FM210 A.A. 2023/2024

Anno Accademico 2023/2024

FM210 - Meccanica Analitica (CdL in Matematica)
Meccanica Analitica (CdL in Fisica)

Lezioni: Guido Gentile
Esercitazioni: Livia Corsi
Tutorato: Lorenzo De Leonardis e Laura Fagotto

1. Caratteristiche dell'insegnamento

Contenuto dell'insegnamento
Sistemi meccanici conservativi. Analisi qualitativa del moto e stabilità secondo Ljapunov. Sistemi unidimensionali.
Moti centrali e problema dei due corpi. Cambiamento di sistemi di riferimento. Forze apparenti. Vincoli. Sistemi rigidi.
Meccanica lagrangiana. Principi variazionali. Variabili cicliche, costanti del moto e simmetrie.
Meccanica hamiltoniana. Teorema di Liouville e teorema del ritorno di Poincaré.
Trasformazioni canoniche. Funzioni generatrici. Metodo di Hamilton-Jacobi e variabili azione-angolo.
II Semestre - Crediti: 9 CFU (Matematica) - 9 CFU (Fisica) - TAF: b (Matematica) - b (Fisica)
Testi consigliati
L'insegnamento si basa sui testi:
[G1] Guido Gentile, Introduzione ai sistemi dinamici - Volume 1. Equazioni differenziali ordinarie, analisi qualitativa e alcune applicazioni, Springer, Milano, 2021;
[G2] Guido Gentile, Introduzione ai sistemi dinamici - Volume 2. Formalismo lagrangiano e hamiltoniano, Springer, Milano, 2022.
Per un elenco di esercizi, oltre ai testi sopra indicati, si vedano anche il diario delle esercitazioni, il diario delle attività di tutorato
e la raccolta di esercizi svolti a cura di Valerio Brunetti, nonché il diario delle esercitazioni, il diario delle attività di tutorato,
i testi delle prove di esonero e i testi delle prove di esame degli anni accademici precedenti.
Le registrazioni delle lezioni sono disponibili su Teams.
Modalità degli esami
L'esame consiste in una prova scritta, eventualmente sostituita da due prove di esonero in itinere, e in un successivo colloquio orale,
in cui lo studente dovrà discutere gli argomenti trattati a lezione (cfr. diario delle lezioni o il programma d'esame).

2. Orari

Lezioni: martedì ore 14:00-16:00 (aula M3) e mercoledì ore 11:00-13:00 (aula M3).
Inizio delle lezioni: martedì 20 febbraio 2024 - Termine previsto delle lezioni: mercoledì 29 maggio 2024.
Esercitazioni (didattica integrativa): giovedì ore 14:00-16:00 (aula M3).
Inizio delle esercitazioni: mercoledì 21 febbraio 2024 - Termine previsto delle esercitazioni: giovedì 30 maggio 2024.
Tutorato: venerdì ore 16:00-18:00 (aula M2) - Cambi di orario: giovedì 29 febbraio in aula M2 invece di venerdì 1 marzo;
giovedì 14 marzo in aula M2 invece di venerdì 15 marzo; lunedì 15 aprile in aula M1 invece di venerdì 12 aprile.
Inizio delle attività di tutorato: venerdì 29 febbraio 2024.
Orario di ricevimento: per appuntamento (tramite email o Teams)

3. Calendario degli esami

Esoneri: Le date degli esoneri sono riportate sulla pagina del calendario degli esoneri dei CdS in Matematica e del CdL in Fisica.
Esami: Le date degli esami sono riportate sulla pagina del calendario degli esami dei CdS in Matematica e del CdL in Fisica.

4. Prove d'esonero e prove d'esame

4.1. Prove di esonero
Prima prova di esonero: 16 aprile 2024 - ore 14:00 - Aula M1 (prenotazione su GOMP entro il 12 aprile) - Testo.
Seconda prova di esonero: 5 giugno 2024 - ore 11:00 - Aula M1 (prenotazione su GOMP entro il 30 maggio).

4.2. Prove di esame
Appello I: 18 giugno 2024 - Aula M1 - ore 14:00.
Appello II: 02 luglio 2024 - Aula M1 - ore 14:00.
Appello III: 6 settembre 2024 - Aula M3 - ore 14:00.
Appello IV: 27 gennaio 2025 - Aula M1 - ore 14:00.
Appello V (solo per il CdL in Fisica): da fissare.

5. Programma d'esame

Programma dell'insegnamento dell'A.A. 2023-2024 in formato pdf

1. Equazioni differenziali ordinarie e sistemi dinamici
Richiami sulle equazioni differenziali ordinarie: equazioni del primo ordine; problema di Cauchy, teorema di esistenza e unicità;
dipendenza continua dai dati iniziali; dipendenza differenziabile dai dati iniziali; prolungamenti ed esistenza di una soluzione massimale;
teorema del prolungamento e suo corollario. Equazioni di ordine qualsiasi, equazioni in forma normale, equazioni autonome e non autonome:
equazioni lineari e soluzioni in termini di esponenziali di matrici. Sistemi dinamici: traiettorie, orbite, flussi, traiettorie periodiche,
insiemi invarianti, derivata sostanziale, costanti del moto. Sistemi meccanici e sistemi meccanici conservativi; legge di Newton.
2. Analisi qualitativa e stabilità
Sistemi dinamici lineari planari: analisi qualitativa, pozzi, sorgenti, centri e moti a spirale. Stabilità secondo Ljapunov. Punti di equilibrio:
stabili, asintoticamente stabili, attrattivi e instabili. Sistemi dinamici linearizzati. Teoremi di stabilità nel caso di sistemi conservativi:
teoremi che si riconducono allo studio del sistema linearizzato (senza dimostrazione), teorema di Ljapunov (dimostrazione della stabilità),
teorema di Lagrange-Dirichlet. Sistemi meccanici conservativi unidimensionali: conservazione dell'energia e curve di livello.
Moti periodici e moti asintotici. Separatrici, traiettorie omocline e traiettorie eterocline. L'oscillatore armonico e il pendolo semplice.
Periodo come integrale definito e stima del periodo. Piccole oscillazioni per sistemi meccanici unidimensionali.
3. Moti centrali
Forze centrali. Problema dei due corpi. Moti centrali. Conservatività delle forze centrali.
Conservazione del momento angolare per le forze centrali. Moto radiale e moto angolare.
Condizioni di periodicità del moto. Teorema di Bertrand (senza dimostrazione).
Campo centrale armonico e campo centrale coulombiano: equazioni delle orbite. Velocità areolare. Leggi di Keplero.
4. Moti relativi
Sistemi di riferimento fissi e sistemi di riferimento mobili, trasformazioni rigide, traslazioni e rotazioni, matrici ortogonali.
Rotazione intorno a un asse. Richiami sul prodotto vettoriale: matrici ortogonali e prodotti vettoriali. Velocità angolare.
Legge di trasformazione delle velocità. Forze d'inerzia: forza inerziale di traslazione, forza inerziale di rotazione, forza centrifuga, forza di Coriolis.
Effetti della forza centrifuga sull'accelerazione di gravità, pendolo di Foucault nell'approssimazione lineare.
5. Vincoli e sistemi rigidi
Sistemi vincolati. Vincoli olonomi bilateri e superfici di vincolo. Principio di d'Alembert. Moltiplicatori di Lagrange.
Derivazione delle equazioni del pendolo semplice usando i moltiplicatori di Lagrange.
Sistemi rigidi discreti e continui: definizione e proprietà, spazio delle configurazioni dei sistemi rigidi. Velocità dei punti di un sistema rigido.
Caratteristiche cinematiche dei sistemi rigidi: quantità: di moto, momento angolare, energia cinetica, teorema di König.
Principio di d'Alembert ed equazioni cardinali della dinamica. Operatore d'inerzia, momenti d'inerzia, momenti principali d'inerzia, assi d'inerzia.
Moto di rotolamento senza strisciamento.
6. Meccanica lagrangiana
Lagrangiana e funzionale d'azione. Equazioni di Eulero-Lagrange. Primo principio variazionale di Hamilton.
Equazioni di Newton ed equazioni di Eulero-Lagrange per sistemi meccanici conservativi. Lagrangiana per sistemi vincolati.
Equazioni di Newton integrate dal principio di d'Alembert ed equazioni di Eulero-Lagrange per sistemi meccanici conservativi vincolati.
Equazioni del moto per il pendolo semplice, nel formalismo lagrangiano e mediante l'uso dei moltiplicatori di Lagrange. Calcolo delle reazioni vincolari.
7. Simmetrie e costanti del moto
Variabili cicliche e metodo di Routh. Applicazione al problema dei due corpi. Gruppi a un parametro di diffeomorfismi.
Trasformazioni di coordinate e loro sollevamenti. Campi vettoriali, momenti associati ai campi vettoriali e momenti coniugati.
Sistemi invarianti sotto l'azione di un gruppo a un parametro. Teorema di Noether. Sistemi invarianti per traslazione e sistemi invarianti per rotazione.
Cenni sui sistemi invarianti sotto l'azione di più gruppi a un parametro: gruppi commutanti ed estensione del teorema di Noether (senza dimostrazione).
8. Meccanica hamiltoniana
Spazio delle fasi. Trasformata di Legendre. Hamiltoniana ed equazioni di Hamilton. Metodo di Routh nel formalismo hamiltoniano.
Secondo principio variazionale di Hamilton. Campo vettoriale hamiltoniano. Campi a divergenza nulla.
Teorema di Liouville (senza dimostrazione). Teorema del ritorno di Poincaré. Esperimento di Maxwell.
9. Trasformazioni canoniche
Trasformazioni di coordinate nello spazio delle fasi. Matrici simplettiche. Trasformazioni che conservano la struttura canonica delle equazioni.
Trasformazioni canoniche. Trasformazioni simplettiche. Parentesi di Poisson e loro proprietà.
Paraentesi di Poisson fondamentali. Criterio per riconoscere una trasformazione canonica sulla base delle parentesi di Poisson fondamentali.
Richiami sulle forme differenziali esatte e chiuse. Differenziale a tempo bloccato. Condizione di Lie.
Criterio per riconoscere una trasformazione canonica sulla base della condizione di Lie.
10. Funzioni generatrici e metodo di Hamilton-Jacobi
Funzioni generatrici indipendenti e dipendenti dal tempo. Funzioni generatrici di prima e seconda specie.
Sollevamento di una trasformazione di coordinate a una trasformazione simplettica. Equazione di Hamilton-Jacobi.
Integrale generale e integrale completo. Funzione principale di Hamilton. Funzione caratteristica di Hamilton.
Sistemi separabili. Variabili azione-angolo per sistemi unidimensionali. Variabili azione-angolo per sistemi a più dimensioni:
teorema di Liouville-Arnol'd (senza dimostrazione), caso dei sistemi separabili, sistemi integrabili.

6. Diario delle lezioni

Tutti i riferimenti si intendono ai testi [G1] e [G2] (cfr. sopra, alla voce Testi consigliati).

6.1. Prima parte
Lezione 1 (20/02/2024)
Richiami sulle equazioni differenziali ordinarie (solo enunciati) - Parte 1 [G1, §§3.1 e 3.2]: equazioni del primo ordine [G1, pagg. 132-133, definizione 3.6];
soluzione e problema di Cauchy [G1, pagg. 133-135, definizioni 3.7 e 3.14]: funzioni lipschitziane e localmente lipschitziane [G1, pag. 135, definizione 3.15,
lemma 3.18, esercizio 3.34]; teorema di esistenza e unicità [G1, pag. 143, teorema 3.29], controesempio di non unicità [G1, pagg. 145-146, esempio 3.36].
Lezione 2 (20/02/2024)
Richiami sulle equazioni differenziali ordinarie (solo enunciati) - Parte 2 [G1, §§3.3 e 3.5]: prolungamenti e soluzioni massimali [G1, pagg. 151-152,
definizioni 3.48 e 3.49, ed esempio 3.47]; esistenza di una soluzione massimale [G1, pag. 152, teorema 3.52,]; teorema del prolungamento e sue implicazioni
[G1, pagg. 156-157, teorema 3.58; pag. 157, corollario 3.59]; equazioni del secondo ordine: moto di un punto materiale sotto l'azione della forza di gravità.
Lezione 3 (21/02/2024)
Richiami sulle equazioni differenziali ordinarie (solo enunciati) - Parte 3 [G1, §§3.1, 3.2, 3.4 e 3.5]: regolarità nel tempo della soluzione [G1, pag.142,
osservazione 3.25 e proposizione 3.26], teoremi di dipendenza (continua e differenziabile) dai dati iniziali [G1, pagg. 147 e 149, teoremi 3.39 e 3.44];
equazioni di ordine qualsiasi [G1, pagg. 163-164, §3.5], equazioni a variabili separabili [G1, §3.4 ed]. Definizione di sistema dinamico [G1, pag. 130,
definizione 3.1]. Corrispondenza tra sistemi dinamici ed equazioni differenziali ordinarie [G1, §3.1.3, pag. 143; §3.1.1 e osservazione 3.5].
Lezione 4 (21/02/2024)
Curve e vettori tangenti a una curva [G1, pag. 132, osservazione 3.5]. Criterio per ottenere le curve descritte dalle soluzioni a partire dal campo vettoriale:
esempio del punto materiale sotto l'azione della forza di gravità. Esponenziale di una matrice (solo enunciati) [G1, §1.3]: definizione e proprietà
[G1, pagg. 25-26, definizione 1.6 e proposizione 1.68. Soluzione di un sistema di equazioni lineari omogeneee del primo ordine [G1, pag. 70, lemma 2.3].
Calcolo dell'esponenziale di una matrice: caso di matrici diagonali e di matrici diagonalizzabili [G1, pag. 26, lemma 1.69, proprietà 1 e 4].
Caso di matrici nilpotenti [G1, pagg. 28-29, definizione 1.71 e osservazione 1.73]. Caso di matrici non diagonalizzabili [G1, pagg. 36, teorema 1.84].
Espressione generale della soluzione di un sistema di equazioni differenziali ordinarie lineari [G1, §2.3, pag. 80, teorema 2.9].
Lezione 5 (27/02/2024)
Sistemi dinamici planari: analisi qualitativa [G1, §2.2]. Autovalori reali distinti: nodi propri, pozzi e sorgenti, punti di sella [G1, §2.2.1, pagg. 74-75].
Autovalori reali coincidenti - Parte 1 (matrice diagonalizzabile): nodi propri, pozzi e sorgenti [G1, §2.2.3 pagg.77-78].
Autovalori reali coincidenti - Parte 2 (matrice non diagonalizzabile): nodi impropri, pozzi e sorgenti [G1, §2.2.4, pagg. 78-79].
Lezione 6 (27/02/2024)
Autovalori complessi coniugati: centri e moti a spirale, studio del sistema utilizzando coordinate polari [G1, §1.2, Lemma 1.63, e osservazione 1.64;
§2.2.2, pagg. 76-77]. Traiettorie, orbite e flussi di un sistema dinamico [G1, pagg. 133-134]. Studio di una funzione lungi una raiettoria: derivata sostanziale
o derivata totale rispetto al tempo [G1, §4.1 pag. 191]. Costanti del moto o integrali primi [G1, §4.1 pag. 191]. Discussione dell'oscillatore armonico.
Lezione 7 (28/02/2024)
Legge di Newton, sistemi meccanici, sistemi meccanici conservativi e sistemi meccanici conservativi generalizzati, energia cinetica, energia potenziale,
energia totale, conservazione dell'energia [G1, pagg. 199-202, definizioni 4.28, 4.31 e 4.34, osservazioni 4.29, 4.30, 4.32 e 4.33, esercizio 4.11].
Lezione 8 (28/02/2024)
Stabilità secondo Ljapunov: punto di equilibrio [G1, pag. 192, definizione 4.7]. Punti di equilibrio stabili, instabili, attrattivi e asintoticamente stabili
[G1, pag. 192, definizione 4.10]. Studio della stabilità dell'origine per sistemi dinamici planari [G1, pag. 238, esercizio 4.29].
Esempio di un punto di equilibrio che è attrattivo ma non stabile [G1, pag. 193, osservazione 4.11].
Assenza di punti di equilibrio asintoticamente stabili in sistemi che ammettono una costante del moto [G1, pagg. 260-261, teorema 5.19].
Linearizzazione: definizione di sistema linearizzato associato a un sistema dinamico [G1, pag. 202, definizione 4.37].
Linearizzazione: stabilità nel caso in cui gli autovalori abbiano tutti parte reale negativa, senza dimostrazione [G1, pag. 205, teorema 4.41].
Linearizzazione: stabilità nel caso in cui almeno un autovalore abbia parte reale positiva, senza dimostrazione [G1, pag. 207, teorema 4.43].
Esempio di sistema dinamico in cui l'analisi lineare non dà informazioni sulla stabilità [G1, pag. 209, esempio 4.45].
Lezione 9 (05/03/2024)
Teorema di Ljapunov, con dimostrazione solo della stabilità [G1, teorema 4.56]. Teorema di Lagrange-Dirichlet [G1, pag. 218, teorema 4.68,
osservazione 4.70, esercizi 4.33 e 4.34]. Moto sulle curve di livello della costante del moto nel caso di sistemi planari [G1, §4.1, pag. 192;
§5.1, pag. 250]. Orbite chiuse, traiettorie periodiche, periodo di una traiettoria periodica [G1, pag.190, definizione 4.1, osservazioni 4.2 e 4.3].
Lezione 10 (05/03/2024)
Analisi qualitativa del pendolo semplice: equazioni del moto del pendolo ed esistemza di una costante del moto [G1, §5.4, pagg. 272-273].
Analisi qualitativa del pendolo semplice: discussione della stabilità dei punti di equilibrio e studio delle curve di livello [G1, §5.4, pagg. 274-2800].
Analisi qualitativa del pendolo semplice: moti periodici, soluzioni oscillatorie, soluzioni rotatorie [G1, §5.4, pagg. 274-280].
Lezione 11 (06/03/2024)
Analisi qualitativa del pendolo semplice: separatrice e studio del moto asintotico sulla separatrice [G1, §5.4, pagg. 274-280].
Analisi qualitativa del pendolo semplice: studio periodo delle traiettorie periodiche oscillatorie e rotatorie [G1, §5.4, pagg. 274-280].
Analisi qualitativa del pendolo semplice attraverso lo studio del grafico dell'energia potenziale [G1, §6.3, pagg. 361-372].
Lezione 12 (06/03/2024)
Analisi qualitativa dei sistemi unidimensionali: curve di livello dell'energia, studio dell'energia potenziale, punti di inversione, moti periodici,
moti asintotici, andamento delle curve in corrispondenza dei punti di equilibrio instabili [G1, §§6.1, 6.2 e 6.3, pagg. 353-372].
Lezione 13 (12/03/2024)
Analisi qualitativa dei sistemi unidimensionali: moti periodici e periodo delle soluzioni oscillatorie nell'approssimazione delle piccole oscillazioni
[G1, §6.4]. Periodo nel caso di energia potenziale proporzionale a x²ⁿ e limiti asintotici di alta e bassa energia [G1, esercizio 6.32].
Lezione 14 (12/03/2024)
Esercizio sull'analisi qualitativa dei sistemi unidimensionali: studio dell'energia potenziale [G1, pagg. 397-399, esercizio 6.28].
Lezione 15 (13/03/2024)
Esercizio sull'analisi qualitativa dei sistemi unidimensionali: analisi qualitativa e diagramma di biforcazione [G1, pagg. 397-399, esercizio 6.28].
Problema dei due corpi: introduzione e impostazione del problema [G1, pagg. 411-416; §7.1.1]. Mote del centro di massa [G1, pag. 416].
Lezione 16 (13/03/2024)
Forze conservative, forze centrali e campi centrali [G1, pagg. 411-416, definizioni 7.1 e 7.4; lemmi 7.2, 7.5 e 7.6; osservazione 7.3].
Discussione del moto relativo per il problema dei due corpi: conservazione dell'energia e del momento angolare [G1, pagg. 416-420, lemmi 7.8, 7.9 e 7.10].
Lezione 17 (19/03/2024)
Energia potenziale efficace e centrifuga [G1, pag. 421, osservazione 7.13]. Orbite chiuse e orbite aperte per i moti centrali con momento angolare non nullo:
condizione necessaria e sufficiente perché si abbia un moto periodico nel piano [G1, pagg. 420-426, lemmi 7.17 e 7.19]. Teorema di Bertrand (solo enunciato)
ed eccezionalità del campo centrale coulombiano e del campo centrale gravitazionale [G1, teorema 7.47 e osservazione 7.49]. Campo centrale armonico:
studio dell'energia potenziale efficace e determinazione dell'equazione delle orbite [G1, pag. 428 e pagg. 432-433, osservazione 7.22 e corollario 7.23].
Lezione 18 (19/03/2024)
Prima forma dell'equazione delle orbite [G1, pag. 426, lemma 7.20]. Campo centrale gravitazionale: studio dell'energia potenziale efficace e analisi qualitativa
del moto della variabile radiale [G1, §7.2.2, pagg. 433-434], determinazione dell'equazione delle orbite chiuse (ellissi) [G1, pagg. 438-440, corollario 7.27].
Lezione 19 (20/03/2024)
Campo centrale gravitazionale: determinazione dell'equazione delle orbite aperte (perboli e parabole) [G1, pagg. 438-440, corollario 7.28]. Moto dei pianeti
nel sistema eliocentrico e nel sistema del centro di massa: velocità areolare e leggi di Keplero [G1, pagg. 440-443, teorema 7.29, e pagg. 459-460, esercizio 7.13].
Lezione 20 (20/03/2024)
Esercizio sui moti centrali [G1, pagg. 467-468, esercizio 7.31]. Regola dei segni di Cartesio (solo enunciato) [G1, pag. 406, esercizio 6.45].
Lezione 21 (26/03/2024)
Moti relativi: sistemi di riferimento fissi e sistemi di riferimento mobili, trasformazioni rigide, traslazioni, rotazioni, rototraslazioni [G1, §8.1, pagg. 471-477].
Rotazioni e matrici ortogonali [G1, §8.1, pag. 476, lemma 8.5, osservazione 8.6]. Rotazione intorno a un asse cartesiano [G1, pag. 482, osservazione 8.20,
esercizio 8.9]. Richiami sul prodotto vettoriale e definizione di velocità angolare [G1, pagg. 477-481, lemmi 8.9 e 8.11, definizione 8.13 e 8.16].
Velocità assoluta, velocità relativa, componenti traslatoria e rotatoria della velocità di trascinamento [G1, pagg. 484-485, lemma 8.23, teorema 8.24, esempio 8.26].
Lezione 22 (26/03/2024)
Forze d'inerzia: forza inerziale di traslazione, forza inerziale di rotazione, forza centrifuga, forza di Coriolis [G1, §8.2, pagg. 485-488]. Effetti della forza
centrifuga sull'accelerazione di gravità [G1, pag. 488, esempio 8.34]. Effetti della forza di Coriolis sul moto in un sistema di riferimento rotante
[G1, §8.2, pag. 480, esempi 8.37 e 8.39, e osservazione 8.38] Sistemi di riferimento inerziali e primo principio della dinamica [G1, pagg. 494-495, definizione 8.40].
Lezione 23 (27/04/2024)
Vincoli, vincoli olonomi, vincoli bilateri e vincoli unilateri, vincoli scleronomi, forze vincolari, vincoli regolari e indipendenti, superficie di vincolo
[G1, §9.1, pagg. 521-525]. Traiettorie virtuali, principio di d'Alembert, vincoli perfetti, moltiplicatori di Lagrange [G1, §9.5, pag. 526;
§9.6, pagg. 544-546, principio 9.53, lemma 9.55, proposizione 9.57, definizione 9.58, osservazioni 9.59 e 9.60; pag. 560, esercizio 9.2].
Lezione 24 (27/04/2024)
Calcolo dei moltiplicatori di Lagrange: teoria generale e derivazione delle equazioni del moto del pendolo semplice [G1, esercizi 9.11 e 9.21].
Lezione 25 (03/04/2024)
Pendolo di Foucault: equazioni del moto e studio della dinamica nell'approssimazione delle piccole oscillazioni [G1, pag. 488-492, esempio 8.35].
Lezione 26 (03/04/2024)
Corpi rigidi discreti, spazio delle configurazioni dei corpi rigidi, [G1, §9.2.1, pagg. 526-529, definizioni 9.17, 9.20 e 9.22, teorema 9.19 e corollari 9.21 e 9.24].
Lezione 27 (09/04/2024)
Corpi rigidi continui [G1, §9.2.2, pagg. 529-530]. Velocità dei punti di un corpo rigido [G1, §9.3, pag. 531, lemma 9.26].
Caratteristiche cinematiche dei corpi rigidi: energia cinetica e teorema di König, quantità di moto e momento angolare [G1, §9.4, pagg. 538-541].
Operatore di inerzia di un corpo rigido discreto, momenti principali di inerzia e assi di inerzia, momenti di inerzia [G1, §10.1, pagg. 574-578].
Momento angolare ed energia cinetica in termini di velocità angolare e operatore di inerzia [G1, §10.1, pagg. 576, teorema 10.3].
Lezione 28 (09/04/2024)
Matrice che rappresenta l'operatore d'inerzia in una base fissata [G1, §10.1, pag. 574-575 ed esercizion 10.1]. Operatore di inerzia di un corpo rigido continuo
omogeneo e non omogeneo [G1, §10.1.2]. Assi di inerzia di un corpo rigido continuo invariante per rotazioni intorno a un asse [G1, pag. 581, osservazione 10.17].
Momenti principali d'inerzia di alcuni corpi rigidi notevoli: asta, disco e cilindro [G1, pagg. 582-586, esempio 10.19 e §§10.2.1, 10.2.2, 10.2.3 e 10.2.5].
Caratteristiche dinamiche dei corpi rigidi: equazioni del moto [G1, §9.5 pagg.542-543]. Traiettorie virtuali e applicazione del principio di d'Alembert ai vincoli rigidi:
equazioni cardinali della dinamica [G1, §9.7, pagg. 548-552, lemmi9.63, 9.64 e 9.65; teorema 9.66, corollario 9.68; pagg. 566-567, esercizi 9.14 e 9.15].
Lezione 29 (10/04/2024)
Vincoli anolomomi e vincoli di mobilità [G1, §9.8.1, pag. 552]. Moto di rotolamento senza strisciamento [G1, §9.8.2, pagg. 556-559, esempi 9.79 e 9.80].
Lezione 30 (10/04/2024)
Esercizio sui moti relativi e sul cambiamento di sistemi di riferimento [A.A. 2022/2023, quinto appello, esercizio 2 - Testo].
Esercizio sui moti in un campo centrale [A.A. 2022/2023, recupero della prima prova di esonero, esercizio 4 - Testo].

6.2. Seconda parte
Lezione 31 (23/04/2024)
Formalismo lagrangiano: spazio delle traiettorie e spazio delle deformazioni, lagrangiana e lagrangiana associata a un sistema meccanico conservativo
[G2, §1.1, pagg. 1-3]. Funzionale d'azione e suo differenziale [G2, §1.1, pagg. 3-5, definizione 1.6, lemmi 1.8 e 1.9]. Equazioni di Eulero-Lagrange
[G2, §1.1, pagg. 5-6, definizione 1.11 e teorema 1.12]. Primo principio variazionale di Hamilton [G2, §1.1, pag. 7, principio 1.15 e osservazione 1.16].
Equivalenza tra equazioni di Eulero-Lagrange ed equazioni di Newton [G2, §1.1, pagg. 6-7, teorema 1.14; pag. 11, osservazione 1.21].
Lezione 32 (23/04/2024)
Formalismo lagrangiano per sistemi meccanici soggetti a vincoli olonomi bilateri [G2, §1.3, pagg. 16-17]. Lagrangiana vincolata [G1, §1.3, pag. 16].
Estensione del primo principio variazionale di Hamilton ai sistemi lagrangiani vincolati [G2, §1.3, pag. 17, principio 1.28]. Equivalenza tra
equazioni di Eulero-Lagrange ed equazioni di Newton integrate dal principio di d'Alembert [G2, §1.3, pagg. 17-19, osservazione 1.29 e teorema 1.30].
Lezione 33 (24/04/2024)
Problema con condizioni al contorno [G2, esempio 1.17 e commenti successivi, ed esercizio 1.6] Calcolo delle forze vincolari [G2, §1.3, pag 20, osservazione 1.32].
Invarianza delle equazioni del moto se si modifica la lagrangiana tramite l'aggiunta di una derivata totale [G1, pag. 11, osservazione 1.21].
Forma generale della lagrangiana di un sistema meccanico conservativo soggetto a vincoli olonomi bilateri [G2, pagg. 72-73, lemmi 2.2 e 2.3; pag. 47, esercizio 1.21].
Stabilità delle configurazioni di equilibrio di un sistema lagrangiano [G2, §2.1, pagg. 73-79, definizione 2.5, teorema 2.6 e corollario 2.10 - solo enunciato].
Lezione 34 (24/04/2024)
Energia potenziale gravitazionale sulla superfice della Terra [G2, pag. 110, esercizio 2.12]. Energia potenziale elastica [G2, pagg. 110-111, esercizio 2.13].
Energia potenziale centrifuga in un sistema rotante [G2, pag. 109, esercizio 2.7]. Esempio di sistema lagrangiano: derivazione delle equazioni del moto
e analisi qualitiva del pendolo semplice [G2, pag. 61, esercizio 1.49]. Calcolo delle forze vincolari per il pendolo semplice [G2, pagg. 61-62, esercizio 1.50].
Configurazioni di equilibrio relativo e analisi qualitativa del pendolo semplice in un piano rotante [G2, §2.1, pagg. 79-81, definizione 2.15 ed esempio 2.16].
Lezione 35 (30/04/2024)
Variabili cicliche di un sistema lagrangiano [G2, §2.2, pagg. 81-82, definizione 2.17, osservazione 2.18 e lemma 2.19]. Metodo di Routh
e applicazione ai moti centrali [G2, §2.2, pagg. 82-84, teorema 2.20, definizione 2.21, osservazione 2.2, esempio 2.23 e osservazione 2.24].
Lezione 36 (30/04/2024)

7. Diario delle esercitazioni

7.1. Prima parte
Esercitazione 1 LC (22/02/2024)
Sistemi di equazioni lineari omogenee nel piano: matrice non diagonalizzabile [A.A. 2005/2006, tutorato II, esercizio 2 - Testo].
Sistemi di equazioni lineari omogenee nel piano: matrice con due autovalori distinti [A.A. 2021/2022, recupero del primo esonero, esercizio 1 - Testo].
Esercitazione 2 LC (22/02/2024)
Sistemi di equazioni lineari omogenee nello spazio: matrice con tre autovalori reali distinti [A.A. 2020/2021, primo esonero, esercizio 1 - Testo].
Sistemi di equazioni lineari omogenee nello spazio: matrice con tre autovalori reali distinti [A.A. 2022/2023, primo esonero, esercizio 1 - Testo].
Esercitazione 3 GG (29/02/2024)
Sistemi di equazioni lineari omogenee nello spazio: matrice con tre autovalori distinti di cui due complessi coniugati [G1, pagg. 91, esempio 2.11].
Esercitazione 4 GG (29/02/2024)
Sistemi di equazioni lineari omogenee nello spazio: matrice non diagonalizzabile con due autovalori uguali [A.A. 2005/2006, tutorato II, esercizio 1 - Testo].
Enunciato del teorema di decomposizione primaria e determinazione della matrice diagonalizzabile e della matrice nilpotente [G1, pag. 33, teorema 1.80, e pag. 38].
Sistemi di equazioni lineari omogenee nello spazio: matrice diagonalizzabile con due autovalori uguali [A.A. 2021/2022, prima prova d'esonero, esercizio 1 - Testo].
Esercitazione 5 LC (07/03/2024)
Esercizio sull'analisi qualitativa di sistemi unidimensionali [A.A. 2022/2023, prima prova di esonero, esercizio 2: prima parte - Testo].
Esercitazione 6 LC (07/03/2024)
Esercizio sull'analisi qualitativa di sistemi unidimensionali [A.A. 2022/2023, prima prova di esonero, esercizio 2: seconda parte - Testo].
Esercitazione 7 LC (14/03/2024)
Esercizio sull'analisi qualitativa di sistemi unidimensionali [A.A. 2022/2023, terzo appello, esercizio 1 - Testo].
Esercizio sull'analisi qualitativa di sistemi unidimensionali [A.A. 2022/2023, quinto appello, esercizio 1: prima parte - Testo].
Esercitazione 8 LC (14/03/2024)
Esercizio sull'analisi qualitativa di sistemi unidimensionali [A.A. 2022/2023, quinto appello, esercizio 1: seconda parte - Testo].
Esercizio sull'analisi qualitativa di sistemi unidimensionali [A.A. 2004/2005, tutorato VII, esercizio 3 - Testo].
Esercitazione 9 GG (21/03/2024)
Esercizio sui moti centrali [G1, pagg. 464-465, esercizio 7.27].
Esercitazione 10 GG (21/03/2024)
Esercizio sui moti centrali [A.A. 2022/2023, prima prova di esonero, esercizio 4 - Testo].
Esercitazione 11 LC (28/03/2024)
Esercizio sui moti relativi e sul cambiamento di sistema di riferimento [A.A. 2022/2023, prima prova di esonero, esercizio 5 - Testo].
Esercitazione 12 LC (28/03/2024)
Esercizio sui moti relativi e sul cambiamento di sistema di riferimento: [A.A. 2022/2023, terzo appello, esercizio 2 - Testo].
Esercizio sui moto relativi e sul cambiamento di sistema di riferimento [A.A. 2022/2023, secondo appello, esercizio 2 - Testo].
Esercitazione 13 LC (04/04/2024)
Esercizio sui moti relativi e sul cambiamento di sistema di riferimento [A.A. 2022/2023, prima prova di esonero, esercizio 5 - Testo.
Esercitazione 14 LC (04/04/2024)
Esercizio sui moti relativi e sul cambiamento di sistema di riferimento [A.A. 2008/2009, tutorato XI, esercizi 1 e 2 - Testo].
Esercitazione 15 LC (11/04/2024)
Esercizi di ricapitolazione [A.A. 2021/2022, recupero della prima prova di esonero, esercizi 1, 2 e 3 (inizio) - Testo].
Esercitazione 16 LC (11/04/2024)
Esercizi di ricapitolazione [A.A. 2021/2022, recupero della prima prova di esonero, esercizi 3 (conclusione), 4 e 5 - Testo].

7.2. Seconda parte
Esercitazione 17 LC (02/05/2024)

Esercitazione 18 LC (02/04/2024)

8. Diario delle attività di tutorato

8.1. Prima parte
Tutorato 1-1 (29/02/2024)
Equazioni differenziali lineari omogenee e non omogenee ed esponenziali di matrici - Testo.
Tutorato 1-2 (29/02/2024)
Equazioni differenziali lineari omogenee e non omogenee ed esponenziali di matrici - Soluzioni.
Tutorato 2-1 (08/03/2024)
Sistemi meccanici unidimensionali: studio dell'energia potenziale e analisi qualitativa del moto - Testo.
Tutorato 2-2 (08/03/2024)
Sistemi meccanici unidimensionali: studio dell'energia potenziale e analisi qualitativa del moto - Soluzioni.
Tutorato 3-1 (14/03/2024)
Sistemi meccanici unidimensionali: studio dell'energia potenziale e analisi qualitativa del moto - Testo.
Tutorato 3-2 (14/03/2024)
Sistemi meccanici unidimensionali: studio dell'energia potenziale e analisi qualitativa del moto - Soluzioni.
Tutorato 4-1 (22/03/2024)
Sistemi meccanici unidimensionali e moti centrali - Testo.
Tutorato 4-2 (22/03/2024)
Sistemi meccanici unidimensionali e moti centrali - Soluzioni.
Tutorato 5-1 (05/04/2024)
Moti centrali e moti relativi - Testo.
Tutorato 5-2 (05/04/2024)
Moti centrali e moti relativi - Soluzioni.
Tutorato 6-1 (15/04/2024)
Moti relativi, moti unidimensionali e moti centrali - Testo.
Tutorato 6-2 (15/04/2024)
Moti relativi, moti unidimensionali e moti centrali - Soluzioni.

8.2. Seconda parte
Tutorato 7-1 (03/05/2024)

Tutorato 7-2 (03/05/2024)