Anno Accademico 2018/2019       



FM410 - Complementi di Meccanica Analitica (CdL in Matematica)
Complementi di Meccanica Analitica (CdL in Fisica)
FM410 - Complementi di Meccanica Analitica (CdLM in Matematica)
FM410 - Complementi di Meccanica Analitica (CdLM in Scienze Computazionali)

Docente: Guido Gentile


1. Caratteristiche dell'insegnamento

Contenuto dell'insegnamento
Modulo A: Sistemi dinamici lineari. Oscillatore armonico forzato con o senza attrito. Insieme limite e cicli limite. Sistemi planari. Sistemi gradiente.
Teoremi di stabilità. Equazioni di Lotka-Volterra. Equazione di van der Pol. Angoli di Eulero, Equazioni di Eulero.
Modulo B: Trottola di Lagrange. Trasformazione canoniche. Parentesi di Poisson e condizione di Lie. Funzioni generatrici.
Teoria delle perturbazioni. Equazione omologica. Sistemi iscocroni e teorema di Nekhorošev. Serie di Birkhoff. Teorema KAM.
II Semestre - Crediti Modulo A: 3 CFU; Modulo B: 4 (Matematica) - 3 (Fisica) CFU - TAF: b/c (Matematica) - d (Fisica)
Nota. L'insegnamento nel Corso di Laurea in Fisica è diviso in due moduli, che possono essere seguiti indipendentemente.
Nei Corsi di Studio in Matematica e in Scienze Computazionali i due moduli costituiscono un unico insegnamento.
Testi consigliati
L'insegnamento si basa essenzialmente sui testi
Introduzione ai sistemi dinamici. 1. Equazioni differenziali ordinarie, analisi qualitativa e alcune applicazioni
Introduzione ai sistemi dinamici. 2. Formalismo lagrangiano e hamiltoniano,
dove sono proposti anche altri riferimenti bibliografici.
Nel diario delle lezioni sono fornite versioni aggiornate dei paragrafi a cui si fa esplicito riferimento.
[Per una dimostrazione alternativa del teorema KAM si veda il seguente testo: Prima parte e Seconda parte.]
Modalità degli esami
L'esame consiste in un colloquio orale in cui lo studente dovrà discutere gli argomenti trattati a lezione, secondo quanto indicato nel diario delle lezioni.
In riferimento alla prima parte dell'insegnamento (modulo A), si richiede lo svolgimento di
almeno 5 dei seguenti esercizi del Cap. 5: 13, 16, 19, 21, 22, 24, 25, 31, 34, 43, 46, 47, 56, 58, 59 e 62.
In riferimento alla seconda parte dell'insegnamento (modulo B), si richiede la discussione di uno dei seguenti argomenti: 1. equazioni di Eulero,
2. trottola di Lagrange, 3. variabili azione-angolo per il problema dei due corpi, 4. teorema di Nekhorošev per sistemi isocroni, 5. teorema KAM.

2. Orario

Lezioni: lunedì ore 16:00-18:00 (aula 57 fino al 4 marzo, aula M2 dall'11 marzo) e martedì ore 9:00-11:00 (aula 108).
Modulo A: Prima lezione: 25 febbraio 2019 ore 16:00-18:00. - Ultima lezione: 16 aprile 2019 ore 9:00-11:00.
Modulo B: Prima lezione: 29 aprile 2019 ore 16:00-18:00. - Ultima lezione: 28 maggio 2019 ore 9:00-11:00.
Orario di ricevimento: lunedì ore 14:00-16:00 oppure per appuntamento.

3. Calendario d'esami

Le date si possono trovare sulla pagina del calendario di esami dei CdS in Matematica e del CdL in Fisica

4. Programma d'esame

Programma definitivo dell'insegnamento dell'A.A. 2018-2019 in formato pdf

1. Equazioni differenziali ordinarie: richiami e complementi
Richiami sulle equazioni differenziali lineari omogenee e non omogenee. Sistemi planari.
Oscillatore armonico smorzato e forzato. Risonanze. Risonanza parametrica.
2. Analisi qualitativa e stabilità
Stabilità secondo Ljapunov. Punti di equilibrio stabili, instabili, attrattivi, asintoticamente stabili.
Stabilità dell'origine per sistemi lineari planari. Stabilità di un punto d'equilibrio nel caso in cui la matrice del sistema linearizzato
abbia tutti gli autovalori con parte reale strettamente negativa (dimostrazione nel caso diagonalizzabile).
Instabilità di un punto d'equilibrio nel caso in cui la matrice del sistema linearizzato
abbia almeno un autovalore con parte reale strettamente positiva (cenni della dimostrazione).
Insiemi limite: definizione e proprietà. Teoremi sugli insiemi limite.
Teorema di Ljapunov. Teorema di Barbašin-Krasovskij e sua applicazione all'oscillatore armonico e al pendolo semplice.
Teorema di Dirichlet-Lagrange per sistemi meccanici conservativi.
Cicli limite. Sistemi planari: teorema di Poincaré-Bendixson (solo enunciato) e sue applicazioni.
3. Alcuni sistemi dinamici planari notevoli
Sistemi planari che ammettono una costante del moto: studio delle curve di livello e delle traiettorie nel piano delle fasi.
Sistemi predatore-preda ed equazioni di Lotka-Volterra: studio del sistema e dimostrazione delle leggi di Volterra.
Sistemi gradiente: proprietà generali e studio delle traiettorie nel piano delle fasi.
Equazione di Van Der Pol: descrizione del circuito e determinazione del ciclo limite globalmente attrattivo.
4. Vincoli e sistemi rigidi: richiami e complementi
Richiami sui sistemi rigidi: spazio delle configurazioni, caratteristiche cinematiche e caratteristiche dinamiche (equazioni cardinali).
Richiami sull'operatore di inerzia: momenti principali di inerzia e assi di inerzia.
Equazioni di Eulero per un sistema rigido con un punto fisso non sottoposto a forze: studio grafico del moto del momento angolare.
Angoli di Eulero. Integrabilità di un sistema rigido con un punto fisso non sottoposto a forze.
5. Trottola di Lagrange
Definizione della trottola di Lagrange. Energia cinetica ed energia potenziale della trottola di Lagrange in termini degli angoli di Eulero,
integrali primi ed energia potenziale efficace. Sistema ridotto della trottola di Lagrange: studio della dinamica al variare dei parametri del sistema.
Pendolo sferico. Trottola di Lagrange in assenza di forze. Trottola addormentata e trottola veloce.
6. Meccanica hamiltoniana
Richiami sul formalismo hamiltoniano: hamiltoniana ed equazioni di Hamilton, matrici simplettiche, trasformazioni canoniche,
trasformazioni simplettiche e trasformazioni che conservano la struttura canonica della equazioni. Parentesi di Poisson.
Parentesi di Poisson e trasformazioni canoniche. Differenziale a tempo bloccato. Condizione di Lie.
Condizione di Lie e trasformazioni canoniche. Funzioni generatrici e procedimenti per generare trasformazioni canoniche.
Procedimenti di seconda specie. Trasformazione identità ed estensione di una trasformazione di coordinate a una trasformazione canonica.
7. Variabili azione-angolo
Equazione di Hamilton-Jacobi nel caso di trasformazioni indipendenti dal tempo. Separazione di variabili e sistemi separabili.
Variabili azione-angolo in una dimensione. Caso dell'oscillatore armonico. Variabili azione-angolo in più dimensioni.
Teorema di Liouville-Arnold (solo enunciato). Caso dei sistemi separabili.
Variabili azione-angolo per il problema dei due corpi. Sistemi super-integrabili: esempio del problema dei due corpi.
8. Teoria delle perturbazioni al primo ordine
Vettori diofantei. Sistemi quasi-integrabili. Equazione di Hamilton-Jacobi e serie perturbative. Teoria perturbativa al primo ordine.
Equazione omologica. Problemi di convergenza delle serie in dimensione qualsiasi. Primo teorema di trivialità di Poincaré.
Sistemi isocroni. Condizione di anisocronia (o condizione di non degenerazione di Kolmogorov) e sistemi anisocroni.
Teoria perturbativa al primo ordine per sistemi anisocroni.
9. Teoria delle perturbazioni a tutti gli ordini
Teoria perturbativa a tutti gli ordini per sistemi isocroni. Teorema di Nekhorošev per sistemi isocroni.
Serie di Birkhoff. Controesempi alla convergenza delle serie di Birkhoff. Secondo teorema di trivialità di Poincaré.
10. Teorema KAM
Introduzione al teorema KAM: esperimento di Fermi-Pasta-Ulam e stabilità del sistema solare.
Enunciato del teorema nel caso di hamiltoniane analitiche e strategia della dimostrazione.
Primo passo della dimostrazione del teorema KAM: definizione della trasformazione canonica,
stime della nuova hamiltoniana, blocco della fequenza, definizione del nuovo dominio di analiticità.
Passo generale della dimostrazione del teorema KAM: procedimento iterativo e costruzione del toro invariante.

Nota. Per il Corso di Laurea in Fisica i programmi del Modulo A e del Modulo B corrispondono ai punti 1-4 e, rispettivamente, 5-10 del programma sopra.

5. Diario delle lezioni

Lezione 1 (25/02/2019)
Richiami equazioni differenziali ordinarie lineari (Cap. 2, §8, pagg. 69-71).
Sistemi lineari planari: nodi propri, pozzi, sorgenti, centri (Cap. 2, §7.1, 7.2 e 7.3).
Lezione 2 (25/02/2019)
Sistemi lineari planari: nodi impropri (Cap. 2, §7.4).
Equazioni differenziali lineari del secondo ordine; oscillatore armonico smorzato (Cap. 2, §9).
Lezione 3 (26/02/2019)
Equazioni differenziali lineari non omogenee; oscillatore armonico forzato (Cap. 2, §10 ed esercizi 32-36).
Lezione 4 (26/02/2019)
Stabilità secondo Ljapunov; punti di equilibrio stabili, instabili, asintoticamente stabili e attrattivi (Cap. 4, §17, pagg. 167-169).
Stabilità dell'origine per sistemi planari (Cap. 2, esercizio 25).
Sistema dinamico linearizzato (Cap. 4, §18, pag. 177).
Lezione 5 (04/03/2019)
Linearizzazione: lemma 18.2, lemma 18.4 (dimostrazione nel caso di matrici diagonalizzabili) e teorema 18.5 (Cap. 4, §18, pagg. 177-181).
Lezione 6 (04/03/2019)
Linearizzazione: teorema 18.7 (cenni della dimostrazione) (Cap. 4, §18, pagg. 181-183 ed esercizi 19 e 20).
Esempio 18.9 (Cap. 4, §18, pagg. 183-184).
Assenza di punti di equilibrio asintoticamente stabili in sistemi meccanici conservativi (Cap. 5, §21, pag. 227).
Lezione 7 (05/03/2019)
Insiemi ω-limite: definizione e proprietà (Cap. 4, §17, pag. 169).
Insiemi ω-limite: teoremi 17.17 e 17.20 (senza dimostrazione), teoremi 17.18, 17.22 e 17.24 (con dimostrazione) (Cap. 4, §17, pagg. 170-174).
Lezione 8 (05/03/2019)
Richiami su alcune proprietà delle successioni numeriche: lemma 19.3 e teorema 19.4 (senza dimostrazione) (Cap. 4, §19, pagg. 185-187).
Teorema di Ljapunov (Cap. 4, §19, pagg. 189-191).
Lezione 9 (11/03/2019)
Teorema di Barbašin-Krasovskij (Cap. 4, §19, pagg. 191-192).
Applicazione del teorema all'oscillatore armonico smorzato (Cap. 4, esercizio 32).
Applicazione del teorema al pendolo semplice con attrito (Cap. 5, §24.6).
Lezione 10 (11/03/2019)
Piano delle fasi del pendolo semplice con attrito: cenni (Cap. 5, §24.6 ed esercizio 8).
Teorema di Poincaré-Bendixson (solo enunciato) (Cap. 5, pag. 219).
Cicli limite (Cap. 5, pagg. 221-222).
Teorema 21.19 (dimostrazione nel caso dei punti di equilibrio asintoticamante stabili) (Cap. 5, pag. 227).
Relazione tra campi vettoriali e costanti del moto in sistemi planari (Cap. 5, pagg. 229-230).
Lezione 11 (12/03/2019)
Sistemi predatori-prede: equazioni di Lotka-Volterra e leggi di Volterra - inizio (Cap. 5, §23).
Lezione 12 (12/03/2019)
Sistemi predatori-prede: equazioni di Lotka-Volterra e leggi di Volterra - conclusione (Cap. 5, §23).
Lezione 13 (18/03/2019)
Sistemi gradiente: proprietà e risultati generali (Cap. 5, §22).
Lezione 14 (18/03/2019)
Esempio di sistema gradiente (Cap. 5, esercizio 27).
Lezione 15 (19/03/2019)
Esempio di sistema che ammette una costante del moto - inizio (Cap. 5, § 25 ed esercizi 9, 10 e 11).
Lezione 16 (19/03/2019)
Esempio di sistema che ammette una costante del moto - conclusione (Cap. 5, § 25 ed esercizi 9, 10 e 11).
Lezione 17 (25/03/2019)
Esempio di sistema che ammette una costante del moto (Cap. 5, esercizio 52).
Esempio di sistema che ammette una costante del moto - inizio (Cap. 5, esercizio 36).
Lezione 18 (25/03/2019)
Esempio di sistema che ammette una costante del moto - conclusione (Cap. 5, esercizio 36).
Lezione 19 (26/03/2019)
Equazione di van der Pol - inizio (Cap. 5, esercizi 65-69).
Lezione 20 (26/03/2019)
Equazione di van der Pol - conclusione (Cap. 5, esercizi 70-72).
Lezione 21 (01/04/2019)
Complementi sull'equazione di van der Pol: circuito elettrico descritto dall'equazione.
Breve rassegna sui sistemi rigidi 1: sistemi rigidi discreti e continui e teorema 37.3 (solo enunciato) (Cap. 9, §37, pagg. 424-427).
Breve rassegna sui sistemi rigidi 2: caratteristiche cinematiche (Cap. 9, §38, pag. 428 e §39, pagg. 435-438).
Breve rassegna sui sistemi rigidi 3: caratteristiche dinamiche ed equazioni cardinali (Cap. 9, §40, pagg. 439-440 e Cap. 9, §42, pag. 445).
Breve rassegna sui sistemi rigidi 4: operatore di inerzia, momenti principali di inerzia e assi di inerzia (Cap. 10, §44, pagg. 465-472).
Lezione 22 (01/04/2019)
Equazioni di Eulero per un sistema rigido con un punto fisso non sottoposto a forze - inizio (Cap. 10, §47 ed esercizi 22-27).
Lezione 23 (02/04/2019)
Equazioni di Eulero per un sistema rigido con un punto fisso non sottoposto a forze - conclusione (Cap. 10, §47 ed esercizi 22-27).
Angoli di Eulero (Cap. 10, §46).
Integrabilità di un sistema rigido con un punto fisso - inizio (Cap. 10, §50).
Lezione 24 (02/04/2019)
Integrabilità di un sistema rigido con un punto fisso - conclusione (Cap. 10, §50).
Lezione 25 (15/04/2019)
Trottola di Lagrange, energia cinetica ed energia potenziale della trottola di Lagrange in termini degli angoli di Eulero,
integrali primi ed energia potenziale efficace, sistema ridotto (Cap. 15, §68).
Lezione 26 (15/04/2019)
Studio del sistema ridotto della trottola di Lagrange: caso 1 (Cap. 15, §69.1).
Studio del sistema ridotto della trottola di Lagrange: casi 2 e 3 (Cap. 15, §69.2 e § 69.3).
Lezione 27 (16/04/2019)
Studio del sistema ridotto della trottola di Lagrange: caso 4 (pendolo sferico)
(Cap. 11, pag. 57, esercizio 58, Cap. 13, pagg. 147-149, esercizio 30 e Cap. 15, §69.4).
Lezione 28 (16/04/2019)
Trottola di Lagrange in assenza di forze (Cap. 15, §69.5).
Trottola addormentata e trottola veloce (Cap. 15, §70).
Lezione 29 (29/04/2019)
Richiami sul formalismo hamiltoniano: hamiltoniana ed equazioni di Hamilton (Cap. 16, §71, pagg. 208-211).
Matrici simplettiche: definizione e proprietà (Cap. 17, §74, pagg. 227-228).
Trasformazioni canoniche, trasformazioni simplettiche e trasformazioni che conservano la struttura canonica della equazioni (Cap. 17, §74, pagg. 230-232).
Lezione 30 (29/04/2019)
Parentesi di Poisson: definizione e proprietà (Cap. 17, §75, pag. 233).
Parentesi di Poisson fondamentali; parentesi di Poisson e trasformazioni canoniche (Cap. 17, §75, pagg. 235-236).
Differenziale a tempo bloccato e condizione di Lie (Cap. 17, §77.1, pagg. 249-250).
Condizione di Lie e trasformazioni canoniche (Cap. 17, §77.1, pagg. 250-251).
Lezione 31 (30/04/2019)
Funzioni generatrici e procedimenti di prima specie nel caso di trasformazioni indipendenti dal tempo (Cap. 17, §77.2, pagg. 254-255).
Funzioni generatrici e procedimenti di seconda specie nel caso di trasformazioni indipendenti dal tempo (Cap. 17, §77.3, pagg. 255-256).
Altri procedimenti per generare trasformazioni canoniche nel caso di trasformazioni indipendenti dal tempo (Cap. 17, §77.4, pagg. 256-257).
Trasformazione identità ed estensione di una trasformazione di coordinate a una trasformazione canonica (Cap. 17, §77.4, pagg. 257-259).
Lezione 32 (30/04/2019)
Esercizi sulle trasformazioni canoniche indipendenti dal tempo (Cap. 17, pag. 287, esercizi 73 e 74).
Equazione di Hamilton-Jacobi nel caso di trasformazioni indipendenti dal tempo (Cap. 18, §78, pagg. 295-302).
Separazione di variabili (Cap. 18, §79, pagg. 302-305).
Variabili azione-angolo in una dimensione (Cap. 18, §80, pagg. 305-306).
Lezione 33 (06/05/2019)
Variabili azione-angolo per l'oscillatore armonico (Cap. 18, pag. 325, §83.1 e Cap. 17, pagg. 292-294, esercizi 91, 92, 93 e 94).
Variabili azione-angolo in più dimensioni e teorema di Liouville-Arnold (solo enunciato) (Cap. 18, §80, pagg. 307-310).
Lezione 34 (06/05/2019)
Variabili azione-angolo per il problema dei due corpi (Cap. 18, esercizi 32, 33, 34 e 35).
Sistemi super-integrabili: esempio del problema dei due corpi (Cap. 7, esercizio 20 e Cap. 18, esercizi 57 e 60).
Lezione 35 (07/05/2019)
Teoria delle perturbazioni: formulazione del problema ed esempio del sistema solare (Cap. 19, §84, pagg. 359-362 ed esercizi 1, 2 e 3).
Teoria delle perturbazioni al primo ordine ed equazione omologica (Cap. 19, §84, pagg. 362-364).
Lezione 36 (07/05/2019)
Condizione di non risonanza e vettori diofantei (Cap. 19, §84, pagg. 364-365 ed esercizi 4 e 5).
Condizione di non degenerazione e caso degli oscillatori armonici: sistemi isocroni e sistemi anisocroni (Cap. 19, §84, pagg. 365-366).
Primo teorema di trivialità di Poincaré (Cap. 19, §84, pagg. 366-367).
Lezione 37 (13/05/2019)
Riduzione di dominio di analiticità nel caso anisocrono (Cap. 19, §84, pagg. 367-368, esercizi 6, 7, 8 e 9, ed esercizi 47 e 48).
Lezione 38 (13/05/2019)
Teoria delle perturbazioni a tutti gli ordini per sistemi isocroni - inizio (Cap. 19, §85, pagg. 368-370 ed esercizi 49-54).
Lezione 39 (14/05/2019)
Teoria delle perturbazioni a tutti gli ordini per sistemi isocroni - conclusione (Cap. 19, §85, pagg. 370-372 ed esercizi 55-57).
Lezione 40 (14/05/2019)
Teorema di Nekhorošev per sistemi isocroni (Cap. 19, §85, pagg. 372-373 ed esercizi 58-60).
Serie di Birkhoff: definizione e divergenza (Cap. 19, §85, pagg. 373-374 ed esercizi 61 e 63-66).
Lezione 41 (20/05/2019)
Sistemi anisocroni: secondo teorema di trivialità di Poincaré (solo enunciato) ed enunciato informale del teorema KAM (Cap. 19, §85, pagg. 374-377).
Breve excursus storico sul teorema KAM: esperimento di Fermi-Pasta-Ulam e teorema di Kolmogorov (Cap. 20, §89, pagg. 461-463).
Difficoltà nell'applicare il teorema KAM al modello di Fermi-Pasta-Ulam e allo studio della stabilità del sistema solare (Cap. 20, §92, pagg. 519-521).
Lezione 42 (20/05/2019)
Dimostrazione del teorema KAM: il primo passo 1 - inizio (Cap. 20, §89, pagg. 463-466).
Lezione 43 (21/05/2019)
Dimostrazione del teorema KAM: il primo passo 2 - continuazione (Cap. 20, §89, pagg. 466-470 ed esercizi 2-8).
Lezione 44 (21/05/2019)
Dimostrazione del teorema KAM: il primo passo 3 - continuazione (Cap. 20, §89, pagg. 470-472 ed esercizi 11-15).
Lezione 45 (27/05/2019)
Dimostrazione del teorema KAM: il primo passo 4 - conclusione (Cap. 20, §89, pagg. 472-475 ed esercizi 9-10 e 16-17).
Lezione 46 (27/05/2019)
Dimostrazione del teorema KAM: il passo generale 1 - inizio (Cap. 20, §89, paggg 475-476).
Lezione 47 (28/05/2019)
Dimostrazione del teorema KAM: il passo generale 2 - continuazione (Cap. 20, §89, pagg. 477-478 ed esercizi 18-20).
Lezione 48 (28/05/2019)
Dimostrazione del teorema KAM: il passo generale 3 - conclusione (Cap. 20, §89, pagg. 478-479 ed esercizio 21).