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Anno Accademico 2022/2023 |
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FM210 - Meccanica Analitica (CdL in Matematica)
Meccanica Analitica (CdL in Fisica)
Lezioni: Guido Gentile
Esercitazioni: Livia Corsi
Tutorato: Federico Manzoni e Michela Policella
1. Caratteristiche dell'insegnamento
Contenuto dell'insegnamento
Sistemi meccanici conservativi. Analisi qualitativa del moto e stabilità secondo Ljapunov.
Sistemi unidimensionali.
Moti centrali e problema dei due corpi.
Cambiamento di sistemi di riferimento. Forze apparenti. Vincoli. Sistemi rigidi.
Meccanica lagrangiana. Principi variazionali. Variabili cicliche, costanti del moto e simmetrie.
Meccanica hamiltoniana. Teorema di Liouville e teorema del ritorno di Poincaré.
Trasformazioni canoniche. Funzioni generatrici. Metodo di Hamilton-Jacobi e variabili azione-angolo.
II Semestre -
Crediti: 9 CFU (Matematica) - 9 CFU (Fisica) -
TAF: b (Matematica) - b (Fisica) |
Testi consigliati
L'insegnamento si basa sui testi:
[G1] Guido Gentile, Introduzione ai sistemi dinamici - Volume 1.
Equazioni differenziali ordinarie, analisi qualitativa e alcune applicazioni, Springer, Milano, 2021;
[G2]
Guido Gentile, Introduzione ai sistemi dinamici - Volume 2.
Formalismo lagrangiano e hamiltoniano, Springer, Milano, 2022.
Per un elenco di esercizi,
oltre ai testi sopra indicati, si vedano anche
il diario delle esercitazioni
e il diario delle attività di tutorato,
nonché il diario delle esercitazioni, il diario delle attività di tutorato
e i testi delle prove di esonero e di esame degli
anni accademici precedenti.
Le registrazioni delle lezioni sono disponibili su Teams.
Modalità degli esami
L'esame consiste in una prova scritta, eventualmente sostituita da due prove di esonero
in itinere, e in un successivo colloquio orale,
in cui lo studente dovrà discutere
gli argomenti trattati a lezione (cfr. diario delle lezioni o
il programma d'esame).
2. Orari
Lezioni: martedì e giovedì ore 08:30-10:30 (Aula M1).
Inizio delle lezioni: martedì 21 febbraio 2023 -
Termine delle lezioni: 30 maggio 2023.
Lezioni aggiuntive: mercoledì 26 aprile 2023 ore 15:30-17:30 (Aula M2).
Esercitazioni (didattica integrativa): venerdì ore 08:30-10:30
(Aula M1).
Inizio delle esercitazioni: venerdì 24 febbraio 2023 -
Termine delle esercitazioni: 01 giugno 2023.
Esercitazioni aggiuntive: mercoledì 5 aprile 2023 ore 16:30-18:30 (Aula M2),
mercoledì 12 aprile 2023
ore 15:30-17:30 (Aula M2),
mercoledì 24 maggio 2023 ore 15:30-17:30 (Aula M3).
Tutorato: martedì ore 17:30-19:30
(Aula M1).
Inizio delle attività di tutorato: martedì 28 febbraio 2023.
Attività di tutorato aggiuntive: venerdì 14 aprile 2023 ore 17:30-19:30 (Aula M3).
Orario di ricevimento:
per appuntamento (tramite email o Teams)
3. Calendario degli esami
Esoneri:
Le date degli esoneri sono riportate sulla pagina del calendario degli esoneri dei CdS in
Matematica
e del CdL in Fisica.
Esami: Le date degli esami sono riportate sulla pagina del calendario degli esami dei CdS in
Matematica
e del CdL in Fisica.
4. Prove d'esonero e prove d'esame
4.1. Prove di esonero
Prima prova di esonero: 18 aprile 2023 - ore 14:00 - Aula M1 -
Testo -
Risultati.
Recupero della prima prova di esonero: 21 giugno 2023 - Aula M1.
-Testo -
Risultati.
Seconda prova di esonero: 8 giugno 2023 - ore 10:00 - Aula M1 -
Testo -
Risultati.
Recupero della seconda prova di esonero: 21 giugno 2023 - Aula M1.
Testo -
Risultati.
4.2. Prove di esame
Appello I:
21 giugno 2023 - Aula M1 ore 14:00 -
Testo -
Risultati.
Orali: 5 luglio 2023 ore 10:00 (aula M6),
6 luglio 2023 ore 10:00 (aula M6), 7 luglio 2023 ore 10:00 (aula M6).
Appello II:
10 luglio 2023 - Aula M1 ore 14:00 -
Testo -
Risultati.
Orali: 18 luglio 2023 ore 10:00 (aula M6),
19 luglio 2023 ore 10:00 (aula M3), 20 luglio 2023 ore 10:00 (aula M6).
Appello III:
04 settembre 2023 - Aula M1 ore 14:00 -
Testo -
Risultati.
Orali: 11 settembre 2022 ore 10:00 (aula C),
13 settembre ore 10:00 (aula B),
13 settembre ore 10:00 (aula C).
Appello Straordinario (riservato ai laureandi):
7 novembre 2023 - Aula E ore 11:00 -
Testo -
Risultati.
Appello IV:
15 gennaio 2024 - Aula M3 ore 14:00 -
Testo -
Risultati.
Orali: 23 gennaio 2023 ore 10:00 (aula M1),
24 gennaio ore 10:00 (aula M2),
26 gennaio ore 10:00 (aula M2).
Appello V (solo per il CdL in Fisica):
15 febbraio 2024 - Aula M1 ore 14:00 -
Testo -
Risultati.
Orali: 16 febbraio 2024 ore 10:00 (aula M2).
Appello Straordinario (riservato ai laureandi del CdL in Matematica):
15 febbraio 2024 - Aula M1 ore 14:00 -
Testo -
Risultati.
Orali: 16 febbraio 2024 ore 10:00 (aula M2).
5. Programma d'esame
Programma definitivo dell'insegnamento
dell'A.A. 2022-2023 in formato pdf
1. Equazioni differenziali ordinarie e sistemi dinamici
Richiami sulle equazioni differenziali ordinarie: equazioni del primo ordine; problema di Cauchy,
teorema di esistenza e unicità;
dipendenza continua dai dati iniziali; dipendenza differenziabile dai dati iniziali;
esistenza di una soluzione massimale; teorema del prolungamento e suo corollario.
Equazioni di ordine qualsiasi, equazioni in forma normale, equazioni autonome e non autonome.
Sistemi dinamici: traiettorie, orbite, flussi, traiettorie periodiche,
insiemi invarianti, derivata sostanziale,
costanti del moto. Sistemi meccanici e sistemi meccanici conservativi; legge di Newton.
2. Analisi qualitativa e stabilità
Sistemi dinamici lineari planari: analisi qualitativa, pozzi, sorgenti, centri e moti a spirale.
Stabilità secondo Ljapunov.
Punti di equilibrio: stabili, asintoticamente stabili, attrattivi e instabili.
Sistemi dinamici lineari: soluzione generale.
Sistemi dinamici linearizzati. Teoremi di stabilità nel caso di sistemi conservativi:
teoremi che si riconducono allo studio del sistema linearizzato (senza dimostrazione),
teorema di Ljapunov (dimostrazione della stabilità) e teorema di Lagrange-Dirichlet.
Sistemi meccanici conservativi unidimensionali:
conservazione dell'energia e curve di livello.
Moti periodici e moti asintotici. Separatrici, traiettorie omocline e traiettorie eterocline.
L'oscillatore armonico e il pendolo semplice. Periodo come integrale definito e stima del periodo.
Piccole oscillazioni per sistemi meccanici unidimensionali.
3. Moti centrali
Forze centrali. Problema dei due corpi. Moti centrali.
Conservatività delle forze centrali.
Conservazione del momento angolare per le forze centrali. Moto radiale e moto angolare.
Condizioni di periodicità del moto. Teorema di Bertrand (senza dimostrazione).
Campo centrale armonico e campo centrale coulombiano: equazioni delle orbite.
Velocità areolare. Leggi di Keplero.
4. Moti relativi
Sistemi di riferimento fissi e sistemi di riferimento mobili, trasformazioni rigide,
traslazioni e rotazioni, matrici ortogonali.
Rotazione intorno a un asse.
Richiami sul prodotto vettoriale: matrici ortogonali e prodotti vettoriali.
Velocità angolare.
Legge di trasformazione delle velocità.
Forze d'inerzia: forza inerziale di traslazione, forza inerziale di rotazione,
forza centrifuga, forza di Coriolis.
Effetti della forza centrifuga sull'accelerazione di gravità,
pendolo di Foucault nell'approssimazione lineare.
5. Vincoli e sistemi rigidi
Sistemi vincolati. Vincoli olonomi bilateri e superfici di vincolo. Principio di d'Alembert.
Moltiplicatori di Lagrange.
Derivazione delle equazioni del pendolo semplice
usando i moltiplicatori di Lagrange.
Sistemi rigidi discreti e continui: definizione e proprietà,
spazio delle configurazioni dei sistemi rigidi.
Velocità dei punti di un sistema rigido.
Caratteristiche cinematiche dei sistemi rigidi: quantità: di moto,
momento angolare, energia cinetica, teorema di König.
Principio di d'Alembert ed equazioni cardinali della dinamica.
Operatore d'inerzia, momenti d'inerzia, momenti principali d'inerzia, assi d'inerzia.
Moto di rotolamento senza strisciamento.
6. Meccanica lagrangiana
Lagrangiana e funzionale d'azione.
Equazioni di Eulero-Lagrange. Primo principio variazionale di Hamilton.
Equazioni di Newton ed equazioni di Eulero-Lagrange
per sistemi meccanici conservativi.
Lagrangiana per sistemi vincolati.
Equazioni di Newton integrate dal principio di
d'Alembert ed equazioni di Eulero-Lagrange
per sistemi meccanici conservativi vincolati.
Equazioni del moto per il pendolo semplice, nel formalismo lagrangiano e
mediante l'uso dei moltiplicatori di Lagrange.
Calcolo delle reazioni vincolari.
7. Simmetrie e costanti del moto
Variabili cicliche e metodo di Routh. Applicazione al problema dei due corpi.
Gruppi a un parametro di diffeomorfismi.
Trasformazioni di coordinate e loro sollevamenti.
Campi vettoriali, momenti associati ai campi vettoriali e momenti coniugati.
Sistemi invarianti sotto l'azione di un gruppo a un parametro. Teorema di Noether.
Sistemi invarianti per traslazione e sistemi invarianti per rotazione.
Cenni sui sistemi invarianti sotto l'azione di più gruppi
a un parametro: gruppi commutanti ed estensione del teorema di Noether
(senza dimostrazione).
8. Meccanica hamiltoniana
Spazio delle fasi. Trasformata di Legendre. Hamiltoniana ed equazioni di Hamilton.
Metodo di Routh nel formalismo hamiltoniano.
Secondo principio variazionale di Hamilton.
Campo vettoriale hamiltoniano. Campi a divergenza nulla.
Teorema di Liouville (senza dimostrazione).
Teorema del ritorno di Poincaré. Esperimento di Maxwell.
9. Trasformazioni canoniche
Trasformazioni di coordinate nello spazio delle fasi. Matrici simplettiche.
Trasformazioni che conservano la struttura canonica delle equazioni.
Trasformazioni canoniche.
Trasformazioni simplettiche.
Parentesi di Poisson e loro proprietà.
Paraentesi di Poisson fondamentali.
Criterio per riconoscere una trasformazione canonica
sulla base delle parentesi di Poisson fondamentali.
Richiami sulle forme differenziali esatte e chiuse.
Differenziale a tempo bloccato. Condizione di Lie.
Criterio per riconoscere una trasformazione canonica
sulla base della condizione di Lie.
10. Funzioni generatrici e metodo di Hamilton-Jacobi
Funzioni generatrici indipendenti e dipendenti dal tempo. Funzioni generatrici di
prima e seconda specie.
Sollevamento di una trasformazione di coordinate a una trasformazione simplettica.
Equazione di Hamilton-Jacobi.
Integrale generale e integrale completo. Funzione principale di Hamilton.
Funzione caratteristica di Hamilton.
Sistemi separabili. Variabili azione-angolo per sistemi unidimensionali.
Variabili azione-angolo per sistemi a più dimensioni:
teorema di Liouville-Arnol'd (senza dimostrazione),
caso dei sistemi separabili, sistemi integrabili.
6. Diario delle lezioni
Tutti i riferimenti si intendono ai testi [G1] e [G2] (cfr. sopra,
alla voce Testi consigliati).
6.1. Prima parte
Lezione 1 (21/02/2022)
Richiami sulle equazioni differenziali ordinarie - solo enunciati [G1, §§3.1 e 3.2]:
equazioni del primo ordine [G1, pagg. 132-133, definizione 3.6],
soluzione e problema di Cauchy [G1, pagg. 133-135, definizioni 3.7 e 3.14],
teorema di esistenza e unicità [G1, pag. 143, teorema 3.29],
funzioni lipschitziane e localmente lipschitziane [G1, pag. 135, definizione 3.15],
controesempio di non unicità
[G1, pagg. 145-146, esempio 3.36],
regolarità nel tempo della soluzione [G1, pag.142, osservazione 3.25 e proposizione 3.26],
teoremi di dipendenza (continua e differenziabile) dai dati iniziali
[G1, pagg. 147 e 149, teoremi 3.39 e 3.44].
Lezione 2 (21/02/2022)
Richiami sulle equazioni differenziali ordinarie - solo enunciati
[G1, §§3.3, 3.4 e 3.5]:
prolungamento delle soluzioni e soluzioni massimali
[G1, pagg. 151-152, definizioni 3.48 e 3.49],
esistenza di una soluzione massimale [G1, pag. 152, teorema 3.52];
teorema del prolungamento [G1, pag. 156, teorema 3.58] e sue implicazioni
[G1, pag. 157, corollario 3.59].
Equazioni di ordine qualsiasi
[G1, pagg. 163-164, §3.5],
sistemi di equazioni non autonomi ed equazioni a variabili separabili
[G1, §3.4].
Definizione di sistema dinamico
[G1, pag. 130, definizione 3.1].
Corrispondenza tra sistemi dinamici ed equazioni differenziali ordinarie - prima parte
[G1, §3.1.3, pag. 143].
Lezione 3 (23/02/2023)
Corrispondenza tra sistemi dinamici ed equazioni differenziali ordinarie - seconda parte
[G1, §3.1.1 e osservazione 3.5].
Esponenziale di una matrice - solo enunciati [G1, §1.3]:
definizione e proprietà [G1, pagg. 25-26, definizione 1.6 e lemma 1.69, proprietà 1-3].
Soluzione di un sistema di equazioni lineari omogeneee del primo ordine
[G1, pag. 70, lemma 2.3].
Caso di matrici diagonalizzabili
[G1, pag. 26, lemma 1.69, proprietà 4].
Caso di matrici nilpotenti [G1, pagg. 28-29, definizione 1.71 e osservazione 1.73].
Caso di matrici non diagonalizzabili [G1, pagg. 36, teorema 1.84 e conclusioni finali del §1.4].
Lezione 4 (23/02/2023)
Sistemi dinamici planari: analisi qualitativa [G1, §2.2].
Autovalori reali distinti: nodi propri, pozzi e sorgenti, punti di sella [G1, §2.2.1, pagg. 74-75].
Autovalori reali coincidenti - matrice diagonalizzabile: nodi propri, pozzi e sorgenti [G1, §2.2.3 pagg.77-78].
Autovalori complessi coniugati: centri e moti a spirale, studio del sistema
usando coordinate polari [G1, §2.2.2, pagg. 76-77].
Lezione 5 (28/02/2023)
Vettore tangente a una curva [G1, pag. 132, osservazione 3.5].
Autovalori reali coincidenti - matrice non diagonalizzabile:
nodi impropri, pozzi e sorgenti [G1, §2.2.4, pagg. 78-79].
Sistemi dinamici: traiettorie, orbite, flussi [G1, pagg. 133-134, 3.8, 3.9 e 3.10].
Derivata sostanziale e costanti del moto o integrali primi [G1, §4.1 pag. 191].
Lezione 6 (28/02/2023)
Sistemi meccanici, sistemi meccanici conservativi, legge di Newton,
sistemi meccanici conservativi generalizzati
[G1, pagg. 199-202, definizioni 4.28, 4.31 e 4.34, osservazioni 4.29, 4.30, 4.32 e 4.33,
esercizio 4.11].
Lezione 7 (07/03/2023)
Stabilità secondo Ljapunov: definizione di punto di equilibrio
[G1, pag. 192, definizione 4.7].
Punti di equilibrio stabili, instabili,
attrattivi e asintoticamente stabili
[G1, pag. 192, definizione 4.10].
Studio della stabilità dell'origine per sistemi dinamici planari
[G1, pag. 238, esercizio 4.29].
Esempio di punto di equilibrio attrattivo ma non stabile [G1, pag. 193,osservazione 4.11].
Lezione 8 (07/03/2023)
Espressione generale della soluzione di un sistema di equazioni differenziali ordinarie lineari [G1, §2.3, pag. 80,
teorema 2.9].
Linearizzazione: definizione di sistema linearizzato associato a un sistema dinamico [G1, pag. 202, definizione 4.37].
Linearizzazione: stabilità nel caso di autovalori tutti negativi, senza dimotrazione
[G1, pag. 205, teorema 4.41].
Linearizzazione: stabilità nel caso di un autovalore positivo, senza dimostrazione
[G1, pag. 207, teorema 4.43].
Esempio di sistema dinamico
in cui l'analisi lineare non dà informazioni sulla
stabilità [G1, pag. 209, esempio 4.45].
Teorema di Ljapunov, con dimostrazione solo della stabilità
[G1, teorema 4.56].
Lezione 9 (09/03/2023)
Teorema di Lagrange-Dirichlet
[G1, pag. 218, teorema 4.68, osservazione 4.70, esercizi 4.33 e 4.34].
Insiemi invarianti, positivamente invarianti e negativamente invarianti [G1, pag. 190, definizione 4.4].
Moto sulle curve di livello della costante del moto nel caso di sistemi planari
[G1, §4.1, pag. 192; §5.1, pag. 250].
Orbite chiuse, traiettorie periodiche, periodo di una traiettoria periodica
[G1, pag.190, definizione 4.1, osservazioni 4.2 e 4.3]
Assenza di punti di equilibrio asintoticamente stabili
in sistemi che ammettono una costante del moto [G1, pagg. 260-261, teorema 5.19].
Lezione 10 (09/03/2023)
Analisi qualitativa del pendolo semplice:
equazioni del moto del pendolo e costante del moto [G1, §5.4, pagg. 272-273].
Analisi qualitativa del pendolo semplice:
stabilità dei punti di equilibrio e curve di livello
[G1, §5.4, pagg. 274-2800].
Analisi qualitativa del pendolo semplice:
soluzioni oscillatorie e rotatorie
[G1, §5.4, pagg. 274-280].
Lezione 11 (14/03/2023)
Analisi qualitativa del pendolo semplice:
moto sulla separatrice [G1, §5.4, pagg. 274-280].
Analisi qualitativa del pendolo semplice:
periodo delle traiettorie periodiche [G1, §5.4, pagg. 274-280].
Analisi qualitativa del pendolo semplice attraverso
lo studio dell'energia potenziale [G1, §6.3, pagg. 361-372].
Lezione 12 (14/03/2023)
Analisi qualitativa dei sistemi unidimensionali
[G1, §§6.1, 6.2, 6.3 e 6.4, pagg. 353-376].
Lezione 13 (16/03/2023)
Periodo delle soluzioni oscillatorie nell'approssimazione delle piccole oscillazioni
[G1, teorema 6.48].
Periodo nel caso di energia potenziale proporzionale a x2n
e limiti asintotici di alta e bassa energia [G1, esercizio 6.32].
Lezione 14 (16/03/2022)
Esercizo sull'analisi qualitativa dei sistemi unidimensionali: studio dell'energia potenziale
[G1, pagg. 401-402, esercizio 6.34.].
Lezione 15 (21/03/2023)
Problema dei due corpi: introduzione e impostazione del problema [G1, pagg. 411-416; §7.1.1].
Forze conservative e forze centrali [G1, pagg. 411-416, definizioni 7.1 e 7.4; lemmi 7.2 e 7.6;
osservazione 7.3].
Lezione 16 (21/03/2023)
Discussione del moto relativo per il problema dei due corpi:
conservazione dell'energia e del momento angolare
[G1, pagg. 416-420, lemmi 7.8, 7.9 e 7.10];
forza centrifuga [G1, pag. 421, osservazione 7.13];
moti periodici e orbite
che non si chiudono [G1, pagg. 420-426, lemmi 7.17 e 7.19];
prima forma dell'equazione delle orbite [G1, pag. 426, lemma 7.20].
Campo centrale armonico: determinazione dell'equazione delle orbite
[G1, pagg. 432-433, osservazione 7.22 e corollario 7.23].
Lezione 17 (23/03/2023)
Campo centrale gravitazionale: studio qualitativo del moto radiale
[G1, pagg. 433-438, §7.2.2]
Lezione 18 (23/03/2023)
Campo centrale gravitazionale:
determinazione dell'equazione delle orbite,
orbite chiuse e orbite illimitate
[G1, pagg. 438-440, corollari 7.27 e 7.28]; prima legge di Keplero
[G1, pagg. 440-441, teorema 7.29.
Lezione 19 (28/03/2023)
Campo centrale gravitazionale: seconda e terza legge di Keplero
[G1, pagg. 440-443, teorema 7.29, e pagg. 459-460, esercizio 7.13].
Teorema di Bertrand (solo enunciato) ed eccezionalità delle orbite chiuse nei campi centrali [G1, teorema 7.47].
Conclusione dell'esercizio sui moti centrali dell'esercitazione 10 del 24/03/2023 (caso α < 0 ).
Lezione 20 (28/03/2023)
Moti relativi: sistemi di riferimento fissi e sistemi di riferimento mobili,
trasformazioni rigide, traslazioni e rotazioni, matrici ortogonali [G1, §8.1, pagg. 471-477].
Lezione 21 (30/03/2023)
Matrici di rotazione intorno a un asse cartesiano [G1, pag. 482, osservazione 8.20 ed esercizio 8.9].
Richiami sul prodotto vettoriale e velocità angolare
[G1, pagg. 477-481, 8.9 e 8.11, definizione 8.13 e 8.16].
Composizione delle velocità [G1, pagg. 484-485, lemmi 8.23 e 8.25, teorema 8.24, esempio 8.26].
Lezione 22 (30/03/2023)
Forze d'inerzia: forza inerziale di traslazione, forza inerziale di rotazione,
forza centrifuga, forza di Coriolis [G1, §8.2, pagg. 485-488].
Effetti della forza centrifuga sull'accelerazione di gravità
[G1, pag. 488, esempio 8.34].
Effetti della forza di Coriolis sul moto in un sistema di riferimento rotante
[G1, §8.2, pag. 480, esempi 8.37 e 8.39, e osservazione 8.38].
Sistemi di riferimento inerziali e primo principio della dinamica [G1, pagg. 494-495, definizione 8.40].
Lezione 23 (04/04/2023)
Vincoli, vincoli olonomi, bilateri, regolari e indipendenti,
forze vincolari, vincoli regolari e indipendenti,
superficie di vincolo [G1, §9.1, pagg. 521-525].
Traiettorie virtuali, principio di d'Alembert,
vincoli perfetti, moltiplicatori di Lagrange
[G1, §9.5, pag.526 e §9.6, pagg. 544-548].
Lezione 24 (04/04/2023)
Calcolo dei moltiplicatori di Lagrange: teoria generale e derivazione dell'equazione del
pendolo semplice - prima parte [G1, esercizi 9.11 e 9.21].
Lezione 25 (06/04/2023)
Calcolo dei moltiplicatori di Lagrange: teoria generale e derivazione dell'equazione del
pendolo semplice - prima parte [G1, esercizi 9.11 e 9.21].
Pendolo di Foucault: equazioni del moto e studio della dinamica
nell'approssimazione delle piccole oscillazioni
[G1, pag. 488-492, esempio 8.35].
Lezione 26 (06/04/2023)
Vincoli rigidi, corpi rigidi discreti e spazio delle configurazioni dei corpi rigidi
[G1, §9.2, pagg. 526-529].
Moto dei corpi rigidi: velocità dei punti di un corpo rigido [G1, pag. 531, lemma 9.26].
Caratteristiche cinematiche dei corpii rigidi:
energia cinetica [G1, §9.4, pagg. 538-539; §10.1, pagg. 571-578].
Operatore d'inerzia di un corpo rigido discreto, momenti principali di inerzia e assi di inerzia
[G1, §10.1, pagg. 54-575].
Lezione 27 (14/04/2023)
Caratteristiche cinematiche dei sistemi rigidi: quantità di moto e
momento angolare [G1, §9.4, pagg. 540-541; §10.1, pagg. 574-575].
Calcolo della matrice che rappresenta l'operatore d'inerzia in una base fissata
[G1, §10.1, pag. 574-575 ed esercizion 10.1].
Operatore di inerzia di un corpo rigido continuo omogeneo e non omogeneo [G1, §10.1.2].
Assi di inerzia di un corpo rigido continuo
invariante per rotazioni intorno a un asse [G1, pag. 581, osservazione 10.17].
Calcolo dei momenti principali d'inerzia:
sistema costituito da due punti,
asta, disco, anello e cilindro
[G1, pagg. 582-586, esempio 10.19 e §§10.2.1, 10.2.2, 10.2.3, 10.2.4 e 10.2.5].
Lezione 28 (14/04/2022)
Caratteristiche dinamiche dei corpi rigidi: equazioni del moto
[G1, §9.5 pagg.542-543].
Traiettorie virtuali e principio di d'Alembert
per vincoli rigidi:
equazioni cardinali della dinamica per corpi rigidi<
[G1, §9.7, pagg. 548-552 ed esercizi 9.14 e 9.15].
Moto di rotolamento senza strisciamento: disco che rotola su un piano [G1, §9.8.2, pagg. 556-558, esempi 9.79 e 9.80].
6.2. Seconda parte
Lezione 29 (26/05/2023)
Formalismo lagrangiano: spazio delle traiettorie e spazio delle deformazioni, lagrangiana [G2, §1.1, pagg. 1-3].
Funzionale d'azione e suo differenziale [G2, §1.1, pagg.3-5, definizione 1.6, lemmi 1.8 e 1.9].
Equazioni di Eulero-Lagrange [G2, §1.1, pagg. 5-6, definizione 1.11 e teorema 1.12].
Primo principio variazionale di Hamilton [G2, §1.1, pag. 7, principio 1.15 e osservazione 1.16].
Equivalenza tra equazioni di Eulero-Lagrange ed equazioni di Newton [G2, §1.1, pagg. 6-7, teorema 1.14].
Problema con condizioni al contorno [G2, esempio 1.17 e commenti successivi, ed esercizio 1.6].
Lezione 30 (26/05/2023)
Formalismo lagrangiano per sistemi meccanici soggetti a vincoli olonomi bilateri [G2, §1.3, pagg. 16-17].
Estensione del principio variazionale di Hamilton ai sistemi vincolati
[G2, §1.3, pag. 17, principio 1.28].
Equivalenza tra equazioni di Eulero-Lagrange ed equazioni
di Newton integrate dal principio di d'Alembert
[G2, §1.3, pagg. 17-19, osservazione 1.29 e teorema 1.30].
Calcolo delle forze vincolari [G2, §1.3, pag 20, osservazione 1.32].
Lezione 31 (27/04/2023)
Esempio di sistema lagrangiano: pendolo semplice [G2, esercizi 1.49 e 1.50].
Energia potenziale elastica ed energia
potenziale centrifuga [G2, esercizi 2.7 e 2.13].
Energia potenziale gravitazionale sulla superfice della Terra [G2, esercizio 2.12].
Lezione 32 (27/04/2023)
Forma generale della lagrangiana di un sistema meccanico conservativo soggetto a vincoli olonomi bilateri
[G2, lemma 2.2 ed esercizio 1.21].
Stabilità delle configurazioni di equilibrio di un sistema lagrangiano
[G2, §2.1, pagg. 73-79, definizione 2.5,
teorema 2.6 e corollario 2.10 - solo enunciato].
Configurazioni di equilibrio relativo
e pendolo semplice in un piano rotante
[G2, §2.1, pagg.79-81, definizione 2.15 ed esempio 2.16].
Lezione 33 (02/05/2023)
Variabili cicliche [G2, §2.2, pagg. 81-82, definizione 2.17, osservazione 2.18 e lemma 2.19].
Metodo di Routh
e applicazione ai moti centrali
[G2, §2.2, pagg. 82-84, teorema 2.20, definizione 2.21 ed esempio 2.23].
Lezione 34 (02/05/2023)
Ancora sul moto di rotolamento senza strisciamento: cilindro che rotola
su un piano orizzontale o su una superficie circolare
[G2, §esempio 1.34];
esempio di due dischi collegati da una molla che rotolano lungo due rette inclinate [G2, esercizio 2.45].
Lezione 35 (04/05/2023)
Gruppi a un parametro di diffeomorfismi e campi vettoriali
[G2, §3.1, pagg. 187-189, definizione 3.1, lemma 3.2, osservazione 3.4].
Sollevamemto di un gruppo a un parametro di diffeomrfismi [G2, §3.1, definizione 3.5].
Gruppi a un parametro di diffeomorfismi e momenti conservati
[G2, §3.1, pagg. 190-192, definizioni 3.9 e 3.14, e lemma 3.10.]
Esempi di diffeomeorfismi e campi vettoriali associati: traslazioni e rotazioni
[G2, esempi 3.12 e 3.13, ed esercizi 3.5, 3.6, 3.7 e 3.8].
Lagrangiana invariante sotto l'azione di un gruppo di diffeomorfismi
[G2, §3.1, pagg. 192-193, definizioni 3.16 e 3.18].
Teorema della scatola di flusso, senza dimostrazione [G1, teorema 4.82].
Lezione 36 (04/05/2023)
Teorema di Noether [G2, §3.1, pagg. 193-194, teorema 3.19 e osservazioni 3.20 e 3.21].
Teorema di Noether nel caso di più gruppi
di diffeomorfismi, [G2, §3.2, pagg. 196 e 207, introduzione e teorema 3.37 - senza dimostrazione].
Prodotto di Lie di campi vettoriali e legame
con la commutazione dei corrispondenti gruppi
di diffeomorfismi [G2, §3,2, pag. 198, teorema 3.29 - senza dimostrazione].
Esempio di sistemi invarianti per traslazioni lungo i tre assi:
conservazione della quantit` di moto [G2, esempio 3.42].
Prodotto di Lie di campi vettoriali lineari e commutatore delle matrici corrispondenti
[G2, pag. 208, esempio 3.39; pag. 217, esercizi 3.18, 3.19 e 3.20].
Lezione 37 (09/05/2023)
Esempio di sistemi invarianti per rotazioni intorno ai tre assi:
conservazione del momento angolare
e assenza di simmetrie intermedie
tra quella cilindrica e quella sferica
[G2, pag. 208, esempio 3.40 e osservazione 3.41; pag. 212, esercizio 3.7;
pag. 218, esercizio 3.21].
Esercizio sui sistemi lagrangiani - inizio [G2, pagg. 173-177, esercizio 2.64].
Lezione 38 (09/05/2023)
Esercizio sui sistemi lagrangiani - conclusione [G2, pagg. 173-177, esercizio 2.64].
Lezione 39 (11/05/2023)
Trasformata di Legendre in R
[G2, §6.1, pagg. 303-305, definizione 6.1, osservazione 6.2, esempi 6.3 e 6.4.
Esercizi sulla trasformata di Legendre [G2, esercizi 6.4, 6.5, 6.6, 6.9, 6.10 e 6.11].
Trasformata di Legendre in Rn
[G2, §6.1, pagg. 306-307].
Hamiltoniana, coordinate canoniche, spazio delle fasi
[G2, §6.1, pagg. 307-308, definizioni 6.7 e 6.9].
Equazioni di Hamilton e matrice simplettica standard
[G2, pag. 309, definizioni 6.12, 6.14, 6.15 e 61.6, e osservazioni 6.13 e 6.18].
Lezione 40 (11/05/2023)
Trasformazioni che conservano il volume e teorema di Liouville
[G2, §6.1, pagg. 310, definizione 6.1 e teorema 6.20 - senza dimostrazione].
Teorema del ritorno di Poincaré ed esperimento (o diavoletto) di Maxwell
[G2, §6.1, pagg. 311-314, teorema 6.22 e osservazione 6.24.]
Lezione 41 (16/05/2023)
Metodo di Routh nel formalismo hamiltoniano
[G2, §6.2, pagg. 314-315]. Secondo principio variazionale di Hamilton
G2, §6.3, pagg. 316-318].
Lezione 42 (16/05/2023)
Matrici simplettiche: definizione e proprietà
[G2, §7.1, pagg. 330-331, definizione 7.3, lemmi 7.5, 7.6, 7.7 e 7.8, e osservazione 7.9].
Determinante di una matrice simplettica [G2, §7.1, pagg. 331-332, teorema 7.11 - senza dimostrazione].
Trasformazioni canoniche, trasformazioni simplettiche e
trasformazioni che conservano la struttura canonica delle equazioni
[G2, §7.1, pagg. 333-335, definizioni 7.12, 7.15, 7.16 e 7.17, esempi 7.13 e 7.14, e osservazione 7.19].
Teorema: le trasformazioni canoniche conservano la struttura canonica delle equazioni
[G2, §:7.1, pagg. 333-335, teorema 7.20].
Teorema: una trasformazione è simplettica se e solo se conserva
la struttura canonica delle equazioni
con la stessa hamiltoniana
[G2, §:7.1, pag. 335, osservazione 7.21 e teorema 7.22 - senza dimsotrazione].
Lezione 43 (18/05/2023)
Esempi di trasformazioni canoniche [G2, §:7.1, osservazione 7.19 ed esercizio 7.11].
Caso dell'oscillatore armonico [G2, pag. 413, esercizio 7.93].
Parentesi di Poisson: definizione e proprietà
[G2, §7.2, pagg. 336-337, definizioni 7.23 e 7.30, e osservazione 7.26].
Criterio per verificare che una trasformazione è canonica
basato sulle parentesi di Poisson [G2, §7.2, pagg. 339-340, teorema 7.31].
Lezione 44 (18/05/2023)
Esercizi sulle trasformazioni canoniche [G2, pagg. 403-404, esercizi 7.71 e 7.73].
Differenziale a tempo bloccato e condizione di Lie
[G2, §7.4.1, definizioni 7.65 e 7.67, e osservazioni 7.66 e 7.68].
Criterio per verificare che una trasformazione è canonica
basato sulla condizione di Lie - inizio [G2, §7.4.1, pagg. 354-355, teorema 7.69].
Lezione 45 (23/05/2022)
Criterio per verificare che una trasformazione è canonica
basato sulla condizione di Lie - conclusione [G2, §7.4.1, pagg. 354-355, teorema 7.69].
Funzioni generatrici e procedimenti di prima specie
nel caso di trasformazioni indipendenti dal tempo [G2, §7.4.2, pagg. 359-360].
Funzioni generatrici e procedimenti di seconda specie
nel caso di trasformazioni indipendenti dal tempo [G2, §7.4.3, pagg. 360-361].
Altri procedimenti per generare trasformazioni canoniche
nel caso di trasformazioni indipendenti dal tempo [G2, §7.4.4, pagg. 361-362].
Lezione 46 (23/05/2023)
Esercizi sulle trasformazioni canoniche [G2, pagg. 403-404, esercizi 7.71, 7.72 e 7.73].
Trasformazione identità ed estensione di una trasformazione
di coordinate a una trasformazione canonica
[G2, §7.4.4, pagg. 363-364, teoremi 7.84 e 7.86, e osservazione 7.85].
Lezione 47 (25/05/2023)
Equazione di Hamilton-Jacobi; funzione principale di Hamilton;
funzione caratteristica di Hamilton [G2, §8.1, pagg. 429-433]
Equazione di Hamilton-Jacobi per un sistema meccanico conservativo unidimensionale
[G2, §8.1, pagg. 435-436].
Sisyemi hamiltoniani integrabili e sistemi hamiltoniani canonicamente integrabili [G2, §8.1, pag. 433].
Lezione 48 (25/05/2023)
Variabili azione-angolo in una dimensione [G2, §8.3, pagg. 440-442].
Variabili azione-angolo per l'oscillatore armonico [G2, §8.6.1, pag. 463]
Enunciato del teorema di Arnol'd-Liouville [G2, §8.3, pagg. 442-445, teorema 8.28 - enunciato,
osservazioni 8.29, 8.32 e 8.33, e definizione 8.34].
Procedimento di separazione di variabili e sistemi separabili [G2, §8.2, pagg.437-438].
Lezione 49 (01/06/2022)
Dimostrazione del teorema di Arnol'd-Liouville nel caso di sistemi separabili
[G2, §8.3, pagg. 443-444].
Esercizio sui sistemi separabili - inizio [G2, pagg. 499-501, esercizi 8.56 e 8.57].
Lezione 50 (01/06/2022)
Esercizio sui sistemi separabili - conclusione [G2, pagg. 499-501, esercizi 8.56 e 8.57].
7. Diario delle esercitazioni
7.1. Prima parte
Esercitazione 1 LC (24/02/2023)
Sistemi di equazioni lineari omogenee:
A.A. 2006/2007, tutorato II, esercizi 2 e 3 -
Testo e
Soluzioni.
Esercitazione 2 LC (24/02/2023)
Sistemi di equazioni lineari omogenee nel piano:
A.A. 2005/2006, tutorato II, esercizio 2 -
Testo e
Soluzione.
Esercitazione 3 LC (03/03/2023)
Sistemi di equazioni lineari omogenee:
A.A. 2005/2006, tutorato II, esercizio 1 -
Testo e
Soluzione.
Sistemi di equazioni lineari omogenee:
A.A. 2021/2022, prima prova d'esonero, esercizio 1 -
Testo.
Esercitazione 4 LC (03/03/2023)
Sistemi di equazioni lineari non omogenee: discussione della formula generale e
A.A. 2005/2006, tutorato II, esercizio 6 -
Testo e
Soluzione.
Sistemi di equazioni lineari non omogenee:
A.A. 2007/2008, tutorato II, esercizio 5 -
Testo e
Soluzione.
Esercitazione 5 LC (10/03/2023)
Sistemi unidimensionali: A.A. 2006/2007, tutorato VII, esercizio 1: prima parte -
Testo e
Soluzione.
Esercitazione 6 LC (10/03/2023)
Sistemi unidimensionali: A.A. 2006/2007, tutorato VII, esercizio 1: seconda parte -
Testo e
Soluzione.
Esercitazione 7 GG (17/03/2023)
Esercizo sull'analisi qualitativa dei sistemi unidimensionali: studio del piano delle fasi
[G1, pagg. 401-402, esercizio 6.34].
Esercitazione 8 GG (17/03/2023)
Esercizo sull'analisi qualitativa dei sistemi unidimensionali
[G1, pagg. 408-409, esercizio 6.47].
Esercitazione 9 GG (24/03/2023)
Esercizio sui moti centrali
[G1, pagg. 464-465, esercizio 7.27].
Esercitazione 10 GG (24/03/2023)
Esercizio sui moti centrali:
A.A. 2021/2022, prima prova di esonero, esercizio 4 (caso α ≥ 0) -
Testo.
Esercitazione 11 GG (31/03/2023)
Esercizio sui moti relativi e sul cambiamento di sistema di riferimento:
A.A. 2021/2022, primo appello, esercizio 2 -
Testo.
Esercitazione 12 GG (31/03/2023)
Esercizio sui moti relativi e sul cambiamento di sistema di riferimento:
A.A. 2020/2021, prima prova di esonero, esercizio 5 -
Testo.
Esercizio sui moto relativi e sul cambiamento di sistema di riferimento:
A.A. 2020/2021, secondo appello, esercizio 2 -
Testo.
Esercitazione 13 LC (05/04/2023)
Esercizio sui moti relativi e sul cambiamento di sistema di riferimento:
A.A. 2021/2022, prima prova di esonero, esercizio 5 -
Testo.
Esercitazione 14 LC (05/04/2023)
A.A. 2020/2021, prima prova di esonero, esercizio 4 -
Testo.
Esercitazione 15 LC (12/04/2023)
Esercizi di ricapitolazione: preparazione alla prima prova di esonero: esercizi 1 e 2 -
Testo.
Esercitazione 16 LC (12/04/2023)
Esercizi di ricapitolazione: preparazione alla prima prova di esonero: esercizi 4 e 5 -
Testo.
Esercitazione 17 LC (13/04/2023)
Esercizio sui sistemi relativi:
A.A. 2005/2006, Tutorato XI, esercizio 2 -
Testo e
Soluzione.
Esercizio sui sistemi relativi:
A.A. 2006/2007, Tutorato XI, esercizio 2 -
Testo e
Soluzione.
Esercitazione 18 LC (13/04/2023)
Esercizi di ricapitolazione: preparazione alla prima prova di esonero: esercizio 3 -
Testo.
Esercizio sui sistemi centrali:
A.A. 2007/2008, Tutorato X, esercizio 2 -
Testo e
Soluzione.
7.2. Seconda parte
Esercitazione 19 LC (28/04/2023)
Studio di un sistema lagrangiano - inizio: lagrangiana, equazioni di Eulero-Lagrange,
configurazioni di equilibrio [G2, §2.3, pagg. 84-90].
Esercitazione 20 LC (28/04/2023)
Studio di un sistema lagrangiano - continuazione:
calcolo delle forze vincolari e caso del piano rotante [G2, §2.3, pagg. 91-94].
Esercitazione 21 LC (05/05/2023)
Esercizio sui sistemi lagrangiani:
A.A. 2019/2020, Appello zero, esercizio 1 -
Testo.
Esercitazione 22 LC (05/05/2023)
Esercizio sui sistemi lagrangiani:
A.A. 2019/2020, Appello zero esercizio 4 -
Testo.
Esercizio sui sistemi lagrangiani:
A.A. 2019/2020, Appello I, esercizio 1 -
Testo.
Esercitazione 23 LC (12/05/2023)
Esercizio sui sistemi lagrangiani:
A.A. 2021/2022, Esonero 2, esercizio 1 -
Testo.
Esercitazione 24 LC (12/05/2023)
Esercizio sui sistemi lagrangiani:
A.A. 2021/2022, Esonero 2, esercizio 2 -
Testo.
Esercitazione 25 LC (19/05/2023)
Esercizio sui sistemi lagrangiani:
A.A. 2021/2022, Appello 1, esercizio 4 -
Testo.
Esercitazione 26 LC (19/05/2023)
Esercizio sulle trasformazioni canoniche:
A.A. 2021/2022, Esonero 2, esercizio 4 -
Testo.
Esercitazione 27 GG (24/05/2023)
Esercizio sui sistemi lagrangiani:
A.A. 2020/2021, Appello 1, esercizio 4 [G2, pagg. 168-169, esercizio 2.56] -
Testo.
Esercitazione 28 GG (24/05/2023)
Esercizio sulle trasformazioni canoniche:
A.A. 2020/2021, Esonero 2, esercizio 4 [G2, pag. 425, esercizio 7.105] -
Testo.
Esercizio sulle trasformazioni canoniche:
A.A. 2020/2021, Appello 1, esercizio 5 [G2, pag. 427, esercizio 7.108] -
Testo.
Esercitazione 29 LC (26/05/2023)
Esercizio sulle trasformazioni canoniche:
A.A. 2021/2022, Appello 2, esercizio 5 -
Testo.
Esercitazione 30 LC (26/05/2023)
Esercizio sulle trasformazioni canoniche:
A.A. 2021/2022, Appello 1, esercizio 5 -
Testo.
Esercitazione 31 GG (01/06/2023)
Esercizi di ricapitolazione: preparazione alla seconda prova di esonero, esercizi -
Testo.
Esercitazione 32 GG (01/06/2023)
Esercizi di ricapitolazione: preparazione alla seconda prova di esonero, esercizi -
Testo.
8. Diario delle attività di tutorato
Raccolta degli esercizi discussi durante le attività di tutorato nell'A.A. 2022-2023 in formato pdf
8.1. Prima parte
Tutorato 1-1 (28/02/2023)
Equazioni differenziali lineari omogenee e non omogenee ed espoenziali di matrici -
Testo e Soluzioni.
Tutorato 1-2 (28/02/2023)
Equazioni differenziali lineari omogenee e non omogenee ed espoenziali di matrici -
Testo e Soluzioni.
Tutorato 2-2 (07/03/2023)
Sistemi conservativi, flusso e periodo, punti di equilibrio e relazioni utili -
Testo e Soluzioni.
Tutorato 2-2 (07/03/2023)
Sistemi conservativi, flusso e periodo, punti di equilibrio e relazioni utili -
Testo e Soluzioni.
Tutorato 3-1 (14/03/2023)
Punti di equilibrio e sistemi meccanici unidimensionali -
Testo e Soluzioni.
Tutorato 3-2 (14/03/2023)
Punti di equilibrio e sistemi meccanici unidimensionali -
Testo e Soluzioni.
Tutorato 4-1 (21/03/2023)
Costanti del moto e sistemi meccanici unidimensionali -
Testo e Soluzioni.
Tutorato 4-2 (21/03/2023)
Costanti del moto e sistemi meccanici unidimensionali -
Testo e Soluzioni.
Tutorato 5-1 (28/03/2023)
Sistemi meccanici unidimensionali e moti centrali -
Testo e Soluzioni.
Tutorato 5-2 (28/03/2023)
Sistemi meccanici unidimensionali e moti centrali -
Testo e Soluzioni.
Tutorato 6-1 (04/04/2023)
Moti centrali e moti relativi - Testo e Soluzioni.
Tutorato 6-2 (04/04/2023)
Moti centrali e moti relativi - Testo e Soluzioni.
Tutorato 7-1 (14/04/2023)
Preparazione al primo esonero - Testo e Soluzioni.
Tutorato 7-2 (14/04/2023)
Preparazione al primo esonero - Testo e Soluzioni
8.2. Seconda parte
Tutorato 8-1 (02/05/2023)
Formalismo lagrangiano: Lagrangiana ed equazioni di Eulero-Lagrange
- Testo e Soluzioni.
Tutorato 8-2 (02/05/2023)
Formalismo lagrangiano: Lagrangiana ed equazioni di Eulero-Lagrange
- Testo e Soluzioni.
Tutorato 9-1 (09/05/2023)
Sistemi lagrangiani - Testo e Soluzioni.
Tutorato 9-2 (09/05/2023)
Sistemi lagrangiani - Testo e Soluzioni.
Tutorato 10-1 (16/05/2023)
Sistemi lagrangiani - Testo e Soluzioni.
Tutorato 10-2 (16/05/2023)
Sistemi lagrangiani - Testo e Soluzioni.
Tutorato 11-1 (23/05/2023)
Sistemi hamiltoniani e trasformazioni canoniche - Testo e Soluzioni.
Tutorato 11-2 (23/05/2023)
Sistemi hamiltoniani e trasformazioni canoniche - Testo e Soluzioni.
Tutorato 12-1 (30/05/2023)
Preparazione al secondo esonero -
Testo e Soluzioni.
Tutorato 12-2 (30/05/2023)
Preparazione al secondo esonero -
Testo e Soluzioni.
