Anno Accademico 2018/2019       



FM210 - Meccanica Analitica (CdL in Matematica)
Meccanica Analitica (CdL in Fisica)

Lezioni: Guido Gentile
Esercitazioni: Faenia Vaia
Tutorato: Giulia Rosalba Cava & Bruno Renzi


1. Caratteristiche dell'insegnamento

Contenuto dell'insegnamento
Sistemi meccanici conservativi. Analisi qualitativa del moto e stabilità secondo Ljapunov. Sistemi unidimensionali.
Moti centrali e problema dei due corpi. Cambiamento di sistemi di riferimento. Forze apparenti. Vincoli. Sistemi rigidi.
Meccanica lagrangiana. Principi variazionali. Variabili cicliche, costanti del moto e simmetrie.
Meccanica hamiltoniana. Teorema di Liouville e teorema del ritorno di Poincaré.
Trasformazioni canoniche. Funzioni generatrici. Metodo di Hamilton-Jacobi e variabili azione-angolo.
II Semestre - Crediti Modulo A: 9 CFU (Matematica) - 9 CFU (Fisica) - TAF: b (Matematica) - b (Fisica)
Testi consigliati
L'insegnamento si basa essenzialmente sui testi
Introduzione ai sistemi dinamici. 1. Equazioni differenziali ordinarie, analisi qualitativa e alcune applicazioni
Introduzione ai sistemi dinamici. 2. Formalismo lagrangiano e hamiltoniano,
dove sono proposti anche altri riferimenti bibliografici.
Nel diario delle lezioni sono fornite versioni aggiornate dei paragrafi a cui si fa esplicito riferimento.
Modalità degli esami
L'esame consiste in una prova scritta, eventualmente sostituita da due prove di esonero in itinere, e in un successivo colloquio orale,
in cui lo studente dovrà discutere gli argomenti trattati a lezione, con riferimento ai testi utilizzati (cfr. il diario delle lezioni).

2. Orari

Lezioni: lunedì e mercoledì ore 9:00-11:00 (Aula M2).
Prima lezione: 25 febbraio 2019 ore 9:00-11:00 - Ultima lezione: 29 maggio 2019 ore 14:00-16:00.
Esercitazioni (didattica integrativa): lunedì ore 14:00-16:00 (Aula M2).
Esercitazioni aggiuntive: mercoledì ore 16:00-18:00 nei giorni 20 marzo, 3 aprile, 17 aprile, 8 maggio;
mercoledì 24 aprile ore 11:00-13:00; mercoledì 29 maggio ore 14:00-16:00 (Aula M2).
Tutorato: martedì ore 16:00-18:00 (Aula M2).
Orario di ricevimento: lunedì ore 14:00-16:00 oppure per appuntamento.

3. Calendario degli esami

Esonero I: 10 aprile 2019 ore 9:00 - 12:00 - Aula M1 e Aula M2. [Per poter sostenere l'esonero occorre prenotarsi.]
Esonero II: 5 giugno 2019 ore 9:00 - 12:00 - Aula M1 e Aula M2.
Le date degli esami si trovano sulla pagina del calendario di esami dei CdS in Matematica e del CdL in Fisica

4. Prove d'esonero e prove d'esame

4.1. Prove d'esonero
Esonero I - 10 aprile 2019 - Testo (Soluzione in aula M2 mercoledì 17 aprile ore 16:00) - Risultati.
Esonero II - 5 giugno 2019 - Testo - Risultati.
4.2. Prove d'esame
Appello I - 25 giugno 2019 - Testo - Soluzioni - Risultati - Orali: 27 giugno 2019 ore 9:00 (stanza 305) e 1 luglio 2019 ore 9:00 (stanza 305).
Appello II - 17 luglio 2019 - Testo - Soluzioni - Risultati - Orali: 18 luglio 2019 ore 9:00 (stanza 305).
Appello III - 3 settembre 2019 - Testo - Soluzioni - Risultati - Orali: 5 settembre 2019 ore 9:00 (stanza 305) e 16 settembre 2019 ore 9:00 (stanza 305).
Appello Straordinario (riservato ai laureandi del CdL in Fisica - 15 novembre 2019 - Testo - Soluzioni - Risultati - Orali: 18 novembre 2019 ore 9:00 (stanza 305).
Appello IV - 3 febbraio 2020 - Testo - Risultati - Orali: 7 febbraio 2020 ore 10:00 (stanza 305) e 11 febbraio 2020 ore 10:00 (stanza 305).
Appello V (solo per il CdL in Fisica) - 17 febbraio 2020 - Testo - Risultati - Orali: 19 febbraio 2020 ore 10:00 (stanza 305).

5. Programma d'esame

Programma definitivo dell'insegnamento dell'A.A. 2018-2019 in formato pdf

1. Equazioni differenziali ordinarie e sistemi dinamici
Richiami sulle equazioni differenziali ordinarie: teorema di esistenza e unicità; dipendenza continua dai dati iniziali;
dipendenza differenziabile dai dati iniziali; teorema del prolungamento; equazioni a variabili separabili.
Sistemi dinamici: traiettorie, orbite, flussi, traiettorie periodiche, insiemi invarianti, derivata sostanziale, costanti del moto.
Sistemi meccanici e sistemi meccanici conservativi; legge di Newton.
2. Analisi qualitativa e stabilità
Richiami sui sistemi dinamici lineari planari: analisi qualitativa. Stabilità secondo Ljapunov.
Punti di equilibrio: stabili, asintoticamente stabili, attrattivi e instabili.
Sistemi dinamici linearizzati. Teoremi di stabilità nel caso di sistemi conservativi:
teoremi che si riconducono allo studio del sistema linearizzato (senza dimostrazione),
teorema di Ljapunov (dimostrazione della stabilità) e teorema di Dirichlet-Larange.
Sistemi meccanici conservativi unidimensionali: conservazione dell'energia e curve di livello.
Moti periodici e moti asintotici. Separatrici, traiettorie omocline e traiettorie eterocline.
L'oscillatore armonico e il pendolo semplice. Periodo come integrale definito e stima del periodo.
3. Moti centrali
Forze centrali. Problema dei due corpi. Moti centrali. Conservatività delle forze centrali.
Conservazione del momento angolare per le forze centrali. Moto radiale e moto angolare.
Condizioni di periodicità del moto. Teorema di Bertrand (senza dimostrazione).
Campo centrale armonico e campo centrale coulombiano: equazioni delle orbite. Velocità areolare. Leggi di Keplero.
4. Moti relativi
Sistemi di riferimento fissi e sistemi di riferimento mobili, trasformazioni rigide, traslazioni e rotazioni, matrici ortogonali.
Rotazione intorno a un asse. Richiami sul prodotto vettoriale: matrici ortogonali e prodotti vettoriali. Velocità angolare.
Legge di trasformazione delle velocità. Forze d'inerzia: forza inerziale di traslazione, forza inerziale di rotazione, forza centrifuga, forza di Coriolis.
Effetti della forza centrifuga sull'accelerazione di gravità, pendolo di Foucault nell'approssimazione lineare,
effetti della forza di Coriolis su un sasso che cade in un pozzo, effetti della forza centrifuga e della forza di Coriolis sulle anse dei fiumi.
5. Vincoli e sistemi rigidi
Sistemi vincolati. Vincoli olonomi bilateri e superfici di vincolo. Principio di d'Alembert. Moltiplicatori di Lagrange.
Derivazione delle equazioni del pendolo semplice usando i moltiplicatori di Lagrange.
Sistemi rigidi discreti e continui: definizione e proprietà, spazio delle configurazioni dei sistemi rigidi. Velocità dei punti di un sistema rigido.
Caratteristiche cinematiche dei sistemi rigidi: quantità: di moto, momento angolare, energia cinetica, teorema di König.
Principio di d'Alembert ed equazioni cardinali della dinamica. Operatore d'inerzia, momenti d'inerzia, momenti principali d'inerzia, assi d'inerzia.
6. Meccanica lagrangiana
Lagrangiana e funzionale d'azione. Equazioni di Eulero-Lagrange. Primo principio variazionale di Hamilton.
Equazioni di Newton ed equazioni di Eulero-Lagrange per sistemi meccanici conservativi. Lagrangiana per sistemi vincolati.
Equazioni di Newton integrate dal principio di d'Alembert ed equazioni di Eulero-Lagrange per sistemi meccanici conservativi vincolati.
Equazioni del moto per il pendolo semplice, nel formalismo lagrangiano e mediante l'uso dei moltiplicatori di Lagrange. Calcolo delle reazioni vincolari.
7. Simmetrie e costanti del moto
Variabili cicliche e metodo di Routh. Applicazione al problema dei due corpi. Gruppi a un parametro di diffeomorfismi.
Trasformazioni di coordinate e loro sollevamenti. Campi vettoriali, momenti associati ai campi vettoriali e momenti coniugati.
Sistemi invarianti sotto l'azione di un gruppo a un parametro. Teorema di Noether. Sistemi invarianti per traslazione e sistemi invarianti per rotazione.
Cenni sui sistemi invarianti sotto l'azione di più gruppi a un parametro: gruppi commutanti ed estensione del teorema di Noether (senza dimostrazione).
8. Meccanica hamiltoniana
Spazio delle fasi. Trasformata di Legendre. Hamiltoniana ed equazioni di Hamilton. Metodo di Routh nel formalismo hamiltoniano.
Secondo principio variazionale di Hamilton. Campo vettoriale hamiltoniano. Campi a divergenza nulla.
Teorema di Liouville (senza dimostrazione). Teorema del ritorno di Poincaré. Esperimento di Maxwell.
9. Trasformazioni canoniche
Trasformazioni di coordinate nello spazio delle fasi. Matrici simplettiche. Trasformazioni che conservano la struttura canonica delle equazioni.
Trasformazioni canoniche. Trasformazioni simplettiche. Parentesi di Poisson e loro proprietà.
Criterio per riconoscere una trasformazione canonica sulla base delle parentesi di Poisson.
Richiami sulle forme differenziali esatte e chiuse. Differenziale a tempo bloccato. Condizione di Lie.
Criterio per riconoscere una trasformazione canonica sulla base della condizione di Lie.
10. Funzioni generatrici e metodo di Hamilton-Jacobi
Funzioni generatrici indipendenti e dipendenti dal tempo. Funzioni generatrici di prima e seconda specie.
Sollevamento di una trasformazione di coordinate a una trasformazione simplettica. Equazione di Hamilton-Jacobi.
Integrale generale e integrale completo. Funzione principale di Hamilton. Funzione caratteristica di Hamilton.
Sistemi separabili. Variabili azione-angolo. Sistemi unidimensionali. Sistemi a più dimensioni:
teorema di Liouville-Arnol'd (senza dimostrazione). Caso dei sistemi separabili. Sistemi integrabili.

6. Diario delle lezioni (GG)

Lezione 1 (25/02/2019)
Sistemi dinamici ed equazioni differenziali ordinarie; traiettorie, orbite, flussi; sistemi di equazioni differenziali del primo ordine (Cap. 3, §11.1).
Sistemi di equazioni differenziali di ordine qualsiasi (Cap. 3, §15).
Lezione 2 (25/02/2019)
Traiettorie periodiche, insiemi invarianti, derivata sostanziale, costanti del moto (Cap. 4, §17, pagg. 165-167).
Sistemi meccanici e sistemi meccanici conservativi; legge di Newton (Cap. 4, §17, pagg. 174-176).
Lezione 3 (27/02/2019)
Sistemi meccanici conservativi generalizzati (Cap. 4, §17, pagg. 176-177).
Superfici e curve di livello (Cap. 4, §17, pag. 167).
Legge di Newton, quantità di moto, momento angolare, energia, lavoro, forze conservative (Cap. 7, §31, pagg. 333-334).
Lezione 4 (27/02/2019)
Stabilità secondo Ljapunov; punti di equilibrio stabili, instabili, asintoticamente stabili e attrattivi (Cap. 4, §17, pagg. 167-169).
Stabilità dell'origine per sistemi planari - cfr. l'esercitazione 2 (Cap. 4, esercizio 25).
L'oscillatore armonico (Cap. 2, §7.2).
Linearizzazione: definizione di sistema linearizzato e teoremi 18.5 e 18.7 senza dimostrazioni (Cap. 4, §18).
Lezione 5 (04/03/2019)
Il pendolo semplice senza attrito: analisi qualitativa nel piano delle fasi (Cap. 5, §24, pagg. 237-243).
Lezione 6 (04/03/2019)
Il pendolo semplice senza attrito: analisi qualitativa attraverso lo studio dell'energia potenziale (Cap. 5, §24 e Cap. 6, §28, pagg. 293-303).
Soluzione dell'equazione del moto per separazione di variabili e moto sulla separatrice (Cap. 5, §24, pag. 241).
Periodo delle soluzioni oscillatorie (Cap. 5, §24, pagg. 243-245).
Lezione 7 (06/03/2019)
Analisi qualitativa dei sistemi unidimensionali - inizio (Cap. 6, §28, pagg. 285-298).
Lezione 8 (06/03/2019)
Analisi qualitativa dei sistemi unidimensionali - conclusione (Cap. 6, §28, pagg. 298-308).
Lezione 9 (11/03/2019)
Il pendolo semplice: periodo delle soluzioni oscillatorie (Cap. 5, §24, pagg. 245).
Piccole oscillazioni per sistemi unidimensionali: teorema 29.6 (Cap. 6, §29, pagg. 308-310 ed esercizi 9 e 31).
Lezione 10 (11/03/2019)
Teoremi di stabilità nel caso di sistemi meccanici conservativi: teorema di Ljapunov (solo stabilità) (Cap. 4, §19, pagg. 189-190).
Teoremi di stabilità nel caso di sistemi meccanici conservativi: teorema di Lagrange-Dirichlet (Cap. 4, §19, pagg. 192-194 ed esercizio 22).
Lezione 11 (13/03/2019)
Esercizio sui sistemi unidimensionali - inizio (Cap. 6, pagg. 325-326, esercizio 27).
Lezione 12 (13/03/2019)
Esercizio sui sistemi unidimensionali - conclusione (Cap. 6, pagg. 325-326, esercizio 27).
Lezione 13 (18/03/2019)
Stime di periodi: proposizione 30.1 e osservazione 30.2 (Cap. 6, pagg. 310-311).
Problema dei due corpi: impostazione del problema (Cap. 7, §31.1).
Lezione 14 (18/03/2019)
Problema dei due corpi: discussione del moto relativo - inizio (Cap. 7, §31.2, pagg. 337-340).
Lezione 15 (20/03/2019)
Problema dei due corpi: discussione del moto relativo - conclusione (periodicità dei moti; prima forma dell'equazione delle orbite) (Cap. 7, §31.2, pagg. 341-346).
Lezione 16 (20/03/2019)
Campo centrale gravitazionale: determinazione dell'equazione delle orbite e prima legge di Keplero (Cap. 7, §32.2, pagg. 352-360).
Lezione 17 (25/03/2019)
Seconda e terza legge di Keplero (Cap. 7, §32.2, pagg. 359-361).
Discussione del campo centrale armonico (Cap. 7, §32.1, pagg. 341-348 e pagg. 351-352).
Lezione 18 (25/03/2019)
Teorema di Bertrand (solo enunciato) (Cap. 7, pag. 368).
Esempio di campo centrale in cui le orbite si calcolano ma sono aperte in generale (Cap. 7, pag. 376, esercizio 26).
Esercizio sui moti centrali (Cap. 7, pagg. 378-379, esercizio 29).
Lezione 19 (27/03/2019)
Moti relativi: sistemi di riferimento fissi e sistemi di riferimento mobili, trasformazioni rigide, traslazioni e rotazioni, matrici ortogonali (Cap. 8, §34, pagg. 381-386).
Esempio di rotazione intorno a un asse (Cap. 8, pagg. 405-406, esercizio 9).
Richiami sul prodotto vettoriale (Cap. 7, pag. 333).
Matrici ortogonali e prodotti vettoriali: lemma 34.8, lemma 34.9, osservazione 34.10 e lemma 34.11 (Cap. 8, §34, pagg. 386-388).
Lezione 20 (27/03/2019)
Velocità angolare: osservazione 34.14, teorema 34.15, definizione 34.16, osservazione 34.20 (Cap. 8, §34, pagg. 389-392).
Legge di trasformazione delle velocità: teorema 34.24 (Cap. 8, §34, pagg. 393-394).
Forze d'inerzia: forza inerziale di traslazione, forza inerziale di rotazione, forza centrifuga, forza di Coriolis (Cap. 8, §35, pagg. 394-397).
Esempio 35.8: effetti della forza centrifuga sull'accelerazione di gravità (Cap. 8, §35, pagg. 397-398).
Lezione 21 (01/04/2019)
Pendolo di Foucault nell'approssimazione lineare (Cap. 8, §35, pagg. 398-401).
Lezione 22 (01/04/2019)
Esempio 35.10: effetti della forza di Coriolis su un sasso che cade in un pozzo (Cap. 8, §35, pag. 402).
Esempio 35.11: effetti della forza centrifuga e della forza di Coriolis sulle anse dei fiumi (Cap. 8, §35, pagg. 402-403).
Lezione 23 (03/04/2019)
Esercizio sui moti centrali - inizio (Cap. 7, pag. 380, esercizio 31).
Lezione 24 (03/04/2019)
Esercizio sui moti centrali - conclusione (Cap. 7, pag. 380, esercizio 31).
Esercizio sui moti relativi: mosca che si muove su un disco (Cap. 8, esercizio 18).
Lezione 25 (15/04/2019)
Vincoli, vincoli olonomi, bilateri, regolari e indipendenti, forze vincolari, superficie di vincolo, traiettorie virtuali (Cap. 9, §36).
Lezione 26 (15/04/2019)
Principio di d'Alembert, vincoli perfetti, moltiplicatori di Lagrange (Cap. 9, §41).
Calcolo dei moltiplicatori di Lagrange (Cap. 9, pag. 460, esercizio 11).
Derivazione delle equazioni del pendolo semplice (Cap. 9, pagg. 462-463, esercizi 21 e 22).
Lezione 27 (17/04/2019)
Formalismo lagrangiano: spazio delle traiettorie e spazio delle deformazioni, lagrangiana, funzionale d'azione lemma 51.8, lemma 51.9,
equazioni di Eulero-Lagrange e teorema 51.12, teorema 51.14 (equivalenza tra equazioni di Eulero-Lagrange ed equazioni di Newton),
primo principio variazionale di Hamilton, problema con condizioni al contorno: esempio 51.17, teorema 51.19 (solo enunciato), osservazione 51.21 (Cap. 11, §51).
Lezione 28 (17/04/2019)
Formalismo lagrangiano per sistemi meccanici soggetti a vincoli olonomi bilateri: lagrangiana vincolata, funzionale d'azione per sistemi vincolati,
estensione del principio variazionale di Hamilton ai sistemi vincolati, teorema 53.4 (equivalenza tra equazioni di Eulero-Lagrange
ed equazioni di Newton integrate dal principio di d'Alembert), osservazione 53.6 (Cap. 11, §53, pagg. 14-18).
Esempio di sistema lagrangiano: pendolo semplice (Cap. 11, esercizi 49 e 50).
Lezione 29 (24/04/2019)
Energia potenziale elastica (Cap. 12, pag. 98, esercizio 13).
Esempio di sistema lagrangiano - prima parte: calcolo della lagrangiana e delle equazioni di Eulero-Lagrange (Cap. 12, §60, pagg. 72-76).
Lezione 30 (24/04/2019)
Esempio di sistema lagrangiano - seconda parte: studio della stabilità delle configurazioni di equilibrio e calcolo delle forze vincolari (Cap. 12, §60, pagg. 76-80).
Lezione 31 (29/04/2019)
Lagrangiane di sistemi vincolati e studio della stabilità delle configurazioni di equilibrio (Cap. 12, §58, pagg. 61-65 e Cap. 11, esercizio 21).
Variabili cicliche e metodo di Routh (Cap. 12, §59 pagg. 70-72).
Lezione 32 (29/04/2019)
Applicazione del metodo di Routh: esempio 59.7 sui moti centrali (Cap. 12, §59, pag. 72).
Energia potenziale gravitazionale sulla superficie della Terra (Cap. 12, pag. 97, esercizio 12).
Energia potenziale centrifuga (Cap. 12, pag. 98, esercizio 7).
Equilibrio relativo. Esempio 58.16: pendolo semplice in un piano rotante (Cap. 12, §58, pagg. 68-69).
Lezione 33 (06/05/2019)
Esempio di sistema lagrangiano - terza parte: piano rotante (Cap. 12, §60, pagg. 80-82).
Moto di rotolamento senza strisciamento: disco che rotola su un piano (Cap. 9, §46, pag. 421 e Cap. 10, §43.2, pagg. 452-454).
Lezione 34 (06/05/2019)
Moto di rotolamento senza strisciamento: cilindro che rotola su un piano o all'interno di una superficie cilindrica (Cap. 10, §43.2, pagg. 454-455).
Gruppi a un parametro di diffeomorfismi e campi vettoriali (Cap. 13, §62, pagg. 121-123).
Lagrangiane invariante sotto l'azione di un gruppo di diffeomorfismi (Cap. 13, §62, pag. 126).
Lezione 35 (08/05/2019)
Gruppi a un parametro di diffeomorfismi e momenti conservati (Cap. 13, §62, pagg. 124-125).
Teorema di Noether (Cap. 13, §62, pagg. 126-128).
Lezione 36 (08/05/2019)
Cenni sul teorema di Noether nel caso di più gruppi di diffeomorfismi: introduzione, teorema 63.15 (senza dimostrazione),
esempio 63.18, osservazione 93.19, esempio 63.20 (Cap. 13, §62, pagg. 129-141).
Formalismo hamiltoniano: trasformata di Legendre, hamiltoniana (Cap. 16, §71, pagg. 205-209).
Lezione 37 (13/05/2019)
Equazioni di Hamilton e matrice simplettica standard (Cap. 16, §71, pagg. 209-210).
Teorema di Liouville (solo enunciato), teorma del ritorno di Poincaré ed esperimento di Maxwell (Cap. 16, §71, pagg. 211-216).
Lezione 38 (13/05/2019)
Metodo di Routh nel formalismo hamiltoniano (Cap. 16, §72, pagg. 216-217).
Secondo principio variazionale di Hamilton (Cap. 16, §73, pagg. 217-219).
Lezione 39 (15/05/2019)
Matrici simplettiche: definizione e proprietà (Cap. 17, §74, pagg. 227-228).
Trasformazioni canoniche, trasformazioni simplettiche e trasformazioni che conservano la struttura canonica della equazioni (Cap. 17, §74, pagg. 230-232).
Lezione 40 (15/05/2019)
Parentesi di Poisson: definizione e proprietà (Cap. 17, §75, pagg. 233).
Parentesi di Poisson fondamentali; parentesi di Poisson e trasformazioni canoniche (Cap. 17, §5, pagg. 235-236).
Lezione 41 (20/05/2019)
Differenziale a tempo bloccato e condizione di Lie (Cap. 17, §77.1, pagg. 249-250).
Condizione di Lie e trasformazioni canoniche (Cap. 17, §77.1, pagg. 250-251).
Funzioni generatrici e procedimenti di prima specie nel caso di trasformazioni indipendenti dal tempo (Cap. 17, §77.2, pagg. 254-255).
Lezione 42 (20/05/2019)
Funzioni generatrici e procedimenti di seconda specie nel caso di trasformazioni indipendenti dal tempo (Cap. 17, §77.3, pagg. 255-256).
Altri procedimenti per generare trasformazioni canoniche nel caso di trasformazioni indipendenti dal tempo (Cap. 17, §77.4, pagg. 256-257).
Trasformazione identità ed estensione di una trasformazione di coordinate a una trasformazione canonica (Cap. 17, §77.4, pagg. 257-259).
Equazione di Hamilton-Jacobi nel caso di trasformazioni indipendenti dal tempo (Cap. 18, §78, pagg. 295-302).
Variabili azione-angolo in una dimensione (Cap. 18, §80, pagg. 305-306).
Lezione 43 (22/05/2019)
Esercizi sulle trasformazioni canoniche (Cap. 17, esercizi 65, 66, 67, 69 e 70).
Lezione 44 (22/05/2019)
Esercizi sulle trasformazioni canoniche (Cap. 17, esercizi 75 e 77).
Separazione di variabili (Cap. 18, §79, pagg. 302-305).
Lezione 45 (27/05/2019)
Esercizi di riepilogo sui sistemi lagrangiani - prima parte (Cap. 12, pagg. 116-119, esercizio 38).
Lezione 46 (27/05/2019)
Esercizi di riepilogo sui sistemi hamiltoniani - prima parte (Cap. 17, pag. 116-119, esercizio 80).
Lezione 47 (29/05/2019)
Esercizi di riepilogo sui sistemi lagrangiani - seconda parte (Prova scritta del III appello dell'A.A. 2017/2918, esercizio 1).
Lezione 48 (29/05/2019)
Variabili azione-angolo in pił dimensioni e teorema di Liouville-Arnol'd (solo enunciato) (Cap. 18, §80, pagg. 307-310).
Esercizi di riepilogo sui sistemi hamiltoniani - seconda parte (Prova scritta del III appello del'A.A. 2017/2018, esercizio 2).
Variabili azione-angolo per l'oscillatore armonico (Cap. 18, §83.1, pag. 325).

7. Diario delle esercitazioni (FV, salvo quando espressamente indicato)

Esercitazione 1 (25/02/2019)
GG - Richiami sulle equazioni differenziali ordinarie (solo enunciati): teorema di esistenza e unicità,
controesempio di un campo vettoriale non lipschitziano, dipendenza (continua e differenziabile) dai dati iniziali,
prolungamento delle soluzioni, soluzioni massimali, teorema del prolungamento e suo corollario (Cap. 3, §11.3, 12 e 13).
Esercitazione 2 (25/02/2019)
GG - Equazioni a variabili separabili (Cap. 3, §14 ed esercizi 23 e 35; Cap. 4, esercizio 8).
Sistemi planari: analisi qualitativa (Cap. 2, §7).
Esercitazione 3 (04/03/2019)
Esercizi sui sistemi unidimensionali: stabilità dei punti di equilibrio e studio dell'energia potenziale (Esercitazioni 3 e 4, esercizi 1 e 2).
Esercitazione 4 (04/03/2019)
Esercizi sui sistemi unidimensionali: la doppia buca - inizio (Esercitazioni 3 e 4, esercizio 3).
Esercitazione 5 (11/03/2019)
Esercizi sui sistemi unidimensionali: la doppia buca - conclusione (Esercitazioni 5 e 6, esercizio 1).
Esercitazione 6 (11/03/2019)
Esercizi sui sistemi unidimensionali: primo esonero dell'A.A. 2013/2014 (Esercitazioni 5 e 6, esercizio 2).
Esercitazione 7 (18/03/2019)
Esercizi sui sistemi unidimensionali: analisi qualitativa nel piano delle fasi (Esercitazioni 7 e 8, esercizio 1).
Esercitazione 8 (18/03/2019)
Esercizi sui sistemi unidimensionali: analisi qualitativa nel piano delle fasi (Esercitazioni 7 e 8, esercizio 2).
Esercitazione 9 (20/03/2019)
GG - Esercizio sui sistemi unidimensionali - inizio (Cap. 6, pagg. 329-330, esercizio 34).
Esercitazione 10 (20/03/2019)
GG - Esercizio sui sistemi unidimensionali - conclusione (Cap. 6, pagg. 329-330, esercizio 34).
Esercizio sui sistemi unidimensionali - caso a = − 1. (Cap. 6, pag. 323, esercizio 25).
Esercitazione 11 (25/03/2019)
Esercizio sui moti centrali - inizio (Esercitazioni 11 e 12, esercizio 1).
Esercitazione 12 (25/03/2019)
Esercizio sui moti centrali - conclusione (cfr. Esercitazione 11).
Esercitazione 13 (01/04/2019)
Esercizio sui moti centrali: secondo appello dell'A.A. 2012/2013 (Esercitazioni 13 e 14, esercizio 1).
Esercitazione 14 (01/04/2019)
Esercizio sui sistemi unidimensionali (Esercitazioni 13 e 14, esercizio 2).
Esercitazione 15 (03/04/2019)
GG - Esercizi di preparazione per il primo esonero: esercizio sui moti unidimensionali (Cap. 6, pag. 329, esercizio 33).
Esercitazione 16 (03/04/2019)
GG - Esercizi di preparazione per il primo esonero: esercizio sui moti centrali (Cap. 7, pag. 378, esercizio 28).
Esercitazione 17 (15/04/2019)
GG - Vincoli rigidi, sistemi rigidi discreti e sistemi rigidi continui, spazio delle configurazioni dei sistemi rigidi (Cap. 9, §37).
Velocità dei punti di un sistema rigido (Cap. 9, §38, pag. 428).
Caratteristiche cinematiche dei sistemi rigidi: quantità di moto, momento angolare, energia cinetica, teorema di König (Cap. 9, §39).
Esercitazione 18 (15/04/2019)
GG - Caratteristiche dinamiche dei sistemi rigidi: equazioni del moto (Cap. 9, §40).
Principio di d'Alembert e vincoli rigidi: equazioni cardinali della dinamica per sistemi rigidi (Cap. 9, §41).
Operatore d'inerzia, momenti principali di inerzia e assi di inerzia, osservazione 44.17 (Cap. 10, §44).
Esercitazione 19 (17/04/2019)
GG - Correzione dell'esonero 1 del 10 aprile - inizio.
Esercitazione 20 (17/04/2019)
GG - Correzione dell'esonero 1 del 10 aprile - conclusione.
Esercitazione 21 (24/04/2019)
Esercizi sui sistemi lagrangiani: il pendolo doppio (Cap. 11, esercizio 51).
Esercitazione 22 (24/04/2019)
Esercizi sui sistemi lagrangiani: (Cap. 12, pagg. 104-105 esercizio 26).
Esercitazione 23 (29/04/2019)
Esempio di sistema lagrangiano: il pendolo con punto di sospensione che oscilla verticalmente (Cap. 11, esercizio 53).
Esercitazione 24 (29/04/2019)
Esempio di sistema lagrangiano: il pendolo sferico (Cap. 11, esercizio 58 e Cap. 13, esercizio 30).
Esercitazione 25 (06/05/2019)
Esercizi sui sistemi lagrangiani (Esercitazioni 25 e 26, esercizio 1).
Esercitazione 26 (06/05/2019)
Esercizi sui sistemi lagrangiani (Esercitazioni 25 e 26, esercizio 2).
Esercitazione 27 (08/05/2019)
GG - Calcolo dei momenti principali di inerzia di alcuni solidi notevoli: asta, disco, cilindro, lastra rettangolare e sfera
(Cap. 10, §45, pagg. 473-479 ed esercizi 7, 8, 9, 11, 13, 15, 17 e 19).
Esercitazione 28 (08/05/2019)
GG - Esercizio sui sistemi lagrangiani (Cap. 12, pagg. 101-102, esercizio 24).
Esercitazione 29 (13/05/2019)
Esercizi sui sistemi lagrangiani (Esercitazioni 29 e 30, esercizi 1 e 2).
Esercitazione 30 (13/05/2019)
Esercizi sui sistemi lagrangiani (Esercitazioni 29 e 30, esercizi 3 e 4).
Esercitazione 31 (20/05/2019)
Esercizi sui sistemi lagrangiani (Esercitazioni 31 e 32, esercizio 1).
Esercitazione 32 (20/05/2019)
Esercizi sui sistemi lagrangiani (Esercitazioni 31 e 32, esercizi 2 e 3).
Esercitazione 33 (27/05/2019)
Esercizi sui sistemi hamiltoniani (Esercitazioni 33 e 34, esercizio 1).
Esercitazione 34 (27/05/2019)
Esercizi sui sistemi hamiltoniani (Esercitazioni 33 e 34, esercizi 2 e 3).
Esercitazione 35 (29/05/2019)
Esercizi di preparazione per il secondo esonero: esercizio sui sistemi lagrangiani (Esercitazioni 35 e 36, esercizio 1).
Esercitazione 36 (29/05/2019)
Esercizi di preparazione per il secondo esonero: esercizio sui sistemi hamiltoniani (Esercitazioni 35 e 36, esercizio 2).

8. Diario delle attività di tutorato (GRC & BR)

Tutorato 1 (05/03/2019)
Esercizi su sistemi dinamici lineari, forze conservative e sistemi unidimensionali (Tutorati 1 e 2, testo e soluzione).
Tutorato 2 (05/03/2019)
Esercizi su sistemi dinamici lineari, forze conservative e sistemi unidimensionali (cfr. Tutorato 1).
Tutorato 3 (12/03/2019)
Esercizi su sistemi meccanici conservativi unidimensionali (Tutorati 3 e 4, testo e soluzione).
Tutorato 4 (12/03/2019)
Esercizi su sistemi meccanici conservativi unidimensionali (cfr. Tutorato 3).
Tutorato 5 (19/03/2019)
Esercizi su sistemi meccanici conservativi unidimensionali (Tutorati 5 e 6, testo e soluzione).
Tutorato 6 (19/03/2019)
Esercizi su sistemi meccanici conservativi unidimensionali (cfr. Tutorato 5).
Tutorato 7 (26/03/2019)
Esercizi sui moti centrali (Tutorati 7 e 8, testo e soluzione).
Tutorato 8 (26/03/2019)
Esercizi sui moti centrali (cfr. Tutorato 7).
Tutorato 9 (02/04/2019)
Esercizi sui moti unidimensionali e sui moti centrali: prova pre-esonero - inizio (Tutorati 9 e 10, testo e soluzione).
Tutorato 10 (02/04/2019)
Esercizi sui moti unidimensionali e sui moti centrali: prova pre-esonero - conclusione (cfr. Tutorato 9).
Tutorato 11 (30/04/2019)
Esercizi sui sistemi lagrangiani (Tutorati 11 e 12, testo e soluzione).
Tutorato 12 (30/04/2019)
Esercizi sui sistemi lagrangiani (cfr. Tutorato 11).
Tutorato 13 (07/05/2019)
Esercizi sui sistemi lagrangiani (Tutorati 13 e 14, testo e soluzione).
Tutorato 14 (07/05/2019)
Esercizi sui sistemi lagrangiani (cfr. Tutorato 13).
Tutorato 15 (14/05/2019)
Esercizi sui sistemi lagrangiani (Tutorati 15 e 16, testo e soluzione).
Tutorato 16 (14/05/2019)
Esercizi sui sistemi lagrangiani (cfr. Tutorato 15).
Tutorato 17 (21/05/2019)
Esercizi sui sistemi hamiltoniani: esercizi 1, 2 e 3 (Tutorati 17 e 18, testo e soluzione).
Tutorato 18 (21/05/2019)
Esercizi sui sistemi lagrangiani: prova pre-esonero - inizio (Tutorati 17 e 18, testo e soluzione).
Tutorato 19 (28/05/2019)
Esercizi sui sistemi hamiltoniani: esercizi 1, 2 e 3 (Tutorati 19 e 20, testo e soluzione).
Tutorato 20 (28/05/2019)
Esercizi sui sistemi hamiltoniani: prova pre-esonero - conclusione (Tutorati 19 e 20, testo e soluzione).