscilla.

3. Studio dei sistemi lagrangiani
Sistemi indipendenti dal tempo. Energia. Configurazioni d'equilibrio: studio della stabilità. Teorema di Dirichlet. Energia potenziale centrifuga in sistemi rotanti. Variabili cicliche e momenti conservati. Metodo di Routh e lagrangiana ridotta. Applicazione al problema dei due corpi.

4. Simmetrie e costanti del moto
Gruppi a un parametro di diffeomorfismi. Trasformazioni di coordinate e loro sollevamenti. Campi vettoriali, momenti associati ai campi vettoriali e momenti coniugati. Teorema della scatola di flusso. Gruppi di simmetrie a un parametro: teorema di Noether. Prodotto di Lie di campi vettoriali. Commutatività di campi vettoriali e commutatività di gruppi a un parametro. Teorema: due gruppi a un parametro commutano se solo se commutano i campi vettoriali associati. Teorema di Frobenius. Gruppi di simmetrie a più parametri: teorema di Noether nel caso di gruppi di simmetrie a più parametri. Sistemi invarianti per traslazioni e sistemi invarianti per rotazioni.

5. Teoria delle piccole oscillazioni
Linearizzazione. Lagrangiana quadratica. Piccole oscillazioni e oscillazioni proprie. Frequenze normali ed equazione caratteristica. Pendoli identici accoppiati. Battimenti. Pendoli accoppiati con masse e lunghezze diverse. Piccole oscillazioni per sistemi vincolati. Relazioni tra le frequenze proprie di un sistema lagrangiano vincolato e le frequenze del sistema senza vincoli: teorema di Rayleigh-Courant-Fisher.

6. Meccanica hamiltoniana
Spazio delle fasi. Trasformata di Legendre. Hamiltoniana ed equazioni di Hamilton. Secondo principio variazionale di Hamilton. Campo vettoriale hamiltoniano. Campi a divergenza nulla. Teorema di Liouville. Teorema del ritorno di Poincaré.

7. Trasformazioni canoniche
Trasformazioni di coordinate nello spazio delle fasi. Matrici simplettiche. Determinante delle matrici simplettiche. Trasformazioni che conservano la struttura canonica. Trasformazioni canoniche e trasformazioni simplettiche. Trasformazioni indipendenti e dipendenti dal tempo. Parentesi di Poisson e loro proprietà: bilinearità, antisimmetricità e identità di Jacobi. Parentesi di Poisson fondamentali e integrali primi. Caratterizzazione delle trasformazioni canoniche in termini delle parentesi di Poisson. Richiami sulle forme differenziali e sul teorema di Stokes. Matrici antisimmetriche non singolari e direzione di rotore. Invariante integrale di Poincaré-Cartan. Differenziale a tempo bloccato. Condizione di Lie.

8. Funzioni generatrici e metodo di Hamilton-Jacobi
Funzioni generatrici indipendenti e dipendenti dal tempo. Funzioni generatrici di prima e seconda specie. Funzione generatrice dell'identità. Estensione di un cambiamento di coordinate a una trasformazione simplettica nello spazio delle fasi. Equazione di Hamilton-Jacobi. Integrale generale e integrale completo. Funzione principale di Hamilton. Funzione caratteristica di Hamilton. Sistemi unidimensionali e problemi di non località. Sistemi separabili.

9. Variabili azione-angolo
Variabili azione-angolo. Sistemi unidimensionali. Sistemi a più dimensioni: teorema di Liouville-Arnold. Caso dei sistemi separabili. Dimostrazione del teorema di Liouville-Arnold per sistemi separabili. Dimostrazione del teorema di Liouville-Arnold nel caso generale. Sistemi integrabili. Integrabilità del problema dei due corpi.

10. Cenni di teoria delle perturbazioni
Tori invarianti. Vettori diofantei. Sistemi quasi-integrabili. Equazione di Hamilton-Jacobi e serie perturbative. Teoria perturbativa al primo ordine ed equazione omologica. Problemi di convergenza delle serie in dimensione qualsiasi. Serie di Birkhoff per i sistemi isocroni. Divergenza delle serie di Birkhoff. Teoria perturbativa al primo ordine per sistemi anisocroni. Enunciato del teorema KAM.

5. Diario delle lezioni

Lezione 1 (23/09/2013)
Lagrangiana; spazio delle traiettorie e spazio delle deformazioni; funzionale d'azione; differenziale del funzionale d'azione (Cap. 11, §47).
Lezione 2 (23/09/2013)
Punti stazionari del funzionale d'azione ed equazioni di Eulero-Lagrange; primo principio variazionale di Hamilton (Cap. 11, §47).
Lezione 3 (30/09/2013)
Equazioni di Newton ed equazioni di Eulero-Lagrange per sistemi meccanici conservativi senza vincoli (Cap. 11, §47). Vincoli: definizione; vincoli olonomi; vincoli regolari e indipendenti; superficie di vincolo (Cap. 9, §35).
Lezione 4 (30/09/2013)
Traiettorie virtuali (Cap. 9, §35). Principio di d'Alembert e vincoli perfetti (Cap. 9, §39).
Lezione 5 (02/10/2013)
Lagrangiana per sistemi vincolati; equazioni di Newton supplementate dal principio di d'Alembert ed equazioni di Eulero-Lagrange per sistemi meccanici conservativi vincolati; determinazione delle forze vincolari (Cap. 11, §49).
Lezione 6 (02/09/2013)
Alcuni esempi semplici di sistemi lagrangiani: pendolo semplice, pendolo doppio e pendolo sferico (esercizi 6 e 12 del Cap. 11). Energia cinetica per sistemi meccanici conservativi vincolati (Cap 12, §53).
Lezione 7 (07/09/2013)
Vincoli anolonomi, vincoli di mobilità, moto di rotolamento senza strisciamento, vincoli anolonomi integrabili e vincoli propriamente anolonomi (Cap. 9, §41). Disco che rotola senza strisciare su un piano (esempio 41.13 del Cap. 9).
Lezione 8 (07/09/2013)
Variabili cicliche, momenti conservati e metodo di Routh: teorema di Routh (Cap. 12, §54). Applicazione del metodi di Routh al problema dei due corpi (Cap. 12, §54).
Lezione 9 (09/09/2013)
Energia potenziale centrifuga (esercizio 4 del Cap. 12). Pendolo in un piano rotante.
Lezione 10 (09/10/2013)
Esercizio 10 del Cap. 12.
Lezione 11 (14/10/2013)
Pendolo con punto di sospensione che oscilla: lagrangiana ed equazioni di Eulero-Lagrange; equazione di Mathieu; stabilità del pendolo capovolto (esercizio 7 del Cap. 11).
Lezione 12 (14/10/2013)
Esercizio 8 del Cap. 12.
Lezione 13 (16/10/2013)
Gruppi a un parametro di diffeomorfismi e campi vettoriali associati; trasformazioni di coordinate e loro sollevamenti; momenti (Cap. 13, §57). Traslazioni e quantità di moto (Cap. 13, §57).
Lezione 14 (16/10/2013)
Rotazioni e momento angolare (Cap. 13, §57). Teorema della scatola di flusso (Cap. 4, §19).
Lezione 15 (21/10/2013)
Momenti coniugati e momenti conservati; gruppi di simmetrie (Cap. 13, §57). Teorema di Noether (Cap. 13, §57).
Lezione 16 (21/10/2013)
Prodotto di Lie di campi vettoriali e sue proprietà (Cap. 13, §58). Commutazione di gruppi di diffeomorfismi (Cap. 13, §58). Esempio di gruppi commutanti: sistemi invarianti per traslazioni (Cap. 13, §58). Esempio di gruppi non commutanti: sistemi invarianti per rotazioni (Cap. 13, §58).
Lezione 17 (23/10/2013)
Teorema di Frobenius (Cap. 13, §58). Teorema di Noether nel caso di più gruppi di diffeomorfismi a un parametro (Cap. 13, §58).
Lezione 18 (23/10/2013)
Invarianza per traslazioni lungo due assi (Cap. 13, §58). Invarianza per rotazioni intorno a due assi (Cap. 13, §58). Piccole oscillazioni: approssimazione lineare delle equazioni di Eulero-Lagrange e approssimazione quadratica della lagrangiana (Cap. 14, §59).
Lezione 19 (28/10/2013)
Oscillazioni proprie, frequenze delle oscillazioni proprie ed equazione caratteristica e matrice del cambiamento di base (Cap. 14, §60).
Lezione 20 (28/10/2013)
Piccole oscillazioni per pendoli accoppiati con masse e lunghezze uguali: moti in fase e in opposizione di fase e fenomento dei battimenti (Cap. 14, §61). Piccole oscillazioni per pendoli accoppiati con masse e lunghezze diverse (Cap. 14, §61).
Lezione 21 (30/10/2013)
Esercizio 7 del Capitolo 14 (inizio).
Lezione 22 (30/10/2013)
Esercizio 7 del Capitolo 14 (conclusione).
Lezione 23 (04/11/2013)
Trasformate di Legendre (Cap. 16, §65). Hamiltoniana, equazioni di Hamilton, equazioni canoniche (Cap. 16, §65).
Lezione 24 (04/11/2013)
Campi vettoriali a divergenza nulla e trasformazioni che conservano il volume (Cap. 16, §65). Teorema di Liouville (Cap. 16, §65).
Lezione 25 (06/11/2013)
Teorema del ritorno di Poincaré (Cap. 16, §65). Apparente paradosso dell'esperimento di Maxwell (Cap. 16, §65). Metodo di Routh nel formalismo hamiltoniano (Cap. 16, § 65).
Lezione 26 (06/11/2013)
Secondo principio variazionale di Hamilton (Cap. 16, §66). Matrici simplettiche: definizioni e proprietà (Cap. 17, §67). Trasformazioni di coordinate: trasformazioni canoniche, trasformazioni simplettiche, trasformazioni che conservano la struttura canonica delle equazioni (Cap. 17, §67).
Lezione 27 (11/11/2013)
Teoremi 67.20 (le trasformazioni canoniche conservano la struttura canonica delle equazioni) e 67.29 (una trasformazione indipendente dal tempo è simplettica se e solo se conserva la struttura canonica delle equazioni con la stessa hamiltoniana) del Cap. 17. Determinante di una matrice simplettica (Cap. 17, §67).
Lezione 28 (11/11/2013)
Parentesi di Poisson: definizione e proprietà (Cap. 17, §68). Integrali primi e parentesi di Poisson (Cap. 17, §68). Parentesi di Posson fondamentali (Cap. 17, §68). Teorema 68.14 del Cap. 17: criterio per determinare se una trasformazione è canonica.
Lezione 29 (13/11/2013)
Esercizi 8, 9, 28 e 35 del Cap. 17.
Lezione 30 (13/11/2013)
Richiami sulla definzione di rotore e sul lemma di Stokes; matrici antisimmetriche non singolari; forme differenziali non singolari; spazio delle fasi esteso, direzione di rotore, linee di rotore e tubo di rotore (Cap. 17, §69).
Lezione 31 (18/11/2013)
Forma differenziale di Poincaré-Cartan, invariante integrale di Poincaré-Cartan, invariante integrale relativo di Poincaré-Cartan (Cap. 17, §69).
Lezione 32 (18/11/2013)
Differenziale a tempo bloccato e condizione di Lie (Cap. 17, §70). Funzioni generatrici (Cap. 17, §70). Procedimento di prima, seconda, terza e quarta specie (Cap. 17, §70). Calcolo della Hamiltoniana nelle nuove coordinate a partire dalla funzione generatrice (Cap. 17, §70).
Lezione 33 (20/11/2013)
Funzione generatice della trasformazione identità (Cap. 17, §70). Estensione di una trasformazione di coordinate di posizione a una trasformazione canonica tramite un procedimento di seconda specie (Cap. 17, §70). Teorema 70.27 ed esercizio 37 del Cap. 17: il flusso hamiltoniano definisce una trasformazione canonica.
Lezione 34 (20/11/2013)
Rivisitazione del teorema di Liouville (esercizio 41 del Cap. 17). Esercizi 43, 44, 45 e 48 del Cap. 17.
Lezione 35 (25/11/2013)
Esercizio 16 del Cap. 12. Esercizio 38 del Cap. 17.
Lezione 36 (25/11/2013)
Equazione di Hamilton-Jacobi; funzione principale di Hamilton; funzione caratteristica di Hamilton; sistemi unidimensionali (Cap. 18, §71). Sistemi separabili e separazione di variabili (Cap. 18, §71).
Lezione 37 (27/11/2013)
Variabili azione-angolo (Cap. 18, §72). Variabili d'azione per sistemi unidimensionali con potenziali a potenza (Cap. 18, esercizio 16).
Lezione 38 (27/11/2013)
Variabile azione-angolo per l'oscillatore armonico (Cap. 19, §75). Enunciato del teorema di Arnold-Liouville (Cap. 18, §72).
Lezione 39 (02/12/2013)
Prima parte della dimostrazione del teorema di Arnold-Liouville (Cap. 18, §73).
Lezione 40 (02/12/2013)
Esercizio del Cap. 18, §74.
Lezione 41 (04/12/2013)
Seconda parte della dimostrazione del teorema di Arnold-Liouville: inizio (Cap. 18, §73).
Lezione 42 (04/12/2013)
Seconda parte della dimostrazione del teorema di Arnold-Liouville: concusione (Cap. 18, §73).
Lezione 43 (09/12/2013)
Integrabilità del problema dei due corpi e calcolo dei corrispondenti periodi (esercizio 27 del Cap. 18).
Lezione 44 (09/12/2013)
Variabili azione-angolo per il problema dei due corpi (esercizio 30 del Cap. 18). Introduzione alla teoria delle perturbazioni (Cap. 19, §76).
Lezione 45 (11/12/2013)
Teoria perturbativa al primo ordine ed equazione omologica; sistemi isocroni e sistemi anisocroni; condizione di non risonanza e vettori diofantei (Cap. 19, §76).
Lezione 46 (11/12/2013)
Teoria perturbativa a tutti gli ordini: problemi di definizione; perturbazioni di sistemi isocroni: serie di Birkhoff (Cap. 19, §77).
Lezione 47 (16/12/2013)
Stime dei coefficienti della serie di Birkhoff: prima parte (Cap. 19, §77).
Lezione 48 (16/12/2013)
Stime dei coefficienti della serie di Birkhoff: seconda parte (Cap. 19, §77).
Lezione 49 (18/12/2013)
Teorema di Nekhoroshev per perturbazioni di sistemi isocroni (Cap. 19, §77). Divergenza delle serie di Birkhoff (Cap. 19, §77 ed esercizi 5-8). Teoremi di trivialità di Poincaré (Cap. 19, §77).
Lezione 50 (18/12/2013)
Sistemi anisocroni: problemi di definizioni delle serie perturbative; sistemi quasi-integrabili; cenni sul teorema KAM: enunciato e implicazioni (Cap. 19, §77).