Università
degli studi
Roma Tre
Anno Accademico 2013/2014


Dipartimento di Matematica e Fisica


MAT1 (Corso di Laurea in Scienze Geologiche)
Docenti: Guido Gentile e Giuditta Bravaccino



1. Caratteristiche del corso

1.1. Contenuto del corso
Numeri. Funzioni reali di variabile reale. Limiti di funzioni. Funzioni continue. Derivate. Studio del grafico di una funzione. Integrali. Vettori. Matrici.
I Semestre - Crediti: 9

1.2. Testi consigliati
Il corso si basa sul testo "Calcolo differenziale e integrale Vol.1" di Nikolaj S. Piskunov (Editori Riuniti, Roma, 1988).
Uno schema delle lezioni si può trovare qui: gli argomenti del diario delle lezioni si riferiscono ai paragrafi di tale schema.

1.3. Modalità degli esami
L'esame consiste in una prova scritta (eventualmente sostituita dagli esoneri durante lo svolgimento del corso) e una prova orale.

2. Orario e ricevimento

2.1. Orario
Le lezioni si svolgono Lunedì alle ore 12.00 - 13.30, Martedì alle ore 10.15 - 11.45 e Mercoledì alle ore 11.00 - 11.45 in aula E.
Le esercitazioni Martedì alle ore 12.00 - 13.30 (Turno A) e Mercoledì alle ore 8.30 - 10.00 (Turno B) in aula E.
(Data d'inizio del corso: Lunedì 30 Settembre 2013).
Nel mese di Gennaio le esercitazioni si sono svolte nei giorni:
Lunedì 13 (turno A): ore 12.00 - 13.30, Martedì 14 (turno B): ore 10:15 - 12:45, Mercoledì 15 (turno B): ore 8:30 - 10:00.

2.2. Ricevimento
L'orario di ricevimento si può trovare sulla pagina docenti del dipartimento.
Il ricevimento della Dott. Giuditta Bravaccino è dopo le esercitazioni di Mercoledì (per richiedere un diverso appuntamento scrivere a: giuditta.bravaccino@yahoo.it).

3. Prove d'esonero

Prima prova d'esonero: 14 Novembre 2013 - ore 14.00 - aula F. Testo del compito. Risultati.
Seconda prova d'esonero: 20 Gennaio 2014 - ore 10.00 - aula F. Testo del compito. Risultati.
[Orale: si vedano le date degli orali del primo appello delle prove d'esame.]

4. Prove d'esame

Prova d'esame - primo appello: 28 Gennaio 2014 - ore 10.00 - aula E. Testo del compito. Risultati.   Orale: 05 Febbraio 2014 - ore 10.00 - Stanza 305.
Prova d'esame - secondo appello: 10 Febbraio 2014 - ore 10.00 - aula E. Testo del compito. Risultati.   Orale: 12 Febbraio 2014 - ore 10.00 - Stanza 305.
Prova d'esame - terzo appello: 15 Aprile 2014 - ore 10.00 - aula E. Testo del compito. Risultati.   Orale: 17 Marzo 2014 - ore 10.00 - Stanza 305.
Prova d'esame - quarto appello: 25 Giugno 2014 - ore 10.00 - aula E. Testo del compito. Risultati.   Orale: 27 Giugno 2014 - ore 10.00 - Stanza 305.
Prova d'esame - quinto appello: 07 Luglio 2014 - ore 10.00 - aula E. Testo del compito. Risultati.   Orale: 09 Luglio 2014 - ore 10.00 - Stanza 305.
Prova d'esame - sesto appello: 01 Settembre 2014 - ore 10.00 - aula E. Testo del compito. Risultati.   Orale: 03 Settembre 2014 - ore 10.00 - Stanza 305.
Prova d'esame - settimo appello: 04 Novembre 2014 - ore 14.00 - aula E. Testo del compito. Risultati.

5. Programma d'esame

1. I numeri reali
Richiami sugli insiemi. Cenni sui numeri naturali, interi, razionali e reali. Asse reale. Fattoriale, cofficiente binomiale e formula del binomio.
Cenni sui numeri complessi. Cenni sulla definzione assiomatica dei numeri reali. Sottoinsiemi e intervalli dell'asse reale.

2. Funzioni reali di variabile reale
Piano cartesiano. Estremo inferiore ed estremo superiore. Modulo di un numero reale. Funzioni reali di variabile reale.
Dominio e codominio di una funzione. Funzioni elementari principali: potenze, funzioni trigonometriche, esponenziali e logaritmi.
Equazioni e disequazioni di primo e secondo grado. Grafico di una funzione: definizione, rette, parabole.
Grafici delle funzioni elementari principali. Funzioni pari e funzioni dispari. Traslazioni di grafici e loro significato.
Funzioni composte. Funzioni inverse. Funzioni trigonometriche inverse. Funzioni elementari.

3. Limiti
Funzione distanza. Definizione di limite di una funzione. Limite finito e limite infinito. Limite destro e limite sinistro. Funzioni limitate.
Proprietà dei limiti: limite della somma, limite del prodotto, limite del rapporto. Teoremi sui limiti: teorema del confronto
e teorema della permanenza del segno. Definizione del numero di Nepero come limite.

4. Funzioni continue
Definizione di funzione continua. Proprietà delle funzioni continue. Funzioni discontinue.
Minimi e massimi assoluti di funzioni continue. Enunciato del teorema di Weierstrass.
Teoremi sulle funzioni continue: teorema della permamenza del segno e teorema dell'esistenza degli zeri.

5. Funzioni derivabili
Rapporto incrementale. Definizione di derivata. Funzioni derivabili. Significato geometrico della derivata. Regole di derivazione.
Derivata di una funzione composta. Derivata della funzione inversa. Derivate di ordine qualsiasi. Funzioni di classe Cn.
Teoremi sulle funzioni derivabili: teoremi di Rolle, di Lagrange e di Cauchy. Forme indeterminate. Teoremi di de l'Hôpital.

6. Studio del grafico di una funzione
Funzioni crescenti e decrescenti. Punti stazionari, massimi e minimi relativi, punti estremali e punti di flesso orizzontale.
Funzioni convesse e concave. Legame tra la concavità e il segno della derivata seconda. Punti di flesso obliquo.
Studio dei massimi e minimi di una funzione continua. Asintoti verticali, orizzontali e obliqui. Schema per lo studio del grafico di una funzione.

7. Vettori nel piano
Vettori nel piano. Equazioni parameriche ed equazione cartesiana di una retta nel piano:
equazione di una retta passante per due punti ed equazione di una retta passante per un punto e con direzione assegnata.
Vettori linearmente indipendenti. Prodotto scalare. Proiezione di un vettore lungo una direzione assegnata. Distanza di un punto da una retta.

8. Vettori nello spazio
Vettori nello spazio. Equazioni parameriche ed equazione cartesiana di una retta nello spazio:
equazione di una retta passante per due punti ed equazione di una retta passante per un punto e con direzione assegnata.
Vettori linearmente indipendenti. Prodotto scalare. Prodotto vettoriale.
Area del parallelogramma individuato da due veittori. Distanza di un punto da un piano.

9. Matrici e sistemi di equazioni lineari
Matrici. Matrici quadrate. Somma di matrici. Prodotto di una matrice per un numero reale. Determinante di una matrice quadrata.
Prodotto di matrici. Prodotto a destra e prodotto a sinistra. Potenza intera di una matrice quadrata.
Matrice trasposta. Matrice inversa. Matrici simmetriche. Sistemi di due o tre equazioni lineari. Metodo di Cramer.
Calcolo della soluzione attraverso la matrice inversa. Autovalori e autovettori. Polinomio caratteristico. Diagonalizzazione di una matrice 2×2.

10. Integrali
Somme integrali. Integrali definiti. Significato geometrico dell'integrazione di funzioni positive. Proprietà degli integrali definiti.
Primitiva di una funzione. Integrali indefiniti. Teorema fondamentale del calcolo. Integrali di alcune funzioni elementari principali.

11. Metodi di integrazione di funzioni elementari
Metodo di integrazione per sostituzione. Metodo di integrazione per parti. Funzione razionali regolari.
Scomposizione di funzioni razionali in elementi semplici. Integrazione degli elementi semplici. Integrazione delle funzioni razionali.

12. Formula di Taylor
Approssimazione di funzioni con polinomi. Formula di Taylor. Formula di MacLaurin. Formula di Lagrange per il resto.
Infinitesimi. Formula di Taylor di alcune funzione elementari principali: esponenziale, seno e coseno.
Calcolo della formula di Taylor per alcune funzioni elementari: 1/(1-x), 1/(1+x), 1/(1+x2), ln(1+x), arctgx, tgx.

6. Diario delle lezioni

Lezione 1 (30/09/2013)
Richiami sugli insiemi (§1.1). Cenni sui numeri naturali, interi e razionali e loro legame con le soluzioni delle equazioni di primo grado (§1.2-4).
Numeri reali e loro legame con le soluzioni delle equazioni di secondo grado (§1.5).
Lezione 2 (30/09/2013)
Cenni sulla definizione assiomatica dei numeri reali (§1.6). Cenni sui numeri complessi e sul teorema fondamentale dell'algebra (§1.7).
Asse reale e intervalli dell'asse reale (§1.8).
Lezione 3 (01/10/2013)
Piano cartesiano (§2.1) Modulo di un numero reale e alcune sue proprietà (§2.3). Variabile reale e funzione di variabile reale (§2.4).
Dominio e codominio di una funzione (§2.4). Grafico di una funzione (§2.4).
Lezione 4 (01/10/2013)
Grafico di una funzione lineare (§3.3). Equazioni di primo grado (§3.3) Disequazioni di primo grado (§3.4).
Grafico di una funzione quadratica (§3.3). Equazioni di secondo grado (§3.3). Disequazioni di secondo grado (§3.5).
Altre proprietà del modulo, diseguagalianza triangolare (§2.3).
Lezione 5 (02/10/2013)
Massimo, mimimo, maggioranti, minoranti, estremo superiore, estremo inferiore di un insieme (§2.2).
Insiemi superiormente e inferiormente limitati (§2.2) Le funzioni elementari principali (§3.1).
La funzione potenza: dominio, codominio e grafico (§3.2).
Lezione 6 (07/10/2013)
La funzione esponenziale: dominio, codominio e grafico (§3.7). La funzione logaritmo: dominio, codominio e grafico (§3.8).
Lezione 7 (07/10/2013)
Funzioni trigonometriche: dominio, codominio e grafico di seno, coseno, tangente e cotagente (§3.6).
Funzioni pari e funzioni dispari (§3.9). Grafici ottenuti per traslazioni orizzontali o verticali (§3.9).
Lezione 8 (08/10/2013)
Funzioni iniettive, suriettive e biunivoche: definizioni ed esempi (§4.1). Funzione composta: definizione ed esempi (§4.2).
Lezione 9 (08/10/2013)
Funzione inversa: definizioni ed esempi (§4.3). Funzioni trigonometriche inverse (§4.4). Funzioni elementari (§4.5).
Lezione 10 (09/10/2013)
Distanza tra due punti dell'asse reale (§5.1). Introduzione al concetto di limite (§5.2). Limite: definizione ed esempi (§5.2).
Limite destro e limite sinistro (§5.3).
Lezione 11 (14/10/2013)
Esempi di limite (§5.2). Funzioni limitate e illimitate (§5.4). Proprieà dei limiti: limite della somma (§5.5).
Lezione 12 (14/10/2013)
Teorema dei carabinieri (§5.5). Alcuni limite notevoli (§5.6). Definizione del numero di Nepero (§5.7).
Lezione 13 (15/10/2013)
Proprieà dei limiti: limite del prodotto e limite del rapporto (§5.5). Teoremi sui limiti (§5.5)
Lezione 14 (15/10/2013)
Esempi di limite (§5.8).
Lezione 15 (21/10/2013)
Funzioni continue (§6.1). Calcolo di limiti usando la continuità (§6.1) Proprietà delle funzioni continue (§6.2).
Lezione 16 (21/10/2013)
Funzioni discontinue (§6.3). Teoremi sulle funzioni continue (§6.4). Esercizi sui limiti (§6.6)
Lezione 17 (22/10/2013)
Definizione di derivata (§7.1). Funzioni derivabili (§7.1). Derivate di alcune funzioni elementari (§7.1).
Interpretazione geometrica della derivata (§7.2). Proprietà della derivata (§7.2).
Lezione 18 (22/10/2013)
Derivata del rapporto di due funzioni; esempio di tangente e cotangente (§7.2). Derivata della funzione composta (§7.3).
Lezione 19 (23/10/2013)
Continuità e derivabilità (§7.1). Funzioni non derivabili; esempio del modulo (§7.2). Derivata della funzione inversa (§7.4).
Lezione 20 (23/10/2013)
Derivate di ordine superiore (§7.5). Infinitesimi (§6.5). Teorema di Rolle e teorema di Lagrange (§8.1).
Lezione 21 (28/10/2013)
Teorema di Cauchy (§8.1). Forme indeterminate (§8.2). Teoremi di de l'Hôpital (§8.3).
Lezione 22 (28/10/2013)
Calcolo di limiti utilizzando i teoremi di de l'Hôpital (§8.3).
Lezione 23 (29/10/2013)
Funzioni crescenti e decrescenti (§9.1). Legame con la derivata prima (§9.1). Legame con la derivata seconda (§9.3).
Lezione 24 (29/10/2013)
Massimi e minimi relativi, punti estremali e punti stazionari (§9.1). Massimi e minimi assoluti di una funzione derivabile (§9.4).
Primi studi di grafici di funzioni (§9.2).
Lezione 25 (04/11/2013)
Funzioni convesse e concave (§9.5). Legame tra concavità e derivata seconda (§9.5).
Lezione 26 (04/11/2013)
Punti di flesso orizzontale e obliquo (§9.5). Asintoti obliqui, orizzontali e verticali (§9.6). Studio completo del grafico di una funzione (§9.7).
Lezione 27 (05/11/2013)
Esercizi sui grafici di funzioni (§9.8: esercizi 1, 2)
Lezione 28 (05/11/2013)
Esercizi sui grafici di funzioni (§9.8: esercizi 4 e 7).
Lezione 29 (11/11/2013)
Vettori nel piano (§10.1). Somma di vettori (§10.1). Moltiplicazione di un vettore per un numero (§10.1). Versori degli assi (§10.1). Vettore nullo (§10.1).
Lezione 30 (11/11/2013)
Rette nel piano: equazione cartesiana ed equazioni parametriche (§10.2). Equazione di una retta nel piano passante per un punto e parallela a un vettore (§10.3).
Lezione 31 (12/11/2013)
Vettori linearmente indipendenti nel piano (§10.3). Prodotto scalare nel piano (§10.4). Proprietà del prodotto scalare (§10.4).
Lezione 32 (12/11/2013)
Distanza di un punto da una retta (§10.4). Esercizio sulla distanza di un punto da una retta (§10.10, esercizio 11).
Lezione 33 (18/11/2013)
Vettori nello spazio: versori dello spazio, prodotto scalare nello spazio, vettori linearmente indipendenti nello spazio (§10.5). Prodotto vettoriale (§10.6).
Lezione 34 (18/11/2013)
Rette nello spazio: equazione cartesiana ed equazioni parametriche (§10.7). Rette nel piano e nello spazio (§10.7). Piani (§10.8).
Lezione 35 (19/11/2013)
Distanza di un punto da un piano (§10.8). Esercizio sulla distanza di un punto da un piano (§10.10, esercizio 13).
Cenni sui vettori di dimensione qualsiasi (§10.9). Matrici rettangolari e quadrate; somma di matricci; prodotto di una matrice per un numero reale (§11.1).
Lezione 36 (19/11/2013)
Determinante di una matrice 2×2 (§11.2). Determinante di una matrice 3×3 (§11.2). Definizione ricorsiva del determinante di una matrice n×n (§11.2).
Regola di Sarrus (§11.2). Prodotto vettoriale come determinante formale di una matrice (§11.2).
Lezione 37 (20/11/2012)
Prodotto di matrici (§11.3). Prodotto a destra e a sinistra (§11.3). Vettori visti come matrici colonne (§11.3).
Prodotto di una matrice per un vettore (§11.3). Proprietà del prodotto di matrici (§11.3).
Lezione 38 (20/11/2012)
Matrice trasposta, matrice dei cofattori e matrice inversa (§11.4). Matrici non singolari e matrici invertibili (§11.4).
Proprietà della matrice trasposta (§11.4). Calcolo della matrice inversa (§11.4). Proprietà della matrice inversa (§11.4). Matrici simmetriche (§11.5).
Lezione 39 (25/11/2013)
Sistemi equazioni lineari e soluzioni espresse in termini di determinanti di matrici: metodo di Cramer (§11.6).
Lezione 40 (25/11/2013)
Autovalori e autovettori (§11.7). Polinomio caratteristico (§11.7). Esempi di matrici 2×2 con autovalori reali distinti o coincidenti (§11.7).
Matrici 2×2: esistenza di autovettori linearmente indipendenti nel caso di autovalori distinti (§11.8).
Lezione 41 (26/11/2013)
Matrici simmetriche: autovalori reali e autovettori ortogonali (§11.7-8). Base degli autovettori (§11.8).
Diagonalizzazione di una matrice 2×2 e matrice del cambiamento di base (§11.8).
Lezione 42 (26/11/2013)
Somma integrale, somma integrale inferiore e somma integrale superiore (§12.1). Integrale definito (§12.1).
Funzioni integrabili e integrale di una funzione continua (§12.1). Integrale della funzione costante e della funzione f(x)=x (§12.1).
Lezione 43 (02/12/2013)
Proprietà degli integrali definiti (§12.2). Teorema della media (§12.2). Primitiva di una funzione (§12.3).
Integrale indefinito (§12.3).
Lezione 44 (02/12/2013)
Teorema fondamentale dal calcolo (§12.4). Integrali di alcune funzioni elementari (§12.4).
Lezione 45 (03/12/2013)
Integrazione per sostituzione (§13.1). Esempi di integrazione per sostituzione (§13.1, esempi 1, 5, 6, 13 e 15).
Lezione 46 (03/12/2013)
Integrazione per parti (§13.2). Esempi di integrazione per parti (§13.2, esempi 1 e 2).
Lezione 47 (04/12/2013)
Elementi semplici e loro integrazione (§13.3).
Lezione 48 (04/12/2013)
Esempi di integrazione di elementi semplici (§13.3).
Lezione 49 (10/12/2013)
Scomposizione di funzioni razionali in elementi semplici (§13.3). Esempi di integrazione di funzioni razionali (§13.3, esempio 1).
Lezione 50 (10/12/2013)
Approssimazione di una funzione con un polinomio (§14.1). Formula di Taylor (§14.1). Formula di Mac Laurin (§14.1).
Formula di Lagrange per il resto (§14.1). Formula di MacLaurin della funzione ex (§14.2).
Lezione 51 (16/12/2013)
Calcolo di alcuni limiti con la formula di Taylor (§14.3). Formula di MacLaurin delle funzioni sin x e cos x (§14.2).
Lezione 52 (16/12/2013)
Formula di MacLaurin delle funzioni 1/(1-x), 1/(1+x), 1/(1+x2), ln (1+x), arctg x, tg x (§14.2).
Lezione 53 (17/12/2013)
Formula di MacLaurin della funzione 1+x. Formula di Taylor di alcune funzioni elementari (§14.2).
Lezione 54 (17/12/2013)
Calcolo di alcuni limiti mediante la formula di Taylor (§14.3, esempi 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9).
Lezione 55 (18/12/2013)
Svolgimento del secondo compito d'esonero dell'A.A. 2012-2013 (prima parte): testo.
Lezione 56 (18/12/2013)
Svolgimento del secondo compito d'esonero dell'A.A. 2012-2013 (seconda parte): testo.

7. Diario delle esercitazioni (Turno A)

Esercitazione 1 & 2 (01/10/2013)
Esercizi su disequazioni di primo e secondo grado, disequazioni fratte e disequazioni con moduli (§3.5 e 3.10).
Esercitazione 3 & 4 (08/10/2013)
Esercizi su domini e codomini di funzione (§4.6). Esercizi sulle funzioni inverse (§4.3).
Esercitazione 5 & 6 (15/10/2013)
Esercizi su disequazioni con esponenziali e funzioni trigonometriche (§3.10). Esercizi sui limiti (§5.8).
Esercitazione 7 & 8 (22/10/2013)
Esercizi sui limiti (§6.6). Esercizi sulle derivate (§7.6).
Esercitazione 9 & 10 (29/10/2013)
Esercizi sui limiti (§8.4). Esercizi sui grafici di funzioni (§9.2-3).
Esercitazione 11 & 12 (05/11/2013)
Esercizi sui grafici di funzioni (§9.8, esercizi 3, 11, 16 e 20).
Esercitazione 13 & 14 (12/11/2013)
Svolgimento del primo compito d'esonero dell'A.A. 2012-2013: testo.
Esercitazione 15 & 16 (19/11/2013)
Esercizi sui vettori (§10.10, esercizi 1, 2, 7, 12 e 16).
Esercitazione 17 & 18 (26/11/2013)
Esercizi sulle matrici (§11.10, esercizi 3, 4, 5, 8, 9 e 15).
Esercitazione 19 & 20 (03/12/2013)
Esercizi sugli integrali (§13.1, esercizi 9 e 16; §13.2, esercizi 8, 9, 10 e 12; §13.4, esercizi 1 e 16).
Esercitazione 21 & 22 (10/12/2013)
Esercizi sugli integrali (§13.4, esercizi 2, 6, 7, 8, 21, 22, 23, 25 e 26).
Esercitazione 23 & 24 (17/12/2013)
Esercizi su integrale e limiti di funzioni tramite la formula di Taylor (§13.3, pag. 168, esempio 4; §13.4, esercizi 9, 17 e 19; §14.4, esercizi 4, 5, 7 e 8).
Esercitazione 25 & 26 (13/01/2014)
Svolgimento del compito del terzo appello dell'A.A. 2012-2013: testo.

8. Diario delle esercitazioni (Turno B)

Esercitazione 1 & 2 (02/10/2013)
Esercizi sulle disequazioni di primo grado, secondo grado, fratte e con modulo: testo e soluzioni
Esercitazione 3 & 4 (09/10/2013)
Esercizi su disequazioni con modulo, esponenziale e logaritmo; esercizi sul dominio di una funzione: testo e soluzioni
Esercitazione 5 & 6 (16/10/2013)
Esercizi su disequazioni con funzioni trigonometriche ed esercizi sui limiti: testo e soluzioni
Esercitazione 7 & 8 (23/10/2013)
Esercizi su limiti e derivate: testo e soluzioni
Esercitazione 9 & 10 (30/10/2013)
Esercizi su limiti e grafici di funzioni: testo e soluzioni
Esercitazione 11 & 12 (13/11/2013)
Esercizi sui grafici di funzioni: testo e soluzioni
Esercitazione 13 & 14 (20/11/2013)
Esercizi sui vettori: testo e soluzioni
Esercitazione 15 & 16 (27/11/2013)
Esercizi su vettori, rette, piani e matrici: testo e soluzioni
Esercitazione 17 & 18 (04/12/2013)
Esercizi sugli integrali: testo e soluzioni
Esercitazione 19 & 20 (11/12/2013)
Esercizi sugli integrali: testo e soluzioni
Esercitazione 21 & 22 (18/11/2013)
Esercizi sui limiti di funzioni tramite la formula di Taylor: testo e soluzioni
Esercitazione 23, 24 & 25 (14/01/2014)
Esercizi di riepilogo: testo e soluzioni
Esercitazione 26 & 27 (15/01/2014)
Esercizi di riepilogo: testo e soluzioni