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Anno Accademico 2023/2024 |
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Analisi Matematica per le Applicazioni (CdL in Ingegneria Meccanica)
Lezioni: Guido Gentile e Livia Corsi
1. Caratteristiche dell'insegnamento
Contenuto dell'insegnamento
Equazioni differenziali ordinarie: esistenza e unicità locale;
equazioni differenziali ordinarie lineari omogenee e non omogenee,
metodo di variazione delle costanti, sistemi di equazioni lineari;
esponenziale di una matrice; equazione di Bernoulli e di Eulero.
Funzioni di più variabili; continuità; derivate parziali;
massimi e minimi locali, matrice hessiana. Integrazione secondo Riemann;
integrali multipli.
Curve e integrali curvilinei. Superfici e integrali di superficie.
Teorema della divergenza e teorema del rotore.
I Semestre -
Crediti: 6 CFU -
TAF: a |
Testi consigliati
L'insegnamento si basa sui testi:
[BDG] Michiel Bertsch, Roberta Dal Passo, Lorenzo Giacomelli, Analisi matematica,
McGraw Hill, Milano, 2011 (seconda ed.);
[C] Pietro Caputo, Raccolta di esercizi di Analisi 2, disponibile
online;
[G] Guido Gentile, Introduzione ai sistemi dinamici - Volume 1.
Equazioni differenziali ordinarie, analisi qualitativa
e alcune applicazioni, Springer, Milano, 2021.
Un ulteriore testo a cui fare riferimento per gli esercizi è:
Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Esercitazioni di analisi matematica due - Volumi 1 e 2,
Zanichelli, Milano, 2017.
Modalità degli esami
L'esame consiste in una prova scritta, da svolgere in 3 ore, e in un colloquio orale, da svolgere
successivamente, dopo la
pubblicazione dei risultati della prova scritta.
La prova scritta prevede 6 esercizi, oltre a un esercizio preliminare,
articolato in 4 domande;
solo nel caso in cui almeno 3 risposte su 4 siano corrette
si procede alla valutazione del resto della
prova (cfr. i testi delle prove d'esame dell'
anno accademico 2022/2023 per la tipologia degli esercizi).
Il superamento della
prova scritta (con voto ≥18) consente di sostenere
il colloquio orale in un appello qualsiasi dello stesso anno accademico.
2. Orari
Orario delle lezioni: lunedì ore 16:00-18:00 (aula N1),
mercoledì ore 13:00-14:00 (aula N1),
venerdì ore 14:00-16:00 (aula N1).
Inizio delle lezioni: 25 settembre 2022 ore 16:00-18:00 -
Termine delle lezioni: 21 dicembre 2022 ore 16:00-18:00.
Le registrazioni delle lezioni sono disponibili su Teams.
Orario di ricevimento:
mercoledì ore 14:30-16:30 previo appuntamento (tramite e-mail o Teams).
3. Calendario degli esami
Le date degli esami sono riportate sulla pagina degli
appelli d'esame del
Dipartimento di Ingegneria Industriale, Elettronica e Meccanica.
4. Prove d'esame: testi e risultati
Appello I:
10 gennaio 2024
aula N1 ore 14:00-17:00 -
Testo -
Risultati.
Orali: 16 gennaio 2024 ore 10:00 aula N21 -
17 gennaio 2024 ore 10:00 aula N21 -
19 gennaio 2024 ore 10:00 aula N21.
Appello II: 31 gennaio 2024
aula N1 ore 14:00-17:00 -
Testo -
Risultati.
Orali: 5 febbraio 2024 ore 10:00 aula N6 -
6 febbraio 2024 ore 10:00 aula N6 -
8 febbraio 2024 ore 10:00 aula N6.
Appello III: 3 aprile 2024
aula N10 ore 14:00-17:00 -
Testo -
Risultati.
Orali: 17 aprile 2024 ore 10:00 aula N4 -
18 aprile 2024 ore 10:00 aula 80 (Dipartimento di Matematica e Fisica).
Appello IV: da fissare.
Appello V: da fissare.
Appello VI: da fissare.
5. Programma d'esame
Programma dell'insegnamento dell'A.A. 2023-2024 in formato pdf
1. Equazioni differenziali ordinarie
Equazioni differenziali del primo ordine.
Problema di Cauchy: teorema di esistenza e unicità locale.
Equazioni differenziali a variabili separabili.
Equazioni differenziali lineari del primo ordine.
Sistemi di equazioni diffrenziali lineari del primo ordine.
Equazioni differenziali lineari di qualsiasi ordine.
Soluzioni linearmente indipendenti e determinante wronskiano.
Metodo di variazione delle costanti.
Equazioni differenziali lineari
a coefficienti costanti e polinomio caratteristico.
Sistemi lineari del primo ordine a coefficienti costanti.
Soluzione in termini di esponenziale di una matrice.
Calcolo dell'esponenziale di una matrice nel caso di
matrici diagonalizzabili, nilpotenti e non diagonalizzabili.
Alcune equazioni differenziali ordinarie notevoli: equazione di Bernoulli e di Eulero.
2. Calcolo differenziale in più variabili
Norma e distanza in Rn. Funzioni continue,
punti estremali e teorema di Weierstrass. Derivate direzionali.
Derivate parziali e gradiente.
Funzioni di classe C1
e funzioni di classe C2.
Sviluppo di Taylor al primo ordine e piano tangente. Derivate successive e matrice hessiana.
Teorema di Schwarz. Derivazione di funzioni composte. Sviluppo di Taylor al secondo ordine.
Massimi e minimi locali.
Metodo dei moltiplicatori di Lagrange per massimi e minimi vincolati.
3. Calcolo integrale in più variabili
Integrazione secondo Riemann.
Integrazione di funzioni continue. Integrali doppi e integrali tripli.
Domini normali. Formula di riduzione.
Calcolo di aree e di volumi.
Cambiamento di variabili negli integrali
e matrice jacobiana. Coordinate polari, cilindriche e sferiche.
4. Curve e superfici
Curve in Rn: parametrizzazione, curve equivalenti, verso di una curva
e lunghezza di una curva.
Integrali curvilinei di una funzione (o di prima specie)
e integrali di una forma differenziale
(o di seconda specie).
Lavoro e integrali curvilinei di un campo vettoriale.
Superfici regolari in R3.
Area di una superficie.
Integrali su superfici.
Formula di Green. Teorema della divergenza e teorema del rotore nel piano e nello spazio.
6. Diario delle lezioni
Tutti i riferimenti si intendono ai testi [BDG], [C] e [G]; cfr. la voce Testi consigliati.
6.1. Prima parte: equazioni differenziali ordinarie
Lezione 1 GG (25/09/2023)
Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie: equazione di Newton
[BDG, Cap. 17, pag. 484].
Equazioni differenziali ordinarie di ordine n in forma normale [BDG, Cap. 17, pagg. 484-485].
Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine lineari omogenee
[BDG, Cap. 17, pag. 485].
Integrale generale di un'equazione lineare omogenea [BDG, Cap. 17, pag. 486].
Esistenza e unicità della soluzione con condizioni iniziali fissate [BDG, teorema 17.1].
Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine lineari non omogenee
ed equazioni omogenee associate
[BDG, Cap. 17, pag. 485].
Integrale generale dell'equazione differenziale ordinaria non omogenea
[BDG, Cap. 17, pag. 486 e teorema 17.2].
Lezione 2 GG (25/09/2023)
Metodo di variazione della costante per equazioni del primo ordine [BDG, pag. 487 e teorema 17.3].
Metodi ad hoc - Alcuni esempi illustrativi: prima parte [BDG, pagg. 487-489, esempi 17.3, 17.5 e 17.6].
Metodi ad hoc - Caso 1) y' = a y + Pn(x), dove Pn(x) è un polinomio di grado n:
una soluzione particolare si cerca nella forma
di un polinomio Qn(x) di grado n.
Metodi ad hoc - Caso 2) y'=a y + Aeλx:
una soluzione particolare si cerca nella forma αeλx
se a≠λ e nella forma xeλx se a=λ.
Metodi ad hoc - Caso 3) y'=a y + eλxPn(x),
dove Pn(x) è un polinomio di grado n:
una soluzione particolare si cerca
nella forma eλxQn(x)
se a≠λ e nella forma eλx x Qn(x)
se a=λ, dove, in entrambi i casi,
Qn(x) è un polinomio di grado n.
Lezione 3 GG (27/09/2023)
Metodi ad hoc - Caso 4) y'=a y + Acosμx +Bsinμx:
una soluzione particolare si cerca nella forma αsinμx +βsinμx.
Metodi ad hoc - Caso 5) y'=a y + An(x) cosμx +Bn(x) sinμx,
dove An(x) e Bn(x) sono polinomi di grado n:
una soluzione particolare si cerca nella forma
αn(x) cosμx +βn(x) sinμx,
dove αn(x) e βn(x) sono polinomi di grado n.
Equazioni lineari y'=a y + b(x), dove la funzione b(x) è data dalla somma
di funzioni della forma eλxPn(x),
An(x)sinμx e Bn(x)sinμx.
Metodi ad hoc - Alcuni esempi illustrativi: seconda parte [BDG, pagg. 489-490, esempi 17.7 e 17.8].
Lezione 4 LC (28/09/2023)
Esercizi sulle equazioni differenziali ordinarie lineari del primo ordine
[BDG, pag. 490, esercizio 17.1, a), b), c), d), e), f), g) e h)].
Lezione 5 LC (28/09/2023)
Esercizi sulle equazioni differenziali ordinarie lineari del primo ordine
[BDG, pag. 490, esercizio 17.2, a) e b)].
Lezione 6 GG (02/10/2023)
Equazioni del primo ordine a variabili separabili [BDG, pagg. 490-491].
Esempi di equazioni a variabili separabili [BDG, pagg. 491-494,
esempi 17.9, 17.10 e 17.11].
Lezione 7 GG (02/10/2023)
Funzioni localmente lipschitziane
[BDG, pag. 492, teorema 17.4].
Teorema di esistenza e unicità per il problema di Cauchy
per equazioni del primo ordine,
massimalità dell'intervallo e grafico della soluzione
[BDG, pagg. 492-494, teorema 17.4 e figura 17.3].
Equazioni lineari del primo ordine nel caso di
funzioni lipschitiziane non derivabili
[G, pag. 185, esercizio 3.34].
Lezione 8 GG (04/10/2023)
Esercizi sulle equazioni del primo ordine a variabili separabili [G, pagg. 182-183, esercizi 3.27 e 3.29].
Equazioni del primo ordine in Rn
ed equazioni di ordine n in R [BDG, pag. 496-497 e teorema 17.6].
Lezione 9 LC (05/10/2023)
Equazioni lineari del secondo ordine omogenee e non omogenee [BDG, pagg. 498].
Soluzioni linearmente indipendenti e determinante wronskiano [BDG, pagg. 498-499, definizione 17.8 e lemma 17.9].
Soluzione particolare e soluzione generale [BDG, 500, definizione 17.8, teorema 17.10].
Lezione 10 LC (05/10/2023)
Equazioni lineari del secondo ordine omogenee a coefficienti costanti:
equazione caratteristica e soluzione generale
[BDG, pagg. 500-501 e teorema 17.11].
Esercizi sulle equazioni lineari del secondo ordine omogenee a coefficienti costanti
[BDG, pag. 499, esempio 17.15].
Lezione 11 GG (09/10/2023)
Metodo di variazione delle costanti per costruire una soluzione particolare di un'equazione lineare
non omogenea del secondo ordine a coefficienti costanti [BDG, 502-503 ed esempio 17.16].
Lezione 12 GG (09/10/2023)
Metodi ad hoc per costruire una soluzione particolare di un'equazione lineare
non omogenea del secondo ordine
a coefficienti costanti:
(1) esempi illustrativi
[BDG, pagg. 503-505, esempi 17.17, a) e c), e 17.18].
Metodi ad hoc per costruire una soluzione particolare di un'equazione lineare
non omogenea del secondo ordine
a coefficienti costanti:
(2) ricerca della soluzione per
equazioni ay''+by'+cy =
eμx
(Pn(x) sinωx +
Qn(x) cosωx)
nella forma particolare
eμx
(An(x) sinωx +
Bn
(x) cosωx)
oppure
x eμx
(An(x) sinωx +
Bn(x) cosωx)
oppure
x2
eμx
(An(x) sinωx +
Bn(x) cosωx),
dove Pn(x), Qn(x),
An(x) e Bn(x)
sono polinomi di grado n [G, esercizi 2.43 e 2.44].
Esercizi sulle equazioni lineari non omogenee
[GBG, pag. 505, esercizio 17.6, equazioni g) e h)].
Lezione 13 GG (11/10/2023)
Esercizi sulle equazioni differenziali lineari del secondo ordine
[G, pag. 127, esercizio 2.48; C, esercizio 1.25,
con il metodo ad hoc].
Esercizio sulle equazioni a variabili separabili
[G, pag. 184, esercizio 3.33].
Lezione 14 GG (12/10/2023)
Esercizi di ricapitazione sulle equazioni differenziali
lineari del primo e del secondo ordine - prima parte
[Appello
V dell'A.A. 2022-2023, esercizi 1 e 3;
Appello III dell'A.A. 2022-2023, esercizi 1 (assegnato) e 3].
Lezione 15 GG (12/10/2023)
Esercizi di ricapitazione sulle equazioni differenziali
lineari del primo e del secondo ordine - seconda parte
[C, pag. 2, esercizio 1.2 e pag. 8, esercizio 1.13;
G, pag. 182, esercizio 3.24 (assegnato);
Appello
II dell'A.A. 2022-2023, esercizi 1 e 3.]
Lezione 16 GG (16/10/2023)
Equazioni differenziali lineari di ordine n omogenee:
problema di Cauchy, soluzione generale e matrice wronskiana [BDG, pagg. 506-507].
Equazioni differenziali lineari di ordine n non omogenee a coefficienti costanti:
soluzione particolare e soluzione generale [BDG, pag. 507].
Esercizio sulle equazioni differenziali linaeri non omogenee a coefficienti costanti
[BDG, pagg. 506-507, esempi 17.20, 17.21 e 17.22].
Lezione 17 GG (16/10/2023)
Sistemi di equazioni lineari omogenee del primo ordine:
riscrittura in forma vettoriale y' = A(x)y [BDG, pagg. 514-515].
Esponenziale di una matrice: definizione come serie assolutamente convergente
[G, pagg. 25-26, definizione 1.67 e proposizione 1.68].
Sistema di equazioni lineari a coefficienti costanti:
soluzione nella forma di un esponenziale di matrice [G, pag. 70, lemma 2.3].
Calcolo dell'esponenziale di una matrice diagonale
[G, pagg. 26-27, lemma 1.69, proprietà 4].
Calcolo dell'esponenziale di una matrice diagonalizzabile
[G, pagg. 26-28, lemma 1.69, proprietà 1 e osservazione 1.70].
Esercizio sulle equazioni differenziali del primo ordine
[G, pag. 182, esercizio 3.24 (cfr. la lezione 15).]
Lezione 18 GG (18/10/2023)
Esercizio sui sistemi di equazioni differenziali lineari
del primo ordine nel caso di matrici diagonalizzabili,
sia tramite il calcolo dell'esponenziale delle matrice sia
con il metodo ad hoc [BDG, pag. 517, esempio 17.29].
Calcolo dell'esponenziale di una matrice nilpotente
[G, pag. 29, osservazione 1.73].
Esercizio sui sistemi di equazioni differenziali lineari
del primo ordine nel caso
di matrici nilpotenti,
sia tramite il calcolo dell'esponenziale delle matrice sia
con il metodo ad hoc [BDG, pag. 518-19, esempio 17.31, inizio].
Lezione 19 GG (19/10/2022)
Calcolo dell'esponenziale di una matrice semisemplice
[G, pagg. 22, lemma 1.63, pag. 26, lemma 1.69, proprietà 5].
Esercizio sui sistemi di equazioni differenziali lineari del primo ordine
nel caso di matrici semisemplici
tramite il calcolo dell'esponenziale delle matrice,
sia sui complessi sia sui reali
[BDG, pag. 518-19, esempio 17.30].
Lezione 20 GG (19/10/2022)
Esercizio sui sistemi di equazioni differenziali lineari del primo ordine
nel caso di matrici semisemplici
con il metodo ad hoc [BDG, pag. 518-19, esempio 17.30].
Calcolo dell'esponenziale di una matrice non diagonalizzabile
[G, pag. 26, lemma 1.69, proprietà 2, e pag. 36, teorema 1.84].
Esercizio sui sistemi di equazioni differenziali lineari del primo ordine
nel caso di matrici non diagonalizzabili
sia tramite il calcolo dell'esponenziale delle matrice sia
con il metodo ad hoc [BDG, pag. 518-19, esempio 17.31, fine].
Lezione 21 GG (23/10/2023)
Esercizio sui sistemi di equazioni differenziali lineari del primo ordine
nel caso di matrici diagonalizzabili
[G, esercizio 2.30 sia tramite il calcolo dell'esponenziale
delle matrice sia con il metodo ad hoc].
Lezione 22 GG (23/10/2023)
Sistemi lineari omogenei nel caso in cui l'esponenziale della matrice si
possa calcolare a partire dalla definizione
[G, pag. 64, esercizio 1.53 e pag. 118, esercizio 2.30,
tramite il calcolo esplicito dell'esponenziale].
Equazioni di Eulero: teoria ed esercizi
[BDG, pagg. 509-510, esempio 17.26, ed esercizi 17.12
e 17.13 (assegnato)].
Esempio di equazione differenziale lineare del terzo ordine
[BDG, pag. 509, esercizio 17.10, equazione a) (assegnato)].
Lezione 23 GG (25/10/2023)
Equazione differenziale di Bernoulli: teoria ed esercizi
[G, pagg. 186-187, esercizi 3.38 e 3.40;
C, esercizi 1.18 e 1.20].
Lezione 24 LC (26/10/2023)
Oscillatore armonico in presenza di dissipazione
e di un'eventuale forzante [BDG, esercizio 18.8; G, esempi 2.19 e 2.31].
Esercizi sulle equazioni differenziali lineari del secondo ordine
[G, esercizio 2.46, con il metodo ad hoc].
Lezione 25 LC (26/10/2023)
Esercizi di ricapitazione sulle equazioni differenziali
lineari del primo e del secondo ordine - terza parte
[Appello
I dell'A.A. 2022-2023, esercizio 2;
Appello II dell'A.A. 2022-2023, esercizio 3].
Lezione 26 GG (30/10/2023)
Esercizi sulle equazioni differenziali ordinarie:
preparazione alla prima parte della prova d'esame scritta - inizio
(testo
e soluzioni).
Lezione 27 GG (30/10/2023)
Esercizi sulle equazioni differenziali:
preparazione alla prima parte della prova d'esame scritta - conclusione
(testo
e soluzioni).
Lezione 28 LC (02/10/2023)
Esercizi di ricapitazione sulle equazioni:
lineari del primo e del secondo ordine - quarta parte
[Appello
I dell'A.A. 2022-2023, esercizi 0.3 e 1;
Appello
II dell'A.A. 2022-2023, esercizio 1;
Appello
IV dell'A.A. 2022-2023, esercizio 3].
Lezione 29 LC (02/10/2023)
Esercizi di ricapitazione sulle equazioni differenziali
lineari del primo e del secondo ordine - quinta parte
[Appello
straordinario dell'A.A. 2022-2023, esercizio 2;
Appello
III dell'A.A. 2022-2023, esercizi 1 e 2;
Appello
V dell'A.A. 2022-2023, esercizi 1 e 2].
6.2. Seconda parte: calcolo differenziale in più variabili
Lezione 30 GG (06/11/2023)
Funzioni di più variabili [BDG, pagg. 303-304].
Dominio [BDG, pag. 305, definizione ed esempio 10.1].
Richiami su prodotto scalare, norma euclidea,
distanza, base canonica [BDG, pag. 306].
Intorni sferici; punti di accumulazione e punti isolati; punti interni, punti esterni e punti di frontiera;
interno di un insieme;
chiusura di un insieme; insiemi aperti e insiemi chiusi
[BDG, pagg. 307-308 ed esempio 10.3].
Lezione 31 GG (06/11/2023)
Elemento ∞ [BDG, §10.2.3, pag. 310].
Proprietà definizione di limite in Rn
[BDG, pag. 313].
Funzioni continue in Rn [BDG, pag. 314, definizione 10.9].
Punti di massimo e di minimo locale
[BDG, §10.3, pag. 313].
Insiemi chiusi, insiemi limitati e insiemi compatti in Rn [BDG, pag. 315].
Funzioni continue in insiemi compatti: teorema di Weierstrass [BDG, pag. 316, teorema 10.10].
Lezione 32 GG (08/11/2023)
Calcolo di limiti: osservazioni generali ed esempi
[BDG, pag. 313, esempio 10.8; pagg. 323, esempio 10.18].
Curve parametrizzate [BDG, §10.3.3, pagg. 316-317, definizione 10.14 ed esempi 10.10 e 10.11].
Studio del limite di forme indeterminate in Rn
[BDG, pagg. 319-320, esempio 10.14; pagg. 323-324, esempio 10.19].
Studio del limite per (x,y) → (0,0) delle funzioni
(x4+y4)/(x2+y4) e
y(x2+y2)/(x4+y2):
necessità di utilizzare curve parametrizzate.
Lezione 33 LC (09/11/2023)
Funzioni discontinue: esempi [BDG, §10.4.2, pag. 322, esercizio 10.15, a), b) e c)].
Calcolo di limiti attraverso l'uso di coordinate polari [BDG, pagg. 324-326,
ed esempio 10.20].
Lezione 34 LC (09/11/2023)
Limiti delle funzioni
(x4+y4)/(x2+y4) e
y(x2+y2)/(x4+y2)
utilizzando coordinate polari.
Rapporto incrementale, derivata direzionale, derivate parziali, gradiente
[BDG, §11.1, pagg. 328-331, definizioni 11.1 e 11.2].
Esempio di funzione di più variabili che ammette derivate parziali ma non è continua
[BDG, §11.2, esempio 11.6].
Lezione 35 GG (13/11/2023)
Derivabilità e differenziabilità di funzioni di più variabili [BDG, §11.2, pagg. 330-334, definizioni 11.2 e 11.3].
Esempi di funzioni derivabili ma non differenziabili
[BDG, §11.2, pagg. 332-333, esempi 11.5 e 11.6].
Implicazioni della differenziabilità sulla continuità e
derivabilità di una funzione [BDG, §11.2, teorema 11.4].
Teorema del differenziale totale e funzioni di classe C1
[BDG, teorema 11.5, definizione 11.6 e corollario 11.7].
Esempio di funzione differenziabile che non è di classe
C1: f(x) = x2sin(1/x)
[BDG, §11.2, pag. 337].
Lezione 36 GG (13/11/2023)
Derivate direzionali e derivate parziali del secondo ordine
[BDG, §11.3, pag. 341, definizioni ed esempio 11.13].
Funzioni due volte differenziabili e teorema di Schwarz
[BDG, §11.3, pagg. 341-342, e teorema 11.11].
Polinomio di Taylor al secondo ordine: derivazione
[BDG, §11.4, pagg. 343-345, teorema 11.12 ed esempio 11.16].
Lezione 37 GG (15/11/2023)
Punti critici (o stazionari) e punti estremali (o di estremo)
[BDG, §11.6, pag. 350, definizione 11.22 e teorema 11.23].
Punti di sella di una funzione
[BDG, §11.6, pag. 350, definizione 11.24 ed esempio 11.21].
Matrice hessiana e forma quadratica associata
[BDG, §11.3, pagg. 342-343].
Criterio per la determinazione dei punti di minimo e di massimo forte
e dei punti di sella
tramite lo studio della matrice hessiana
[BDG, §11.6, pag. 351, teorema 11.25 e corollario 11.26].
Studio dei punti estremali liberi di una funzione
[BDG, §11.6, pagg. 351-352, esempio 11.23].
Lezione 38 GG (16/11/2023)
Esercizi sui limiti di funzioni di più variabili
[BDG, §10.4.1, pagg. 319-320, esercizio 10.14;
§10.4.3, pagg. 323-324, esempio 10.19
e pag. 326, esercizio 10.16, a), e), f), e g)].
Massimi e minimi di funzioni di due variabili in insiemi compatti:
schema generale [BDG, §13.3.1, pag. 401].
Lezione 39 GG (16/11/2023)
Punti estremali vincolati [BDG, §13.2.3, pagg.398-399, definizione 13.9
e teorema 13.10].
Studio dei punti estremali vincolati di una funzione: metodo diretto
[BDG, §13.2.2,
pagg. 396-397, esempi 13.8 e 13.9; §13.3.1, pag. 402, esempi 13.12 e 13.13].
Lezione 40 GG (20/11/2023)
Studio dei punti estremali vincolati di una funzione: metodo dei
moltiplicatori di Lagrange [BDG, §13.2.3, pag. 399, teorema 13.11].
Calcolo degli estremi vincolati con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange
[BDG, §13.2.3, pagg. 399-400, esempio 13.11].
Lezione 41 GG (20/11/2023)
Esercizi sul calcolo degli estremi vincolati di funzioni di due variabili
[C, esercizio 2.6, con il metodo diretto e con
il metodo dei moltiplicatori di Lagrange;
BDG, §13.2.3, pag. 401, esercizio 13.8, e); pag. 406, esercizio 13.11, a)].
6.3. Terza parte: calcolo integrale in più variabili
Lezione 42 GG (22/11/2023)
Richiami sull'integrazione di una funzione di una variabile e integrali doppi su rettangoli [BDG, §14.1, pag. 414].
Suddivisioni di rettangoli, somme superiori e somme inferiori [BDG, §14.1, pag. 414, definizione 14.1].
Funzioni integrabili secondo Riemann in un rettangolo [BDG, §14.1, pag. 414, definizione 14.2].
Integrabilità in un rettangolo delle funzioni continue [BDG, § 14.1, pag. 415, teorema 14.4].
Proprietà delle funzioni integrabili in rettangoli [§ 14.1, pag. 415, teorema 14.5].
Formula di riduzione per integrali doppi su rettangoli [BDG, § 14.1, pag. 415-416, teorema 14.6 ed esempi 14.2 e 14.4]
Lezione 43 GG (23/11/2023)
Domini semplici (o normali) rispetto all'asse x e rispetto all'asse y
[BDG, §14.2.1, pagg. 420-421, definizione 14.16 ed esempio 14.5].
Formule di riduzione per integrali doppi su domini semplici
[BDG, §14.2.1, pagg. 422-423, teorema 14.17 ed esempio 14.6].
Integrali su domini che si decompongono come unione di domini semplici
[BDG, §14.2.1, pag, 424, teorema 14.18 ed esempio 14.9].
Lezione 44 GG (23/11/2023)
Esercizi sugli integrali doppi su domini semplici [BDG, §14.2.1,
pagg. 425-426, esercizio 14.5, f) (assegnato), i) e h)].
Lezione 45 GG (27/11/2023)
Cambiamento di coordinate in R2, matrice jacobiana
e formula di cambiamento di variabili per gli integrali doppi
[BDG, §14.3, pagg. 426-428, introduzione, formula (14.15) e teorema 14.19].
Coordinate polari per il calcolo di integrali
[BDG, §14.3, pagg. 428-430,
corollario 14.20, esempio 14.12 ed esercizio14.8, c)].
Lezione 46 GG (27/11/2023)
Altri cambiamenti di variabili per gli integrali doppi
[BDG, §14.3, pagg. 426-428, esempi 14.16, 14.17 e 14.20].
Integrali tripli su parallelepipedi [BDG, §14.5, pagg. 440-441].
Formule di riduzione per integrali tripli su parallelepipedi
[BDG, §14.5.1, pag. 442, teorema 14.26 ed esempio 14.28].
Lezione 47 GG (29/11/2023)
Domini semplici e formule di riduzione per fili
[BDG, §14.5.1, pagg. 443-444, teorema 14.27 ed esempio 14.29].
Formule di riduzione per strati
[BDG, §14.5.1, pagg. 443-444, teorema 14.28 ed esempio 14.30].
Cambiamento di coordinate in R3,
matrice jacobiana e
formula di cambiamento di coordinate per gli integrali tripli
[BDG, §14.5.2, pag. 446].
Coordinate sferiche [BDG, §14.5.2, pagg. 448-450,
formule ed esempio 14.38].
Lezione 48 GG (30/11/2023)
Coordinate cilindriche [BDG, §14.5.2, pagg. 446-447,
formule ed esempio 14.34].
Calcolo del volume di un insieme in R3
[BDG, §14.5.2, pagg. 449-450, esempio 14.37; C, pagg. 43-44, esercizio 4.4].
Lezione 49 GG (30/11/2023)
Calcolo dell'area di un insieme in R2
[C, pag. 49, esercizio 3.9].
Esercizi sul cambiamento di coordinate per gli integrali tripli
[C, pagg. 46-47, esercizio 4.8].
Esercizi sugli integrali multipli [BDG, §14.5.2, pag. 448, esempio 14.35].
6.4. Quarta parte: curve e superfici
Lezione 50 GG (04/12/2023)
Curve in Rn: chiuse, semplici, piane,
orientate e di Jordan
[BDG, §12.1, pagg. 358-359, definizioni 12.1 e 12.2, esempio 12.1].
Curve cartesiane e grafici di funzioni [BDG, §12.1, pag. 358].
Velocità e retta tangente a una curva
[BDG, §12.1, definizioni 12.3 e 12.5, e teorema 12.4].
Cambiamento di parametrizzazione
e curve equivalenti
[BDG, §12.1.1, pagg. 361-362, definizione 12.6 ed esempio 12.4;
G, §9.9, pag. 561, esercizio 9.4].
Integrali di funzioni vettoriali [BDG, §12.1.2, pag. 362,
definizione 12.7 e teorema 12.8].
Lezione 51 GG (04/12/2023)
Lunghezza di una curva [BDG, §12.2, pagg. 363-365,
definizione 12.9 e teoremi 12.10 e 12.11].
Lunghezza della circonferenza.
Altri esempi: asteroide ed elica [BDG, §12.2, esempio 12.6].
Lunghezza di una curva cartesiana [BDG, §12.2, pag. 365,
formula (12.5), esempio 12.7 ed esercizio 12.4, a)].
Integrali curvilinei di prima specie [BDG, §12.3, pagg. 367-368,
definizione 12.12, ed esercizio 12.7, a) e b)].
Lezione 52 GG (06/12/2023)
Forme differenziali e integrali curvilinei di seconda specie
[BDG, §12.4, pagg. 368-370, definizione 12.13, teorema 12.14,
ed esempi 12.11, 12.12 e 12.13].
Forme differenziali esatte e funzioni potenziali
[BDG, §12.4.1, pag. 371-372,
definizione 12.15, e teoremi 12.16 e 12.17].
Forme differenziali chiuse
[BDG, §12.4.1, pagg. 372-373,
definizione 12.18].
Campi di forze, lavoro e campi di forze conservativi
[BDG, cap. 12, pag. 357, pag. 369, pag. 370, pag. 372].
Relazione tra forme differenziali esatte e chiuse - prima parte
[BDG, §12.4.1, pag. 373, esempio 12.15; pag. 376, esercizio 12.9, a)].
Lezione 53 LC (07/12/2023)
Rotori e campi irrotazionali [BDG, §12.4.1, pagg. 373-375].
Costruzione della funzione potenziale
[BDG, §12.4.1,
esempi 12.16 e 12.17]. Curve omotope [BDG, §12.4.2, pag. 377,
definizione 12.19]. Insiemi semplicemente connessi
[BDG, §12.4.2, pagg. 377-378, definizione 12.20 e figura 12.12].
Relazioni tra forme differenziali
esatte e chiuse - seconda parte
[BDG, §12.4.2, pagg. 378-379, teoremi 12.21 e 12.22].
Lezione 54 LC (07/12/2023)
Esercizi sugli integrali curvilinei di seconda specie:
[Appello
III dell'A.A. 2022-2023, esercizio 6;
Appello
IV dell'A.A. 2022-2023, esercizio 6;
Appello
V dell'A.A. 2022-2023, esercizio 6].
Lezione 55 LC (11/12/2023)
Superfici in R3, paraboloide, sfera, toro
[BDG, §15.1, pagg. 453-454, definizione 15.1, ed esempi 15.1 e 15.2, c)].
Piano tangente a una superficie [BDG, §15.1, pagg. 455-456,
definizione 15.3 ed esempio 15.4, a) e b)].
Area di una superficie [BDG, §15.2, pagg. 458-459,
definizione 15.5, ed esempi 15.6 e 15.7].
Lezione 56 LC (11/12/2023)
Integrali di superficie [BDG, §15.2, pag. 459,
definizione 15.6, esempio 15.8].
Divergenza e rotore in R2
e in R3
[BDG, §16.1, pagg. 468-470, definizioni ed esempi all'inizio].
Formula di Green per domini semplici
[BDG, §16.2, pagg. 471-472, teorema 16.1 ed esempio 16.1].
Lezione 57 GG (13/12/2023)
Formula di Green per domini regolari a tratti nel piano
[BDG, §16.2, pagg. 472-473, definizione 16.2 e teorema 16.3].
Calcolo dell'area di un dominio attraverso la formula di Green
[BDG, §16.2, pag. 474, corollario 16.4 ed esempio 16.2].
Versore tangente e normale esterna a un dominio nel piano [BDG, §16.3, pag. 474].
Teorema della divergenza nel piano
[BDG, §16.2, pag. 475,
teorema 16.5 ed esempio 16.3].
Teorema del rotore nel piano [BDG, §16.2, pagg. 475-476, teorema 16.6].
Lezione 58 LC (14/12/2023)
Domini regolari a tratti nello spazio e
teorema della divergenza nello spazio [BDG, §16.3, definizione 16.7 e teorema 16.8].
Teorema del rotore nello spazio [BDG, §16.4, pagg. 480-481,
teorema 16.9 ed esempio 16.8].
Lezione 59 LC (14/12/2023)
Esercizi sugli integrali di superficie
[BDG, §16.3, pag. 480, esercizio 16.5, a) e b);
§16.4, pag. 481, esercizio 16.6].
Lezione 60 GG (18/12/2023)
Esercizi di ricapitolazione:
preparazione alla seconda parte della prova d'esame scritta - inizio
(testo).
Lezione 61 GG (18/12/2023)
Esercizi di ricapitolazione:
preparazione alla seconda parte della prova d'esame scritta - conclusione
(testo).
Lezione 62 LC (21/12/2023)
Esercizi di ricapitolazione:
preparazione alla seconda parte della prova d'esame scritta - inizio
(testo).
Lezione 63 LC (21/12/2023)
Esercizi di ricapitolazione:
preparazione alla seconda parte della prova d'esame scritta - conclusione
(testo).
