FM210 A.A. 2021/2022

Anno Accademico 2021/2022

FM210 - Meccanica Analitica (CdL in Matematica)
Meccanica Analitica (CdL in Fisica)

Lezioni: Guido Gentile
Esercitazioni: Livia Corsi
Tutorato: Elisabetta Colantoni e Giulia Degni

1. Caratteristiche dell'insegnamento

Contenuto dell'insegnamento
Sistemi meccanici conservativi. Analisi qualitativa del moto e stabilità secondo Ljapunov. Sistemi unidimensionali.
Moti centrali e problema dei due corpi. Cambiamento di sistemi di riferimento. Forze apparenti. Vincoli. Sistemi rigidi.
Meccanica lagrangiana. Principi variazionali. Variabili cicliche, costanti del moto e simmetrie.
Meccanica hamiltoniana. Teorema di Liouville e teorema del ritorno di Poincaré.
Trasformazioni canoniche. Funzioni generatrici. Metodo di Hamilton-Jacobi e variabili azione-angolo.
II Semestre - Crediti: 9 CFU (Matematica) - 9 CFU (Fisica) - TAF: b (Matematica) - b (Fisica)
Testi consigliati
L'insegnamento si basa sui testi:
[G1] Guido Gentile, Introduzione ai sistemi dinamici - Volume 1. Equazioni differenziali ordinarie, analisi qualitativa e alcune applicazioni, Springer, Milano, 2021;
[G2] Guido Gentile, Introduzione ai sistemi dinamici - Volume 2. Formalismo lagrangiano e hamiltoniano, Springer, Milano, 2022.
Per un elenco di esercizi, oltre ai testi sopra indicati, si vedano anche il diario delle esercitazioni e il diario delle attività di tutorato,
nonché il diario delle esercitazioni, il diario delle attività di tutorato e i testi delle prove di esonero e di esame degli annni accademici precedenti.
Le registrazioni delle lezioni sono disponibili su Teams.
Modalità degli esami
L'esame consiste in una prova scritta, eventualmente sostituita da due prove di esonero in itinere, e in un successivo colloquio orale,
in cui lo studente dovrà discutere gli argomenti trattati a lezione (cfr. diario delle lezioni o il programma d'esame).

2. Orari

Lezioni: lunedì e mercoledì ore 14:00-16:00 (Aula M2).
Inizio delle lezioni: 21 febbraio 2022 ore 14:00-16:00 - Termine previsto delle lezioni: 31 maggio 2022 ore 14:00-16:00.
Lezioni aggiuntive: 22 febbraio 2022 ore 18:00-20:00 (Aula M1), 4 aprile 2022 ore 18:00-20:00 (Aula M2),
20 aprile 2022 ore 14:00-16:00 (Aula M2), 26 aprile 2022 ore 18:00-20:00 (Aula M2), 19 maggio 2022 ore 18:00-20:00 (Aula M2),
25 maggio 2022 ore 18:00-20:00 (Aula M1), 1 giugno 2022 ore 18:00-20:00 (Aula M1).
Esercitazioni (didattica integrativa): lunedì ore 18:00-20:00 (Aula M2).
Inizio delle esercitazioni: 21 febbraio 2022 ore 18:00-20:00.
Tutorato: martedì ore 18:00-20:00 (Aula M2).
Inizio delle attività di tutorato: martedì 1 marzo 2022 ore 18:00-20:00.
Orario di ricevimento: per appuntamento (tramite email o Teams)

3. Calendario degli esami

Esonero I: 13 aprile 2022 ore 14:00 - 17:00 - Aule M1 e M2.
Correzione degli esercizi dell'esonero I: 20 aprile 2022 ore 14:00 - Aula M2.
Recupero dell'esonero I: 13 giugno 2021 ore 14:00 - Aule M1 e M2.
Esonero II: 8 giugno 2022 ore 13:00 - 16:00 - Aula M1 e M2.
Recupero dell'esonero II: 13 giugno 2021 ore 14:00 - Aule M1 e M2.
Esami: Le date degli esami sono riportate sulla pagina del calendario di esami dei CdS in Matematica e del CdL in Fisica.

4. Prove d'esonero e prove d'esame

4.1. Prove di esonero
Prima prova di esonero: 13 aprile 2022 - Testo - Risultati.
Recupero della prima prova di esonero: 13 giugno 2022 - Testo - Risultati.
Seconda prova di esonero: 08 giugno 2022 - Testo - Risultati.
Recupero della seconda prova di esonero: 13 giugno 2022 - Testo - Risultati.

4.2. Prove di esame
Appello I: 13 giugno 2022 - Testo - Risultati.
Orali: 22 giugno 2022 ore 10:00 (M2), 27 giugno 2022 ore 10:00 (aula M6), 30 giugno 2022 ore 10:00 (M6).
Appello II: 04 luglio 2022 - Testo - Risultati.
Orali: 13 luglio 2022 ore 10:00 (stanza 311), 18 luglio 2022 ore 10:00 (aula 311), 20 luglio 2022 ore 10:00 (aula 311).
Appello III: 05 settembre 2022 - Testo - Risultati.
Orali: 9 settembre 2022 ore 10:00 (stanza 311), 12 settembre ore 10:00 (stanza 311), 13 settembre ore 10:00 (stanza 311).
Appello IV: 17 gennaio 2023 - Testo - Risultati.
Orali: 27 gennaio 2023 ore 10:00 (stanza 311), 31 gennaio ore 10:00 (stanza 311).
Appello V (solo per il CdL in Fisica): 01 febbraio 2023 - Testo - Risultati.
Orali: 10 febbraio 2023 ore 10:00 (stanza 305).

5. Programma d'esame

Programma definitivo dell'insegnamento dell'A.A. 2021-2022 in formato pdf

1. Equazioni differenziali ordinarie e sistemi dinamici
Richiami sulle equazioni differenziali ordinarie: equazioni del primo ordine; problema di Cauchy,
teorema di esistenza e unicità; dipendenza continua dai dati iniziali; dipendenza differenziabile dai dati iniziali;
esistenza di una soluzione massimale; teorema del prolungamento e suo corollario.
Equazioni di ordine qualsiasi, equazioni in forma normale, equazioni autonome e non autonome.
Sistemi dinamici: traiettorie, orbite, flussi, traiettorie periodiche, insiemi invarianti, derivata sostanziale,
costanti del moto. Sistemi meccanici e sistemi meccanici conservativi; legge di Newton.
2. Analisi qualitativa e stabilità
Sistemi dinamici lineari planari: analisi qualitativa, pozzi, sorgenti, centri e moti a spirale. Stabilità secondo Ljapunov.
Punti di equilibrio: stabili, asintoticamente stabili, attrattivi e instabili.
Sistemi dinamici lineari: soluzione generale. Sistemi dinamici linearizzati. Teoremi di stabilità nel caso di sistemi conservativi:
teoremi che si riconducono allo studio del sistema linearizzato (senza dimostrazione),
teorema di Ljapunov (dimostrazione della stabilità) e teorema di Lagrange-Dirichlet.
Sistemi meccanici conservativi unidimensionali: conservazione dell'energia e curve di livello.
Moti periodici e moti asintotici. Separatrici, traiettorie omocline e traiettorie eterocline.
L'oscillatore armonico e il pendolo semplice. Periodo come integrale definito e stima del periodo.
Piccole oscillazioni per sistemi meccanici unidimensionali.
3. Moti centrali
Forze centrali. Problema dei due corpi. Moti centrali. Conservatività delle forze centrali.
Conservazione del momento angolare per le forze centrali. Moto radiale e moto angolare.
Condizioni di periodicità del moto. Teorema di Bertrand (senza dimostrazione).
Campo centrale armonico e campo centrale coulombiano: equazioni delle orbite. Velocità areolare. Leggi di Keplero.
4. Moti relativi
Sistemi di riferimento fissi e sistemi di riferimento mobili, trasformazioni rigide, traslazioni e rotazioni, matrici ortogonali.
Rotazione intorno a un asse. Richiami sul prodotto vettoriale: matrici ortogonali e prodotti vettoriali. Velocità angolare.
Legge di trasformazione delle velocità. Forze d'inerzia: forza inerziale di traslazione, forza inerziale di rotazione, forza centrifuga, forza di Coriolis.
Effetti della forza centrifuga sull'accelerazione di gravità, pendolo di Foucault nell'approssimazione lineare.
5. Vincoli e sistemi rigidi
Sistemi vincolati. Vincoli olonomi bilateri e superfici di vincolo. Principio di d'Alembert. Moltiplicatori di Lagrange.
Derivazione delle equazioni del pendolo semplice usando i moltiplicatori di Lagrange.
Sistemi rigidi discreti e continui: definizione e proprietà, spazio delle configurazioni dei sistemi rigidi. Velocità dei punti di un sistema rigido.
Caratteristiche cinematiche dei sistemi rigidi: quantità: di moto, momento angolare, energia cinetica, teorema di König.
Principio di d'Alembert ed equazioni cardinali della dinamica. Operatore d'inerzia, momenti d'inerzia, momenti principali d'inerzia, assi d'inerzia.
Moto di rotolamento senza strisciamento.
6. Meccanica lagrangiana
Lagrangiana e funzionale d'azione. Equazioni di Eulero-Lagrange. Primo principio variazionale di Hamilton.
Equazioni di Newton ed equazioni di Eulero-Lagrange per sistemi meccanici conservativi. Lagrangiana per sistemi vincolati.
Equazioni di Newton integrate dal principio di d'Alembert ed equazioni di Eulero-Lagrange per sistemi meccanici conservativi vincolati.
Equazioni del moto per il pendolo semplice, nel formalismo lagrangiano e mediante l'uso dei moltiplicatori di Lagrange. Calcolo delle reazioni vincolari.
7. Simmetrie e costanti del moto
Variabili cicliche e metodo di Routh. Applicazione al problema dei due corpi. Gruppi a un parametro di diffeomorfismi.
Trasformazioni di coordinate e loro sollevamenti. Campi vettoriali, momenti associati ai campi vettoriali e momenti coniugati.
Sistemi invarianti sotto l'azione di un gruppo a un parametro. Teorema di Noether. Sistemi invarianti per traslazione e sistemi invarianti per rotazione.
Cenni sui sistemi invarianti sotto l'azione di più gruppi a un parametro: gruppi commutanti ed estensione del teorema di Noether (senza dimostrazione).
8. Meccanica hamiltoniana
Spazio delle fasi. Trasformata di Legendre. Hamiltoniana ed equazioni di Hamilton. Metodo di Routh nel formalismo hamiltoniano.
Secondo principio variazionale di Hamilton. Campo vettoriale hamiltoniano. Campi a divergenza nulla.
Teorema di Liouville (senza dimostrazione). Teorema del ritorno di Poincaré. Esperimento di Maxwell.
9. Trasformazioni canoniche
Trasformazioni di coordinate nello spazio delle fasi. Matrici simplettiche. Trasformazioni che conservano la struttura canonica delle equazioni.
Trasformazioni canoniche. Trasformazioni simplettiche. Parentesi di Poisson e loro proprietà.
Paraentesi di Poisson fondamentali. Criterio per riconoscere una trasformazione canonica sulla base delle parentesi di Poisson fondamentali.
Richiami sulle forme differenziali esatte e chiuse. Differenziale a tempo bloccato. Condizione di Lie.
Criterio per riconoscere una trasformazione canonica sulla base della condizione di Lie.
10. Funzioni generatrici e metodo di Hamilton-Jacobi
Funzioni generatrici indipendenti e dipendenti dal tempo. Funzioni generatrici di prima e seconda specie.
Sollevamento di una trasformazione di coordinate a una trasformazione simplettica. Equazione di Hamilton-Jacobi.
Integrale generale e integrale completo. Funzione principale di Hamilton. Funzione caratteristica di Hamilton.
Sistemi separabili. Variabili azione-angolo per sistemi unidimensionali. Variabili azione-angolo per sistemi a più dimensioni:
teorema di Liouville-Arnol'd (senza dimostrazione), caso dei sistemi separabili, sistemi integrabili.

6. Diario delle lezioni
Tutti i riferimenti si intendono ai testi [G1] e [G2] (cfr. sopra, alla voce Testi consigliati).

6.1. Prima parte
Lezione 1 (21/02/2022)
Richiami sulle equazioni differenziali ordinarie [G1, §§3.1, 3.2 e 3.3]: equazioni del primo ordine [G1, definizione 3.6],
soluzione e problema di Cauchy [G1, definizioni 3.7 e 3.14], enunciato del teorema di esistenza e unicità [G1, teorema 3.29],
funzioni lipschitziane e localmente lipschitziane [G1, definizione 3.15], controesempio di non unicità [G1, esempio 3.36],
enunciati dei teoremi di dipendenza (continua e differenziabile) dai dati iniziali [G1, teoremi 3.39 e 3.44],
prolungamento delle soluzioni, soluzioni massimali, esistenza di una soluzione massimale [G1, teorema 3.52];
enunciati del teorema del prolungamento [G1, teorema 3.58] e del suo corollario [G1, corollario 3.59].
Lezione 2 (21/02/2022)
Richiami sulle equazioni differenziali ordinarie [G1, §§3.4 e 3.5]: equazioni di ordine qualsiasi [G1, §3.5],
sistemi di equazioni non autonomi ed equazioni a variabili separabili [G1, §3.4 ed esempio 3.47].
Sistemi dinamici ed equazioni differenziali ordinarie: traiettorie, orbite, flussi [G1, definizioni 3.1, 3.8, 3.9 e 3.10].
Corrispondenza tra sistemi dinamici ed equazioni differenziali ordinarie [G1, §3.1.1 e osservazione 3.5].
Lezione 3 (22/02/2022)
Sistemi meccanici, sistemi meccanici conservativi, legge di Newton [G1, definizioni 4.28 e 4.31,
e osservazioni 4.29, 4.30 e 4.32]. Sistemi meccanici conservativi generalizzati
[G1, osservazione 4.33, definizione 4.34 ed esercizio 4.11].
Lezione 4 (22/02/2022)
Derivata sostanziale e costanti del moto [G1, §4.1]. Sistemi dinamici planari: analisi qualitativa [G1, §2.2].
Autovalori reali distinti con lo stesso segno: nodi propri, pozzi e sorgenti [G1, §2.2.1].
Autovalori reali coincidenti - matrice diagonalizzabile: nodi propri, pozzi e sorgenti [G1, §2.2.3].
Lezione 5 (23/02/2022)
Autovalori reali distinti con segno opposto: punti di sella [G1, §2.2.2].
Autovalori complessi coniugati: centri e moti a spirale, studio del sistema usando coordinate polari [G1, §2.2.2].
Autovalori reali coincidenti - matrice non diagonalizzabile: nodi impropri: pozzi e sorgenti [G1, §2.2.4].
Lezione 6 (23/02/2022)
Traiettorie periodiche e orbite chiuse; periodo di una traiettoria periodica [G1, definizione 4.1 e osservazioni 4.2 e 4.3].
Stabilità secondo Ljapunov: punti di equilibrio stabili e punti di equilibrio instabili [G1, definizioni 4.7 e 4.10].
Studio della stabilità dell'origine per sistemi dinamici planari [G1, esercizio 4.29].
Lezione 7 (28/02/2022)
Punti di equilibrio attrattivi e punti di equilibrio asintoticamente stabili [G1, definizioni 4.7 e 4.10].
Esempio di punto di equilibrio attrattivo ma non stabile [G1, osservazione 4.11].
Espressione generale della soluzione di un sistema di equazioni differenziali ordinarie lineari [G1, §2.3].
Linearizzazione: definizione di sistema linearizzato associato a un sistema dinamico [G1, definizione 4.37].
Lezione 8 (28/02/2022)
Linearizzazione: stabilità nel caso di autovalori tutti negativi, senza dimotrazione [G1, teorema 4.41].
Linearizzazione: stabilità nel caso di un autovalore positivo, senza dimostrazione [G1, teorema 4.43].
Esempio di sistema dinamico in cui l'analisi lineare non dà informazioni sulla stabilità [G1, esempio 4.45].
Moto sulle curve di livello della costante del moto nel caso di sistemi planari [G1, §5.1].
Lezione 9 (02/03/2022)
Assenza di punti di equilibrio asintoticamente stabili in sistemi che ammettono una costante del moto [G1, teorema 5.19].
Teorema di Ljapunov, con dimostrazione solo della stabilità [G1, teorema 4.56].
Lezione 10 (02/03/2022)
Teorema di Lagrange-Dirichlet [G1, teorema 4.68, osservazione 4.70, esercizi 4.33 e 4.34].
Analisi qualitativa del pendolo semplice: costate del moto e stabilità dei punti di equilibrio [G1, §§5.4.1, 5.4.2 e 5.4.4].
Lezione 11 (07/03/2022)
Analisi qualitativa del pendolo semplice: curve di livello dell'energia; orbite chiuse e separatrice; soluzioni oscillatorie,
rotatorie e asintotiche; analisi qualitativa attraverso lo studio dell'energia potenziale [G1, §§5.4.3 e 5.4.5].
Lezione 12 (07/03/2022)
Esercizo sull'analisi qualitativa dei sistemi unidimensionali [G1, esercizio 6.30.].
Lezione 13 (09/03/2022)
Analisi qualitativa del pendolo semplice: periodo delle soluzioni oscillatorie e delle soluzioni rotatorie del pendolo
[G1, §§5.4.3 e 5.4.5]; soluzione dell'equazione del moto sulla separatrice [G1, §5.4.3].
Lezione 14 (09/03/2022)
Analisi qualitativa dei sistemi unidimensionali [G1, §§6.1, 6.2, 6.3 e 6.4.].
Periodo delle soluzioni oscillatorie nell'approssimazione delle piccole oscillazioni - inizio [G1, teorema 6.48].
Lezione 15 (14/03/2022)
Periodo delle soluzioni oscillatorie nell'approssimazione delle piccole oscillazioni - conclusione [G1, teorema 6.48].
Periodo nel caso di energia potenziale proporzionale a x²ⁿ e limiti asintotici di alta e bassa energia [G1, esercizio 6.32].
Lezione 16 (14/03/2022)
Esercizio sui sistemi unidimensionali [G1, esercizio 6.28].
Lezione 17 (16/03/2022)
Problema dei due corpi: impostazione del problema [G1, §7.1.1].
Forze conservative e forze centrali [G1, definizioni 7.1 e 7.4; lemmi 7.2 e 7.6].
Lezione 18 (16/03/2022)
Problema dei due corpi: conservazione dell'energia e del momento angolare [G1, lemmi 7.8 e 7.9];
discussione del moto relativo [G1, lemmi 7.10 e 7.14]; moti periodici e orbite che non si chiudono [G1, lemmi 7.17 e 7.19].
Lezione 19 (21/03/2022)
Prima forma dell'equazione delle orbite [G1, lemma 7.20].
Campo centrale gravitazionale: studio qualitativo del moto radiale [G1, §7.2.2]
Lezione 20 (21/03/2022)
Campo centrale gravitazionale: determinazione dell'equazione delle orbite, orbite chiuse e orbite illimitate
[G1, corollari 7.27 e 7.28]; leggi di Keplero [G1, teorema 7.29 ed esercizio 7.13].
Lezione 21 (23/03/2022)
Campo centrale armonico: determinazione dell'equazione delle orbite, [G1, osservazione 7.22].
Teorema di Bertrand (solo enunciato) ed eccezionalità delle orbite chiuse nei campi centrali [G1, teorema 7.47]
Lezione 22 (23/03/2022)
Esercizio sui moti centrali [G1, esercizio 7.29]. Moti relativi: sistemi di riferimento fissi e sistemi di riferimento mobili,
trasformazioni rigide, traslazioni e rotazioni, matrici ortogonali [G1, §8.1].
Matrici di rotazione intorno a un asse cartesiano [G1, osservazione 8.20 ed esercizio 8.9]
Lezione 23 (28/03/2022)
Richiami sul prodotto vettoriale e velocità angolare [G1, lemmi 8.8, 8.9 e 8.11, e definizione 8.16].
Legge di composizione dell velocità [G1, lemmi 8.23 e 8.25, teorema 8.24, esempio 8.26].
Lezione 24 (28/03/2022)
Forze d'inerzia: forza inerziale di traslazione, forza inerziale di rotazione, forza centrifuga, forza di Coriolis [G1, §8.2].
Effetti della forza centrifuga sull'accelerazione di gravità [G1, esempio 8.34].
Esercizio sui moti relativi: sistema di riferimento che si muove lungo un profilo cubico [G1, esercizio 8.30]
Lezione 25 (30/03/2022)
Vincoli, vincoli olonomi, bilateri, regolari e indipendenti, forze vincolari, superficie di vincolo, traiettorie virtuali [G1, §9.1]
Lezione 26 (30/03/2022)
Principio di d'Alembert, vincoli perfetti, moltiplicatori di Lagrange [G1, §9.6].
Calcolo dei moltiplicatori di Lagrange: teoria generale e derivazione dell'equazione del pendolo semplice [G1, esercizi 9.11 e 9.21].
Lezione 27 (04/04/2022)
Pendolo di Foucault: equazioni del moto e studio della dinamica nell'approssimazione delle piccole oscillazioni [G1, esempio 8.35].
Lezione 28 (04/04/2022)
Vincoli rigidi, sistemi rigidi discreti e sistemi rigidi continui, spazio delle configurazioni dei sistemi rigidi [G1, §9.2].
Moto dei corpi rigidi: velocità dei punti di un sistema rigido [G1, lemma 9.26].
Caratteristiche cinematiche dei sistemi rigidi: quantità di moto, momento angolare, energia cinetica, teorema di König [G1, §9.4].
Lezione 29 (04/04/2022)
Preparazione alla prima prova di esonero: testo - esercizi 1, 2 e 3.
Lezione 30 (04/04/2022)
Preparazione alla prima prova di esonero: testo - esercizi 4 e 5.
Lezione 31 (06/04/2022)
Caratteristiche dinamiche dei sistemi rigidi: equazioni del moto [G1, §9.5].
Operatore d'inerzia, momenti principali di inerzia e assi di inerzia [G1, §10.1].
Principio di d'Alembert e vincoli rigidi: equazioni cardinali della dinamica per sistemi rigidi [G1, §9.7].
Lezione 32 (06/04/2022)
Preparazione alla prima prova di esonero: testo - esercizi 2 e 5.
Lezione 33 (20/04/2022)
Correzione della prima prova di esonero del 13/04/2022 - inizio.
Lezione 34 (20/04/2022)
Correzione della prima prova di esonero del 13/04/2022 - conclusione.

6.2. Seconda parte
Lezione 35 (26/04/2022)
Formalismo lagrangiano: spazio delle traiettorie e spazio delle deformazioni, lagrangiana [G2, §1.1].
Funzionale d'azione e suo differenziale [G2, definizione 1.6, lemmi 1.8 e 1.9].
Equazioni di Eulero-Lagrange [G2, definizione 1.11 e teorema 1.12].
Equivalenza tra equazioni di Eulero-Lagrange ed equazioni di Newton [G2, teorema 1.14].
Primo principio variazionale di Hamilton [G2, principio 1.15 e osservazione 1.16].
Problema con condizioni al contorno [G2, esempio 1.17 e commenti successivi, ed esercizio 1.6].
Lezione 36 (26/04/2022)
Formalismo lagrangiano per sistemi meccanici soggetti a vincoli olonomi bilateri [G2, §1.2].
Estensione del principio variazionale di Hamilton ai sistemi vincolati [G2, principio 1.28].
Equivalenza tra equazioni di Eulero-Lagrange ed equazioni di Newton integrate dal principio di d'Alembert
[G2, osservazione 1.29 e teorema 1.30]. Calcolo delle forze vincolari [G2, osservazione 1.32].
Esempio di sistema lagrangiano: pendolo semplice [G2, esercizi 1.49 e 1.50].
Lezione 37 (27/04/2022)
Energia potenziale elastica ed energia potenziale centrifuga [G2, esercizi 2.7 e 2.13].
Energia potenziale gravitazionale sulla superfice della Terra [G2, esercizio 2.12].
Forma generale della lagrangiana di un sistema meccanico conservativo soggetto a vincoli olnomi bilateri [G2, lemma 2.2]
Lezione 38 (27/04/2022)
Stabilità delle configurazioni di equilibrio di un sistema lagrangiano [G2, definizione 2.5, teorema 2.6 e corollario 2.10].
Configurazioni di equilibrio relativo e pendolo semplice in un piano rotante [G2, definizione 2.15 ed esempio 2.16].
Variabili cicliche e momenti [G2, definizione 2.17m, osservazione 2.18 e lemma 2.19].
Lezione 39 (02/05/2022)
Metodo di Routh e applicazione ai moti centrali [G2, teorema 2.20, definizione 2.21 ed esempio 2.23].
Sistemi rigidi continui: centro di massa, operatore di inerzia e momenti di inerzia [G1, §9.2.2].
Lezione 40 (02/05/2022)
Calcolo dei momenti di inerzia principali in alcuni solidi con simmetria rotazionale:
asta, anello, disco, cilindro, sfera [G1, §§10.2.1, 10.2.2, 10.2.3,10.2.5 e 10.2.6].
Moto di rotolamento senza strisciamento: disco che rotola su un piano [G1, definizione 9.5 ed esempio 9.79.]
Cilindro che rotola su un piano o su una superficie circolare [G1, esempio 9.80 e osservazioni 9.81 e 9.82.]
Lezione 41 (04/05/2022)
Esercizio sui sistemi lagrangiani - inizio [G1, esercizio 2.45].
Lezione 42 (04/05/2022)
Esercizio sui sistemi lagrangiani - conclusione [G1, esercizio 2.45].
Lezione 43 (09/05/2022)
Gruppi a un parametro di diffeomorfismi e campi vettoriali [G2, definizioni 3.1 e 3.5, lemma 3.2 e osservazione 3.4].
Gruppi a un parametro di diffeomorfismi e momenti conservati [G2, definizioni 3.9 e 3.14, e lemma 3.10.]
Lagrangiana invariante sotto l'azione di un gruppo di diffeomorfismi [G2, definizioni 3.16 e 3.18].
Teorema della scatola di flusso, senza dimostrazione [G1, teorema 4.82].
Lezione 44 (09/05/2022)
Teorema di Noether [G1, teorema 3.19 e osservazioni 3.20 e 3.21].
Teorema di Noether nel caso di più gruppi di diffeomorfismi, senza dimostrazione [G2, §3.2, introduzione e teorema 3.37 ].
Esempi di diffeomeorfismi e campi vettoriali associati: traslazioni e rotazioni [G2, esempi 3.12 e 3.13].
Lezione 45 (16/05/2022)
Formalismo hamiltoniano: trasformata di Legendre, hamiltoniana, coordinate canoniche, spazio delle fasi [G2, §6.1].
Equazioni di Hamilton e matrice simplettica standard [G2, definizione 6.12, 6.14, 6.15 e 61.6, e osservazioni 6.13 e 6.18].
Lezione 46 (16/05/2022)
Teorema di Liouville, senza dimostrazione; teorema del ritorno di Poincaré ed esperimento di Maxwell
[G2, definizione 6.1, teoremi 6.20 e 6.22, e osservazioni 6.21 e 6.24.]
Lezione 47 (18/05/2022)
Metodo di Routh nel formalismo hamiltoniano [G2, §6.2]. Secondo principio variazionale di Hamilton G2, §6.3].
Lezione 48 (18/05/2022)
Matrici simplettiche: definizione e proprietà [G2, definizione 7.3, lemmi 7.5, 7.6, 7.7 e 7.8, e osservazione 7.9].
Determinante di una matrice simplettica, senza dimostrazione [G2, teorema 7.11].
Trasformazioni canoniche, trasformazioni simplettiche e trasformazioni che conservano la struttura canonica
delle equazioni [G2, definizioni 7.12, 7.15, 7.16 e 7.17, esempi 7.13 e 7.14, e osservazione 7.19].
Lezione 49 (19/05/2022)
Esercizio sui sistemi lagrangiani [G2, esercizio 2.55].
Lezione 50 (19/05/2022)
Esercizio sui sistemi lagrangiani [G2, esercizio 2.57].
Lezione 51 (23/05/2022)
Teorema: le trasformazioni canoniche conservano la struttura canonica delle equazioni [G2, teorema 7.20].
Teorema: una trasformazione è simplettica se e solo se conserva la struttura canonica delle equazioni
con la stessa hamiltoniana [G2, teorema 7.22]. Parentesi di Poisson: definizione e proprietà
[G2, definizioni 7.23 e 7.30, e lemma 7.25]. Parentesi di Poisson e trasformazioni canoniche:
criterio per verificare che una trasformazione è canonica basato sulle parentesi di Poisson [G2, teorema 7.31].
Lezione 52 (23/05/2022)
Esercizi sulle trasformazioni canoniche [G2, osservazione 7.19 ed esercizio 7.11, ed esercizi 7.71 e 7.72 - inizio, ].
Lezione 53 (25/05/2022)
Differenziale a tempo bloccato e condizione di Lie [G2, definizioni 7.65 e 6.67, e osservazioni 7.66 e 7.698].
Condizione di Lie e trasformazioni canoniche: criterio per verificare che una trasformazione è canonica
basato sulla condizione di Lie [G2, teorema 7.69]. Funzioni generatrici e procedimenti di prima specie
nel caso di trasformazioni indipendenti dal tempo [G2, §7.4.2]. Funzioni generatrici e procedimenti
di seconda specie nel caso di trasformazioni indipendenti dal tempo [G2, §7.4.3]. Altri procedimenti
per generare trasformazioni canoniche nel caso di trasformazioni indipendenti dal tempo [G2, §7.4.4].
Lezione 54 (25/05/2022)
Trasformazione identità ed estensione di una trasformazione di coordinate a una trasformazione canonica
[G2, teoremi 7.84 e 7.86, e osservazione 7.85]. Esercizi sulle trasformazioni canoniche [G2, esercizi 7.71 e 7.72 - conclusione].
Lezione 55 (25/05/2022)
Esercizi sulle trasformazioni canoniche [G2, esercizio 7.100].
Lezione 56 (25/05/2022)
Esercizi sulle trasformazioni canoniche [G2, esercizio 7.105].
Lezione 57 (30/05/2022)
Equazione di Hamilton-Jacobi; funzione principale di Hamilton; funzione caratteristica di Hamilton [G2, §8.1]
Equazione di Hamilton-Jacobi per un sistema meccanico conservativo unidimensionale [G2, §8.1].
Lezione 58 (30/05/2022)
Variabili azione-angolo in una dimensione [G2, §8.3]. Variabili azione-angolo per l'oscillatore armonico [G2, §8.6.1]
Enunciato del teorema di Arnol'd-Liouville [teorema 8.28, osservazioni 8.29, 8.32 e 8.33, e definizione 8.34].
Esecizio sulle trasformazioni canoniche: A.A. 2018/2019, esonero II, esercizio 2.
Lezione 59 (01/06/2022)
Procedimento di separazione di variabili e sistemi separabili [G2, §8.2].
Dimostrazione del teorema di Arnol'd-Liouville nel caso di sistemi separabili [G2, §8.3].
Lezione 60 (01/06/2022)
Esercizio sui sistemi separabili [G2, esercizio 8.50].
Lezione 61 (01/06/2022)
Preparazione alla seconda prova di esonero: testo - esercizi 1, e 2 [G2, esercizi 2.49 e 2.50].
Lezione 62 (01/06/2022)
Preparazione alla seconda prova di esonero: testo - esercizi 3, 4 e 5 [G2, esercizio 2.53].

7. Diario delle esercitazioni

7.1. Prima parte
Esercitazione 1 (21/02/2022)
Equazioni lineari omogenee nel piano: A.A. 2005/2006, tutorato I, esercizio 1 - testo e soluzione;
A.A. 2007/2008, tutorato II, esercizio 2 - testo e soluzione.
Esercitazione 2 (21/02/2022)
Equazioni lineari non omogenee nel piano: A.A. 2005/2006, tutorato II, esercizio 6 - testo e soluzione.
Esercitazione 3 (28/02/2022)
Esponenziale di matrici - esempio nello spazio tridimensionale: A.A. 2006/2007, tutorato II, esercizio 2 - testo e soluzione
Equazioni a variabili separabili: A.A. 2006/2007, tutorato I, esercizio 1 - testo e soluzione
Esercitazione 4 (28/02/2022)
Equazioni a variabili separabili: A.A. 2006/2007, tutorato I, esercizio 3 - testo e soluzione
Sistemi dinamici planari con costante del moto: A.A. 2004/2005, tutorato V, esercizio 3 - testo.
Esercitazione 5 (07/03/2022)
Sistemi unidimensionali: A.A. 2007/2008, tutorato VII, esercizio 1 (inizio) - testo e soluzione.
Esercitazione 6 (07/03/2022)
Sistemi unidimensionali: A.A. 2007/2008, tutorato VII, esercizio 1 (conclusione) - testo e soluzione.
Esercitazione 7 (14/03/2022)
Sistemi unidimensionali: A.A. 2007/2008, tutorato VIII, esercizio 1 - testo e soluzione.
Esercitazione 8 (14/03/2022)
Sistemi unidimensionali: A.A. 2006/2007, tutorato VII, esercizio 2 - testo e soluzione.
Esercitazione 9 (21/03/2022)
Moti centrali: A.A. 2006/2007, tutorato VIII, esercizio 2 - testo e soluzione.
Esercitazione 10 (21/03/2022)
Moti centrali: A.A. 2007/2008, tutorato X, esercizio 1 - testo e soluzione.
Esercitazione 11 (28/03/2022)
Cambiamenti di sistemi di riferimento: A.A. 2007/2008, tutorato XI, esercizi 2 e 3 - testo e soluzione
Esercitazione 12 (28/03/2022)
Cambiamenti di sistemi di riferimento: A.A. 2005/2006, tutorato XI, esercizio 1 - testo e soluzione.

7.2. Seconda parte
Esercitazione 13 (02/05/2022)
Sistemi lagrangiani - prima parte: lagrangiana ed equazioni di Eulero-Lagrange - testo e soluzione [G2, §2.3].
Esercitazione 14 (02/05/2022)
Sistemi lagrangiani - seconda parte: studio della stabilità e calcolo delle forze vincolari - testo e soluzione [G2, §2.3].
Esercitazione 15 (09/05/2022)
Sistemi lagrangiani - prima parte: lagrangiana ed equazioni di Eulero-Lagrange - testo e soluzione [G2, esercizio 2.47].
Esercitazione 16 (09/05/2022)
Sistemi lagrangiani - seconda parte: studio della stabilità e caso dell'asta pesante - testo e soluzione [G2, esercizio 2.47].
Esercitazione 17 (16/05/2022)
Sistemi lagrangiani - prima parte: lagrangiana ed equazioni di Eulero-Lagrange - testo e soluzione [G2, esercizio 2.46].
Esercitazione 18 (16/05/2022)
Sistemi lagrangiani - seconda parte: studio della stabilità e caso in cui il cilindro ruota - testo e soluzione [G2, esercizio 2.46].
Esercitazione 19 (23/05/2022)
Sistemi hamiltoniani: A.A. 2018/2019, appello II, esercizio 2 - testo e soluzione [G2, esercizio 7.100].
Esercitazione 20 (23/05/2022)
Sistemi hamiltoniani: A.A. 2018/2019, esonero II, esercizio 2 - testo e soluzione; A.A. 2019/2020, appello zero, esercizio 2 - testo.
Esercitazione 21 (30/05/2022)
Sistemi hamiltoniani: A.A. 2021/2021, appello II, esercizio 5 - testo.
Esercitazione 22 (30/05/2022)
Sistema hamiltoniani: A.A. 2020/2021, appello I, esercizio 5 - testo; A.A. 2020/2021, appello III, esercizio 5 - testo.

8. Diario delle attività di tutorato

8.1. Prima parte
Tutorato 1-1 (01/03/2022)
Equazioni differenziali lineari, omogenee e non omogenee; sistemi dinamici planari;
forze conservative; traiettorie periodiche: testo.
Tutorato 1-2 (01/03/2022)
Equazioni differenziali lineari, omogenee e non omogenee; sistemi dinamici planari;
forze conservative; traiettorie periodiche: soluzioni.
Tutorato 2-1 (08/03/2022)
Sistemi unidimensionali; studio dell'energia potenziale e analisi qualitativa: testo.
Tutorato 2-2 (08/03/2022)
Sistemi unidimensionali; studio dell'energia potenziale e analisi qualitativa: soluzioni.
Tutorato 3-1 (15/03/2022)
Sistemi unidimensionali; studio dell'energia potenziale e analisi qualitativa: testo.
Tutorato 3-2 (15/03/2022)
Sistemi unidimensionali; studio dell'energia potenziale e analisi qualitativa: soluzioni.
Tutorato 4-1 (22/03/2022)
Moti in campo centrale: testo.
Tutorato 4-2 (22/03/2022)
Moti in campo centrale: soluzioni.
Tutorato 5-1 (29/03/2022)
Esercizi sui moti relativi: testo.
Tutorato 5-2 (29/03/2022)
Esercizi sui moti relativi: soluzioni.
Tutorato 6-1 (05/04/2022)
Esercizi di preparazione alla prima prova di esonero: testo.
Tutorato 6-2 (05/04/2022)
Esercizi di preparazione alla prima prova di esonero: soluzioni.

8.2. Seconda parte
Tutorato 7-1 (04/05/2022)
Esercizi sui sistemi lagrangiani: testo.
Tutorato 7-2 (04/05/2022)
Esercizi sui sistemi lagrangiani: soluzioni.
Tutorato 8-1 (17/05/2022)
Esercizi sui sistemi lagrangiani: testo.
Tutorato 8-2 (17/05/2022)
Esercizi sui sistemi lagrangiani: soluzioni.
Tutorato 9-1 (24/05/2022)
Esercizi sui sistemi lagrangiani: testo.
Tutorato 9-2 (24/05/2022)
Esercizi sui sistemi lagrangiani: soluzioni.
Tutorato 10-1 (31/05/2022)
Esercizi sui sistemi hamiltoniani: testo.
Tutorato 10-2 (31/05/2022)
Esercizi sui sistemi hamiltoniani: soluzioni.
Tutorato 11-1 (06/06/2022)
Esercizi di preparazione alla seconda prova di esonero: testo.
Tutorato 11-2 (06/06/2022)
Esercizi di preparazione alla seconda prova di esonero: soluzioni.