FM410 A.A. 2020/2021

Anno Accademico 2020/2021

FM410 - Complementi di Meccanica Analitica (CdL in Matematica)
Complementi di Meccanica Analitica (CdL in Fisica)
FM410 - Complementi di Meccanica Analitica (CdLM in Matematica)

Docente: Guido Gentile

1. Caratteristiche dell'insegnamento

Contenuto dell'insegnamento
Modulo A: Sistemi dinamici lineari. Oscillatore armonico forzato con o senza attrito. Insieme limite e cicli limite. Sistemi planari. Sistemi gradiente.
Teoremi di stabilità. Equazioni di Lotka-Volterra. Equazione di van der Pol. Modelli epidemiologici (SIR, SIRD, SEIR).
Modulo B: Angoli di Eulero. Equazioni di Eulero. Trottola di Lagrange. Sistemi integrabili e integrabilità del sistema rigido con un punto fisso.
Teorema della scatola di flusso. Teorema di Frobenius. Teorema di Noether. Piccole oscillazioni: pendoli accoppiati e battimenti, sistemi vincolati.
Teoria delle perturbazioni ed equazione omologica. Sistemi iscocroni: teorema di Nekhorošev e serie di Birkhoff.
II Semestre - Crediti Modulo A: 3 CFU; Modulo B: 4 (Matematica) - 3 (Fisica) CFU - TAF: b/c (Matematica) - d (Fisica)
Nota. L'insegnamento nel Corso di Laurea in Fisica è diviso in due moduli, che possono essere seguiti indipendentemente.
Nei Corsi di Studio in Matematica e in Scienze Computazionali i due moduli costituiscono un unico insegnamento.
Testi consigliati
L'insegnamento si basa essenzialmente sul testo
Introduzione ai sistemi dinamici Vol. 1 - Equazioni differenziali ordinarie, analisi qualitativa e alcune applicazioni
Introduzione ai sistemi dinamici Vol. 2 - Formalismo lagrangiano e hamiltoniano,
da cui sono estratti i file pdf riportati nel diario delle lezioni.
(cfr. il diario delle lezioni dell'annno accademico 2018-2019 per avere un'idea degli argomenti trattati nelle prossime lezioni).
Modalità degli esami
L'esame consiste in un colloquio orale in cui lo studente dovrà discutere gli argomenti trattati a lezione, secondo quanto indicato nel diario delle lezioni.
In riferimento alla prima parte dell'insegnamento (modulo A), si richiede inoltre:
(1) lo svolgimento di almeno 5 dei seguenti esercizi del Cap. 5: 13, 16, 19, 21, 22, 24, 25, 31, 34, 43, 46, 47, 56, 58, 59 e 64;
(2) lo studio del modello SEIR endemico (Cap. 5, esercizi 82, 83, 84, 85, 86 e 87).
In riferimento alla seconda parte dell'insegnamento (modulo B), si richiede inoltre:
(1) lo studio di uno dei seguenti argomenti:
-- sistema ridotto della trottola di Lagrange: casi 2 e 3 (lezione 47);
-- sistema ridotto della trottola di Lagrange: caso 4 (lezione 48);
-- trottola addormentata (lezione 49) e trottola veloce (lezione 54);
-- piccole oscillazioni per pendoli accoppiati (lezione 55);
-- piccole oscillazioni per sistemi vincolati (lezione 61);
-- serie di Birkhoff (lezione 62).
(2) la discussione di un ulteriore argomento a scelta.

2. Orario

Lezioni: mercoledì ore 16:00-18:00 e giovedì ore 16:00-18:00.
Modulo A: Prima lezione: 24 febbraio 2021 ore 16:00-18:00. - Ultima lezione: 15 aprile 2021 ore 16:00-18:00.
Modulo B: Prima lezione: 28 aprile 2021 ore 16:00-18:00. - Ultima lezione: 5 giugno 2021 ore 16:00-18:00.
Orario di ricevimento: per appuntamento (per email o Teams).

3. Calendario d'esami

Le date degli esami si possono trovare sulla pagina del calendario di esami dei CdS in Matematica e del CdL in Fisica

4. Programma d'esame

Programma definitivo dell'insegnamento dell'A.A. 2020-2021 in formato pdf

1. Equazioni differenziali ordinarie: richiami e complementi
Richiami sulle equazioni differenziali lineari omogenee e non omogenee.
Oscillatore armonico smorzato e forzato. Risonanze. Risonanza parametrica.
Moti multiperiodici per l'oscillatore armonico forzato in assenza di dissipazione.
2. Analisi qualitativa e stabilità
Stabilità secondo Ljapunov. Punti di equilibrio stabili, instabili, attrattivi, asintoticamente stabili.
Stabilità di un punto d'equilibrio nel caso in cui la matrice del sistema linearizzato abbia tutti gli autovalori
con parte reale strettamente negativa (dimostrazione nel caso diagonalizzabile e semisemplice).
Instabilità di un punto d'equilibrio nel caso in cui la matrice del sistema linearizzato
abbia almeno un autovalore con parte reale strettamente positiva (solo enunciato).
Insiemi limite: definizione e proprietà. Teoremi sugli insiemi limite. Teorema di Ljapunov.
Teorema di Barbašin-Krasovskij (o di LaSalle) e sua applicazione all'oscillatore armonico e al pendolo semplice.
Teorema di Dirichlet-Lagrange per sistemi meccanici conservativi. Cicli limite.
Sistemi planari e teorema di Poincaré-Bendixson.
3. Alcuni sistemi dinamici planari notevoli
Sistemi planari che ammettono una costante del moto: studio delle curve di livello e delle traiettorie nel piano delle fasi.
Assenza di punti di equilibrio asintoticamante stabili e di cicli limiti in sistemi con una costante del moto.
Sistemi predatore-preda ed equazioni di Lotka-Volterra: studio del sistema e dimostrazione delle leggi di Volterra.
Sistemi gradiente: proprietà generali e studio delle traiettorie nel piano delle fasi.
Sistemi dissipativi: studio qualitativo del pendolo con attrito.
Equazione di Van Der Pol: studio qualitativo e determinazione del ciclo limite globalmente attrattivo.
4. Modelli epidemiologici
Modelli compartimentali: suscettibili, infetti, rimossi e deceduti.
Modello SIR epidemico: analisi qualitativa e determinazione dei punti di equilibrio.
Modello SIRD epidemico: analisi qualitativa e determinazione dei punti di equilibrio.
Modello SIR endemico: analisi qualitativa, determinazione dei punti di equilibrio e studio del bacino di attrazione dei punti di equilibrio asintoticamente stabili.
Modello SEIR endemico: analisi qualitativa, determinazione dei punti di equilibrio e studio del bacino di attrazione dei punti di equilibrio asintoticamente stabili.
5. Sistemi rigidi: equazioni di Eulero e trottola di Lagrange
Richiami sulle equazioni cardinali e sull'operatore di inerzia: momenti principali di inerzia e assi di inerzia.
Equazioni di Eulero per un sistema rigido con un punto fisso non sottoposto a forze: studio del moto del momento angolare.
Angoli di Eulero. Integrabilità di un sistema rigido con un punto fisso non sottoposto a forze. Trottola di Lagrange e trottola pesante.
Energia cinetica ed energia potenziale della trottola di Lagrange in termini degli angoli di Eulero.
Integrali primi ed energia potenziale efficace. Studio del sistema ridotto al variare dei parametri del sistema.
Pendolo sferico. Trottola di Lagrange in assenza di forze. Trottola addormentata e trottola veloce.
6. Variabili cicliche e teorema di Noether
Teorema della scatola di flusso. Richiami sui gruppi a un parametro di diffeomorfismi, campi vettoriali e momenti.
Gruppi di simmetrie e teorema di Noether nel caso di una lagrangiana che ammetta un gruppo di simmetrie.
Prodotto di Lie di campi vettoriali: definizione e proprietà.
Composizione di più gruppi a un parametro e commutazione dei campi vettoriali corrispondenti.
Esempi di campi vettoriali che commutano (traslazioni) e che non commutano (rotazioni).
Teorema di Frobenius. Teorema di Noether nel caso di più gruppi di simmetrie ed esistenza di più variabili cicliche.
7. Teoria delle piccole oscillazioni
Piccole oscillazioni: lagrangiana quadratica, equazione caratteristica, modi normali e frequenze proprie.
Piccole oscillazioni per pendoli accoppiati uguali e fenomeno dei battimenti.
Piccole oscillazioni per pendoli accoppiati diversi. Piccole oscillazioni per sistemi vincolati:
rigidità, ellissoide associato all'energia potenziale, principio del minimax e teorema di Raylegh-Courant-Fisher.
8. Teoria delle perturbazioni
Sistemi quasi-integrabili: esempio del sistema solare. Equazione di Hamilton-Jacobi e teoria perturbativa al primo ordine.
Equazione omologica. Vettori diofantei. Problemi di convergenza delle serie in dimensione qualsiasi. Primo teorema di trivialità di Poincaré.
Sistemi isocroni. Condizione di anisocronia (o condizione di non degenerazione di Kolmogorov) e sistemi anisocroni.
Difficoltà di iterare il procedimento perturbativo a ordini alti nel caso di sistemi anisocroni. Teoria perturbativa a tutti gli ordini per sistemi isocroni.
Teorema di Nekhorošev per sistemi isocroni: controllo sulle variazioni delle azioni per tempi esponenzialmente grandi. Serie di Birkhoff.
Controesempi alla convergenza delle serie di Birkhoff. Cenni sul teorema KAM.

Nota. Per il Corso di Laurea in Fisica i programmi del Modulo A e del Modulo B corrispondono ai punti 1-4 e, rispettivamente, 5-8 del programma sopra.

5. Diario delle lezioni

5.1. Prima parte
Lezione 1 (24/02/2021)
Introduzione al corso: discussione di alcuni sistemi di equazioni lineari omogenee e non omogenee.
(1) Esempio di sistema meccanico dissipativo autonomo: oscillatore armonico smorzato (Cap. 2, §9).
Lezione 2 (24/02/2021)
(2) Esempio di sistema meccanico dissipativo non autonomo: oscillatore armonico smorzato forzato (Cap. 2, §10 ed esercizi 32 e 33).
Stabilità secondo Ljapunov; punti di equilibrio stabili, instabili, asintoticamente stabili e attrattivi (Cap. 4, §17, pagg. 167-169).
esempio di punto di equilibrio attrattivo ma non stabile (Cap. 4, §17, pag. 168).
Lezione 3 (25/02/2021)
Moti multiperiodici per l'oscillatore armonico forzato in assenza di dissipazione.
Richiami sulle equazioni differenziali ordinarie: problema di Cauchy, teorma di esistenza e unicità,
teorema di dipendenza continua dai dati iniziali; teorema di dipendenza differenziabile dai dati iniziali;
teorema del prolungamento e suo corollario (Cap. 3, §11.1 e §11.3, 12 e 13).
Sistema dinamico linearizzato (Cap. 4, §18, pag. 177). Lemma 18.2 (Cap. 4, §18, pagg. 177-178).
Lemma 18.4: dimostrazione nel caso di matrici diagonalizzabili (Cap. 4, §18, pag. 178-179).
Lezione 4 (25/02/2021)
Lemma 18.4: dimostrazione nel caso di matrici semisemplici (Cap. 4, §18, pag. 178-179).
Teorema 18.5: stabilità asintotica di un punto di equilibrio nel caso in cui gli autovalori
del sistema linearizzato abbiano tutti parte reale negativa (Cap. 4, §18, pagg. 180-181).
Teorema 18.7 (solo enunciato): instabilità di un punto di equilibrio nel caso in cui
almeno un autovalore del sistema linearizzato abbia parte reale positiva (Cap. 4, §18, pagg. 181).
Esempio di sistema in cui il sistema linearizzato non dà informazione (Cap. 4, §18, osservazione 18.9).
Lezione 5 (03/03/2021)
Teorema di Ljapunov: enunciato (Cap. 4, §19, pagg. 189-191).
Insiemi limite, α-limite e ω-limite: definizioni e teoremi 17.17, 17.28, 17.20 e 17.24 senza dimostrazione (Cap. 4, §17, pagg. 169-172).
Esempi di insiemi ω-limite: punti di equilibrio asintoticamente stabili e cicli limite (Cap. 4, §17, pag. 169 e Cap. 5, pagg. 221-222).
Esempio di insieme ω-limite illimitato sconnesso (Cap. 4, Osservazione 17.21).
Lezione 6 (03/03/2021)
Teorema 17.24: una funzione di classe C¹ che sia non negativa e abbia derivata sostanziale non positiva
nell'insieme in cui si svolge il moto è nulla su un insieme limite (Cap. 4, §17, pagg. 172).
Richiami di analisi: lemma 19.3 e teorema 19.4 (teorema ponte) senza dimostrazioni (Cap. 4, §19, pagg. 186-187).
Teorema di Ljapunov: dimostrazione della stabilità asintotica (Cap. 4, §19, pagg. 189-191).
Lezione 7 (04/03/2021)
Richiami sul teorema di Lagrange-Dirichlet (Cap. 4, §19, pag. 192).
Teorema di Barbašin-Krasovskij (o di La Salle) (Cap. 4, §19, pagg. 191-192).
Applicazione del teorema all'oscillatore armonico smorzato (Cap. 4, esercizio 32).
Lezione 08 (04/03/2021)
Teorema di Poincaré-Bendixson: enunciato (Cap. 5, pag. 219).
Sistemi predatori-prede: equazioni di Lotka-Volterra - analisi qualitativa: inizio (Cap. 5, §23).
Lezione 09 (10/03/2021)
Lemma 21.15 senza dimostrazione (Cap. 5, pag. 224). Teorema 21.19: assenza di punti di equilibrio
asintoticamante stabili e di cicli limiti in sistemi con una costante del moto (Cap. 5, pag. 227).
Sistemi predatori-prede: equazioni di Lotka-Volterra - analisi qualitativa: continuazione (Cap. 5, §23).
Lezione 10 (10/03/2021)
Sistemi predatori-prede: equazioni di Lotka-Volterra - analisi qualitativa: conclusione (Cap. 5, §23).
Sistemi predatori-prede: equazioni di Lotka-Volterra - prima e seconda legge di Volterra (Cap. 5, §23).
Lezione 11 (11/03/2021)
Sistemi predatori-prede: equazioni di Lotka-Volterra - terza legge di Volterra (Cap. 5, §23).
Sistemi gradiente: proprietà e risultati generali (Cap. 5, §22).
Lezione 12 (11/03/2021)
Esempio di sistema gradiente (Cap. 5, esercizio 27).
Lezione 13 (17/03/2021)
Pendolo semplice con attrito: analisi qualitativa del moto (Cap. 5, §24.6).
Lezione 14 (17/03/2021)
Modelli epidemiologici: modello SIR epidemico - inizio (Cap. 5, esercizi 73-75).
Lezione 15 (18/03/2021)
Modelli epidemiologici: modello SIR epidemico - conclusione (Cap. 5, esercizi 73-75).
Modelli epidemiologici: modello SIRD epidemico (Cap. 5, esercizi 76).
Lezione 16 (18/03/2021)
Modelli epidemiologici: modello SIR endemico - inizio (Cap. 5, esercizi 77-81).
Lezione 17 (24/03/2021)
Modelli epidemiologici: modello SIR endemico - continuazione (Cap. 5, esercizi 77-81).
Lezione 18 (24/03/2021)
Modelli epidemiologici: modello SIR endemico - continuazione (Cap. 5, esercizi 77-81).
Lezione 19 (25/03/2021)
Modelli epidemiologici: modello SIR endemico - conclusione (Cap. 5, esercizi 77-81).
Lezione 20 (25/03/2021)
Esercizio sui sistemi che ammettono una costante del moto - inizio (Cap. 5, esercizio 18).
Lezione 21 (31/03/2021)
Esercizio sui sistemi che ammettono una costante del moto - conclusione (Cap. 5, esercizio 18).
Lezione 22 (31/03/2021)
Esercizio sui sistemi che ammettono una costante del moto (Cap. 5, esercizio 36).
Lezione 23 (01/04/2021)
Teorema di Poincaré-Bendixson: dimostrazione - inizio (Cap. 5, pagg. 215-220).
Lezione 24 (01/04/2021)
Teorema di Poincaré-Bendixson: dimostrazione - conclusione (Cap. 5, pagg. 215-220).
Esercizio sui sistemi che ammettono una costante del moto (Cap. 5, esempio 21.24 ed esercizio 30).
Lezione 25 (07/04/2021)
Esercizio sui sistemi gradiente (Cap. 5, esercizio 39).
Lezione 26 (07/04/2021)
Esercizio sui sistemi che ammettono una costante del moto - inizio (Cap. 5, esercizio 26).
Lezione 27 (08/04/2021)
Esercizio sui sistemi che ammettono una costante del moto - conclusione (Cap. 5, esercizio 26).
Esercizio sui sistemi che ammettono una costante del moto (Cap. 5, esercizio 35).
Lezione 28 (08/04/2021)
Esercizio sui sistemi planari (Cap. 5, esercizio 51).
Lezione 29 (14/04/2021)
Equazione di van der Pol - inizio (Cap. 5, esercizi 65-69).
Lezione 30 (14/04/2021)
Equazione di van der Pol - continuazione (Cap. 5, esercizi 70-71).
Lezione 31 (15/04/2021)
Equazione di van der Pol - conclusione (Cap. 5, esercizi 71-72).
Lezione 32 (15/04/2021)
Esercizio sui sistemi planari (Cap. 5, esercizio 44).

5.2. Seconda parte
Lezione 33 (28/04/2021)
Equazioni di Eulero per un sistema rigido con un punto fisso non sottoposto a forze - inizio (Cap. 10, pagg. 484-488 ed esercizi 22-27).
Lezione 34 (28/04/2019)
Equazioni di Eulero per un sistema rigido con un punto fisso non sottoposto a forze - continuazione (Cap. 10, pagg. 484-488 ed esercizi 22-27).
Lezione 35 (29/04/2021)
Equazioni di Eulero per un sistema rigido con un punto fisso non sottoposto a forze - continuazione (Cap. 10, pagg. 488-492).
Lezione 36 (29/04/2021)
Angoli di Eulero (Cap. 10, pagg. 479-484).
Lezione 37 (05/05/2021)
Definizione di sistema integrabile (Cap. 10, §50, pagg. 500-501).
Integrabilità di un sistema rigido con un punto fisso - inizio (Cap. 10, §50, pagg. 501-507).
Lezione 38 (05/05/2021)
Integrabilità di un sistema rigido con un punto fisso - conclusione (Cap. 10, §50, pagg. 501-507).
Lezione 39 (06/05/2021)
Trottola di Lagrange, energia cinetica ed energia potenziale della trottola di Lagrange in termini
degli angoli di Eulero, integrali primi ed energia potenziale efficace, sistema ridotto (Cap. 15, §68).
Lezione 40 (06/05/2021)
Studio del sistema ridotto della trottola di Lagrange: caso 1 (Cap. 15, §69.1).
Lezione 41 (12/05/2021)
Teorema della scatola di flusso - inizio (Cap. 4, pagg. 200-203).
Lezione 42 (12/05/2021)
Teorema della scatola di flusso - conclusione (Cap. 4, pagg. 200-203).
Richiami sulle relazioni tra gruppi a un parametro di diffeomorfismi, campi vettoriali e momenti (Cap. 13, §62, pagg. 121-126).
Gruppi di simmetrie e teorema di Noether nel caso di una lagrangiana che ammetta un gruppo di simmetrie (Cap. 13, §62, pagg. 121-126).
Lezione 43 (13/05/2021)
Prodotto di Lie di campi vettoriali: definizione e proprietà (Cap. 13, §63, pagg. 145-147).
Teorema 63.7: due o più campi vettoriali commutano se e solo se la composizione dei corrispondenti gruppi
a un parametro non dipende dall'ordine in cui sono applicati (Cap. 13, §63, pagg. 147-149).
Lezione 44 (13/05/2021)
Teorema di Frobenius - inizio (Cap. 13, §63, pagg. 149-153).
Lezione 45 (19/05/2021)
Teorema di Frobenius - conclusione (Cap. 13, §63, pagg. 149-153).
Prodotto di Lie dei sollevamenti di campi vettoriali (Cap. 13, §63, pagg. 153-154).
Teorema di Noether nel caso di più gruppi di simmetrie (Cap. 13, §63, pagg. 154-157).
Commutatore di campi vettoriali lineari (Cap. 13, §63, pag. 155 ed esercizio 18).
Lezione 46 (19/05/2021)
Esempi di campi vettoriali che commutano: traslazioni (Cap. 13, §63, esempio 63.20).
Esempi di campi vettoriali non commutano: rotazioni (Cap. 13, §63, esempio 63.18 ed esercizi 6, 7, 19 e 21).
Esercizio sull'individuazione delle simmetrie e delle variabili cicliche in un sistema lagrangiano (Cap. 13, §63, esercizi 31 e 32).
Lezione 47 (20/05/2021)
Studio del sistema ridotto della trottola di Lagrange: caso 2 (Cap. 15, §69.2).
Studio del sistema ridotto della trottola di Lagrange: caso 3 (Cap. 15, § 69.3).
Lezione 48 (20/05/2021)
Studio del sistema ridotto della trottola di Lagrange: caso 4 (pendolo sferico)
(Cap. 11, pag. 57, esercizio 58, Cap. 13, pagg. 147-149, esercizio 30 e Cap. 15, §69.4).
Lezione 49 (20/05/2021)
Trottola addormentata (Cap. 15, §70, pagg. 196-198 ed esercizi 5, 6, 7 e 8).
Lezione 50 (20/05/2021)
Teoria delle piccole oscillazioni (Cap. 14, pagg. 119-123).
Lezione 51 (20/05/2021)
Esercizio sulle piccole oscillazioni (Cap. 12, §60 e Cap. 14, esempio 65.11).
Lezione 52 (26/05/2021)
Teoria delle perturbazioni: formulazione del problema ed esempio del sistema solare (Cap. 19, §84, pagg. 359-362 ed esercizi 1, 2 e 3).
Teoria delle perturbazioni al primo ordine ed equazione omologica (Cap. 19, §84, pagg. 362-364).
Tempi di variazione delle variabili di azione (Cap. 19, §84, osservazione 84.3).
Lezione 53 (26/05/2021)
Condizione di non risonanza e vettori diofantei (Cap. 19, §84, pagg. 364-365 ed esercizi 4 e 5).
Misura dell'insieme dei vettori diofantei - enunciato (Cap. 19, §84, pag. 364).
Condizione di non degenerazione: oscillatori armonici, sistemi isocroni e sistemi anisocroni (Cap. 19, §84, pagg. 365-366 ed esercizio 46).
Funzioni che hanno una serie di Fourier generica (Cap. 19, §84, pag. 366).
Lezione 54 (27/05/2021)
Trottola veloce (Cap. 15, §70, pagg. 198-201).
Lezione 55 (27/05/2021)
Piccole oscillazioni per pendoli accoppiati uguali e fenomeno dei battimenti Cap. 14, §66.1).
Piccole oscillazioni per pendoli accoppiati diversi Cap. 14, §66.2).
Lezione 56 (27/05/2021)
Misura dell'insieme dei vettori diofantei - dimostrazione (Cap. 19, §84, pagg. 364-365 ed esercizi 4 e 5).
Primo teorema di trivialità di Poincaré (Cap. 19, §84, pagg. 366-367).
Lezione 57 (27/05/2021)
Riduzione del dominio di analiticità nel caso anisocrono (Cap. 19, §84, pagg. 367-368 ed esercizi 47 e 48).
Teoria delle perturbazioni a tutti gli ordini per sistemi isocroni - inizio (Cap. 19, §85, pagg. 368-369 ed esercizio 49).
Lezione 58 (03/06/2021)
Teoria delle perturbazioni a tutti gli ordini per sistemi isocroni - continuazione (Cap. 19, §85, pagg. 370-372 ed esercizi 7, 8 e 9).
Lezione 59 (03/06/2021)
Teoria delle perturbazioni a tutti gli ordini per sistemi isocroni - conclusione (Cap. 19, §85, pagg. 370-372 ed esercizi 54-57).
Lezione 60 (03/06/2021)
Teorema di Nekhorošev per sistemi isocroni (Cap. 19, §85, pagg. 372-373 ed esercizi 58-60).
Enunciato informale del teorema KAM (Cap. 19, §85, pagg. 374-377).
Difficoltà nell'applicare il teorema KAM allo studio della stabilità del sistema solare (Cap. 20, §92, pagg. 519-521).
Lezione 61 (05/06/2021)
Piccole oscillazioni per sistemi vincolati (Cap. 14, §67).
Lezione 62 (05/06/2021)
Serie di Birkhoff: definizione e divergenza (Cap. 19, osservazioni 85.4, 85.5 e 85.6 ed esercizi 61 e 63-66).