MAT1
(Corso di Laurea in Scienze Geologiche) Docenti: Guido Gentile e Giuditta Bravaccino
1. Caratteristiche del corso
1.1. Contenuto del corso
Numeri. Funzioni reali di variabile reale.
Limiti di funzioni. Funzioni continue. Derivate.
Studio del grafico di una funzione. Integrali.
Vettori. Matrici. Formula di Taylor.
I Semestre -
Crediti: 9
1.2. Testi consigliati
Il corso si basa sul testo
"Calcolo differenziale e integrale Vol.1" di Nikolaj S. Piskunov
(Editori Riuniti, Roma, 1988).
Il testo delle lezioni si può trovare
qui: gli argomenti
del diario delle lezioni si riferiscono ai paragrafi di tale testo.
1.3. Modalità degli esami
L'esame consiste in una prova scritta (eventualmente sostituita dagli esoneri
durante lo svolgimento del corso) e una prova orale.
2. Orario e ricevimento
2.1. Orario
Le lezioni si svolgono Lunedì alle ore 8.30 - 10.00,
Martedì alle ore 10.15 - 11.45 e
Mercoledì (a settimane alterne) alle ore 10.15 - 11.45 in aula E.
Le esercitazioni hanno luogo Martedì alle ore 12.00 - 13.30 (Turno A)
e Mercoledì alle ore 8.30 - 10.00 (Turno B) in aula E.
(Data d'inizio del corso: Lunedì 29 Settembre 2014).
2.2. Ricevimento
L'orario di ricevimento è: Lunedì ore 16.00 - 18.00.
Il ricevimento della Dott. Giuditta Bravaccino è
dopo le esercitazioni di Mercoledì
(per richiedere un diverso appuntamento scrivere a:
giuditta.bravaccino@yahoo.it).
3. Prove d'esonero
Prima prova d'esonero: Giovedì 13 Novembre 2014 - ore 12.45 - aula F.
Testo del compito.
Risultati.
Seconda prova d'esonero: Martedì 13 Gennaio 2015 - ore 10.00 - aula E.
Testo del compito.
Risultati.
[Orale: si vedano le date degli orali del primo appello delle prove d'esame.]
4. Prove d'esame
Prova d'esame - primo appello: 20 Gennaio 2015 - ore 9.30 - aula E.
Testo del compito.
Risultati.
Orale: 26 Gennaio 2015 - ore 10.00 - Stanza 305.
Prova d'esame - secondo appello: 9 Febbraio 2015 - ore 9.30 - aula E.
Testo del compito.
Risultati.
Orale: 16 Febbraio 2015 - ore 10.00 - Stanza 305.
Prova d'esame - terzo appello: 14 Aprile 2015 - ore 9.30 - aula D.
Testo del compito.
Risultati.
Orale: 17 Aprile 2015 - ore 10.00 - Stanza 305.
Prova d'esame - quarto appello: 30 Giugno 2015 - ore 9.30 - aula E.
Testo del compito.
Risultati.
Prova d'esame - quinto appello: 14 Luglio 2015 - ore 9.30 - aula E.
Testo del compito.
Risultati.
Orale: 16 Luglio 2015 - ore 10.00 - Stanza 305.
Prova d'esame - sesto appello: 2 Settembre 2015 - ore 9.30 - aula F.
Testo del compito.
Risultati.
Orale: 4 Settembre 2015 - ore 10.00 - Stanza 305.
Prova d'esame - settimo appello: 3 Novembre 2015 - ore 14.00 - aula E.
Testo del compito.
Risultati.
5. Programma d'esame
1. I numeri reali
Richiami sugli insiemi.
Cenni sui numeri naturali, interi, razionali e reali.
Asse reale. Fattoriale, cofficiente binomiale e formula del binomio.
Cenni sui numeri complessi.
Cenni sulla definzion assiomatica dei numeri reali.
Sottoinsiemi e intervalli dell'asse reale.
2. Funzioni reali di variabile reale
Piano cartesiano. Estremo inferiore ed estremo superiore.
Modulo di un numero reale. Funzioni reali di variabile reale.
Dominio e codominio di una funzione.
Funzioni elementari principali: potenze,
funzioni trigonometriche, esponenziali e logaritmi.
Equazioni e disequazioni di primo e secondo grado.
Grafico di una funzione: definizione, rette, parabole.
Grafici delle funzioni elementari principali.
Funzioni pari e funzioni dispari.
Traslazioni di grafici e loro significato.
Funzioni composte.
Funzioni inverse.
Funzioni trigonometriche inverse.
Funzioni elementari.
3. Limiti
Funzione distanza. Definizione di limite di una funzione.
Limite finito e limite infinito.
Limite destro e limite sinistro. Funzioni limitate.
Proprietà dei limiti: limite della somma, limite del prodotto,
limite del rapporto.
Teoremi sui limiti: teorema del confronto
e teorema della permanenza del segno.
Definizione del numero di Nepero come limite.
4. Funzioni continue
Definizione di funzione continua.
Proprietà delle funzioni continue.
Funzioni discontinue.
Minimi e massimi assoluti di funzioni continue.
Enunciato del teorema di Weierstrass.
Teoremi sulle funzioni continue:
teorema della permamenza del segno e
teorema dell'esistenza degli zeri.
5. Funzioni derivabili
Rapporto incrementale. Definizione di derivata.
Funzioni derivabili. Significato geometrico della derivata.
Regole di derivazione.
Derivata di una funzione composta. Derivata della funzione inversa.
Derivate di ordine qualsiasi. Funzioni di classe Cn.
Teoremi sulle funzioni derivabili: teoremi di Rolle, di Lagrange e di Cauchy.
Forme indeterminate. Teoremi di de l'Hôpital.
6. Studio del grafico di una funzione
Funzioni crescenti e decrescenti.
Punti stazionari, massimi e minimi relativi, punti estremali
e punti di flesso orizzontale.
Funzioni convesse e concave.
Legame tra la concavità e il segno della derivata seconda.
Punti di flesso obliquo.
Studio dei massimi e minimi di una funzione continua.
Asintoti verticali, orizzontali e obliqui.
Schema per lo studio del grafico di una funzione.
7. Vettori nel piano
Vettori nel piano. Equazioni parameriche
ed equazione cartesiana di una retta nel piano:
equazione di una retta
passante per due punti ed equazione di una retta passante
per un punto e con direzione assegnata.
Vettori linearmente indipendenti. Prodotto scalare.
Proiezione di un vettore lungo una direzione assegnata.
Distanza di un punto da una retta.
8. Vettori nello spazio
Vettori nello spazio. Equazioni parameriche
ed equazione cartesiana di una retta nello spazio:
equazione di una retta
passante per due punti ed equazione di una retta passante
per un punto e con direzione assegnata.
Vettori linearmente indipendenti. Prodotto scalare.
Prodotto vettoriale.
Area del parallelogramma individuato
da due veittori. Distanza di un punto da un piano.
9. Matrici e sistemi di equazioni lineari
Matrici. Matrici quadrate. Somma di matrici.
Prodotto di una matrice per un numero reale.
Determinante di una matrice quadrata.
Prodotto di matrici. Prodotto a destra e prodotto a sinistra.
Potenza intera di una matrice quadrata.
Matrice trasposta. Matrice inversa. Matrici simmetriche.
Sistemi di due o tre equazioni lineari. Metodo di Cramer.
Calcolo della soluzione attraverso la matrice inversa.
Autovalori e autovettori. Polinomio caratteristico.
Diagonalizzazione di una matrice 2×2.
10. Integrali
Somme integrali. Integrali definiti.
Significato geometrico dell'integrazione di funzioni positive.
Proprietà degli integrali definiti.
Primitiva di una funzione. Integrali indefiniti.
Teorema fondamentale del calcolo.
Integrali di alcune funzioni elementari principali.
11. Metodi di integrazione di funzioni elementari
Metodo di integrazione per sostituzione.
Metodo di integrazione per parti.
Funzione razionali regolari.
Scomposizione di funzioni razionali in elementi semplici.
Integrazione degli elementi semplici.
Integrazione delle funzioni razionali.
12. Formula di Taylor
Approssimazione di funzioni con polinomi.
Formula di Taylor. Formula di MacLaurin.
Formula di Lagrange per il resto.
Infinitesimi. Formula di Taylor di alcune funzione elementari principali:
esponenziale, seno e coseno. Calcolo della formula di Taylor
per alcune funzioni elementari: 1/(1-x),
1/(1+x), 1/(1+x2), ln(1+x), arctgx, tgx.
6. Diario delle lezioni
Lezione 1 (29/09/2014)
Cenni sui numeri naturali, interi e razionali e
loro legame con le soluzioni delle equazioni di primo grado (§1.2-4).
Numeri reali e loro legame con le soluzioni delle equazioni di secondo grado (§1.5).
Cenni sulla definizione assiomatica dei numeri reali (§1.6).
Lezione 2 (29/09/2014)
Cenni sui numeri complessi e sul teorema fondamentale dell'algebra (§1.7).
Asse reale e intervalli dell'asse reale (§1.8).
Massimo, mimimo, maggioranti, minoranti, estremo superiore, estremo inferiore di un insieme (§2.2).
Insiemi superiormente e inferiormente limitati (§2.2).
Modulo di un numero reale e alcune sue proprietà (§2.3).
Lezione 3 (30/09/2014)
Piano cartesiano (§2.1).
Variabile reale e funzione di variabile reale (§2.4).
Dominio e codominio di una funzione (§2.4).
Grafico di una funzione (§2.4).
Grafico di una funzione lineare (§3.3).
Equazioni di primo grado (§3.3)
Disequazioni di primo grado (§3.4).
Grafico di una funzione quadratica (§3.3).
Equazioni di secondo grado (§3.3).
Disequazioni di secondo grado (§3.5).
Lezione 4 (30/09/2014)
Le funzioni elementari principali (§3.1).
La funzione potenza: dominio, codominio e grafico (§3.2).
La funzione esponenziale: dominio, codominio e grafico (§3.7).
La funzione logaritmo: dominio, codominio e grafico (§3.8).
Lezione 5 (01/10/2014)
Funzioni trigonometriche: definizione, dominio, codominio e grafico
di seno, coseno, tangente e cotagente (§3.6).
Formule di addizione (§3.6).
Funzioni pari e funzioni dispari (§3.9).
Lezione 6 (01/10/2014)
Grafici ottenuti per traslazioni orizzontali o verticali (§3.9).
Caso delle funzioni quadratiche (§3.9, esempio 2).
Grafico della funzione modulo (§5.1). Esercizio §3.10, 9.
Lezione 7 (06/10/2014)
Funzioni iniettive, suriettive e biunivoche: definizioni ed esempi (§4.1).
Funzione composta: definizione ed esempi (§4.2).
Lezione 8 (06/10/2014)
Funzione inversa: definizioni ed esempi (§4.3).
Funzioni trigonometriche inverse (§4.4).
Lezione 9 (07/10/2014)
Funzioni elementari (§4.5).
Distanza tra due punti dell'asse reale (§5.1).
Introduzione al concetto di limite (§5.2).
Limite: definizione ed esempi (§5.2).
Limite destro e limite sinistro (§5.3).
Lezione 10 (07/10/2014)
Esempi di limite (§5.2). Esempi di funzioni che non ammettono limite
(§5.2). Proprieà dei limiti: limite della somma,
del prodotto e del rapporto (§5.5).
Lezione 11 (13/10/2014)
Esempi di limiti notevoli (§5.2). Teorema dei carabinieri (con dimostrazione)
e applicazioni (§5.5).
Definizione del numero di Nepero (§5.7).
Lezione 12 (13/10/2014)
Funzioni continue (§6.1). Continuità delle funzioni seno e coseno (§6.1).
Funzioni discontinue (§6.3).
Lezione 13 (14/10/2014)
Fattoriale, coefficiente binomiale e formula del binomio (§1.2).
Continuità della funzione potenza a esponente intero (§6.1).
Proprietà delle funzioni continue: somma, prodotto, rapporto e composizione (§6.2).
Lezione 14 (14/10/2014)
Proprietà del modulo, diseguagalianza triangolare (§2.3).
Calcolo di limiti usando la continuità: esercizi 1, 2, 3, 4 e 5 (§6.1).
Teoremi sulle funzioni continue (senza dimostrazione): teorema di Weiestrass,
teorema della permanenza del segno, teorema degli zeri (§6.4).
Lezione 15 (15/10/2014)
Definizione di derivata (§7.1). Funzioni derivabili (§7.1).
Interpretazione geometrica della derivata ed equazione della retta tangente (§7.2).
Derivate di alcune funzioni elementari principali (§7.1).
Regole di derivazione: somma, prodotto e rapporto (§7.2).
Lezione 16 (15/10/2014)
Derivata del rapporto di due funzioni: esempio di tangente e cotangente (§7.2).
Derivata della funzione composta (§7.3).
Esempi 2, 4, 5, 6 e 7 (§7.3).
Lezione 17 (20/10/2014)
Derivata della funzione inversa (§7.4)
Esempi 1, 2, 3 e 4 (§7.4).
Funzioni non derivabili; esempio del modulo (§7.2).
Continuità e derivabilità (§7.1).
Lezione 18 (20/10/2014)
Derivate di ordine superiore (§7.5).
Infinitesimi (§6.5). Teorema di Rolle (§8.1). Teorema di Lagrange (§8.1).
Teorema di Cauchy (§8.1). Forme indeterminate (§8.2).
Lezione 19 (21/10/2014)
Teoremi di de l'Hôpital (§8.3).
Lezione 20 (21/10/2014)
Calcolo di limiti utilizzando i teoremi di de l'Hôpital (§8.3).
Funzioni crescenti e decrescenti (§9.1).
Legame con la derivata prima (§9.1).
Lezione 21 (27/10/2014)
Massimi e minimi relativi, punti estremali e punti stazionari (§9.1).
Massimi e minimi assoluti di una funzione derivabile (§9.4).
Esempi delle funzioni elementari principali (§9.1).
Lezione 22 (27/10/2014)
Esercizi sui grafici di funzioni (§9.1, funzione di figura 9.1;
§9.3, esercizio 3).
Lezione 23 (28/10/2014)
Legame tra punti estremali e derivata seconda (§9.3). Funzioni convesse e concave (§9.5).
Legame tra concavità e derivata seconda (§9.5).
Lezione 24 (28/10/2014)
Punti di flesso orizzontale e obliquo (§9.5).
Asintoti obliqui, orizzontali e verticali (§9.6).
Studio completo del grafico di una funzione (§9.7).
Lezione 25 (29/10/2014)
Esercizi sui grafici di funzion: §9.8, esercizi 2 e 3.
Lezione 26 (29/10/2014)
Esercizi sui grafici di funzioni: §9.8, esercizi 7 e 24.
Lezione 27 (03/11/2014)
Esercizi sui grafici di funzioni: §9.8, esercizi 11 e 20 (inizio).
Lezione 28 (03/11/2014)
Esercizi sui grafici di funzioni: §9.8, esercizi 20 (conclusione) e 16.
Lezione 29 (04/11/2014)
Svolgimento del compito A la prima prova d'esonero dell'A.A. 2013-2014:
testo (inizio).
Lezione 30 (04/11/2014)
Svolgimento del compito A la prima prova d'esonero dell'A.A. 2013-2014:
testo (conclusione).
Lezione 31 (10/11/2014)
Vettori nel piano (§10.1). Somma di vettori (§10.1).
Moltiplicazione di un vettore per un numero (§10.1).
Versori degli assi (§10.1). Vettore nullo (§10.1).
Lezione 32 (10/11/2014)
Rette nel piano: equazione cartesiana ed equazioni parametriche (§10.2).
Equazione di una retta nel piano passante per un punto e parallela a un vettore (§10.3).
Vettori linearmente indipendenti nel piano (§10.3).
Lezione 33 (11/11/2014)
Prodotto scalare nel piano (§10.4).
Esercizio sul prodotto scalare (§10.10, esercizio 2).
Proprietà del prodotto scalare (§10.4).
Distanza di un punto da una retta (§10.4).
Esercizio sulla distanza di un punto da una retta (§10.10, esercizio 11).
Lezione 34 (11/11/2014)
Vettori nello spazio: versori dello spazio, prodotto scalare nello spazio (§10.5).
Prodotto vettoriale: definizione (§10.6).
Lezione 35 (12/11/2014)
Prodotto vettoriale: proprietà (§10.6).
Rette nello spazio: equazione cartesiana ed equazioni parametriche (§10.7).
Rette nel piano e nello spazio (§10.7). Piani nello spazio (§10.8).
Esercizio sulla distanza di un punto da un piano (§10.10, esercizio 13).
Lezione 36 (12/11/2014)
Distanza di un punto da un piano (§10.8).
Esercizio sulla distanza di un punto da un piano (§10.10, esercizio 13).
Vettori linearmente indipendenti nello spazio (§10.5).
Esercizio su vettori lineramente dipendenti e vettori linearmente indipendent (§10.10, esercizio 7).
Lezione 37 (18/11/2014)
Matrici rettangolari e quadrate; somma di matrici; prodotto di una matrice per un numero reale (§11.1).
Determinante di una matrice 2×2 (§11.2).
Determinante di una matrice 3×3 (§11.2).
Definizione ricorsiva del determinante di una matrice n×n (§11.2).
Regola di Sarrus (§11.2). Prodotto vettoriale come determinante formale di una matrice (§11.2).
Lezione 38 (18/11/2014)
Prodotto di matrici (§11.3). Prodotto a destra e a sinistra (§11.3).
Vettori visti come matrici colonne (§11.3).
Prodotto di una matrice per un vettore (§11.3).
Proprietà del prodotto di matrici (§11.3).
Lezione 39 (24/11/2014)
Matrice trasposta, matrice dei cofattori e matrice inversa (§11.4).
Matrici non singolari e matrici invertibili (§11.4).
Proprietà della matrice trasposta (§11.4).
Calcolo della matrice inversa (§11.4).
Proprietà della matrice inversa (§11.4).
Lezione 40 (24/11/2014)
Sistemi di equazioni lineari e soluzioni espresse in termini di determinanti di matrici:
metodo di Cramer per n=2 (§11.6).
Lezione 41 (25/11/2014)
Sistemi di equazioni lineari e soluzioni espresse in termini di determinanti di matrici:
metodo di Cramer per n=3 (§11.6).
Esempio del paragrafo §11.6.
Autovalori e autovettori di matrici 2 × 2 (§11.7).
Polinomio caratteristico (§11.7).
Lezione 42 (25/11/2014)
Esempi di matrici 2×2 con autovalori reali distinti o coincidenti (§11.7).
Matrici simmetriche (§11.5).
Esistenza di autovettori linearmente indipendenti nel caso di autovalori distinti
nel caso di matrici 2×2 (§11.8).
Autovalori reali e autovettori ortogonali
nel caso di matrici simmetriche (§11.7-8).
Esercizio 4 del paragrafo §11.10.
Esempio del paragrafo §11.8.
Lezione 43 (26/11/2014)
Base degli autovettori (§11.8). Diagonalizzazione di una matrice 2× 2
e matrice del cambiamento di base (§11.8).
Lezione 44 (26/11/2014)
Somma integrale, somma integrale inferiore e somma integrale superiore (§12.1).
Integrale definito (§12.1).
Funzioni integrabili e integrale di una funzione continua (§12.1).
Integrale della funzione costante e della funzione f(x)=x (§12.1).
Proprietà degli integrali definiti (§12.2).
Lezione 45 (01/12/2014)
Teorema della media (§12.2). Primitiva di una funzione (§12.3).
Integrale indefinito (§12.3).
Teorema fondamentale dal calcolo (§12.4). Integrali di alcune funzioni elementari (§12.4).
Lezione 46 (01/12/2014)
Integrazione per sostituzione (§13.1).
Esempi di integrazione per sostituzione (§13.1, esempi 2, 5 e 13).
Lezione 47 (02/12/2014)
Integrazione per parti (§13.2).
Esempi di integrazione per parti (§13.2, esempi 1, 2 e 8).
Elementi semplici (§13.3). Integrazione di elementi semplici della forma
A/(x-a)k con k ≥1
e (Ax+B)/(x2 + px +q) (§13.3).
Lezione 48 (02/12/2014)
Esempi di integrazione di elementi semplici
(§13.1, esempio 15; §13.3, esempi 2 e 3 prima della definizione 13.2).
Fattorizzazione di un polinomio (§13.3).
Lezione 49 (09/12/2014)
Scomposizione di funzioni razionali in elementi semplici (§13.3).
Integrazione di elementi semplici della forma (Ax+B)/(x2 + px +q)k
con k > 1 (§13.3).
Lezione 50 (09/12/2014)
Esempi di integrazione di funzioni razionali (§13.3, esempio 2 dopo il Teorema 13.3;
esempi 1 e 3 dopo il Teorema 13.8).
Lezione 51 (10/12/2014)
Approssimazione di una funzione con un polinomio (§14.1).
Formula di Taylor (§14.1). Formula di Mac Laurin (§14.1).
Formula di Lagrange per il resto (§14.1).
Formula di MacLaurin della funzione esponenziale (§14.2).
Lezione 52 (10/12/2014)
Calcolo di alcuni limiti con la formula di Taylor (§14.3).
Formula di MacLaurin delle funzioni trigonometriche (§14.2).
Formula di MacLaurin di alcune funzioni elementari (§14.2.4-14.2.9;
§14.2.10, esempio 1).
Lezione 53 (15/12/2014)
Formula di MacLaurin di alcune funzioni elementari - conclusione
(§14.2.10, esempio 5, osservazioni 1 e 2, esempi 1 e 3).
Lezione 54 (15/12/2014)
Calcolo di alcuni limiti mediante la formula di Taylor
(§14.3, esempi 1, 4, 6, 8, 9 e 10).
Lezione 55 (16/12/2014)
Svolgimento del secondo compito d'esonero dell'A.A. 2012-2013 (prima parte).
testo. Lezione 56 (16/12/2014)
Svolgimento del secondo compito d'esonero dell'A.A. 2012-2013 (seconda parte).
testo.
7. Diario delle esercitazioni (Turno A)
Esercitazione 1 & 2 (30/09/2014)
Esercizi su disequazioni di primo e secondo grado, disequazioni fratte
e disequazioni con moduli (§3.5, esercizi 1, 2, 3, 5;
§3.10, esercizi 3, 5, 6).
Esercitazione 3 & 4 (07/10/2014)
Esercizi su domini e codomini di funzione (§4.6, esercizi 1, 2, 4, 8, 9, 10, 13, 18, 19).
Esercizi sulle funzioni inverse (§4.6, esercizio 14).
Esercitazione 5 & 6 (14/10/2014)
Esercizi sui limiti (§5.8, esercizi 2, 3, 6, 7, 13, 14, 17;
§6.6, esercizi 1, 5, 6, 7, 9).
Esercitazione 7 & 8 (21/10/2014)
Esercizi sulle derivate (§7.6, esercizi 2, 4, 5, 8, 11, 20).
Esercizi sui limiti (§8.4, esercizi 2, 4, 8, 10, 11, 16).
Esercitazione 9 & 10 (28/10/2014)
Esercizi sui grafici di funzioni (§9.2, esercizio 3; §9.6, esercizio 6;
§9.8, esercizio 4).
Esercitazione 11 & 12 (04/11/2014)
Svolgimento del compito A la prima prova d'esonero dell'A.A. 2012-2013:
testo.
Esercitazione 13 & 14 (11/11/2014)
Svolgimento di esercizi delle prove d'esame dell'A.A. 2012-2013:
quinto appello,
sesto appello e
settimo appello.
Esercitazione 15 & 16 (18/11/2014)
Esercizi sui vettori (§10.10, esercizi 3, 5, 8, 9, 12 e 16).
Esercitazione 17 & 18 (25/11/2014)
Esercizi sulle matrici (§11.10, esercizi 3, 8, 9, 10, 15 e 17).
Esercitazione 19 & 20 (02/12/2014)
Esercizi sugli integrali (§13.1, esercizi 6, 9 e 16;
§13.2, esercizi 10 e 12; §13.4, esercizi 1, 8, 12, 17 e 21).
Esercitazione 21 & 22 (09/12/2014)
Esercizi sugli integrali (§13.4, esercizi 4, 11, 13, 14, 16, 17, 24, 25 e 26).
Esercitazione 23 & 24 (16/12/2014)
Esercizi sui limiti tramite la formula di Taylor (§14.4, esercizi 1, 3, 4, 5, 6, 7 e 8).
Esercitazione 25 & 26 (17/12/2014)
Svolgimento del compito d'esame del sesto appello dell'A.A. 2013-2014:
testo.
8. Diario delle esercitazioni (Turno B)
Esercitazione 1 & 2 (01/10/2014)
Esercizi sulle disequazioni di primo grado, di secondo grado e fratte:
testo e soluzioni Esercitazione 3 & 4 (08/10/2014)
Esercizi su disequazioni con modulo, esponenziale e logaritmo;
esercizi sul dominio di una funzione:
testo e soluzioni Esercitazione 5 & 6 (15/10/2014)
Esercizi su disequazioni con funzioni trigonometriche ed esercizi sui limiti:
testo e soluzioni Esercitazione 7 & 8 (22/10/2014)
Esercizi su limiti e derivate:
testo e soluzioni Esercitazione 9 & 10 (29/10/2014)
Esercizi su limiti e grafici di funzioni:
testo e soluzioni Esercitazione 11 & 12 (12/11/2014)
Esercizi su limiti e grafici di funzioni:
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