FM410 - Fisica Matematica 3 (Meccanica analitica)
Docente: Guido Gentile
1. Caratteristiche del corso
Contenuto del corso
Meccanica lagrangiana e sistemi vincolati. Variabili cicliche.
Costanti del moto e simmetrie. Sistemi di oscillatori lineari e
piccole oscillazioni. Meccanica hamiltoniana. Flussi hamiltoniani.
Teorema di Liouville e del ritorno. Trasformazioni canoniche.
Funzioni generatrici. Metodo di Hamilton-Jacobi e variabili azione-angolo.
Introduzione alla teoria delle perturbazioni.
I Semestre -
Crediti: 7 b |
Testi consigliati
Il corso si basa sui testi
Introduzione ai sistemi dinamici. 1.
Equazioni differenziali, analisi qualitativa e alcune applicazioni
e Introduzione ai sistemi dinamici. 2.
Formalismo lagrangiano e hamiltoniano e
dove sono proposti anche altri riferimenti bibliografici.
Modalità degli esami
L'esame consiste in un colloquio orale in cui lo studente dovrà discutere
gli argomenti di teoria trattati a lezione e la soluzione degli esercizi del testo
Introduzione ai sistemi dinamici. 2.
2. Orario
Le lezioni si svolgono Lunedì in aula 009 e Mercoledì in aula C alle ore 14.00 - 16.00.
(Data d'inizio del corso: Lunedì 21 Settembre 2015.)
L'orario di ricevimento è Lunedì ore 16.00 - 18.00.
3. Calendario d'esami
Le date si possono trovare sulla pagina del
calendario d'esami
.
4. Programma d'esame
1. Vincoli
Gradi di libertà e sistemi vincolati. Vincoli olonomi e anolonomi.
Vincoli indipendenti e regolari. Superficie di vincolo.
Traiettorie virtuali. Principio di d'Alembert.
Vincoli di mobilità e vincoli anolonomi integrabili.
Forze vincolari. Richiami sui sistemi rigidi e sull'operatore d'inerzia.
Equazioni cardinali della dinamica dei sistemi rigidi: traiettorie virtuali per sistemi rigidi e
applicazione del principio di d'Alembert ai sistemi rigidi.
Moto di rotolamento senza strisciamento.
Vincoli anolonomi integrabili e vincoli propriamente anolonomi.
2. Meccanica lagrangiana
Sistemi lagrangiani. Equazioni di Eulero-Lagrange. Primo principio variazionale
di Hamilton (principio di minima azione): equivalenza tra equazione di Newton ed
equazioni di Eulero-Lagrange. Problemi di esistenza e unicità per problemi
con condizioni al contorno.
Coordinate generalizzate e lagrangiana vincolata.
Formalismo lagrangiano per sistemi vincolati: equivalenza
tra equazione di Newton supplementata dal principio di d'Alembert ed equazioni di
Eulero-Lagrange per sistemi vincolati. Calcolo delle forze vincolari.
Alcuni esempi notevoli di sistemi lagrangiani: pendolo semplice, pendolo doppio
e pendolo con punto di sospensione che oscilla.
3. Studio dei sistemi lagrangiani
Sistemi indipendenti dal tempo. Energia. Configurazioni d'equilibrio:
studio della stabilità. Teorema di Dirichlet.
Energia potenziale centrifuga in sistemi rotanti.
Variabili cicliche e momenti conservati. Metodo di
Routh e lagrangiana ridotta. Applicazione al problema dei due corpi.
4. Simmetrie e costanti del moto
Gruppi a un parametro di diffeomorfismi. Trasformazioni di coordinate e loro
sollevamenti. Campi vettoriali, momenti associati ai campi vettoriali e momenti coniugati.
Teorema della scatola di flusso.
Gruppi di simmetrie a un parametro: teorema di Noether.
Prodotto di Lie di campi vettoriali.
Commutatività di campi vettoriali e commutatività di gruppi a un parametro.
Teorema: due gruppi a un parametro commutano se solo se commutano i campi
vettoriali associati.
Teorema di Frobenius. Gruppi di simmetrie a più parametri:
teorema di Noether nel caso di gruppi di simmetrie a più parametri.
Sistemi invarianti per traslazioni e sistemi invarianti per rotazioni.
5. Teoria delle piccole oscillazioni
Linearizzazione. Lagrangiana quadratica. Piccole oscillazioni e oscillazioni proprie.
Frequenze normali ed equazione caratteristica. Pendoli identici accoppiati. Battimenti.
Pendoli accoppiati con masse e lunghezze diverse.
Piccole oscillazioni per sistemi vincolati. Relazioni tra le frequenze proprie di un sistema
lagrangiano vincolato e le frequenze del sistema senza vincoli:
teorema di Rayleigh-Courant-Fisher.
6. Meccanica hamiltoniana
Spazio delle fasi. Trasformata di Legendre. Hamiltoniana ed equazioni di Hamilton.
Secondo principio variazionale di Hamilton. Campo vettoriale hamiltoniano.
Campi a divergenza nulla. Teorema di Liouville. Teorema del ritorno di Poincaré.
7. Trasformazioni canoniche
Trasformazioni di coordinate nello spazio delle fasi. Matrici simplettiche.
Determinante delle matrici simplettiche. Trasformazioni che conservano
la struttura canonica. Trasformazioni canoniche e trasformazioni simplettiche.
Trasformazioni indipendenti e dipendenti dal tempo.
Parentesi di Poisson e loro proprietà: bilinearità, antisimmetricità
e identità di Jacobi. Parentesi di Poisson fondamentali e
integrali primi. Caratterizzazione delle trasformazioni canoniche
in termini delle parentesi di Poisson. Richiami sulle forme differenziali
e sul teorema di Stokes. Matrici antisimmetriche non singolari e direzione di rotore.
Invariante integrale di Poincaré-Cartan. Differenziale a tempo
bloccato. Condizione di Lie.
8. Funzioni generatrici e metodo di Hamilton-Jacobi
Funzioni generatrici indipendenti e dipendenti dal tempo. Funzioni generatrici di
prima e seconda specie. Funzione generatrice dell'identità.
Estensione di un cambiamento di coordinate a una trasformazione simplettica
nello spazio delle fasi. Equazione di Hamilton-Jacobi.
Integrale generale e integrale completo. Funzione principale di Hamilton.
Funzione caratteristica di Hamilton. Sistemi unidimensionali e problemi di
non località. Sistemi separabili.
9. Variabili azione-angolo
Variabili azione-angolo. Sistemi unidimensionali. Sistemi a più dimensioni:
teorema di Liouville-Arnold. Caso dei sistemi separabili.
Dimostrazione del teorema di Liouville-Arnold per sistemi separabili.
Sistemi integrabili. Integrabilità del problema dei due corpi.
10. Cenni di teoria delle perturbazioni
Tori invarianti. Vettori diofantei. Sistemi quasi-integrabili.
Equazione di Hamilton-Jacobi e serie perturbative.
Teoria perturbativa al primo ordine ed equazione omologica.
Problemi di convergenza delle serie in dimensione qualsiasi.
Serie di Birkhoff per i sistemi isocroni. Divergenza delle serie di Birkhoff.
Teoria perturbativa al primo ordine per sistemi anisocroni.
Enunciato del teorema KAM.
5. Diario delle lezioni
Lezione 1 (21/09/2015)
Spazio delle traiettorie e spazio delle deformazioni; lagrangiana; funzionale d'azione;
differenziale del funzionale d'azione (Cap. 11, §47).
Punti stazionari del funzionale d'azione
ed equazioni di Eulero-Lagrange; primo principio variazionale di Hamilton (Cap. 11, §47).
Lezione 2 (21/09/2015)
Equazioni di Newton ed equazioni di Eulero-Lagrange per sistemi meccanici
conservativi senza vincoli (Cap. 11, §47).
Lezione 3 (23/09/2015)
Vincoli: definizione; vincoli olonomi; vincoli regolari e indipendenti;
superficie di vincolo (Cap. 9, §35).
Traiettorie virtuali (Cap. 9, §35).
Principio di d'Alembert e vincoli perfetti (Cap. 9, §39).
Lezione 4 (23/09/2015)
Lagrangiana per sistemi vincolati; equazioni di Newton integrate
dal principio di d'Alembert ed equazioni di Eulero-Lagrange per sistemi
meccanici conservativi vincolati; determinazione delle forze vincolari (Cap. 11, §49).
Pendolo semplice: lagrangiana ed equazioni di Eulero-Lagrange (esercizio 6 del Cap. 11).
Lezione 5 (28/09/2015)
Reazioni vincolari per il pendolo semplice.
Pendolo sferico: lagrangiana ed equazioni di Eulero-Lagrange (esercizio 12 del Cap. 11).
Lezione 6 (28/09/2015)
Richiami sui sistemi rigidi: definizione e spazio delle configurazioni
(Cap. 9, §36), energia cinetica e teorema di König (Cap. 9, §37),
operatore d'inerzia e momenti principali d'inerzia (Cap. 10, §42),
equazioni cardinali della dinamica (Cap. 9, §40).
Lezione 7 (30/09/2015)
Vincoli anolonomi, vincoli di mobilità, moto di rotolamento senza strisciamento,
vincoli anolonomi integrabili e vincoli propriamente anolonomi (Cap. 9, §41).
Disco che rotola senza strisciare su un piano
(esempio 41.13 del Cap. 9).
Lezione 8 (30/09/2015)
Disco che rotola senza strisciare all'interno di una superficie circolare
(esempio 41.14 del Cap. 9). Energia cinetica per sistemi vincolati (Cap. 12, §53).
Lezione 9 (05/10/2015)
Sistemi autonomi e conservazione dell'energia (Cap. 12, §53).
Configurazioni d'equilibrio per sistemi lagrangiani e loro stabilità (Cap. 12, §53).
Lezione 10 (05/10/2015)
Energia potenziale gravitazionale ed energia potenziale elastica.
Esercizio 8 del Cap. 12 (nel caso in cui le due sbarre abbiano massa: inizio).
Lezione 11 (07/10/2015)
Esercizio 8 del Cap. 12 (nel caso in cui le due sbarre abbiano massa: conclusione).
Lezione 12 (07/10/2015)
Energia potenziale centrifuga (esercizio 4 del Cap. 12).
Esercizio 10 del Capitolo 12 (inizio).
Lezione 13 (12/10/2015)
Esercizio 10 del Capitolo 12 (conclusione).
Teorema di Routh (Cap. 12, §54).
Lezione 14 (12/10/2015)
Applicazione del teorema di Routh al problema dei due corpi (Cap. 12, §54).
Esercizio 7 del Capitolo 12 (inizio).
Lezione 15 (14/10/2015)
Esercizio 7 del Capitolo 12 (continuazione).
Lezione 16 (14/10/2015)
Esercizio 7 del Capitolo 12 (conclusione).
Lezione 17 (19/10/2015)
Gruppi a un parametro di diffeomorfismi e campi vettoriali associati; momenti (Cap. 13, §57).
Traslazioni e quantità di moto (Cap. 13, §57).
Rotazioni e momento angolare (Cap. 13, §57).
Trasformazioni di coordinate e loro sollevamenti (Cap. 13, §57).
Lezione 18 (19/10/2015)
Teorema della scatola di flusso: enunciato (Cap. 4, §19).
Applicazione al caso delle rotazioni.
Gruppi di simmetrie per sistemi lagrangiani (Cap. 13, §57).
Teorema di Noether (Cap. 13, §57).
Lezione 19 (21/10/2015)
Prodotto di Lie di campi vettoriali (Cap. 13, §58).
Commutazione di gruppi di diffeomorfismi (Cap. 13, §58).
Esempio di gruppi commutanti: traslazioni (Cap. 13, §58).
Esempio di gruppi non commutanti: rotazioni (Cap. 13, §58).
Lezione 20 (21/10/2015)
Teorema di Frobenius: enunciato e dimostrazione (Cap. 13, §58).
Teorema della scatola di flusso: dimostrazione (come caso particolare
del teorema di Frobenius).
Lezione 21 (26/10/2015)
Sollevamento di una campo vettoriale (Cap. 13, §58).
Teorema di Noether nel caso di più gruppi di diffeomorfismi
a un parametro (Cap. 13, §58).
Lezione 22 (26/10/2015)
Teorema di Noether nel caso di sistemi invarianti per traslazioni e rotazioni;
applicazione al problema dei due corpi (Cap. 13, §58).
Piccole oscillazioni: approssimazione lineare delle equazioni
di Eulero-Lagrange e approssimazione quadratica della lagrangiana (Cap. 14, §59).
Lezione 23 (28/10/2015)
Oscillazioni proprie, frequenze delle oscillazioni proprie
ed equazione caratteristica e matrice del cambiamento di base (Cap. 14, §60).
Piccole oscillazioni per pendoli accoppiati: derivazione della lagrangiana (Cap. 14, §61).
Lezione 24 (28/10/2015)
Piccole oscillazioni per pendoli con masse e lunghezze uguali:
moti in fase e in opposizione di fase e fenomento dei battimenti (Cap. 14, §61).
Lezione 25 (04/11/2015)
Piccole oscillazioni per pendoli accoppiati con masse e lunghezze diverse (Cap. 14, §61).
Esercizio 6 del Cap. 14 (inizio).
Lezione 26 (04/11/2014)
Esercizio 6 del Cap. 14 (conclusione).
Lezione 27 (09/11/2015)
Trasformate di Legendre (Cap. 16, §65).
Hamiltoniana, equazioni di Hamilton, equazioni canoniche (Cap. 16, §65).
Lezione 28 (09/11/2015)
Campi vettoriali a divergenza nulla e trasformazioni che conservano il volume (Cap. 16, §65).
Teorema di Liouville (Cap. 16, §65). Teorema del ritorno di Poincaré: enunciato
(Cap. 16, §65). Esperimento di Maxwell (Cap. 16, §65).
Lezione 29 (11/11/2015)
Teorema del ritorno di Poincaré: dimostrazione (Cap. 16, §65).
Metodo di Routh nel formalismo hamiltoniano (Cap. 16, §65).
Secondo principio variazionale di Hamilton (Cap. 16, §66).
Lezione 30 (11/11/2015)
Matrici simplettiche: definizioni e proprietà (Cap. 17, §67).
Trasformazioni di coordinate: trasformazioni canoniche,
trasformazioni simplettiche, trasformazioni che
conservano la struttura canonica delle equazioni (Cap. 17, §67).
Le trasformazioni canoniche conservano la struttura canonica delle equazioni (Cap. 17, §67).
Lezione 31 (16/11/2015)
Una trasformazione indipendente dal tempo è
simplettica se e solo se conserva la struttura canonica delle equazioni
con la stessa hamiltoniana (Cap. 17, §67).
Parentesi di Poisson: definizione e proprietà (Cap. 17, §68).
Lezione 32 (16/11/2014)
Integrali primi e parentesi di Poisson (Cap. 17, §68).
Parentesi di Posson fondamentali (Cap. 17, §68).
Criterio per determinare se una trasformazione è canonica
attraverso il calcolo delle parentesi di Poisson fondamentali (Cap. 17, §68).
Esercizio 8 del Cap. 17.
Lezione 33 (18/11/2015)
Richiami sulla definizione di rotore e sul lemma di Stokes;
matrici antisimmetriche non singolari; forme differenziali non singolari;
spazio delle fasi esteso, direzione di rotore, linee di rotore e tubo di rotore (Cap. 17, §69).
Forma differenziale di Poincaré-Cartan (Cap. 17, §69).
Lezione 34 (18/11/2015)
Invariante integrale di Poincaré-Cartan e
invariante integrale relativo di Poincaré-Cartan (Cap. 17, §69).
Differenziale a tempo bloccato e condizione di Lie (Cap. 17, §70).
Condizione di Lie e conservazione dell'invariante integrale (relativo o no)
di Poincaré-Cartan (Cap. 17, §70).
Lezione 35 (23/11/2015)
Funzioni generatrici (Cap. 17, §70). Procedimento di prima e
di seconda specie (Cap. 17, §70). Calcolo della Hamiltoniana nelle nuove coordinate
a partire dalla funzione generatrice (Cap. 17, §70).
Procedimento di terza e quarta specie (Cap. 17, §70).
Lezione 36 (23/11/2015)
Funzione generatice della trasformazione identità (Cap. 17, §70).
Estensione di una trasformazione di coordinate di posizione
a una trasformazione canonica tramite un procedimento di seconda specie (Cap. 17, §70).
Esercizi 28, 35 e 48 del Cap. 17.
Lezione 37 (25/11/2015)
Teorema 70.27 ed esercizio 37 del Cap. 17:
il flusso hamiltoniano definisce una trasformazione canonica.
Rivisitazione del teorema di Liouville (esercizio 41 del Cap. 17).
Lezione 38 (25/11/2015)
Esercizio 38 del Cap. 17. Equazione di Hamilton-Jacobi; funzione principale di Hamilton;
funzione caratteristica di Hamilton; sistemi unidimensionali (Cap. 18, §71).
Lezione 39 (30/11/2015)
Sistemi separabili e separazione di variabili (Cap. 18, §71).
Variabili azione-angolo (Cap. 18, §72).
Lezione 40 (30/11/2015)
Variabili d'azione per sistemi unidimensionali con potenziali a potenza (Cap. 18, esercizio 16).
Variabile azione-angolo per l'oscillatore armonico (Cap. 19, §75).
Lezione 41 (02/12/2015)
Enunciato del teorema di Liouville-Arnold (Cap. 18, §72).
Dimostrazione del teorema di Liouville-Arnold nel caso di sistemi separabili (Cap. 18, §72).
Lezione 42 (02/12/2015)
Esercizio del Capitolo 18, §74.
Lezione 43 (09/12/2015)
Teoria perturbativa al primo ordine ed equazione omologica (Cap. 19, §76).
Soluzione esplicita nel caso dei sistemi unidimensionali (Cap. 19, §76).
Sistemi isocroni: condizione di non risonanza e vettori diofantei (Cap. 19, §76).
Lezione 44 (09/12/2015)
Misura dei vettori diofantei (Cap. 19, §76).
Teoria perturbativa al primo ordine per sistemi isocroni e per
sistemi anisocroni (Cap. 19, §76).
Lezione 45 (14/12/2015)
Teoria perturbativa a tutti gli ordini: formule iterative nel caso di perturbazioni
di sistemi isocroni: serie di Birkhoff (Cap. 19, §77).
Lezione 46 (14/12/2015)
Divergenza delle serie di Birkhoff (Cap. 19, §77 ed esercizi 5-8).
Lezione 47 (16/12/2015)
Teorema di Nekhoroshev per perturbazioni di sistemi isocroni (Cap. 19, §77).
Lezione 48 (16/12/2015)
Sistemi anisocroni: problemi di definizioni delle serie perturbative;
sistemi quasi-integrabili; cenni sul teorema KAM: enunciato e implicazioni (Cap. 19, §77).
