Anno Accademico 2016/2017       



Matematica - Modulo I
(Corso di Laurea in Scienze Geologiche)
Docente: Guido Gentile



1. Caratteristiche del corso

1.1. Contenuto del corso
Numeri. Funzioni reali di variabile reale. Limiti di funzioni. Funzioni continue. Derivate. Studio del grafico di una funzione. Integrali. Vettori. Matrici. Formula di Taylor.
Modulo I del Corso Annuale "Matematica" - Crediti: 6 (crediti del corso: 12)

1.2. Testi consigliati
Il modulo I del corso si basa essenzialmente sul testo "Calcolo differenziale e integrale, Vol. 1" di Nikolaj S. Piskunov (Editori Riuniti, Roma, 1988).
Testo delle lezioni in formato pdf: gli argomenti del diario delle lezioni si riferiscono ai paragrafi del testo.

1.3. Modalità degli esami
L'esame del corso "Matematica" consiste in una prova scritta (eventualmente sostituita dagli esoneri durante lo svolgimento del corso) e una prova orale.

2. Orario e ricevimento

2.1. Orario
Le lezioni si svolgono Lunedì alle ore 8.30 - 10.00, Martedì alle ore 10.15 - 11.45 e Mercoledì alle ore 10.15 - 11.45 in aula E.

2.2. Ricevimento
L'orario di ricevimento è: Lunedì ore 16.00 - 18.00.

3. Prove d'esonero

Prova d'esonero: Lunedì 16 Gennaio 2017 - Aula B3 - ore 9:30. [Per poter sostenere l'esonero occorre prenotarsi.] Testo del compito. Risultati.
La prova d'esonero del Modulo 2 di Matematica avrà luogo Venerdì 9 Giugno 2017 in Aula G alle ore 9:30.

4. Prove d'esame

Prova d'esame - primo appello: 23 Giugno 2017 - Aula E - ore 9:30.   Orale: Mercoledì 28 Giugno 2017 - ore 10.00 - Stanza 206.
Prova d'esame - secondo appello: 12 Luglio 2017 - Aula E - ore 9:30. Testo del compito. Risultati.   Orale: Venerdì 14 Luglio 2017 - ore 11.30 - Stanza 206.
Prova d'esame - terzo appello: 4 Settembre 2017 - Aula E - ore 9:30.
Prova d'esame - quarto appello: 6 Novembre 2017 - Aula D - ore 9:30.
Prova d'esame - quinto appello: 25 Gennaio 2017 - Aula E - ore 9:30.
Prova d'esame - sesto appello: 13 Febbraio 2017 - Aula E - ore 9:30.
Prova d'esame - settimo appello: 10 Aprile 2017 - Aula E - ore 9:30.

[Per le prove d'esame di Matematica I si veda la pagina MAT1 - Matematica1 dell'anno accademico 2015-2016.]

5. Programma d'esame

Programma del corso in formato pdf

1. I numeri reali
Richiami sugli insiemi. Cenni sui numeri naturali, interi, razionali e reali. Asse reale. Cenni sui numeri complessi.
Cenni sul teorema fondamentale dell'algebra. Radici reali e radici complesse di un polinomio.
Cenni sulla fattorizzazione di un polinomio. Sottoinsiemi e intervalli dell'asse reale.

2. Funzioni reali di variabile reale
Piano cartesiano. Estremo inferiore ed estremo superiore. Modulo di un numero reale. Funzioni reali di variabile reale.
Dominio e codominio di una funzione. Funzioni elementari principali: potenze, funzioni trigonometriche, esponenziali e logaritmi.
Equazioni e disequazioni di primo e secondo grado. Grafico di una funzione: definizione, rette, parabole.
Grafici delle funzioni elementari principali. Funzioni pari e funzioni dispari. Traslazioni di grafici e loro significato.
Funzioni composte. Funzioni inverse. Funzioni trigonometriche inverse. Funzioni elementari.

3. Limiti
Funzione distanza. Definizione di limite di una funzione. Limite finito e limite infinito. Limite destro e limite sinistro. Funzioni limitate.
Proprietà dei limiti: limite della somma, limite del prodotto, limite del rapporto. Teoremi sui limiti: teorema del confronto
e teorema della permanenza del segno. Definizione del numero di Nepero come limite. Limiti notevoli. Infinitesimi.

4. Funzioni continue
Definizione di funzione continua. Funzioni discontinue. Minimi e massimi assoluti di funzioni continue.
Teoremi sulle funzioni continue: teorema di Weierstrass e teorema dell'esistenza degli zeri.

5. Funzioni derivabili
Rapporto incrementale. Definizione di derivata. Funzioni derivabili. Significato geometrico della derivata. Regole di derivazione.
Derivata di una funzione composta. Derivata della funzione inversa. Derivate di ordine qualsiasi. Funzioni di classe Cn.
Teoremi sulle funzioni derivabili: teoremi di Rolle, di Lagrange e di Cauchy. Forme indeterminate. Teoremi di de l'Hôpital.

6. Studio del grafico di una funzione
Funzioni crescenti e decrescenti. Punti stazionari, massimi e minimi relativi, punti estremali e punti di flesso orizzontale.
Studio dei massimi e minimi di una funzione continua. Funzioni convesse e concave. Legame tra la concavità e il segno della derivata seconda.
Punti di flesso obliquo. Asintoti verticali, orizzontali e obliqui. Studio del grafico di una funzione.

7. Vettori nel piano
Vettori nel piano. Equazioni parameriche ed equazione cartesiana di una retta nel piano:
equazione di una retta passante per due punti ed equazione di una retta passante per un punto e con direzione assegnata.
Vettori linearmente indipendenti. Prodotto scalare. Proiezione di un vettore lungo una direzione assegnata. Distanza di un punto da una retta.

8. Vettori nello spazio
Vettori nello spazio. Equazioni parameriche ed equazione cartesiana di una retta nello spazio:
equazione di una retta passante per due punti ed equazione di una retta passante per un punto e con direzione assegnata.
Vettori linearmente indipendenti. Prodotto scalare. Prodotto vettoriale.
Area del parallelogramma individuato da due vettori. Distanza di un punto da un piano.

9. Matrici e sistemi di equazioni lineari
Matrici. Matrici quadrate. Somma di matrici. Prodotto di una matrice per un numero reale. Determinante di una matrice quadrata.
Prodotto di matrici. Prodotto a destra e prodotto a sinistra. Potenza intera di una matrice quadrata. Matrice trasposta. Matrice inversa.
Matrici simmetriche. Autovalori e autovettori. Polinomio caratteristico. Diagonalizzazione di una matrice 2×2.

10. Integrali
Somme integrali. Integrali definiti. Significato geometrico dell'integrazione di funzioni positive. Proprietà degli integrali definiti.
Primitiva di una funzione. Integrali indefiniti. Teorema fondamentale del calcolo. Integrali di alcune funzioni elementari principali.

11. Metodi di integrazione di funzioni elementari
Metodo di integrazione per sostituzione. Metodo di integrazione per parti. Funzione razionali regolari.
Scomposizione di funzioni razionali in elementi semplici. Integrazione degli elementi semplici. Integrazione delle funzioni razionali.

12. Formula di Taylor
Approssimazione di funzioni con polinomi. Formula di Taylor. Formula di MacLaurin. Formula di Lagrange per il resto.
Infinitesimi. Formula di Taylor di alcune funzione elementari principali: esponenziale, seno e coseno.
Calcolo della formula di Taylor per alcune funzioni elementari.

6. Diario delle lezioni

Lezione 1 (03/10/2016)
Cenni sui numeri naturali, interi e razionali e loro legame con le soluzioni delle equazioni di primo grado (§1.2-4).
Numeri reali e loro legame con le soluzioni delle equazioni di secondo grado (§1.5). Cenni sui numeri complessi (§1.7).
Enunciato del teorema fondamentale dell'algebra (§1.7).
Lezione 2 (03/10/2016)
Asse reale e intervalli dell'asse reale (§1.8). Esercizi sugli intervalli (§1.8, esercizi 3, 4 e 5).
Massimo, mimimo, maggioranti, minoranti, estremo superiore, estremo inferiore di un insieme (§2.2).
Insiemi superiormente e inferiormente limitati (§2.2). Modulo di un numero reale e sue proprietà (§2.3). Diseguaglianza triangolare (§2.3).
Lezione 3 (04/10/2016)
Esercizi sui moduli (§2.3, esempio 3). Piano cartesiano (§2.1). Variabile reale e funzione di variabile reale (§2.4).
Dominio e codominio di una funzione (§2.4). Grafico di una funzione (§2.4).
Lezione 4 (04/10/2016)
Le funzioni elementari principali (§3.1). La funzione potenza: dominio, codominio e grafico (§3.2). Funzioni pari e funzioni dispari (§3.9).
Traslazione del grafico di una funzione (§3.9). Grafico di una funzione lineare (§3.3). Equazioni di primo grado (§3.3)
Lezione 5 (05/10/2016)
Disequazioni di primo grado (§3.4). Grafico di una funzione quadratica (§3.3). Equazioni di secondo grado (§3.3).
Disequazioni di secondo grado (§3.5).
Lezione 6 (05/10/2016)
Esercizi sulle disequazioni (§3.5, esercizi 3 e 6). Funzioni trigonometriche: seno, coseno, tangente e cotagente; (§3.6).
Loro definizione, dominio, codominio, grafico e periodicità (§3.6). Formule di addizione (§3.6). Relazione tra seno e coseno (§3.9).
Lezione 7 (10/10/2016)
La funzione esponenziale: dominio, codominio e grafico (§3.7). La funzione logaritmo: dominio, codominio e grafico (§3.8).
Esponenziale con base il numero di Nepero e logaritmo naturale (§3.7 e 3.8).
Lezione 8 (10/10/2016)
Esercizi sulle disequazioni (§3.10, esercizi 2, 5 e 8).
Lezione 9 (11/10/2016)
Funzioni iniettive, suriettive e biunivoche: definizioni ed esempi (§4.1). Funzione composta: definizione ed esempi (§4.2).
Funzione inversa: definizioni ed esempi (§4.3).
Lezione 10 (11/10/2016)
Funzioni trigonometriche inverse: arcoseno e arcocoseno (§4.4). Funzioni trigonometriche inverse: arcotangente e arcocotangente (§4.4).
Funzioni elementari (§4.5). Polinomi e funzioni razionali (§4.5). Fattorizzazione di un polinomio (§1.7).
Esercizi sui domini delle funzioni (§4.6, esercizi 1, 2 e 8).
Lezione 11 (12/10/2016)
Esercizi sui domini delle funzioni (§4.6, esercizi 4, 7, 12, 13, 17 e 19).
Lezione 12 (12/10/2016)
Grafico della funzione modulo (§5.1). Introduzione al concetto di limite (§5.2). Limite: definizione ed esempi (§5.2). Esercizi sui limiti (§5.2, esercizi 1 e 3).
Lezione 13 (17/10/2016)
Esempi di limite (§5.2, esercizio 2). Esempi di funzioni che non ammettono limite (§5.2, esempi 1 e 2). Limite destro e limite sinistro (§5.3).
Proprieà dei limiti: limite della somma, del prodotto e del rapporto (§5.5).
Lezione 14 (17/10/2016)
Teorema dei carabinieri (o del confronto) e applicazioni (§5.5). Esempi di limiti notevoli (§5.6, esercizi 1, 2, 3 e 7). Esercizi sui limiti (§5.8, esercizi 3, 7 e 14).
Lezione 15 (18/10/2016)
Definizione del numero di Nepero (§5.7). Funzioni continue (§6.1). Funzioni discontinue (§6.3).
Proprietà delle funzioni continue: somma, prodotto e composizione (§6.2). Teorema di Weierstrass e teorema degli zeri (§6.4).
Lezione 16 (18/10/2016)
Altri esempi di limiti notevoli (§6.2, limiti 4 e 5). Esercizi sui limiti (§5.8, esercizi 9, 12 e 18).
Lezione 17 (19/10/2016)
Esercizi sui limiti (§6.6, esercizi 3 e 9). Infinitesimi (§6.5). Definizione di derivata (§7.1). Funzioni derivabili (§7.1).
Interpretazione geometrica della derivata ed equazione della retta tangente (§7.2).
Lezione 18 (19/10/2016)
Derivate delle funzioni elementari principali (§7.1). Regole di derivazione: derivata del prodotto per una costante,
derivata della somma di funzioni, derivata del prodotto di funzioni, derivata del rapporto di due funzioni (§7.2). Esempio di tangente e cotangente (§7.2).
Lezione 19 (24/10/2016)
Derivata della funzione composta (§7.3). Esercizi sulla derivazione di funzione composte (§7.3, esempi 1, 2, 3, 5, 6, 7 e 8).
Funzioni non derivabili in un punto; esempio del modulo (§7.2).
Lezione 20 (24/10/2016)
Derivata della funzione inversa (§7.4). Applicazione a logaritmo ed esponenziale (§7.4, osservazioni 1 e 2).
Derivazione delle funzioni trigonometriche inverse (§7.4, esempi 1, 2 e 3).
Lezione 21 (25/10/2016)
Esercizi sulla derivazione di funzione composte (§7.6, esercizio 11). Teorema di Rolle: enunciato e interpretazione geometrica (§8.1).
Teorema di Lagrange: enunciato e interpretazione geometrica (§8.1). Teorema di Cauchy: enunciato (§8.1).
Lezione 22 (25/10/2016)
Forme indeterminate (§8.2). Teoremi di de l'Hôpital: enunciati (§8.3).
Controesempio nel caso in cui il rapporto delle derivate non ammetta limite (§8.3, osservazione 4).
Esercizi sui limiti (§8.3, pag. 86, esempi 1, 2 e 3; §8.3, pag. 87, esempio 1 dopo il teorema 8.10, esempio 1 dopo il teorema 8.11; §8.4, esercizi 2, 3, 10 e 15).
Lezione 23 (26/10/2016)
Esercizi sulla derivazione di funzione composte (§7.6, esercizi 4 e 5). Continuità e derivabilità (§7.1).
Derivate di ordine superiore (§7.5). Funzioni derivabili infinite volte e controesempi (§ 7.6, esercizio 15).
Lezione 24 (26/10/2016)
Funzioni crescenti e decrescenti (§9.1). Legame con la derivata prima (§9.1). Massimi e minimi relativi, punti estremali e punti stazionari (§9.1).
Massimi e minimi assoluti di una funzione derivabile (§9.4). Esercizi sui grafici di funzioni (§9.2, esempio 2, §9.4, esempi 1 e 3).
Lezione 25 (02/11/2016)
Legame tra punti estremali e derivata seconda (§9.3). Funzioni convesse e concave (§9.5). Legame tra concavità e derivata seconda (§9.5).
Concavità di alcune funzioni elementari principali (§9.1).
Lezione 26 (02/10/2016)
Punti di flesso orizzontale e obliquo (§9.5). Asintoti obliqui, orizzontali e verticali (§9.6). Studio completo del grafico di una funzione (§9.7).
Esercizi sui grafici di funzione (§9.5, esempi 1, 2, 3, 4 e 6 dopo il teorema 91.5; §9.5, esempi 1, 2 e 5 dopo la definizione 9.16; §9.6, osservazione 6).
Lezione 27 (07/11/2016)
Esercizi sui grafici di funzioni: §9.8, esercizio 11.
Lezione 28 (07/11/2016)
Esercizi sui grafici di funzioni: §9.8, esercizi 5 e 21.
Lezione 29 (08/11/2016)
Esercizi sui grafici di funzioni: §9.8, esercizio 20.
Lezione 30 (08/11/2016)
Esercizi sui grafici di funzioni: §9.8, esercizio 17.
Lezione 31 (09/11/2016)
Esercizi sui grafici di funzioni: §9.8, esercizio 2.
Lezione 32 (09/11/2016)
Esercizi sui grafici di funzioni: §9.8, esercizi 23 e 24.
Lezione 33 (14/11/2016)
Vettori nel piano (§10.1). Somma di vettori (§10.1). Moltiplicazione di un vettore per un numero (§10.1).
Versori degli assi (§10.1). Vettore nullo (§10.1). Rette nel piano: equazione cartesiana ed equazioni parametriche (§10.2).
Lezione 34 (14/11/2016)
Equazione di una retta nel piano passante per due punti (§10.3). Equazione di una retta nel piano passante per un punto e parallela a un vettore (§10.3).
Vettori linearmente indipendenti nel piano (§10.3).
Lezione 35 (15/11/2016)
Prodotto scalare nel piano (§10.4). Proprietà del prodotto scalare (§10.4). Distanza di un punto da una retta (§10.4).
Lezione 36 (15/11/2016)
Esercizi sulla distanza di un punto da una retta (§10.10, esercizi 11 e 16). Esercizi sul prodotto scalare (§10.10, esercizio 5).
Lezione 37 (16/11/2016)
Vettori nello spazio, versori dello spazio, prodotto scalare nello spazio (§10.5). Terne destrogire.
Prodotto vettoriale: definizione e proprietà (§10.6). Rette nello spazio: equazione cartesiana (§10.7).
Lezione 38 (16/11/2016)
Rette nel piano e nello spazio (§10.7). Piani nello spazio (§10.8). Esercizi sui vettori (§10.10, esercizio 4).
Lezione 39 (21/11/2016)
Distanza di un punto da un piano (§10.8). Esercizio sulla distanza di un punto da un piano (§10.10, esercizi 13 e 18).
Lezione 40 (21/11/2016)
Vettori linearmente indipendenti nello spazio (§10.5). Esercizi sui vettori (§10.10, esercizi 7, 19 e 20).
Lezione 41 (22/11/2016)
Matrici rettangolari e quadrate; somma di matrici; prodotto di una matrice per un numero reale (§11.1). Matrice identità e matrice nulla (§11.1).
Esempio di somma di matrici (§11.1, esempio). Prodotto di matrici (§11.3). Prodotto a destra e a sinistra (§11.3).
Esempio di prodotti di matrici (§11.3, esempio 1).
Lezione 42 (22/11/2016)
Vettori visti come matrici colonne (§11.3). Prodotto di una matrice per un vettore (§11.3). Determinante di una matrice 2×2 (§11.2).
Determinante di una matrice 3×3 (§11.2). Regola di Sarrus (§11.2). Proprietà del determinante (§11.2, 11.3).
Esempio di prodotti di matrici (§11.3, pag. 172, osservazione 3).
Lezione 43 (23/11/2016)
Proprietà del prodotto di matrici (§11.3). Matrice trasposta, matrice dei cofattori e matrice inversa (§11.4). Matrici non singolari e matrici invertibili (§11.4).
Calcolo della matrice inversa (§11.4). Proprietà della matrice trasposta (§11.4). Proprietà della matrice inversa (§11.4).
Esercizi sulle matrici inverse (§11.4, esempi 1 e 2). Matrici simmetriche (§11.5).
Lezione 44 (23/11/2016)
Autovalori e autovettori di matrici 2 × 2 (§11.7). Polinomio caratteristico (§11.7). Esempi di matrici 2×2 con autovalori reali distinti o coincidenti (§11.7).
Esercizi sugli autovalori e autovettori (§11.7, esempio 1; §11.9, proprietà 2).
Lezione 45 (28/11/2016)
Autovettori linearmente indipendenti nel caso di autovalori distinti (§11.8). Autovalori reali e autovettori ortogonali nel caso di matrici simmetriche (§11.7-8).
Autovalori e autovettori della matrice inversa e della potenza di una matrice (§11.8). Legame tra determinante e autovalori di una matrice (§11.8).
Lezione 46 (28/11/2016)
Esercizi sulle matrici (§11.10, esercizi 15, 18 e 20).
Lezione 47 (29/11/2016)
Somma integrale, somma integrale inferiore e somma integrale superiore (§12.1). Integrale definito (§12.1).
Funzioni integrabili e integrale di una funzione continua (§12.1). Integrale della funzione costante e della funzione f(x)=x (§12.1).
Lezione 48 (29/11/2016)
Proprietà degli integrali definiti (§12.2). Teorema della media (§12.2). Primitiva di una funzione (§12.3). Integrale indefinito (§12.3).
Teorema fondamentale dal calcolo (§12.4).
Lezione 49 (30/11/2016)
Integrali di alcune funzioni elementari (§12.4). L'integrale di una funzione elementare non necessariamente è una funzione elementare (§12.4, osservazione 2).
Integrazione per sostituzione (§13.1). Esempi di integrazione per sostituzione (§13.1, esempi 1, 2 e 4).
Lezione 50 (30/11/2016)
Esempi di integrazione per sostituzione (§13.1, esempi 8, 9, 14, 15 e 16).
Lezione 51 (05/12/2016)
Integrazione per parti (§13.2). Esempi di integrazione per parti (§13.2, esempi 1, 2, 4, 5, 7, 10 e 12).
Funzioni razionali e funzioni razionali regolari (§13.3). Esercizio sulla divisione di polinomi (§13.3, esempio 1, pag. 214).
Lezione 52 (05/12/2016)
Elementi (o fratti) semplici (§13.3). Integrazione di elementi semplici (§13.3).
Fattorizzazione di un polinomio e scomposizione di funzioni razionali in elementi semplici nel caso di radici reali (§13.3, esempio 1, pag. 215).
Esercizi sull'integrazione di funzioni razionali (§13.3, esempio 1, pag. 216; §13.4, esercizio 2). Esercizi sugli integrali (§13.4, esercizio 1).
Prodotto vettoriale come determinante formale di una matrice (§11.2, pag. 167, osservazione 6).
Lezione 53 (06/12/2016)
Fattorizzazione di un polinomio e scomposizione di funzioni razionali in elementi semplici nel caso di radici non reali (§13.3, esempio 1, pag. 215).
Esempi di integrazione di funzioni razionali (§13.3, esempi 5 e 6, pag. 216).
Lezione 54 (06/12/2016)
Esercizi sugli integrali (§13.4, esercizi 10, 14, 17, 18 e 23).
Lezione 55 (07/12/2016)
Esercizi sugli integrali (§13.4, esercizi 20 e 26). Approssimazione di una funzione con un polinomio (§14.1).
Formula di Taylor (§14.1). Formula di Mac Laurin (§14.1). Formula di Lagrange per il resto (§14.1).
Lezione 56 (07/12/2016)
Formula di MacLaurin della funzione ex (§14.2.1). Formula di MacLaurin delle funzioni sin x (§14.2.2) e cos x (§14.2.3).
Formula di MacLaurin delle funzioni 1/(1-x) (§14.2.4), 1/(1+x) (§14.2.5) 1/(1+x2) (§14.2.7).
Lezione 57 (12/12/2016)
Formula di MacLaurin delle funzioni ln (1+x) (§14.2.8) e arctg x (§14.2.9).
Formula di MacLaurin delle funzioni √1+x e tg x (§14.2.10, esempi 1 e 5 di pag. 231, osservazione 1).
Lezione 58 (12/12/2016)
Esercizi sui limiti con la formula di Taylor (§14.2.10, esempio 3 di pag. 232, §14.3, esempi 1, 4, 6, 7, 8 e 9; §14.4, esercizio 1).
Lezione 59 (13/12/2016)
Svolgimento del compito del primo appello dell'A.A. 2015-2016: testo (esercizi 1 e 2).
Lezione 60 (13/12/2016)
Svolgimento del compito del primo appello dell'A.A. 2015-2016: testo (esercizi 3, 4 e 5).
Lezione 61 (14/12/2016)
Svolgimento del compito del primo appello dell'A.A. 2015-2016: testo (esercizio 6).
Svolgimento del compito del quinto appello dell'A.A. 2015-2016: testo (esercizi 1 e 2).
Lezione 62 (14/12/2016)
Svolgimento del compito del quinto appello dell'A.A. 2015-2016: testo (esercizi 3, 4 e , 5).
Lezione 63 (19/12/2016)
Svolgimento del compito del quinto appello dell'A.A. 2015-2016: testo (esercizio 6).
Lezione 64 (19/12/2016)
Svolgimento del compito del terzo appello dell'A.A. 2014-2015: testo (esercizi 1 e 2).
Lezione 65 (20/12/2016)
Svolgimento del compito del terzo appello dell'A.A. 2014-2015: testo (esercizi 5 e 6).
Lezione 66 (20/12/2016)
Svolgimento del compito del terzo appello dell'A.A. 2014-2015: testo (esercizi 3 e 4).
Svolgimento del compito del sesto appello dell'A.A. 2015-2016: testo (esercizi 1 e 5).
Lezione 67 (21/12/2016)
Svolgimento del compito del sesto appello dell'A.A. 2015-2016: testo (esercizi 2, 3 e 6).
Lezione 68 (21/12/2016)
Svolgimento del compito del sesto appello dell'A.A. 2014-2015: testo (esercizi 1, 3, 5 e 6).