Anno Accademico 2021/2022       



FM410 - Complementi di Meccanica Analitica (CdL in Matematica)
Complementi di Meccanica Analitica (CdL in Fisica)
FM410 - Complementi di Meccanica Analitica (CdLM in Matematica)


Docente: Guido Gentile


1. Caratteristiche dell'insegnamento

Contenuto dell'insegnamento
Modulo A: Sistemi dinamici lineari. Oscillatore armonico forzato con o senza attrito. Insieme limite e cicli limite. Sistemi planari. Sistemi gradiente.
Sistemi che ammettono una costante del moto. Teoremi di stabilità. Equazioni di Lotka-Volterra. Equazione di van der Pol. Modelli epidemiologici (SIR, SIRD, SEIR).
Modulo B: Angoli di Eulero. Equazioni di Eulero. Trottola di Lagrange. Sistemi integrabili e integrabilità del sistema rigido con un punto fisso.
Teorema della scatola di flusso. Teorema di Frobenius. Teorema di Noether. Piccole oscillazioni: pendoli accoppiati e battimenti, sistemi vincolati.
Teoria delle perturbazioni ed equazione omologica. Sistemi iscocroni: teorema di Nekhorošev e serie di Birkhoff.
II Semestre - Crediti: 6 CFU (Matematica) - Modulo A 3 CFU, Modulo B 3 CFU (Fisica) - TAF: b/c (Matematica) - d (Fisica)
Nota. L'insegnamento nel Corso di Laurea in Fisica è diviso in due moduli, che possono essere seguiti indipendentemente.
Nei Corsi di Studio in Matematica e in Scienze Computazionali i due moduli costituiscono un unico insegnamento.
Testi consigliati
L'insegnamento si basa sui testi
Guido Gentile, Introduzione ai sistemi dinamici Vol. 1 - Equazioni differenziali ordinarie, analisi qualitativa e alcune applicazioni, Springer, Milano, 2021,
e Introduzione ai sistemi dinamici Vol. 2 - Formalismo lagrangiano e hamiltoniano, Springer, Milano, 2022.
Modalità degli esami
L'esame consiste in un colloquio orale in cui lo studente dovrà discutere gli argomenti trattati a lezione, secondo quanto indicato nel diario delle lezioni.
In riferimento alla prima parte dell'insegnamento (modulo A), si richiede inoltre:
(1) lo svolgimento di alcuni esercizi del capitolo 5 [G1, esercizi 5.43, 5.53, 5.59, 5.60 e 5.61].
(2) lo studio del modello SEIR endemico [G1, esercizi 5.82, 5.83, 5.84, 5.85, 5.86 e 5.87].
In riferimento alla seconda parte dell'insegnamento (modulo B), si richiede inoltre:
(1) lo studio di uno di 5 argomenti indicati.
(2) la discussione di un ulteriore argomento a scelta.

2. Orario

Lezioni: lunedì ore 16:00-18:00 (a partire dal 7 marzo), mercoledì ore 16:00-18:00,
giovedì ore 16:00-18:00 (24 febbraio, 3 marzo, 31 marzo, 19 maggio, 26 maggio) e giovedì ore 14:00-16:00 (19 maggio, 26 maggio) in aula 57.
Modulo A: prima lezione: mercoledì 23 febbraio 2022 ore 16:00-18:00; ultima lezione: mercoledì 6 aprile 2022 ore 16:00-18:00.
Modulo B: prima lezione: mercoledì 27 aprile 2022 ore 16:00-18:00; ultima lezione: 6 giugno 2022 ore 14:00-16:00.
Orario di ricevimento: per appuntamento (per email o Teams).

3. Calendario d'esami

Le date degli esami si possono trovare sulla pagina del calendario di esami dei CdS in Matematica e del CdL in Fisica

4. Programma d'esame

Programma orientativo dell'insegnamento dell'A.A. 2021-2022 in formato pdf

1. Equazioni differenziali ordinarie: richiami e complementi
Richiami sulle equazioni differenziali lineari omogenee e non omogenee.
Oscillatore armonico smorzato e forzato. Risonanze. Risonanza parametrica.
Moti multiperiodici per l'oscillatore armonico forzato in assenza di dissipazione.
2. Analisi qualitativa e stabilità
Stabilità secondo Ljapunov. Punti di equilibrio stabili, instabili, attrattivi, asintoticamente stabili.
Stabilità di un punto d'equilibrio nel caso in cui la matrice del sistema linearizzato abbia tutti gli autovalori
con parte reale strettamente negativa (dimostrazione nel caso diagonalizzabile e semisemplice).
Instabilità di un punto d'equilibrio nel caso in cui la matrice del sistema linearizzato
abbia almeno un autovalore con parte reale strettamente positiva.
Insiemi limite: definizione e proprietà. Teoremi sugli insiemi limite. Teorema di Ljapunov.
Teorema di Barbašin-Krasovskij (o di LaSalle) e sua applicazione all'oscillatore armonico e al pendolo semplice.
Teorema di Dirichlet-Lagrange per sistemi meccanici conservativi. Cicli limite.
Sistemi planari e teorema di Poincaré-Bendixson.
3. Alcuni sistemi dinamici planari notevoli
Sistemi planari che ammettono una costante del moto: studio delle curve di livello e delle traiettorie nel piano delle fasi.
Assenza di punti di equilibrio asintoticamante stabili e di cicli limiti in sistemi con una costante del moto.
Sistemi predatore-preda ed equazioni di Lotka-Volterra: studio del sistema e dimostrazione delle leggi di Volterra.
Sistemi gradiente: proprietà generali e studio delle traiettorie nel piano delle fasi.
Sistemi dissipativi: studio qualitativo del pendolo con attrito.
Equazione di Van Der Pol: studio qualitativo e determinazione del ciclo limite globalmente attrattivo.
4. Modelli epidemiologici
Modelli compartimentali: suscettibili, infetti, rimossi e deceduti.
Modello SIR epidemico: studio dei punti di equilibrio e analisi qualitativa.
Modello SIRD epidemico: studio dei punti di equilibrio e analisi qualitativa.
Modello SIR endemico: studio dei punti di equilibrio, analisi qualitativa e determinazione del bacino di attrazione
dei punti di equilibrio asintoticamente stabili. Modello SEIR endemico: studio dei punti di equilibrio,
analisi qualitativa e determinazione del bacino di attrazione dei punti di equilibrio asintoticamente stabili.
5. Sistemi rigidi: equazioni di Eulero e trottola di Lagrange
Richiami sulle equazioni cardinali e sull'operatore di inerzia: momenti principali di inerzia e assi di inerzia.
Equazioni di Eulero per un sistema rigido con un punto fisso non sottoposto a forze: studio del moto del momento angolare.
Angoli di Eulero. Integrabilità di un sistema rigido con un punto fisso non sottoposto a forze. Trottola di Lagrange e trottola pesante.
Energia cinetica ed energia potenziale della trottola di Lagrange in termini degli angoli di Eulero.
Integrali primi ed energia potenziale efficace. Studio del sistema ridotto al variare dei parametri del sistema.
Pendolo sferico. Trottola di Lagrange in assenza di forze. Trottola addormentata e trottola veloce.
6. Variabili cicliche e teorema di Noether
Teorema della scatola di flusso. Richiami sui gruppi a un parametro di diffeomorfismi, campi vettoriali e momenti.
Gruppi di simmetrie e teorema di Noether nel caso di una lagrangiana che ammetta un gruppo di simmetrie.
Prodotto di Lie di campi vettoriali: definizione e proprietà.
Composizione di più gruppi a un parametro e commutazione dei campi vettoriali corrispondenti.
Esempi di campi vettoriali che commutano (traslazioni) e che non commutano (rotazioni).
Teorema di Frobenius. Teorema di Noether nel caso di più gruppi di simmetrie ed esistenza di più variabili cicliche.
7. Teoria delle perturbazioni
Sistemi quasi-integrabili: esempio del sistema solare. Equazione di Hamilton-Jacobi e teoria perturbativa al primo ordine.
Equazione omologica. Vettori diofantei. Problemi di convergenza delle serie in dimensione qualsiasi. Primo teorema di trivialità di Poincaré.
Sistemi isocroni. Condizione di anisocronia (o condizione di non degenerazione di Kolmogorov) e sistemi anisocroni.
Difficoltà di iterare il procedimento perturbativo a ordini alti nel caso di sistemi anisocroni. Teoria perturbativa a tutti gli ordini per sistemi isocroni.
Teorema di Nekhorošev per sistemi isocroni: controllo sulle variazioni delle azioni per tempi esponenzialmente grandi. Serie di Birkhoff.
Controesempi alla convergenza delle serie di Birkhoff.
8. Teorema KAM
Introduzione al teorema KAM: esperimento di Fermi-Pasta-Ulam e stabilità del sistema solare.
Enunciato del teorema nel caso di hamiltoniane analitiche e strategia della dimostrazione.
Primo passo della dimostrazione del teorema KAM: definizione della trasformazione canonica,
stime della nuova hamiltoniana, blocco della fequenza, definizione del nuovo dominio di analiticità
Passo generale della dimostrazione del teorema KAM: procedimento iterativo e costruzione del toro invariante.

Nota. Per il Corso di Laurea in Fisica i programmi del Modulo A e del Modulo B corrispondono ai punti 1-4 e, rispettivamente, 5-8 del programma.

5. Diario delle lezioni

5.1. Prima parte
Lezione 1 (23/02/2022)
Esempio di sistema meccanico dissipativo autonomo: oscillatore armonico smorzato [G1, esempio 2.19 e osservazione 2.20].
Lezione 2 (23/02/2022)
Esempio di sistema meccanico dissipativo autonomo: oscillatore armonico smorzato forzato [G1, esempio 2.31,
osservazione 2.32, ed esercizi 2.31 e 2.32]. Moti multiperiodici per l'oscillatore armonico forzato in assenza di dissipazione.
Definizione di insieme limite [G1, definizione 4.12]. Definizione di ciclo limite [G1, definizione 5.10].
Lezione 3 (24/02/2022)
Stabilità secondo Ljapunov: punti di equilibrio stabili, instabili, attrattivi e asintoticamente stabili [G1, definizione 4.10].
Proprietà dei sistemi limite - prima parte [G1, teoremi 4.17, 4.18, 4.20 e 4.22]. Esempio di insieme limite illimitato non connesso [G1, osservazione 4.21].
Lezione 4 (24/02/2022)
Proprietà dei sistemi limite - seconda parte [G1, teorema 4.24]. Stabilità delll'origine nel caso dei sistemi lineari planari [G1, esercizio 4.29].
Assenza di punti di equilibrio asintoticamente stabili in sistemi che ammettono costanti del moto, quali i sistemi meccanici conservativi [G1, teorema 5.19].
Lezione 5 (02/03/2022)
Sistema dinamico linearizzato [G1, definizione 4.37] Alcuni risultati preliminari di analisi e di algebra lineare [G1, lemmi 4.38 e 4.40].
Stabilità asintotica di un punto di equilibrio nel caso in cui gli autovalori del sistema linearizzato abbiano tutti parte reale negativa [G1, teorema 4.41]
Lezione 6 (02/03/2022)
Alcuni risultati preliminari di analisi in vista del teorema di Ljapunov [G1, lemmi 4.49, 4.55 e teorema 4.50].
Lezione 7 (03/03/2022)
Teorema di Ljapunov: enunciato e dimostrazione della stabilità asintotica [G1, teorema 4.56].
Lezione 8 (03/03/2022)
Instabilità di un punto di equilibrio nel caso in cui almeno un autovalore del sistema linearizzato abbia parte reale positiva
[G1, teorema 4.43 ed esercizi 4.18 e 4.19]. Stabilità dei punti di equilibrio nel caso di sistemi
che ammettono una costante del moto [G1, esercizio 4.32]. Teorema di Lagrange-Dirichlet [G1, teorema 4.68].
Lezione 9 (07/03/2022)
Teorema di Poincaré-Bendixson: enunciato ed esempi [G1, teorema 5.7 ed esempio 5.9].
Equazioni di Lotka-Volterra: analisi qualitativa - inizio [G1, §5.3].
Lezione 10 (07/03/2022)
Equazioni di Lotka-Volterra: analisi qualitativa - conclusione [G1, §5.3].
Equazioni di Lotka-Volterra - leggi di Volterra [G1, teorema 5.37 e osservazione 5.38].
Lezione 11 (09/03/2022)
Teorema di Barbašin-Krasovskij (o di La Salle): enunciato [G1, teorema 4.64].
Applicazione del teorema Barbašin-Krasovskij all'oscillatore armonico smorzato [G1, esercizio 4.35].
Lezione 12 (09/03/2022)
Pendolo semplice con attrito: applicazione del teorema Barbašin-Krasovskij e analisi qualitativa del moto [G1, §5.4.6, esercizi 5.6, 5.7 e 5.8].
Lezione 13 (14/03/2022)
Teorema di Barbašin-Krasovskij (o di La Salle): dimostrazione [G1, teorema 4.64].
Sistemi gradiente: proprietà e risultati generali [G1, §5.2].
Lezione 14 (14/03/2022)
Esempio di sistema gradiente [G1, esercizio 5.28].
Lezione 15 (16/03/2022)
Teorema di Poincaré-Bendixson: dimostrazione [G1, teorema 5.7].
Lezione 16 (16/03/2022)
Esempio di sistema gradiente [G1, esercizio 5.36].
Lezione 17 (21/03/2022)
Esempio di sistema planare che ammette una costante del moto e curva del diavolo [G1, esercizio 5.30].
Lezione 18 (21/03/2022)
Modelli epidemiologici: modello SIR epidemico - 1. definizione del modello [G1, esercizio 5.73].
Lezione 19 (23/03/2022)
Modelli epidemiologici: modello SIR epidemico - 2. stabilità dei punti di equilibrio e analisi qualitativa del sistema ridotto [G1, esercizi 5.74 e 5.75].
Lezione 20 (23/03/2022)
Modelli epidemiologici: modello SIRD epidemico [G1, esercizio 5.76].
Modelli epidemiologici: modello SIR endemico - 1. definizione del modello e determinazione dei punti di equilibrio [G1, esercizio 5.77].
Lezione 21 (28/03/2022)
Modelli epidemiologici: modello SIR endemico - 2. stabilità dei punti di equilibrio e assenza di traiettorie periodiche [G1, esercizi 5.78, 5.79 e 5.80].
Lezione 22 (28/03/2022)
Modelli epidemiologici: modello SIR endemico - 3a. analisi qualitativa del sistema ridotto [G1, esercizio 5.81].
Lezione 23 (30/03/2022)
Modelli epidemiologici: modello SIR endemico - 3b. analisi qualitativa del sistema ridotto [G1, esercizio 5.81].
Modelli epidemiologici: modello SIR endemico - 4. applicazione del teorema di Barbašin-Krasovskij [G1, esercizio 5.88].
Lezione 24 (30/03/2022)
Esercizio su sistemi planari che non ammettono costanti del moto [G1, esercizi 5.14].
Esercizio su sistemi planari che ammettono una costante del moto [G1, esempio 5.24 ed esercizio 5.38].
Lezione 25 (31/03/2022)
Esercizi su sistemi planari che ammettono una costante del moto [G1, esercizi 5.22 e 5.35]
Lezione 26 (31/03/2022)
Esercizi su sistemi planari che ammettono una costante del moto [G1, esercizi 5.37 e 5.50]
Lezione 27 (04/04/2022)
Equazione di van der Pol - inizio [G1, esercizi 5.65, 5.66, 5.67 e 5.68].
Lezione 28 (04/04/2022)
Equazione di van der Pol - continuazione [G1, esercizi 5.69 e 5.70].
Lezione 29 (06/04/2022)
Equazione di van der Pol - conclusione [G1, esercizi 5.71 e 5.72].
Lezione 30 (06/04/2022)
Modelli epidemiologici: modello SEIR endemico [G1, esercizi 5.82, 5.83, 5.84, 5.85, 5.86 e 5.87].

5.2. Seconda parte
Lezione 31 (27/04/2022)
Equazioni di Eulero per un corpo rigido con un punto fisso non sottoposto a forze [G1, teoremi 10.29 e 10.30].
Analisi qualitativa delle equazioni di Eulero - inizio [G1, definizione 10.31 e teorema 10.33].
Lezione 32 (27/04/2022)
Analisi qualitativa delle equazioni di Eulero - conclusione [G1, esercizi 10.22, 10.23, 10.24 e 10,25, e teorema 10.35].
Equazioni di Eulero nel caso di solidi di rotazione [G1, teorema 10.38].
Teorema della racchetta da tennis [G1, esempio 10.36].
Angoli di Eulero - inizio [G1, §10.3].
Lezione 33 (02/05/2022)
Angoli di Eulero - conclusione [G1, §10.3].
Precessione regolare della Terra e precessione degli equinozi [G1, esempi 10.51 e 10.52].
Lezione 34 (02/05/2022)
Definizione di sistema integrabile [G1, definizione 10.53].
Integrabilità di un corpo rigido con un punto fisso nel caso di un solido di rotazione [G1, teorema 10.55].
Lezione 35 (04/05/2022)
Integrabilità di un corpo rigido con un punto fisso nel caso generale [G1, teorema 10.56].
Lezione 36 (04/05/2022)
Trottola di Lagrange e trottola pesante [G2, definizione 5.1].
Trottola di Lagrange, energia cinetica ed energia potenziale della trottola di Lagrange [G2, teorema 5.3, lemmi 5.6 e 5.7, teorema 5.8].
Integrali primi ed energia potenziale efficace della trottola di lagrange [G2, osservazione 5.9 e corollario 5.10.]
Lezione 37 (09/05/2022)
Sistema ridotto della trottola di Lagrange [G2, teorema 5.11, osservazione 5.12, definizione 5.13 e lemma 5.14].
Assenza di singolarità nello studio del moto della trottola [G2, osservazione 5.15].
Lezione 38 (09/05/2022)
Studio del sistema ridotto della trottola di Lagrange - inizio [G2, inizio del §5.2 e §5.2.1].
Lezione 39 (16/05/2022)
Teoria delle perturbazioni: formulazione del problema ed esempio del sistema solare [G2, inizio del §9.1 ed esercizio 9.1].
Teoria delle perturbazioni al primo ordine ed equazione omologica [G2, §9.1].
Lezione 40 (16/05/2022)
Condizione di non risonanza e vettori diofantei [G2, definizioni 9.5, 9.6 e 9.7, teorema 9.8 e osservazione 9.9].
Condizione di non degenerazione: oscillatori armonici, sistemi isocroni e sistemi anisocroni [G2, definizione 9.10, e osservazioni 9.11, 9.12 e 9.13].
Lezione 41 (18/05/2022)
Funzioni che hanno una serie di Fourier generica [G2, definizione 9.14]. Primo teorema di trivialità di Poincaré [G2, teorema 9.16].
Riduzione del dominio di analiticità nel caso anisocrono [G2, conclusione del §9.1].
Tempi di variazione delle variabili di azione [G2, osservazione 9.3].
Lezione 42 (18/05/2022)
Teoria delle perturbazioni a tutti gli ordini per sistemi isocroni - inizio [G2, §9.2.1].
Lezione 43 (19/05/2022)
Studio del sistema ridotto della trottola di Lagrange - continuazione [G2, §5.2.2 e 5.2.3].
Lezione 44 (19/05/2022)
Studio del sistema ridotto della trottola di Lagrange - conclusione [G2, §5.2.4, ed esercizi 1.58 e 3.30.]
Lezione 45 (19/05/2022)
Trottola addormentata e trottola veloce - inizio [G2, §5.2, ed esercizi 5.5, 5.6 e 5.7].
Lezione 46 (19/05/2022)
Trottola addormentata e trottola veloce - conclusione [G2, §5.2, ed esercizi 5.8, 5.9 e 5.10].
Lezione 47 (23/05/2022)
Teoria delle perturbazioni a tutti gli ordini per sistemi isocroni - continuazione [G2, §9.2.1].
Lezione 48 (23/05/2022)
Teoria delle perturbazioni a tutti gli ordini per sistemi isocroni - continuazione [G2, §9.2.1].
Lezione 49 (25/05/2022)
Teoria delle perturbazioni a tutti gli ordini per sistemi isocroni - conclusione [G2, esercizi 9.60 e 9.61].
Lezione 50 (25/05/2022)
Teorema di Nechorošev per sistemi isocroni [G2, teorema 9.18 ed esercizi 9.63 e 9.65.]
Lezione 51 (26/05/2022)
Serie di Birkhoff [G2, osservazioni 9.20, 9.21 e 9.22, ed esercizi 9.66, 9.68, 9.69, 9.70 e 9.71].
Lezione 52 (26/05/2022)
Teorema KAM - introduzione [G2, §10.1.1].
Lezione 53 (26/05/2022)
Richiami sulle relazioni tra gruppi a un parametro di diffeomorfismi, loro sollevamenti, campi vettoriali, derivazioni e momenti [G2, §3.1].
Richiami sui gruppi di simmetrie e teorema di Noether nel caso di una lagrangiana che ammetta un gruppo di simmetrie [G2, §3.1].
Lezione 54 (26/05/2022)
Richiami sul prodotto di Lie di campi vettoriali: definizione e proprietà [G2, definizione 3.24 e 3.28, elemmi 3.25 e 3.26].
Teorema di Noether nel caso di una lagrangiana che ammetta più gruppi di simmetrie [G2, teorema 3.37].
Lezione 55 (30/05/2022)
Teorema della scatola di flusso [G1, §4.4].
Lezione 56 (30/05/2022)
Teorema: due o più campi vettoriali commutano se e solo se la composizione dei corrispondenti
gruppi a un parametro non dipende dall'ordine in cui sono applicati [G2, teorema 3.29].
Lezione 57 (30/05/2022)
Teorema di Frobenius - inizio [G2, teorema 3.30 ed esercizi 3.14, 3.15, 3.16 e 3.17].
Lezione 58 (30/05/2022)
Teorema di Frobenius - conclusione [G2, teorema 3.30 ed esercizi 3.14, 3.15, 3.16 e 3.17].
Lezione 59 (01/06/2022)
Teorema KAM - inizio [G2, §10.1.2].
Lezione 60 (01/06/2022)
Teorema KAM - continuazione [G2, §10.1.3].
Lezione 61 (06/06/2022)
Teorema KAM - continuazione [G2, §10.1.4].
Lezione 62 (06/06/2022)
Teorema KAM - conclusione [G2, §10.1.5].