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Anno Accademico 2020/2021 |
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FM210 - Meccanica Analitica (CdL in Matematica)
Meccanica Analitica (CdL in Fisica)
Lezioni: Guido Gentile
Esercitazioni: Livia Corsi
Tutorato: Shulamit Terracina
1. Caratteristiche dell'insegnamento
Contenuto dell'insegnamento
Sistemi meccanici conservativi. Analisi qualitativa del moto e stabilità secondo Ljapunov.
Sistemi unidimensionali.
Moti centrali e problema dei due corpi.
Cambiamento di sistemi di riferimento. Forze apparenti. Vincoli. Sistemi rigidi.
Meccanica lagrangiana. Principi variazionali. Variabili cicliche, costanti del moto e simmetrie.
Meccanica hamiltoniana. Teorema di Liouville e teorema del ritorno di Poincaré.
Trasformazioni canoniche. Funzioni generatrici. Metodo di Hamilton-Jacobi e variabili azione-angolo.
II Semestre -
Crediti: 9 CFU (Matematica) - 9 CFU (Fisica) -
TAF: b (Matematica) - b (Fisica) |
Testi consigliati
L'insegnamento si basa essenzialmente sul testo
Introduzione ai sistemi dinamici
Vol. 1 - Equazioni differenziali ordinarie, analisi qualitativa e alcune applicazioni
Introduzione ai sistemi dinamici
Vol. 2 - Formalismo lagrangiano e hamiltoniano,
da cui sono estratti i file pdf riportati nel diario delle lezioni;
per un elenco di esercizi,
oltre il testo sopra indicato, si vedano anche
il diario delle esercitazioni
e il diario delle attività di tutorato.
Le note delle lezioni e delle esercitazioni si possono scaricare dalla piattaforma
Moodle.
Le registrazioni delle lezioni sono disponibili su Teams.
Modalità degli esami
L'esame consiste in una prova scritta, eventualmente sostituita da due prove di esonero
in itinere, e in un successivo colloquio orale,
in cui lo studente dovrà discutere
gli argomenti trattati a lezione (cfr. il diario delle lezioni).
2. Orari
Lezioni: lunedì e mercoledì ore 14:00-16:00
(Prima parte: Teams -
Seconda parte: Aule M1 e M2 - Teams).
Inizio delle lezioni: 22 febbraio 2021 ore 14:00-16:00 - Termine delle lezioni: 31 maggio 2021 ore 14:00-16:00.
Esercitazioni (didattica integrativa): martedì ore 16:00-18:00 nei giorni 23/2, 2/3 e 16/3,
altrimenti lunedì ore 18:00-20:00 (Prima parte: Teams -
Seconda parte: Aule M1 e M2 - Teams).
Lezioni aggiuntive: giovedì 15 aprile ore 12:00-14:00,
martedì 27 aprile ore 18:00-20:00,
venerdì 28 maggio ore 18:00-20:00,
lunedì 14 giugno ore 10:00-12:00.
Tutorato: lunedì ore 18:00-20:00 nei giorni 1/3 e 15/3, altrimenti
martedì ore 18:00-20:00
(Prima parte: Teams -
Seconda parte: Aule M1 e M2 - Teams).
Attività di tutorato aggiuntive: 17 aprile ore 14:00-16:00.
Orario di ricevimento:
per appuntamento (tramite email o Teams)
3. Calendario degli esami
Esonero I: 21 aprile 2021 ore 14:00 - 17:00 - Aule M1, M2, M3 e M4.
[Per poter sostenere l'esonero occorre prenotarsi su GOMP.]
Divisione per aule: Fisici A-R Aula M2, Fisici S-Z Aula M4, Matematici A-H Aula M3, Matematici I-Z Aula M1.
Correzione degli esercizi dell'esonero I: 27 aprile 2021 ore 14:00 - Aule M1 e M2.
Recupero dell'esonero II: 21 giugno 2021 ore 14:00 - Aule M1 e M2.
[Per poter sostenere l'esonero occorre prenotarsi su GOMP.]
Esonero II:
9 giugno 2021 ore 13:00 - 16:00 - Aule M1, M2, M3 e M4.
[Per poter sostenere l'esonero occorre prenotarsi su GOMP.]
Divisione per aule: Fisici A-M Aula M2, Fisici N-Z Aula M3, Matematici Aula M1.
Correzione degli esercizi dell'esonero II: 14 giugno 2021 ore 10:00 - Teams.
Esami: Le date degli esami sono riportate sulla pagina del calendario di\
esami dei CdS in
Matematica
e del CdL in Fisica.
4. Prove d'esonero e prove d'esame
4.1. Prove di esonero
Esami: Le date degli esami sono riportate sulla pagina del calendario di esami dei CdS in
Matematica
e del CdL in Fisica.
4. Prove d'esonero e prove d'esame
4.1. Prove di esonero
Prima prova di esonero: 21 aprile 2021 -
Testo -
Soluzione disponibile su
Moodle (lezioni 35 e 36) -
Risultati.
Seconda prova di esonero: 09 giugno 2021 -
Testo -
Soluzione disponibile su
Moodle (lezioni 61 e 62) -
Risultati.
Recupero della seconda prova di esonero: 21 giugno 2021 -
Testo -
Risultati.
4.2. Prove di esame
Appello I: 21 giugno 2021 -
Testo -
Risultati.
Orali: 23 giugno 2021 ore 10:00 (stanza 311),
30 giugno 2021 ore 10:00 (aula 311), 01 luglio 2021 ore 10:00, 08 luglio 2021 ore 10:00 (aula 311).
Appello II: 09 luglio 2021 -
Testo -
Risultati.
Orali: 14 luglio 2021 ore 10:00 (aula 311), 15 luglio 2021 ore 10:00 (aula 311),
21 luglio ore 10:00 (aula 311), 28 luglio ore 10:00 (aula 311).
Appello III: 30 agosto 2021 -
Testo -
Risultati
Orali: 6 settembre 2021 ore 10:00 (stanza 311),
8 settembre ore 10:00 (stanza 311),
17 settembre ore 10:00 (stanza 311),
24 settembre ore 10:00 (stanza 311).
Appello Straordinario (riservato ai laureandi):
8 novembre 2021.
Orali: 9 novembre 2021 ore 9:00 (stanza 311),
11 novembre 2021 ore 9:00 (stanza 311).
Appello IV: 24 gennaio 2022 -
Testo -
Risultati.
Orali: 28 gennaio 2022 ore 14:00 (stanza 305),
31 gennaio 2022 ore 10:00 (stanza 305) e 1 febbraio 2022 ore 10:00 (stanza 305).
Appello V (solo per il CdL in Fisica): 15 febbraio 2022.
Testo -
Risultati.
Orali: 16 febbraio 2022 ore 14:00 (aula 311) e 17 febbraio 2022 (aula 311).
5. Programma d'esame
Programma definitivo dell'insegnamento
dell'A.A. 2020-2021 in formato pdf
1. Equazioni differenziali ordinarie e sistemi dinamici
Richiami sulle equazioni differenziali ordinarie: equazioni del primo ordine; problema di Cauchy,
teorema di esistenza e unicità;
dipendenza continua dai dati iniziali; dipendenza differenziabile dai dati iniziali;
esistenza di una soluzione massimale; teorema del prolungamento e suo corollario.
Equazioni di ordine qualsiasi, equazioni in forma normale, equazioni autonome e non autonome.
Sistemi dinamici: traiettorie, orbite, flussi, traiettorie periodiche,
insiemi invarianti, derivata sostanziale,
costanti del moto. Sistemi meccanici e sistemi meccanici conservativi; legge di Newton.
2. Analisi qualitativa e stabilità
Sistemi dinamici lineari planari: analisi qualitativa, pozzi, sorgenti, centri e moti a spirale.
Stabilità secondo Ljapunov.
Punti di equilibrio: stabili, asintoticamente stabili, attrattivi e instabili.
Sistemi dinamici lineari: soluzione generale.
Sistemi dinamici linearizzati. Teoremi di stabilità nel caso di sistemi conservativi:
teoremi che si riconducono allo studio del sistema linearizzato (senza dimostrazione),
teorema di Ljapunov (dimostrazione della stabilità) e teorema di Dirichlet-Larange.
Sistemi meccanici conservativi unidimensionali:
conservazione dell'energia e curve di livello.
Moti periodici e moti asintotici. Separatrici, traiettorie omocline e traiettorie eterocline.
L'oscillatore armonico e il pendolo semplice. Periodo come integrale definito e stima del periodo.
Piccole oscillazioni per sistemi meccanici unidimensionali.
3. Moti centrali
Forze centrali. Problema dei due corpi. Moti centrali.
Conservatività delle forze centrali.
Conservazione del momento angolare per le forze centrali. Moto radiale e moto angolare.
Condizioni di periodicità del moto. Teorema di Bertrand (senza dimostrazione).
Campo centrale armonico e campo centrale coulombiano: equazioni delle orbite.
Velocità areolare. Leggi di Keplero.
4. Moti relativi
Sistemi di riferimento fissi e sistemi di riferimento mobili, trasformazioni rigide,
traslazioni e rotazioni, matrici ortogonali.
Rotazione intorno a un asse.
Richiami sul prodotto vettoriale: matrici ortogonali e prodotti vettoriali.
Velocità angolare.
Legge di trasformazione delle velocità.
Forze d'inerzia: forza inerziale di traslazione, forza inerziale di rotazione,
forza centrifuga, forza di Coriolis.
Effetti della forza centrifuga sull'accelerazione di gravità,
pendolo di Foucault nell'approssimazione lineare.
5. Vincoli e sistemi rigidi
Sistemi vincolati. Vincoli olonomi bilateri e superfici di vincolo. Principio di d'Alembert.
Moltiplicatori di Lagrange.
Derivazione delle equazioni del pendolo semplice
usando i moltiplicatori di Lagrange.
Sistemi rigidi discreti e continui: definizione e proprietà,
spazio delle configurazioni dei sistemi rigidi.
Velocità dei punti di un sistema rigido.
Caratteristiche cinematiche dei sistemi rigidi: quantità: di moto,
momento angolare, energia cinetica, teorema di König.
Principio di d'Alembert ed equazioni cardinali della dinamica.
Operatore d'inerzia, momenti d'inerzia, momenti principali d'inerzia, assi d'inerzia.
Moto di rotolamento senza strisciamento.
6. Meccanica lagrangiana
Lagrangiana e funzionale d'azione.
Equazioni di Eulero-Lagrange. Primo principio variazionale di Hamilton.
Equazioni di Newton ed equazioni di Eulero-Lagrange
per sistemi meccanici conservativi.
Lagrangiana per sistemi vincolati.
Equazioni di Newton integrate dal principio di
d'Alembert ed equazioni di Eulero-Lagrange
per sistemi meccanici conservativi vincolati.
Equazioni del moto per il pendolo semplice, nel formalismo lagrangiano e
mediante l'uso dei moltiplicatori di Lagrange.
Calcolo delle reazioni vincolari.
7. Simmetrie e costanti del moto
Variabili cicliche e metodo di Routh. Applicazione al problema dei due corpi.
Gruppi a un parametro di diffeomorfismi.
Trasformazioni di coordinate e loro sollevamenti.
Campi vettoriali, momenti associati ai campi vettoriali e momenti coniugati.
Sistemi invarianti sotto l'azione di un gruppo a un parametro. Teorema di Noether.
Sistemi invarianti per traslazione e sistemi invarianti per rotazione.
Cenni sui sistemi invarianti sotto l'azione di più gruppi
a un parametro: gruppi commutanti ed estensione del teorema di Noether
(senza dimostrazione).
8. Meccanica hamiltoniana
Spazio delle fasi. Trasformata di Legendre. Hamiltoniana ed equazioni di Hamilton.
Metodo di Routh nel formalismo hamiltoniano.
Secondo principio variazionale di Hamilton.
Campo vettoriale hamiltoniano. Campi a divergenza nulla.
Teorema di Liouville (senza dimostrazione).
Teorema del ritorno di Poincaré. Esperimento di Maxwell.
9. Trasformazioni canoniche
Trasformazioni di coordinate nello spazio delle fasi. Matrici simplettiche.
Trasformazioni che conservano la struttura canonica delle equazioni.
Trasformazioni canoniche.
Trasformazioni simplettiche.
Parentesi di Poisson e loro proprietà.
Paraentesi di Poisson fondamentali.
Criterio per riconoscere una trasformazione canonica
sulla base delle parentesi di Poisson fondamentali.
Richiami sulle forme differenziali esatte e chiuse.
Differenziale a tempo bloccato. Condizione di Lie.
Criterio per riconoscere una trasformazione canonica
sulla base della condizione di Lie.
10. Funzioni generatrici e metodo di Hamilton-Jacobi
Funzioni generatrici indipendenti e dipendenti dal tempo. Funzioni generatrici di
prima e seconda specie.
Sollevamento di una trasformazione di coordinate a una trasformazione simplettica.
Equazione di Hamilton-Jacobi.
Integrale generale e integrale completo. Funzione principale di Hamilton.
Funzione caratteristica di Hamilton.
Sistemi separabili. Variabili azione-angolo per sistemi unidimensionali.
Variabili azione-angolo per sistemi a più dimensioni:
teorema di Liouville-Arnol'd (senza dimostrazione),
caso dei sistemi separabili, sistemi integrabili.
6. Diario delle lezioni
6.1. Prima parte
Lezione 1 (22/02/2021)
Richiami sulle equazioni differenziali ordinarie del primo ordine
(solo enunciati): teorema di esistenza e unicità,
controesempio di un campo vettoriale non lipschitziano,
dipendenza (continua e differenziabile) dai dati iniziali,
prolungamento delle soluzioni, soluzioni massimali, esistenza
di una soluzione massimale;
teorema del prolungamento e suo corollario
(Cap. 3, §11.1
e §11.3, 12 e 13).
Lezione 2 (22/02/2021)
Sistemi di equazioni differenziali di ordine qualsiasi; equazioni in forma normale
(Cap. 3, §15).
Equazioni a variabili separabili
(Cap. 3, §14 ed
esercizio 25;
Cap. 4, esercizio 8).
Sistemi dinamici ed equazioni differenziali ordinarie:
traiettorie, orbite, flussi
(Cap. 3, §11.1).
Traiettorie periodiche e orbite chiuse; periodo di una traiettoria periodica
(Cap. 4, §17, pag. 166).
Lezione 3 (24/02/2021)
Esempi di campi vettoriali nel piano
(esempio 1 ed esempio 2).
Insiemi invarianti, derivata sostanziale, costanti del moto (o integrali primi)
(Cap. 4, §17, pagg. 165-167).
Sistemi meccanici e sistemi meccanici conservativi; legge di Newton
(Cap. 4, §17, pagg. 174-176).
Sistemi meccanici conservativi generalizzati
(Cap. 4, §17, pagg. 176-177).
Lezione 4 (24/02/2021)
Sistemi dinamici planari: analisi qualitativa.
Autovalori reali distinti (nodi propri: pozzi e sorgenti).
Autovalori complessi coniugati (centri e moti a spirale).
Autovalori reali coincidenti:
(1) matrice diagonalizzabile (nodi propri: pozzi e sorgenti);
(2) matrice non diagonalizzabile
(nodi impropri: pozzi e sorgenti). Studio del flusso nel piano nei vari casi.
(Cap. 2, §7).
Lezione 5 (01/03/2021)
Chiarimenti sui sistemi meccanici conservativi generalizzati
(Cap. 4, §17, pagg. 176-177).
Stabilità secondo Ljapunov: punti di equilibrio stabili, instabili, attrattivi e asintoticamente stabili
(Cap. 4, §17, pagg. 167-169).
Lezione 6 (01/03/2021)
Stabilità dell'origine per sistemi planari
(Cap. 4, esercizio 25).
Espressione generale della soluzione di un sistema di equazioni differenziali ordinarie lineari
(Cap. 2, pag. 69).
Linearizzazione: definizione di sistema linearizzato associato a un sistema dinamico
(Cap. 4, §18).
Lezione 7 (03/03/2021)
Linearizzazione: teoremi 18.5 e 18.7 senza dimostrazioni
(Cap. 4, §18).
Esempio di sistema dinamico
in cui l'analisi lineare non dà informazioni sulla
stabilità di un punto di equilibrio
(Cap. 4, osservazione 18.9
ed esercizio 22).
Sistemi che ammettono una costante del moto: assenza di punti di equilibrio asintoticamente stabili
e moto sulle curve di livello della costante del moto nel caso di sistemi planari
(Cap. 5, §17, pag. 227
e Cap. 4, §17, pag. 167).
L'oscillatore armonico: analisi qualitativa del moto
(Cap. 2, §7.2).
Lezione 8 (03/03/2021)
L'oscillatore armonico: analisi qualitativa del moto attraverso lo studio dell'energia potenziale.
Teoremi di stabilità per sistemi meccanici conservativi:
teorema di Ljapunov (Cap. 4, §19, pagg. 189-190),
con dimostrazione solo della stabilità, e teorema di Lagrange-Dirichlet
(Cap. 4, §19, pagg. 192-193).
Lezione 9 (08/03/2021)
Analisi qualitativa nel piano delle fasi del pendolo semplice:
stabilità dei punti di equilibrio, curve di livello dell'energia,
orbite chiuse e separatrice, traiettorie periodiche (oscillatorie e rotatorie)
e traietttorie asintotiche (omocline)
(Cap. 5, §24, pagg. 237-243).
Periodo delle soluzioni oscillatorie e delle soluzioni rotatorie
(Cap. 5, §24, pagg. 243-245).
Lezione 10 (08/03/2021)
Il pendolo semplice senza attrito: analisi qualitativa attraverso lo studio dell'energia potenziale
(Cap. 5, §24 e
Cap. 6, §28, pagg. 293-303).
Soluzione dell'equazione del moto per separazione di variabili e moto sulla separatrice
(Cap. 5, §24, pag. 241).
Lezione 11 (10/03/2021)
Analisi qualitativa dei sistemi unidimensionali
(Cap. 6, §28, pagg. 285-308).
Lezione 12 (10/03/2021)
Esercizio sui sistemi unidimensionali - inizio
(Cap. 6, pag. 324, esercizio 26).
Lezione 13 (15/03/2021)
Esercizio sui sistemi unidimensionali - conclusione
(Cap. 6, pag. 324, esercizio 26).
Periodo di traiettorie periodiche in sistemi meccanici conservativi
(Cap. 6, §29, pagg. 304-308).
Piccole oscillazioni per sistemi unidimensionali: teorema 29.6
(Cap. 6, §29, pagg. 308-310
ed esercizio 9).
Lezione 14 (15/03/2021)
Periodo per sistemi meccanici conservativi con energia potenziale proporzionale a x2n
(Cap. 6, esercizio 31);
discussione dei limiti di bassa energia (limite E → 0) e di alta energia (limite E → ∞).
Esercizio sui sistemi unidimensionali - inizio
(Cap. 6, pag. 327, esercizio 28).
Lezione 15 (17/03/2021)
Esercizio sui sistemi unidimensionali - continuazione
(Cap. 6, pag. 327, esercizio 28).
Lezione 16 (17/03/2021)
Esercizio sui sistemi unidimensionali - conclusione
(Cap. 6, pag. 327, esercizio 28).
Lezione 17 (22/03/2021)
Problema dei due corpi: impostazione del problema
(Cap. 7, §31.1, pag. 333).
Forze conservative, forze centrali, momento angolare, prodotto vettoriale, lemma 31.2
(una forza conservativa è un gradiente) e lemma 31.6
(una forza centrale è conservativa)
(Cap. 7, pagg. 333-344,,
§31.1
e §31.2, pagg. 337-338).
Lezione 18 (22/03/2021)
Problema dei due corpi: discussione del moto relativo
(Cap. 7, §31.2, pagg. 338-345).
Lezione 19 (24/03/2021)
Campo centrale gravitazionale: studio qualitativo del moto radiale
(Cap. 7, §32.2, pagg. 352-353).
Prima forma dell'equazione delle orbite
(Cap. 7, §32.2, pagg. 345-346).
Campo centrale gravitazionale: determinazione dell'equazione delle orbite
(Cap. 7, §32.2, pagg. 353-355).
Lezione 20 (24/03/2021)
Campo centrale gravitazionale: orbite chiuse (ellissi) e orbite illimitate (iperboli e parabole)
(Cap. 7, §32.2, pagg. 355-359).
Lezione 21 (29/03/2021)
Campo centrale gravitazionale: leggi di Keplero
(Cap. 7, §32.2, pagg. 359-361).
Discussione del campo centrale armonico
(Cap. 7, §32.1, pagg. 341-348 e pagg. 351-352).
Teorema di Bertrand (solo enunciato) ed eccezionalità delle orbite chiuse nei campi centrali
(Cap. 7, pagg. 368-369).
Lezione 22 (29/03/2021)
Moti relativi: sistemi di riferimento fissi e sistemi di riferimento mobili,
trasformazioni rigide, traslazioni e rotazioni
(Cap. 8, §34, pagg. 381-386).
Matrici ortogonali e prodotti vettoriali:
lemma 34.8, lemma 34.9 e osservazione 34.10
(Cap. 8, §34, pagg. 386-387).
Legge di trasformazione delle velocità: teorema 34.24
(Cap. 8, §34, pagg. 393-394).
Lezione 23 (31/03/2021)
Richiami sul prodotto vettoriale e lemma 34.11
(Cap. 8, pag. 387-388).
Esempio di rotazione intorno a un asse
(Cap. 8, pagg. 405-406, esercizio 9).
Velocità angolare: osservazione 34.14, teorema 34.15,
definizione 34.16, osservazione 34.20
(Cap. 8, §34, pagg. 389-392).
Lezione 24 (31/03/2021)
Forze d'inerzia: forza inerziale di traslazione, forza inerziale di rotazione,
forza centrifuga, forza di Coriolis
(Cap. 8, §35, pagg. 394-397).
Esempio 35.8: effetti della forza centrifuga sull'accelerazione di gravità
(Cap. 8, §35, pagg. 397-398).
Pendolo di Foucault nell'approssimazione lineare: equazioni del moto
(Cap. 8, §35, pagg. 398-401).
Lezione 25 (07/04/2021)
Pendolo di Foucault nell'approssimazione lineare: approssimazione delle piccole oscillazioni
(Cap. 8, §35, pagg. 398-401).
Lezione 26 (07/04/2021)
Esercizio sui moti relativi: sistema di riferimento che si muove lungo un profilo cubico
(Cap. 8, esercizio 26).
Lezione 27 (12/04/2021)
Esercizio sui moti relativi: mosca che si muove su un disco di vinile
(Cap. 8, esercizio 18).
Vincoli, vincoli olonomi, bilateri, regolari e indipendenti,
forze vincolari, superficie di vincolo, traiettorie virtuali
(Cap. 9, §36).
Lezione 28 (12/04/2021)
Principio di d'Alembert, vincoli perfetti, moltiplicatori di Lagrange
(Cap. 9, §41).
Calcolo dei moltiplicatori di Lagrange
(Cap. 9, pag. 460, esercizio 11).
Lezione 29 (14/04/2021)
Derivazione delle equazioni del pendolo semplice
(Cap. 9, pagg. 462-463, esercizi 21 e 22).
Vincoli rigidi, sistemi rigidi discreti e sistemi rigidi continui,
spazio delle configurazioni dei sistemi rigidi
(Cap. 9, §37).
Velocità dei punti di un sistema rigido
(Cap. 9, §38, pag. 428).
Caratteristiche cinematiche dei sistemi rigidi: quantità di moto,
momento angolare, energia cinetica, teorema di König
(Cap. 9, §39).
Lezione 30 (14/04/2021)
Caratteristiche dinamiche dei sistemi rigidi: equazioni del moto
(Cap. 9, §40).
Principio di d'Alembert e vincoli rigidi: equazioni cardinali della
dinamica per sistemi rigidi
(Cap. 9, §41).
Operatore d'inerzia, momenti principali di inerzia e assi di inerzia,
(Cap. 10, §44).
Lezione 31 (15/04/2021)
Preparazione alla prima prova di esonero: esercizi 1, 2 e 3
(testo).
Lezione 32 (15/04/2021)
Preparazione alla prima prova di esonero: esercizi 4 e 5
(testo).
6.2. Seconda parte
Lezione 33 (26/04/2021)
Formalismo lagrangiano: spazio delle traiettorie e spazio delle deformazioni,
lagrangiana, funzionale d'azione,
lemma 51.8, lemma 51.9, equazioni di Eulero-Lagrange e teorema 51.12
(Cap. 11, §51).
Lezione 34 (26/04/2021)
Primo principio variazionale di Hamilton e
teorema 51.14 (equivalenza tra equazioni di Eulero-Lagrange ed equazioni di Newton);
problema con condizioni al contorno ed esempio 51.17;
teorema 51.19 (solo enunciato); osservazione 51.21
(Cap. 11, §51).
Lezione 35 (27/04/2021)
Correzione della prima prova di esonero del 21 aprile 2021 - inizio
(soluzione disponibile su Moodle).
Lezione 36 (27/04/2021)
Correzione della prima prova di esonero del 21 aprile 2021 - conclusione
(soluzione disponibile su Moodle).
Lezione 37 (28/04/2021)
Formalismo lagrangiano per sistemi meccanici soggetti a vincoli olonomi bilateri:
lagrangiana vincolata, funzionale d'azione per sistemi vincolati,
estensione del principio variazionale di Hamilton ai sistemi vincolati,
teorema 53.4 (equivalenza tra equazioni di Eulero-Lagrange
ed equazioni
di Newton integrate dal principio di d'Alembert), osservazione 53.6
(Cap. 11, §53, pagg. 14-18).
Esempio di sistema lagrangiano: pendolo semplice
(Cap. 11, esercizi 49 e 50).
Lezione 38 (28/04/2021)
Energia potenziale elastica, energia potenziale gravitazionale sulla superfice della Terra,
energia potenziale centrifuga
(Cap. 12, esercizi 7, 12 e13).
Forma generale della lagrangiana di un sistema meccanico conservativo soggetto a vincoli olnomi bilateri
(Cap. 12, §58, pagg. 61-63).
Studio della stabilità delle configurazioni di equilibrio di un sistema lagrangiano
Lagrangiana di un sistema - inizio
(Cap. 12, §58, pagg. 63-64).
Lezione 39 (03/05/2021)
Studio della stabilità delle configurazioni di equilibrio di un sistema lagrangiano
Lagrangiana di un sistema - conclusione
(Cap. 12, §58, pagg. 63-64).
Equilibrio relativo. Esempio 58.16: pendolo semplice in un piano rotante
(Cap. 12, §58, pagg. 68-69).
Lezione 40 (03/05/2021)
Variabili cicliche, metodo di Routh ed esempio 59.7 sui moti centrali
(Cap. 12, §59 pagg. 70-72).
Moto di rotolamento senza strisciamento:
disco che rotola su un piano
(Cap. 9, §46, pag. 421
e Cap. 10, §43.2, pagg. 452-454).
Lezione 41 (05/05/2021)
Gruppi a un parametro di diffeomorfismi e campi vettoriali
(Cap. 13, §62, pagg. 121-123).
Gruppi a un parametro di diffeomorfismi e momenti conservati
(Cap. 13, §62, pagg. 124-125).
Lagrangiana invariante sotto l'azione di un gruppo di diffeomorfismi
(Cap. 13, §62, pag. 126).
Lezione 42 (05/05/2021)
Teorema di Noether (Cap. 13, §62, pagg. 126-128).
Cenni sul teorema di Noether nel caso di più gruppi di diffeomorfismi:
introduzione, teorema 63.15
(senza dimostrazione), esempio 63.18, osservazione 63.19, esempio 63.20
(Cap. 13, §62, pagg. 129-141).
Lezione 43 (10/05/2021)
Esercizi sui sistemi lagrangiani - inizio
(Cap. 12, esercizio 42).
Lezione 44 (10/05/2021)
Esercizi sui sistemi lagrangiani - conclusione
(Cap. 12, esercizio 42).
Moto di rotolamento senza strisciamento:
cilindro che rotola su un piano
e cilindro che rotola all'interno di una superficie cilindrica
(Cap. 10, §43.2, pagg. 454-455).
Lezione 45 (12/05/2021)
Formalismo hamiltoniano: trasformata di Legendre, hamiltoniana
(Cap. 16, §71, pagg. 205-209).
Equazioni di Hamilton e matrice simplettica standard
(Cap. 16, §71, pagg. 209-210).
Lezione 46 (12/05/2021)
Teorema di Liouville (solo enunciato), teorema del ritorno di Poincaré ed
esperimento di Maxwell
(Cap. 16, §71, pagg. 211-216).
Lezione 47 (17/05/2021)
Metodo di Routh nel formalismo hamiltoniano
(Cap. 16, §72, pagg. 216-217).
Secondo principio variazionale di Hamilton
(Cap. 16, §73, pagg. 217-219).
Matrici simplettiche: definizione e proprietà
(Cap. 17, §74, pagg. 227-228).
Trasformazioni canoniche,
trasformazioni simplettiche e
trasformazioni che conservano la struttura canonica della equazioni
(Cap. 17, §74, pag. 230).
Lezione 48 (17/05/2021)
Teorema 74.20: le trasformazioni canoniche conservano la struttura canonica delle equazioni
(Cap. 17, §74, pagg. 230-232).
Teorema 74.22: una trasformazione è simplettica se e solo se conserva
la struttura canonica delle equazioni con la stessa hamiltoniana
(Cap. 17, §74, pag. 232).
Parentesi di Poisson: definizione e proprietà
(Cap. 17, §75, pag. 233).
Parentesi di Poisson fondamentali
(Cap. 17, §75, pag. 235).
Lezione 49 (19/05/2021)
Criterio per verificare che una trasformazione è canonica
basato sulle parentesi di Poisson
(Cap. 17, §5, pagg. 235-236).
Esercizi sulle trasformazioni canoniche
(Cap. 17, esercizi 65 e 67).
Lezione 50 (19/05/2021)
Differenziale a tempo bloccato e condizione di Lie
(Cap. 17, §77.1, pagg. 249-250).
Condizione di Lie e trasformazioni canoniche
(Cap. 17, §77.1, pagg. 250-251).
Funzioni generatrici e procedimenti di prima specie
nel caso di trasformazioni indipendenti dal tempo
(Cap. 17, §77.2, pagg. 254-255).
Funzioni generatrici e procedimenti di seconda specie
nel caso di trasformazioni indipendenti dal tempo
(Cap. 17, §77.3, pagg. 255-256).
Altri procedimenti per generare trasformazioni canoniche
nel caso di trasformazioni indipendenti dal tempo
(Cap. 17, §77.4, pagg. 256-257).
Lezione 51 (24/05/2021)
Trasformazione identità ed estensione di una trasformazione
di coordinate a una trasformazione canonica
(Cap. 17, §77.4, pagg. 257-259).
Esercizi sulle trasformazioni canoniche
(Cap. 17, esercizi 66, 69 e 70).
Lezione 52 (24/05/2021)
Equazione di Hamilton-Jacobi; funzione principale di Hamilton; funzione caratteristica di Hamilton
(Cap. 18, §78, pagg. 295-300).
Equazione di Hamilton-Jacobi per un sistema meccanico conservativo unidimensionale (Cap. 18, §78, pagg. 301-302).
Lezione 53 (24/05/2021)
Esercizio sui sistemi lagrangiani
(Cap. 12, pag. 121-123, esercizio 41).
Lezione 54 (24/05/2021)
Esercizio sui sistemi hamiltoniani
(2018/2019, esonero II, esercizio 2).
Lezione 55 (25/05/2021)
Variabili azione-angolo in una dimensione
(Cap. 18, §80, pagg. 305-306).
Variabili azione-angolo per l'oscillatore armonico
(Cap. 18, §83.1, pag. 325).
Lezione 56 (25/05/2021)
Separazione di variabili
(Cap. 18, §79, pagg. 302-305).
Esercizio sui sistemi separabili - prima parte
(Cap. 18, esercizio 51).
Lezione 57 (28/05/2021)
Preparazione alla seconda prova di esonero: esercizi 1 e 2
(testo).
Lezione 58 (28/05/2021)
Preparazione alla seconda prova di esonero: esercizi 3, 4 e 5
(testo).
Lezione 59 (31/05/2021)
Variabili azione-angolo in pił dimensioni e teorema di Liouville-Arnold (solo enunciato)
(Cap. 18, §80, pagg. 307-310).
Esercizio sui sistemi separabili - seconda parte
(Cap. 18, esercizio 51).
Lezione 60 (31/05/2021)
Esercizio sulle trasformazioni canoniche.
Lezione 61 (14/06/2021)
Correzione della seconda prova di esonero del 9 giugno 2021 - inizio
(soluzione disponibile su Moodle).
Lezione 62 (14/06/2021)
Correzione della seconda prova di esonero del 9 giugno 2021 - conclusione
(soluzione disponibile su Moodle).
7. Diario delle esercitazioni
7.1. Prima parte
Esercitazione 1 (23/02/2021)
Esponenziale di matrice: definizione e proprietà
(Cap. 2, §3 e
§2, pagg. 20-21).
Esercitazione 2 (23/02/2021)
Esponenziale di matrice: esempi nel piano
(Cap. 2, §7,
e A.A. 2007/2008, tutorato I, esercizio 1).
Esercitazione 3 (02/03/2021)
Sistemi di equazioni differenziali lineari: esempio in R3
nel caso di matrice diagonalizzabile sui reali
(A.A. 2006/2007, tutorato II, esercizio 2,
ma con la terza riga con elementi tutti positivi).
Sistemi di equazioni differenziali lineari: esempio in R3
nel caso di matrice diagonalizzabile
sui complessi (semisemplice) - inizio
(A.A. 2005/2006, tutorato I, esercizio 3).
Esercitazione 4 (02/03/2021)
Sistemi di equazioni differenziali lineari: esempio in R3
nel caso di matrice diagonalizzabile
sui complessi (semisemplice) - conclusione
(A.A. 2005/2006, tutorato I, esercizio 3).
Sistemi di equazioni differenziali lineari:
esempio in R3
nel caso di matrice non diagonalizzabile
(A.A. 2005/2006, tutorato II, esercizio 1).
Esercitazione 5 (08/03/2021)
Esercizi sui sistemi unidimensionali: analisi qualitativa attraverso lo
studio dell'energia potenziale
(A.A. 2006/2007, tutorato VII, esercizio 1).
Esercitazione 6 (08/03/2021)
Esercizi sui sistemi unidimensionali: analisi qualitativa attraverso lo
studio dell'energia potenziale
(A.A. 2007/2008, tutorato VII, esercizio 3).
Esercitazione 7 (16/03/2021)
Esercizi sui sistemi unidimensionali: analisi qualitativa attraverso lo
studio dell'energia potenziale
(A.A. 2007/2008, tutorato VIII, esercizio 3).
Esercitazione 8 (16/03/2021)
Esercizi sui sistemi unidimensionali: analisi qualitativa attraverso lo
studio dell'energia potenziale
(A.A. 2007/2008, tutorato VII, esercizio 2).
Stime di periodi per sistemi meccanici unidimensionali
(Cap. 6, §29, pagg. 310-314).
Esercitazione 9 (22/03/2021)
Esercizi sui moti centrali: inizio
(A.A. 2006/2007, tutorato VIII, esercizio 1).
Esercitazione 10 (22/03/2021)
Esercizi sui moti centrali: conclusione
(A.A. 2006/2007, tutorato VIII, esercizio 1).
Esercitazione 11 (29/03/2021)
Esercizi sui moti centrali: inizio
(A.A. 2007/2008, tutorato IX, esercizio 1).
Esercitazione 12 (29/03/2021)
Esercizi sui moti centrali: conclusione
(A.A. 2007/2008, tutorato IX, esercizio 1).
Esercitazione 13 (12/04/2021)
Esercizi sui moti relativi
(A.A. 2006/2007, tutorato XI, esercizio 1).
Esercitazione 14 (12/04/2021)
Esercizi sui moti relativi
(A.A. 2006/2007, tutorato XI, esercizio 2).
7.2. Seconda parte
Esercitazione 15 (26/04/2021)
Forma esplicita del'operatore di inerzia e calcolo dei momenti principali di inerzia
(Cap. 10, §45,
pagg. 466 e 469).
Esercitazione 16 (26/04/2021)
Calcolo dei momenti principali di inerzia di alcuni corpi rigidi:
sistema costituito da due punti, asta, disco,
anello sottile, anelo spesso, cilindro
(Cap. 10, §45,
pagg. 473-477 ed
esercizi 10, 11, 12, 13, 14 e 15).
Esercitazione 17 (03/05/2021)
Esercizi sui sistemi lagrangiani - inizio
(Cap. 12, §60,
pagg. 72-77).
Esercitazione 18 (03/05/2021)
Esercizi sui sistemi lagrangiani - conclusione
(Cap. 12, §60,
pagg. 77-80).
Esercitazione 19 (10/05/2021)
Esercizi sui sistemi lagrangiani
(A.A. 2019/2020, appello zero, esercizio 1).
Esercitazione 20 (10/05/2021)
Esercizi sui sistemi lagrangiani
(A.A. 2019/2020, appello zero, esercizio 4, e appello due,
impostazione dell'esercizio 1).
Esercitazione 21 (17/05/2021)
Esercizi sui sistemi lagrangiani e hamiltoniani
(A.A. 2019/2020, appello zero, esercizio 7).
Esercitazione 22 (17/05/2021)
Esercizi sui sistemi lagrangiani
(A.A. 2019/2020, appello zero, esercizio 4).
Esercitazione 23 (31/05/2021)
Esercizi sui sistemi hamiltoniani
(A.A. 2019/2020, appello zero, esercizi 2 e 3).
Esercitazione 24 (31/05/2021)
Esercizi sui sistemi hamiltoniani
(A.A. 2019/2020, appello uno, esercizio 2, e appello laureandi, esercizio 2).
8. Diario delle attività di tutorato
8.1. Prima parte
Tutorato 1-1 (01/03/2021)
Esercizi sulle equazioni differenziali lineari
(testo).
Tutorato 1-2 (01/03/2021)
Soluzioni degli esercizi sulle equazioni differenziali lineari
(soluzioni).
Tutorato 2-1 (09/03/2021)
Esercizi sui sistemi unidimensionali - parte prima
(testo).
Tutorato 2-2 (09/03/2021)
Soluzioni degli esercizi sui sistemi unidimensionali - parte prima
(soluzioni).
Tutorato 3-1 (15/03/2021)
Esercizi sui sistemi unidimensionali - parte seconda
(testo).
Tutorato 3-2 (15/03/2021)
Soluzioni degli esercizi sui sistemi unidimensionali - parte seconda
(soluzioni).
Tutorato 4-1 (23/03/2021)
Esercizi su sistemi unidimensionali - parte terza
(testo).
Tutorato 4-2 (23/03/2021)
Soluzione degli esercizi sui sistemi unidimensionali - parte terza
(soluzioni).
Tutorato 5-1 (30/03/2021)
Esercizi sui moti centrali
(testo).
Tutorato 5-2 (30/03/2021)
Esercizi sui moti centrali
(soluzioni).
Tutorato 6-2 (13/04/2021)
Esercizi sui moti relativi ed esercizi di riepilogo
(testo).
Tutorato 6-2 (13/04/2021)
Esercizi sui moti relativi ed esercizi di riepilogo
(soluzioni).
Tutorato 7-1 (17/04/2021)
Preparazione alla prima prova di esonero
(testo).
Tutorato 7-2 (17/04/2021)
Preparazione alla prima prova di esonero
(soluzioni).
8.2. Seconda parte
Tutorato 8-1 (04/05/2021)
Esercizi sui sistemi lagrangiani
(testo).
Tutorato 8-2 (04/05/2021)
Esercizi sui sistemi lagrangiani
(soluzioni).
Tutorato 9-1 (11/05/2021)
Esercizi sui sistemi lagrangiani
(testo).
Tutorato 9-2 (11/05/2021)
Esercizi sui sistemi lagrangiani
(soluzioni).
Tutorato 10-1 (18/05/2021)
Esercizi sui sistemi lagrangiani
(testo).
Tutorato 10-2 (18/05/2021)
Esercizi sui sistemi lagrangiani
(soluzioni).
Tutorato 11-1 (25/05/2021)
Esercizi sui sistemi hamiltomiani
(testo).
Tutorato 11-2 (25/05/2021)
Esercizi sui sistemi hamiltoniani
(soluzioni).
Tutorato 12-1 (01/06/2021)
Preparazione alla seconda prova di esonero
(testo).
Tutorato 12-2 (01/06/2021)
Preparazione alla seconda prova di esonero
(soluzioni).
