Contenuto del corso
Richiami di meccanica lagrangiana. Variabili cicliche.
Costanti del moto e simmetrie. Meccanica hamiltoniana. Flussi hamiltoniani.
Teorema di Liouville e del ritorno. Trasformazioni canoniche.
Funzioni generatrici. Metodo di Hamilton-Jacobi e variabili azione-angolo.
Teoria delle perturbazioni. Sistemi quasi-integrabili e teorema KAM.
Modalità degli esami
L'esame consiste in un colloquio orale in cui lo studente dovrà discutere
gli argomenti trattati a lezione, con riferimento ai testi utilizzati e alle note distribuite a lezione.
2. Orario
Le lezioni si svolgono Lunedì e Mercoledì in aula 009 alle ore 14.00 - 16.00.
(Data d'inizio del corso: Lunedì 26 Settembre 2016.)
L'orario di ricevimento è Lunedì ore 16.00 - 18.00.
1. Richiami di meccanica lagrangiana
Spazio delle traiettorie e spazio delle deformazioni. Lagrangiana. Funzionale d'azione.
Equazioni di Eulero-Lagrange. Primo principio variazionale di Hamilton (principio di minima azione).
Equivalenza tra equazione di Newton ed equazioni di Eulero-Lagrange.
Problemi di esistenza e unicità per problemi con condizioni al contorno.
Formalismo lagrangiano per sistemi vincolati: equivalenza
tra equazione di Newton integrata dal principio di d'Alembert ed equazioni di
Eulero-Lagrange per sistemi vincolati.
2. Simmetrie e costanti del moto
Gruppi a un parametro di diffeomorfismi. Trasformazioni di coordinate e loro
sollevamenti. Campi vettoriali, momenti associati ai campi vettoriali e momenti coniugati.
Teorema della scatola di flusso.
Gruppi di simmetrie a un parametro: teorema di Noether.
Prodotto di Lie di campi vettoriali.
Commutatore di campi vettoriali e commutatore di gruppi a un parametro.
Teorema: due gruppi a un parametro commutano se solo se commutano i campi
vettoriali associati.
Teorema di Frobenius. Gruppi di simmetrie a più parametri:
teorema di Noether nel caso di gruppi di simmetrie a più parametri.
Sistemi invarianti per traslazioni e sistemi invarianti per rotazioni.
3. Meccanica hamiltoniana
Spazio delle fasi. Trasformata di Legendre. Hamiltoniana ed equazioni di Hamilton.
Secondo principio variazionale di Hamilton. Campo vettoriale hamiltoniano.
Campi a divergenza nulla. Richiami sul teorema di Liouville
e sul teorema del ritorno di Poincaré.
4. Trasformazioni canoniche
Trasformazioni di coordinate nello spazio delle fasi. Matrici simplettiche.
Determinante delle matrici simplettiche. Trasformazioni che conservano
la struttura canonica. Trasformazioni canoniche e trasformazioni simplettiche.
Trasformazioni indipendenti e dipendenti dal tempo.
Parentesi di Poisson e loro proprietà: bilinearità, antisimmetricità
e identità di Jacobi. Parentesi di Poisson fondamentali e
integrali primi. Caratterizzazione delle trasformazioni canoniche
in termini delle parentesi di Poisson. Richiami sulle forme differenziali
e sul teorema di Stokes. Matrici antisimmetriche non singolari e direzione di rotore.
Invariante integrale di Poincaré-Cartan. Differenziale a tempo
bloccato. Condizione di Lie.
5. Funzioni generatrici e metodo di Hamilton-Jacobi
Funzioni generatrici indipendenti e dipendenti dal tempo. Funzioni generatrici di
prima e seconda specie. Funzione generatrice dell'identità.
Estensione di un cambiamento di coordinate a una trasformazione simplettica
nello spazio delle fasi. Equazione di Hamilton-Jacobi.
Integrale generale e integrale completo. Funzione principale di Hamilton.
Funzione caratteristica di Hamilton. Sistemi unidimensionali e problemi di
non località. Sistemi separabili.
6. Variabili azione-angolo
Variabili azione-angolo. Sistemi unidimensionali. Sistemi a più dimensioni:
teorema di Liouville-Arnold. Caso dei sistemi separabili.
Dimostrazione del teorema di Liouville-Arnold per sistemi separabili.
Variabli azione-angolo per l'oscillatore armonico. Variabili d'azioni per l'oscillatore quartico.
Sistemi integrabili. Integrabilità del problema dei due corpi.
7. Teoria delle perturbazioni
Tori invarianti. Vettori diofantei. Sistemi quasi-integrabili.
Equazione di Hamilton-Jacobi e serie perturbative.
Teoria perturbativa al primo ordine ed equazione omologica.
Problemi di convergenza delle serie in dimensione qualsiasi.
Teoria perturbativa al primo ordine per sistemi anisocroni.
Teorema di Nekhorošev per sistemi isocroni.
Serie di Birkhoff. Controesempi alla convergenza delle serie di Birkhoff.
Primo e secondo teorema di trivialità di Poincaré.
8. Teorema KAM
Enunciato del teorema nel caso di hamiltoniane analitiche. Condizione di Kolmogorov.
Primo passo della dimostrazione del teorema KAM:
definizione della trasformnazione canonica, stime della nuova hamiltoniana,
blocco della fequenza, definizione del nuovo dominio di analiticità.
Passo generale della dimostrazione del teorema KAM: procedimento iterativo
e costruzione del toro invariante. Considerazioni generali:
proprietà generali ed estensioni.
5. Diario delle lezioni
Lezione 1 (03/10/2016)
Richiami sul formalismo lagrangiano (parte 1):
spazio delle traiettorie e spazio delle deformazioni; lagrangiana; funzionale d'azione;
equazioni di Eulero-Lagrange; primo principio variazionale di Hamilton;
equazioni di Newton ed equazioni di Eulero-Lagrange per sistemi meccanici
(Cap. 11, §47).
Lezione 2 (03/10/2016)
Richiami sul formalismo lagrangiano (parte 2):
lagrangiana per sistemi vincolati; equazioni di Newton integrate
dal principio di d'Alembert ed equazioni di Eulero-Lagrange per
sistemi meccanici conservativi vincolati (Cap. 11, §49)
Lezione 3 (05/10/2016)
Gruppi a un parametro di diffeomorfismi e campi vettoriali associati;
momenti; trasformazioni di coordinate e loro sollevamenti;
applicazione al caso delle traslazioni e delle rotazioni (Cap. 13, §57).
Lezione 4 (05/10/2016)
Teorema della scatola di flusso: enunciato (Cap. 4, §19).
Gruppi di simmetrie per sistemi lagrangiani (Cap. 13, §57).
Teorema di Noether: enunciato (Cap. 13, §57).
Lezione 5 (10/10/2016)
Traslazioni e quantità di moto; rotazioni e momento angolare (Cap. 13, §57).
Teorema di Noether: dimostrazione (Cap. 13, §57).
Lezione 6 (10/10/2016)
Teorema della scatola di flusso: dimostrazione (Cap. 4, §19).
Commutazione di gruppi di diffeomorfismi (Cap. 13, §58).
Prodotto di Lie di campi vettoriali (Cap. 13, §58).
Lezione 7 (12/10/2016)
Commutazione di gruppi e prodotto di Lie nullo (Cap. 13, §58).
Lezione 8 (12/10/2016)
Teorema di Frobenius: enunciato e dimostrazione (Cap. 13, §58).
Sollevamento di una campo vettoriale (Cap. 13, §58).
Caso di due gruppi di simmetrie non commutanti: esistenza di un terzo gruppo di simmetrie (Cap. 13, §58).
Lezione 9 (17/10/2016)
Esempio di gruppi commutanti: traslazioni;
esempio di gruppi non commutanti: rotazioni (Cap. 13, §58).
Teorema di Noether nel caso di pił gruppi di diffeomorfismi
a un parametro (Cap. 13, §58).
Lezione 10 (17/10/2016)
Teorema di Noether nel caso di sistemi invarianti per traslazioni e rotazioni;
applicazione al problema degli N corpi (Cap. 13, §58).
Applicazione al pendolo sferico (Cap. 13, §58).
Trasformate di Legendre (Cap. 16, §65). Hamiltoniana (Cap. 16, §65).
Lezione 11 (19/10/2016)
Equazioni di Hamilton, equazioni canoniche (Cap. 16, §65).
Campi vettoriali a divergenza nulla e trasformazioni che conservano il volume (Cap. 16, §65).
Richiami sul teorema di Liouville e sul teorema del ritorno di Poincaré (Cap. 16, §65)
Esperimento di Maxwell (Cap. 16, §65).
Metodo di Routh nel formalismo hamiltoniano (Cap. 16, §65).
Lezione 12 (19/10/2016)
Secondo principio variazionale di Hamilton (Cap. 16, §66).
Matrici simplettiche: definizioni e proprietą (Cap. 17, §67).
Lezione 13 (24/10/2016)
Trasformazioni di coordinate: trasformazioni canoniche, trasformazioni
simplettiche, trasformazioni che conservano la struttura canonica delle equazioni (Cap. 17, §67).
Le trasformazioni canoniche conservano la struttura canonica delle equazioni (Cap. 17, §67).
Una trasformazione indipendente dal tempo è
simplettica se e solo se conserva la struttura canonica delle equazioni
con la stessa hamiltoniana (Cap. 17, §67).
Lezione 14 (24/10/2016)
Parentesi di Poisson: definizione e proprietà (Cap. 17, §68).
Integrali primi e parentesi di Poisson (Cap. 17, §68).
Parentesi di Posson fondamentali (Cap. 17, §68).
Criterio per determinare se una trasformazione è canonica
attraverso il calcolo delle parentesi di Poisson fondamentali (Cap. 17, §68).
Esercizio sulle trasformazioni canoniche (Cap. 17, esercizio 8).
Lezione 15 (26/10/2016)
Esercizi sulle trasformazioni canoniche (Cap. 17, esercizi 28, 29, 34 e 35).
Lezione 16 (26/10/2016)
Richiami sulla definizione di rotore e sul lemma di Stokes;
matrici antisimmetriche non singolari; forme differenziali non singolari;
spazio delle fasi esteso, direzione di rotore, linee di rotore e tubo di rotore (Cap. 17, §69).
Lezione 17 (31/10/2016)
Forma differenziale di Poincaré-Cartan (Cap. 17, §69).
Invariante integrale di Poincaré-Cartan e
invariante integrale relativo di Poincaré-Cartan (Cap. 17, §69).
Differenziale a tempo bloccato e condizione di Lie (Cap. 17, §70).
Lezione 18 (31/10/2016)
Condizione di Lie e conservazione dell'invariante integrale (relativo o no)
di Poincaré-Cartan (Cap. 17, §70).
Teorema 70.27 ed esercizio 37 del Cap. 17:
il flusso hamiltoniano definisce una trasformazione canonica.
Rivisitazione del teorema di Liouville (esercizio 41 del Cap. 17).
Lezione 19 (02/11/2016)
Funzioni generatrici (Cap. 17, §70). Procedimento di prima e di seconda specie (Cap. 17, §70).
Calcolo della Hamiltoniana nelle nuove coordinate
a partire dalla funzione generatrice (Cap. 17, §70).
Procedimento di terza e quarta specie (Cap. 17, §70).
Funzione generatice della trasformazione identità (Cap. 17, §70).
Estensione di una trasformazione di coordinate di posizione
a una trasformazione canonica tramite un procedimento di seconda specie (Cap. 17, §70).
Lezione 20 (02/11/2016)
Esempi di trasformazioni canoniche e trasformazioni non canoniche (Cap. 17, §67).
Esercizi 38, 43, 44, 45 e 48 del Cap. 17.
Lezione 21 (14/11/2016)
Esercizio 38 del Cap. 17. Equazione di Hamilton-Jacobi; funzione principale di Hamilton;
funzione caratteristica di Hamilton; sistemi unidimensionali (Cap. 18, §71).
Lezione 22 (14/11/2016)
Sistemi separabili e separazione di variabili (Cap. 18, §71).
Variabili azione-angolo (Cap. 18, §72).
Lezione 23 (16/11/2016)
Enunciato del teorema di Liouville-Arnold (Cap. 18, §72).
Dimostrazione del teorema di Liouville-Arnold nel caso di sistemi separabili (Cap. 18, §72).
Lezione 24 (16/11/2016)
Esercizio del Capitolo 18, §74.
Lezione 25 (21/11/2016)
Variabili d'azione per sistemi unidimensionali con potenziali a potenza (Cap. 18, esercizio 16).
Variabile azione-angolo per l'oscillatore armonico (Cap. 19, §75).
Lezione 26 (21/11/2016)
Variabile azione-angolo per il problema dei due corpi (prima parte).
Lezione 27 (28/11/2016)
Variabile azione-angolo per il problema dei due corpi (seconda parte).
Teoria delle perturbazioni; domini di analiticità;
decadimento esponenziale dei coefficienti di Fourier di funzioni analitiche.
Lezione 28 (28/11/2016)
Sistema Solare e Hamiltoniana per il problema degli N corpi.
Strategia della teoria delle perturbazioni.
Equazione fondamentale della teoria delle perturbazioni.
Lezione 29 (30/11/2016)
Teoria perturbativa al primo ordine.
Soluzione dell'equazione fondamentale della teoria delle perturbazioni
in una dimensione. Problema dei piccoli divisori. Condizione diofantea.
Sistemi isocrononi, sistemi anisocroni (o non degeneri) e condizione di Kolmogorov.
Lezione 30 (30/11/2016)
Sistemi isocroni. Teoria perturbativa a tutti gli ordini per sistemi isocroni: prima parte.
Lezione 31 (05/12/2016)
Teoria perturbativa a tutti gli ordini per sistemi isocroni: seconda parte.
Lezione 32 (05/12/2016)
Teorema di Nekhorošev per sistemi isocroni.
Serie di Birkhoff. Controesempi alla convergenza delle serie di Birkoff.
Lezione 33 (07/12/2016)
Primo teorema di trivialità di Poincaré.
Secondo teorema di trivialità di Poincaré.
Lezione 34 (07/12/2016)
Calcolo esplicito dei primi ordini della serie di Birkhoff.
Definizione ricorsiva dei coefficienti della serie di Birkoff
e loro definizione in termini della sola perturbazione.
Lezione 35 (12/12/2016)
Enunciato del teorema KAM. Primo passo della dimostrazione del teorema KAM:
definizione della trasformazione canonica.
Lezione 36 (12/12/2016)
Primo passo della dimostrazione del teorema KAM: prime stime.
Lezione 37 (14/12/2016)
Primo passo della dimostrazione del teorema KAM:
stime della nuova hamiltoniana.
Lezione 38 (14/12/2016)
Primo passo della dimostrazione del teorema KAM:
definizione del nuovo dominio di analiticità (prima parte).
Lezione 39 (19/12/2016)
Primo passo della dimostrazione del teorema KAM: blocco della fequenza,
definizione del nuovo dominio di analiticità (seconda parte).
Lezione 40 (19/12/2016)
Passo generale della dimostrazione del teorema KAM e conclusione della dimostrazione.
Considerazioni finali.
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