|
|
Anno Accademico 2017/2018 |
 \
|
|
|
FM410 - Fisica Matematica 3 (Meccanica analitica)
Docente: Guido Gentile
1. Caratteristiche dell'insegnamento
Contenuto dell'insegnamento
Richiami di meccanica lagrangiana. Variabili cicliche.
Costanti del moto e simmetrie. Meccanica hamiltoniana. Flussi hamiltoniani.
Teorema di Liouville e del ritorno. Trasformazioni canoniche.
Funzioni generatrici. Metodo di Hamilton-Jacobi e variabili azione-angolo.
Teoria delle perturbazioni. Sistemi quasi-integrabili e teorema KAM.
I Semestre -
Crediti: 7 - TAF: b/c |
Testi consigliati
L'insegnamento si basa essenzialmente sul testo
Introduzione ai sistemi dinamici. 2.
Formalismo lagrangiano e hamiltoniano,
dove sono proposti anche altri riferimenti bibliografici.
Modalità degli esami
L'esame consiste in un colloquio orale in cui lo studente dovrà discutere
gli argomenti trattati a lezione, con riferimento ai testi utilizzati e alle note distribuite a lezione.
2. Orario
Data della prima lezione: lunedì 25 settembre 2017 in aula 009 alle ore 14:00.
Data della seconda lezione: mercoledì 27 settembre 2017 in aula 311 alle ore 16:00.
Lezioni successive: lunedì e mercoledì in aula 009 alle ore 16:00-18:00.
Ultima lezione: lunedì 18 dicembre 2017.
Orario di ricevimento: lunedì ore 14:00-16:00 oppure per appuntamento.
3. Calendario d'esami
Le date si possono trovare sulla pagina del
calendario d'esami
.
4. Programma d'esame
Programma definitivo dell'insegnamento
dell'A.A. 2017-2018 in formato pdf
1. Richiami di meccanica lagrangiana
Sistemi meccanici conservativi. Sistemi vincolati e superficie di vincolo. Principio di d'Alembert.
Spazio delle traiettorie e spazio delle deformazioni. Lagrangiana e funzionale d'azione.
Equazioni di Eulero-Lagrange. Primo principio variazionale di Hamilton.
Equazioni di Newton ed equazioni di Eulero-Lagrange per sistemi meccanici conservativi.
Lagrangiana per sistemi vincolati. Equazioni di Newton integrate dal principio di
d'Alembert ed equazioni di Eulero-Lagrange per sistemi meccanici conservativi vincolati.
Formalismo lagrangiano per sistemi definiti su varietà differenziabili.
Equazioni del moto per il pendolo semplice, nel formalismo lagrangiano e
mediante l'uso dei moltiplicatori di Lagrange, e calcolo delle reazioni vincolari.
Variabili cicliche e metodo di Routh. Applicazione al problema dei due corpi.
Sistemi rigidi, teorema di König, operatore d'inerzia, momenti d'inerzia,
momenti principali d'inerzia, assi d'inerzia
2. Simmetrie e costanti del moto
Gruppi a un parametro di diffeomorfismi. Trasformazioni di coordinate e loro sollevamenti.
Campi vettoriali, momenti associati ai campi vettoriali e momenti coniugati.
Teorema della scatola di flusso.
Gruppi di simmetrie a un parametro: teorema di Noether. Prodotto di Lie di campi vettoriali.
Commutatore di campi vettoriali e commutatore di gruppi a un parametro.
Teorema: due gruppi a un parametro commutano se solo se commutano i campi vettoriali associati.
Teorema di Frobenius. Gruppi di simmetrie a più parametri:
teorema di Noether nel caso di gruppi di simmetrie a più parametri.
Sistemi invarianti per traslazione e sistemi invarianti per rotazione.
3. Meccanica hamiltoniana
Spazio delle fasi. Trasformata di Legendre. Hamiltoniana ed equazioni di Hamilton.
Metodo di Routh nel formalismo hamiltoniano.
Secondo principio variazionale di Hamilton. Campo vettoriale hamiltoniano. Campi a divergenza nulla.
Teorema di Liouville. Teorema del ritorno di Poincaré. Esperimento di Maxwell.
4. Trasformazioni canoniche
Trasformazioni di coordinate nello spazio delle fasi. Matrici simplettiche.
Determinante delle matrici simplettiche. Trasformazioni che conservano la struttura canonica.
Trasformazioni canoniche e trasformazioni simplettiche.
Trasformazioni indipendenti e dipendenti dal tempo.
Le trasformazioni canoniche conservano la struttura canonica delle equazioni.
Una trasformazione indipendente dal tempo è simplettica se e solo se conserva la struttura canonica
delle equazioni con la stessa hamiltoniana. Parentesi di Poisson e loro proprietà.
Parentesi di Poisson fondamentali. Integrali primi.
Caratterizzazione delle trasformazioni canoniche in termini delle parentesi di Poisson.
Richiami sulle forme differenziali, sul teorema della divergenza e sul teorema di Stokes.
Estensione della nozione di rotore in dimensione più alta.
Matrici antisimmetriche non singolari e forme differenziali non singolari.
Spazio delle fasi esteso, direzione di rotore, linee di rotore e tubo di rotore.
Matrici antisimmetriche non singolari e direzione di rotore.
Invariante integrale di Poincaré-Cartan e invariante integrale relativo di Poincaré-Cartan.
Differenziale a tempo bloccato. Condizione di Lie.
Conservazione dell'invariante integrale (relativo o no) di Poincaré-Cartan.
5. Funzioni generatrici e metodo di Hamilton-Jacobi
Funzioni generatrici indipendenti e dipendenti dal tempo. Funzioni generatrici di
prima e seconda specie. Funzione generatrice dell'identità.
Estensione di un cambiamento di coordinate a una trasformazione simplettica
nello spazio delle fasi.
Il flusso hamiltoniano definisce una trasformazione canonica. Rivisitazione del teorema di Liouville.
Equazione di Hamilton-Jacobi.
Integrale generale e integrale completo. Funzione principale di Hamilton.
Funzione caratteristica di Hamilton. Sistemi unidimensionali e problemi di
non località. Sistemi separabili.
6. Variabili azione-angolo
Variabili azione-angolo. Sistemi unidimensionali. Sistemi a più dimensioni:
teorema di Liouville-Arnold. Caso dei sistemi separabili.
Dimostrazione del teorema di Liouville-Arnold per sistemi separabili.
Variabli azione-angolo per l'oscillatore armonico. Variabili d'azioni per l'oscillatore quartico.
Sistemi integrabili. Integrabilità del problema dei due corpi.
Variabili azione-angolo per il problema dei due corpi.
7. Teoria delle perturbazioni
Tori invarianti. Vettori diofantei. Sistemi quasi-integrabili.
Equazione di Hamilton-Jacobi e serie perturbative.
Teoria perturbativa al primo ordine ed equazione omologica.
Problemi di convergenza delle serie in dimensione qualsiasi.
Sistemi isocroni. Condizione di anisocronia (o condizione di non degenerazione di Kolmogorov)
e sistemi anisocroni. Teoria perturbativa al primo ordine per sistemi anisocroni.
Teoria perturbativa a tutti gli ordini per sistemi isocroni.
Teorema di Nekhorošev per sistemi isocroni.
Serie di Birkhoff. Controesempi alla convergenza delle serie di Birkhoff.
Primo e secondo teorema di trivialità di Poincaré.
8. Teorema KAM
Enunciato del teorema nel caso di hamiltoniane analitiche. Condizione di Kolmogorov.
Primo passo della dimostrazione del teorema KAM:
definizione della trasformazione canonica, stime della nuova hamiltoniana,
blocco della fequenza, definizione del nuovo dominio di analiticità.
Passo generale della dimostrazione del teorema KAM: procedimento iterativo
e costruzione del toro invariante. Considerazioni generali:
proprietà generali ed estensioni.
5. Diario delle lezioni
Lezione 1 (25/09/2017)
Richiami sul formalismo lagrangiano (parte 1):
sistemi meccanici conservativi; sistemi vincolati; superficie di vincolo; principio di d'Alembert;
spazio delle traiettorie e spazio delle deformazioni; lagrangiana; funzionale d'azione;
equazioni di Eulero-Lagrange; primo principio variazionale di Hamilton;
equazioni di Newton ed equazioni di Eulero-Lagrange per sistemi meccanici conservativi
(Cap. 9, §35; Cap. 11, §47).
Lezione 2 (25/09/2017)
Richiami sul formalismo lagrangiano (parte 2):
lagrangiana per sistemi vincolati; equazioni di Newton integrate
dal principio di d'Alembert ed equazioni di Eulero-Lagrange per
sistemi meccanici conservativi vincolati;
formalismo lagrangiano per sistemi definiti su varietà differenziabili
(Cap. 11, §48, §49).
Lezione 3 (27/09/2017)
Richiami sul formalismo lagrangiano (parte 3):
equazioni del moto per il pendolo semplice, nel formalismo lagrangiano
e mediante l'uso dei moltiplicatori di Lagrange, e calcolo delle reazioni vincolari;
variabili cicliche e metodo di Routh; applicazione al problema dei due corpi (Cap. 12, §54).
Lezione 4 (27/09/2017)
Richiami sul formalismo lagrangiano (parte 4):
sistemi rigidi, teorema di König, operatore d'inerzia, momenti d'inerzia,
momenti principali d'inerzia, assi d'inerzia (Cap. 9, §36, §37; Cap. 10, §42).
Lezione 5 (02/10/2017)
Gruppi a un parametro di diffeomorfismi e campi vettoriali associati;
momenti; trasformazioni di coordinate e loro sollevamenti;
applicazione al caso delle traslazioni e delle rotazioni (Cap. 13, §57).
Lezione 6 (02/10/2017)
Gruppi di simmetrie per sistemi lagrangiani (Cap. 13, §57).
Teorema della scatola di flusso: enunciato e dimostrazione (Cap. 4, §19).
Lezione 7 (04/10/2017)
Teorema di Noether (Cap. 13, §57).
Commutazione di gruppi di diffeomorfismi (Cap. 13, §58).
Prodotto di Lie di campi vettoriali (Cap. 13, §58).
Lezione 8 (04/10/2017)
Teorema: due o piu' gruppi di diffeomorfismi a un parametro commutano se e solo
se i campi vettoriali associati hanno prodotto di Lie nullo (Cap. 13, §58).
Lezione 9 (09/10/2017)
Teorema di Frobenius: enunciato e dimostrazione (Cap. 13, §58).
Lezione 10 (09/10/2017)
Sollevamento di una campo vettoriale (Cap. 13, §58).
Caso di due gruppi di simmetrie non commutanti: esistenza di un terzo gruppo di simmetrie (Cap. 13, §58).
Lezione 11 (11/10/2017)
Esempio di gruppi commutanti: traslazioni;
esempio di gruppi non commutanti: rotazioni (Cap. 13, §58).
Teorema di Noether nel caso di pił gruppi di diffeomorfismi
a un parametro (Cap. 13, §58).
Lezione 12 (11/10/2017)
Teorema di Noether nel caso di sistemi invarianti per traslazioni e rotazioni (Cap. 13, §58).
Applicazione al problema dei 2 corpi (Cap. 13, §58).
Applicazione al pendolo sferico (Cap. 13, §58).
Lezione 13 (16/10/2017)
Funzioni convesse e trasformate di Legendre in R e in Rn (Cap. 16, §65).
Hamiltoniana (Cap. 16, §65).
Equazioni di Hamilton, coordinate canoniche, equazioni canoniche,
campi vettoriali hamiltoniani (Cap. 16, §65).
Lezione 14 (16/10/2017)
Campi vettoriali a divergenza nulla e trasformazioni che conservano il volume (Cap. 16, §65).
Teorema di Liouville (Cap. 16, §65)
Lezione 15 (18/10/2017)
Teorema del ritorno di Poincaré (Cap. 16, §65).
Esperimento di Maxwell (Cap. 16, §65).
Lezione 16 (18/10/2017)
Metodo di Routh nel formalismo hamiltoniano (Cap. 16, §65).
Secondo principio variazionale di Hamilton (Cap. 16, §66).
Lezione 17 (23/10/2017)
Matrici simplettiche: definizioni e proprietà determinante di una matrice simplettica;
gruppo delle matrici simplettiche (Cap. 17, §67).
Trasformazioni di coordinate: trasformazioni canoniche, trasformazioni simplettiche,
trasformazioni che conservano la struttura canonica delle equazioni (Cap. 17, §67).
Lezione 18 (23/10/2017)
Le trasformazioni canoniche conservano la struttura canonica delle equazioni (Cap. 17, §67).
Una trasformazione indipendente dal tempo è simplettica se e solo se conserva
la struttura canonica delle equazioni con la stessa hamiltoniana (Cap. 17, §67).
Lezione 19 (25/10/2017)
Parentesi di Poisson: definizione e proprietà (Cap. 17, §68).
Integrali primi e parentesi di Poisson (Cap. 17, §68).
Parentesi di Posson fondamentali (Cap. 17, §68).
Criterio per determinare se una trasformazione è canonica
attraverso il calcolo delle parentesi di Poisson fondamentali (Cap. 17, §68).
Lezione 20 (25/10/2017)
Esercizi sulle trasformazioni canoniche (Cap. 17, esercizi 8, 9 e 28).
Richiami sulla definizione di rotore, sul teorema della divergenza, sul teorema del rotore
e sul lemma di Stokes in R3; estensione della nozione di rotore
in dimensione più alta; matrici antisimmetriche non singolari; forme differenziali non singolari;
spazio delle fasi esteso, direzione di rotore, linee di rotore e tubo di rotore (Cap. 17, §69).
Lezione 21 (30/10/2017)
Forma differenziale di Poincaré-Cartan (Cap. 17, §69).
Invariante integrale di Poincaré-Cartan e
invariante integrale relativo di Poincaré-Cartan (Cap. 17, §69).
Differenziale a tempo bloccato e condizione di Lie (Cap. 17, §70).
Condizione di Lie e conservazione dell'invariante integrale (relativo o no)
di Poincaré-Cartan (Cap. 17, §70).
Lezione 22 (30/10/2017)
Funzioni generatrici (Cap. 17, §70). Procedimento di prima e di seconda specie (Cap. 17, §70).
Calcolo della Hamiltoniana nelle nuove coordinate
a partire dalla funzione generatrice (Cap. 17, §70).
Procedimento di terza e quarta specie (Cap. 17, §70).
Funzione generatice della trasformazione identità (Cap. 17, §70).
Esercizi sulle trasformazioni canoniche (Cap. 17, esercizio 48).
Lezione 23 (06/11/2017)
Esercizi sulle trasformazioni canoniche (Cap. 17, esercizi 43, 44 e 29).
Lezione 24 (06/11/2017)
Esercizi sulle trasformazioni canoniche (Cap. 17, esercizi 30 e 35).
Lezione 25 (13/11/2017)
Il flusso hamiltoniano definisce una trasformazione canonica.
Rivisitazione del teorema di Liouville (esercizio 41 del Cap. 17).
Estensione di una trasformazione di coordinate di posizione
a una trasformazione canonica tramite un procedimento di seconda specie (Cap. 17, §70).
Lezione 26 (13/11/2017)
Equazione di Hamilton-Jacobi; funzione principale di Hamilton;
funzione caratteristica di Hamilton; sistemi unidimensionali (Cap. 18, §71).
Sistemi separabili e separazione di variabili (Cap. 18, §71).
Lezione 27 (15/11/2017)
Variabili azione-angolo (Cap. 18, §72).
Variabile azione-angolo per l'oscillatore armonico (Cap. 19, §75).
Variabili d'azione per sistemi unidimensionali con potenziali a potenza (Cap. 18, esercizio 16).
Lezione 28 (15/11/2017)
Enunciato del teorema di Liouville-Arnold (Cap. 18, §72).
Dimostrazione del teorema di Liouville-Arnold nel caso di sistemi separabili (Cap. 18, §72).
Esercizio sui sistemi separabili (Cap. 18, §74).
Lezione 29 (20/11/2017)
Variabile azione-angolo per il problema dei due corpi (Cap. 18, esercizi 27-30).
Lezione 30 (20/11/2017)
Esercizio sui sistemi separabili (Cap. 18, esercizio 21).
Lezione 31 (22/11/2017)
Teoria delle perturbazioni; domini di analiticità; decadimento esponenziale dei coefficienti
di Fourier di funzioni analitiche. Perturbazioni di oscillatori armonici.
Sistema Solare e Hamiltoniana per il problema degli N corpi.
Lezione 32 (22/11/2017)
Strategia della teoria delle perturbazioni. Equazione fondamentale della teoria delle perturbazioni.
Teoria perturbativa al primo ordine. Soluzione dell'equazione fondamentale
della teoria delle perturbazioni in una dimensione.
Lezione 33 (27/11/2017)
Problema dei piccoli divisori. Condizione diofantea e vettorio diofantei.
Sistemi isocroni, sistemi anisocroni (o non degeneri) e condizione di Kolmogorov.
Teoria perturbativa al primo ordine per sistemi isocroni e per sistemi anisocroni.
Lezione 34 (27/11/2017)
Teoria perturbativa a tutti gli ordini per sistemi isocroni:
espansione in serie e definizione dei coefficienti della funzione generatrice.
Lezione 35 (29/11/2017)
Stime sui coefficienti della funzione generatrice per sistemi isocroni (prima parte)
Lezione 36 (29/11/2017)
Stime sui coefficienti della funzione generatrice per sistemi isocroni (seconda parte)
Lezione 37 (04/12/2017)
Teorema di Nekhoroošev per sistemi isocroni. Serie di Birkhoff.
Controesempi alla convergenza delle serie di Birkoff.
Lezione 38 (04/12/2017)
Primo teorema di trivialità di Poincaré.
Secondo teorema di trivialità di Poincaré.
Lezione 39 (06/12/2017)
Un esempio di toeria perturbativa: calcolo dei primi ordini.
Lezione 40 (06/12/2017)
Ricerca di soluzioni quasiperiodiche delle equazioni del moto.
Calcolo esplicito dei primi ordini delle serie di Lindstedt.
Lezione 41 (11/12/2017)
Enunciato del teorema KAM. Primo passo della dimostrazione del teorema KAM:
definizione della trasformazione canonica.
Lezione 42 (11/12/2017)
Primo passo della dimostrazione del teorema KAM: prime stime.
Lezione 43 (13/12/2017)
Primo passo della dimostrazione del teorema KAM: stime della nuova hamiltoniana.
Lezione 44 (13/12/2017)
Primo passo della dimostrazione del teorema KAM:
blocco della frequenza e definizione del nuovo dominio di analiticità.
Lezione 45 (18/12/2017)
Passo generale della dimostrazione del teorema KAM e conclusione della dimostrazione.
Lezione 46 (18/12/2017)
Considerazioni finali.
