Anno Accademico 2023/2024       



FM210 - Meccanica Analitica (CdL in Matematica)
Meccanica Analitica (CdL in Fisica)

Lezioni: Guido Gentile
Esercitazioni: Livia Corsi e Guido Gentile
Tutorato: Francesco Caristo (seconda parte),
Lorenzo De Leonardis (prima parte) e Laura Fagotto


1. Caratteristiche dell'insegnamento

Contenuto dell'insegnamento
Sistemi meccanici conservativi. Analisi qualitativa del moto e stabilità secondo Ljapunov. Sistemi unidimensionali.
Moti centrali e problema dei due corpi. Cambiamento di sistemi di riferimento. Forze apparenti. Vincoli. Sistemi rigidi.
Meccanica lagrangiana. Principi variazionali. Variabili cicliche, costanti del moto e simmetrie.
Meccanica hamiltoniana. Teorema di Liouville e teorema del ritorno di Poincaré.
Trasformazioni canoniche. Funzioni generatrici. Metodo di Hamilton-Jacobi e variabili azione-angolo.
II Semestre - Crediti: 9 CFU (Matematica) - 9 CFU (Fisica) - TAF: b (Matematica) - b (Fisica)
Testi consigliati
L'insegnamento si basa sui testi:
[G1] Guido Gentile, Introduzione ai sistemi dinamici - Volume 1.
     Equazioni differenziali ordinarie, analisi qualitativa e alcune applicazioni, Springer, Milano, 2021;
[G2] Guido Gentile, Introduzione ai sistemi dinamici - Volume 2.
     Formalismo lagrangiano e hamiltoniano, Springer, Milano, 2022.
Per un elenco di esercizi, oltre a quelli riportati nei testi sopra indicati, si vedano anche il diario delle esercitazioni,
il diario delle attività di tutorato, la raccolta di esercizi svolti a cura di Valerio Brunetti, la raccolta degli
esercizi discussi durante le attivitą di tutorato nell'A.A. 2022-2023 a cura di Federico Manzoni e Michela Policella,
nonché il diario delle esercitazioni, il diario delle attività di tutorato, i testi delle prove di esonero e i testi delle
prove di esame degli anni accademici precedenti.
Modalità degli esami
L'esame consiste in una prova scritta, eventualmente sostituita da due prove di esonero in itinere, e in un successivo colloquio orale,
in cui lo studente dovrà discutere gli argomenti trattati a lezione (cfr. diario delle lezioni o il programma d'esame).

2. Orari

Orari delle lezioni: martedì ore 14:00-16:00 (aula M3) e mercoledì ore 11:00-13:00 (aula M3).
La lezione di mercoledì 10 aprile 2023 è sostituita da un'esercitazione aggiuntiva (cfr. gli orari delle esercitazioni).
Inizio delle lezioni: martedì 20 febbraio 2024 - Termine delle lezioni: mercoledì 29 maggio 2024.
Le registrazioni delle lezioni sono disponibili su Teams.
Orari delle esercitazioni (didattica integrativa): giovedì ore 14:00-16:00 (aula M3).
Esercitazioni aggiuntive: mercoledì 10 aprile 2024 ore 11:00-13:00 (Aula M3); martedì 4 giugno 2024 ore 14:000-16:00 (aula M3).
Inizio delle esercitazioni: mercoledì 21 febbraio 2024 - Termine delle esercitazioni: martedì 4 giugno 2024.
Orari delle attività di tutorato: venerdì ore 16:00-18:00 (aula M2) - Cambi di orario: giovedì 29 febbraio in aula M2 invece di
venerdì 1 marzo; giovedì 14 marzo in aula M2 invece di venerdì 15 marzo; lunedì 15 aprile in aula M1 invece di venerdì 12 aprile.
Inizio delle attività di tutorato: venerdì 29 febbraio 2024 - Termine delle attività di tutorato: venerdì 31 maggio 2024.
Orario di ricevimento: per appuntamento (tramite email o Teams)

3. Calendario degli esami

Esoneri: Le date degli esoneri sono riportate sulla pagina del calendario degli esoneri dei CdS in Matematica e del CdL in Fisica.
Esami: Le date degli esami sono riportate sulla pagina del calendario degli esami dei CdS in Matematica e del CdL in Fisica.

4. Prove d'esonero e prove d'esame

4.1. Prove di esonero
Prima prova di esonero: 16 aprile 2024 - ore 14:00 - Aula M1 (prenotazione su GOMP entro il 12 aprile) - Testo - Risultati.
Recupero della prima prova di esonero: 18 giugno 2024 - Aula M1 (prenotazione su GOMP all'appello I entro il 13 giugno) - Testo - Risultati.
Seconda prova di esonero: 5 giugno 2024 - ore 11:00 - Aula M1 (prenotazione su GOMP entro il 30 maggio) - Testo - Risultati.
Recupero della seconda prova di esonero: 18 giugno 2024 - Aula M1 (prenotazione su GOMP all'appello I entro il 13 giugno) - Testo - Risultati.

4.2. Prove di esame
Appello I: 18 giugno 2024 - ore 14:00 - Aula M1 (prenotazione su GOMP entro il 13 giugno) - Testo - Risultati.
Orali: 27 giugno 2024 ore 10:00 (aula M2) - 28 giugno 2024 ore 10:00 (aula M2) - 1o luglio 2024 ore 10:00 (aula M4).
Appello II: 2 luglio 2024 - ore 14:00 - Aula M1 (prenotazione su GOMP entro il 27 giugno) - Testo - Risultati.
Orali: 8 luglio 2024 ore 10:00 (aula M2), 11 luglio 2024 ore 10:00 (aula M1), 22 luglio 2024 ore 10:00 (aula M1), 24 luglio 2024 ore 10:00 (aula M1).
Appello III: 6 settembre 2024 - ore 14:00 - Aula M1 (prenotazione su GOMP entro il 1o settembre) - Testo - Risultati.
Orali: 9 settembre 2024 ore 11:00 (aula N6 - Ingegneria), 11 settembre 2024 ore 10:00 (aula M4), 12 settembre 2024 ore 10:00 (aula M1).
Appello Straordinario (riservato ai laureandi): 12 novembre 2024 - ore 10:00 - Aula A (prenotazione su GOMP entro il 9 novembre) - Testo - Risultati.
Orali: 15 novembre ore 11:00 (aula A), 18 novembre ore 16:00 (aula A).
Appello IV: 27 gennaio 2025 - ore 14:00 - Aula M1 (prenotazione su GOMP entro il 22 gennaio) - Testo - Risultati.
Orali: 3 febbraio 2023 ore 10:00 (aula M4), 4 febbraio ore 10:00 (aula M4).
Appello V (solo per il CdL in Fisica): 12 febbraio 2025 - ore 14:00 - Aula A (prenotazione su GOMP entro il 9 febbraio) - Testo - Risultati.
Orali: 20 febbraio 2025 - ore 10:00 (Aula 72).

5. Programma d'esame

Programma dell'insegnamento dell'A.A. 2023-2024 in formato pdf

1. Equazioni differenziali ordinarie e sistemi dinamici
Richiami sulle equazioni differenziali ordinarie: equazioni del primo ordine; problema di Cauchy, teorema di esistenza e unicità;
dipendenza continua dai dati iniziali; dipendenza differenziabile dai dati iniziali; prolungamenti ed esistenza di una soluzione massimale;
teorema del prolungamento e suo corollario. Equazioni di ordine qualsiasi, equazioni in forma normale, equazioni autonome e non autonome:
equazioni lineari e soluzioni in termini di esponenziali di matrici. Sistemi dinamici: traiettorie, orbite, flussi, traiettorie periodiche,
insiemi invarianti, derivata sostanziale, costanti del moto. Sistemi meccanici e sistemi meccanici conservativi; legge di Newton.
2. Analisi qualitativa e stabilità
Sistemi dinamici lineari planari: analisi qualitativa, pozzi, sorgenti, centri e moti a spirale. Stabilità secondo Ljapunov. Punti di equilibrio:
stabili, asintoticamente stabili, attrattivi e instabili. Sistemi dinamici linearizzati. Teoremi di stabilità nel caso di sistemi conservativi:
teoremi che si riconducono allo studio del sistema linearizzato (senza dimostrazione), teorema di Ljapunov (dimostrazione della stabilità),
teorema di Lagrange-Dirichlet. Sistemi meccanici conservativi unidimensionali: conservazione dell'energia e curve di livello.
Moti periodici e moti asintotici. Separatrici, traiettorie omocline e traiettorie eterocline. L'oscillatore armonico e il pendolo semplice.
Periodo come integrale definito e stima del periodo. Piccole oscillazioni per sistemi meccanici unidimensionali.
3. Moti centrali
Forze centrali. Problema dei due corpi. Moti centrali. Conservatività delle forze centrali.
Conservazione del momento angolare per le forze centrali. Moto radiale e moto angolare.
Condizioni di periodicità del moto. Teorema di Bertrand (senza dimostrazione).
Campo centrale armonico e campo centrale coulombiano: equazioni delle orbite. Velocità areolare. Leggi di Keplero.
4. Moti relativi
Sistemi di riferimento fissi e sistemi di riferimento mobili, trasformazioni rigide, traslazioni e rotazioni, matrici ortogonali.
Rotazione intorno a un asse. Richiami sul prodotto vettoriale: matrici ortogonali e prodotti vettoriali. Velocità angolare.
Legge di trasformazione delle velocità. Forze d'inerzia: forza inerziale di traslazione, forza inerziale di rotazione, forza centrifuga, forza di Coriolis.
Effetti della forza centrifuga sull'accelerazione di gravità, pendolo di Foucault nell'approssimazione lineare.
5. Vincoli e sistemi rigidi
Sistemi vincolati. Vincoli olonomi bilateri e superfici di vincolo. Principio di d'Alembert. Moltiplicatori di Lagrange.
Derivazione delle equazioni del pendolo semplice usando i moltiplicatori di Lagrange.
Sistemi rigidi discreti e continui: definizione e proprietà, spazio delle configurazioni dei sistemi rigidi. Velocità dei punti di un sistema rigido.
Caratteristiche cinematiche dei sistemi rigidi: quantità: di moto, momento angolare, energia cinetica, teorema di König.
Principio di d'Alembert ed equazioni cardinali della dinamica. Operatore d'inerzia, momenti d'inerzia, momenti principali d'inerzia, assi d'inerzia.
Moto di rotolamento senza strisciamento.
6. Meccanica lagrangiana
Lagrangiana e funzionale d'azione. Equazioni di Eulero-Lagrange. Primo principio variazionale di Hamilton.
Equazioni di Newton ed equazioni di Eulero-Lagrange per sistemi meccanici conservativi. Lagrangiana per sistemi vincolati.
Equazioni di Newton integrate dal principio di d'Alembert ed equazioni di Eulero-Lagrange per sistemi meccanici conservativi vincolati.
Equazioni del moto per il pendolo semplice, nel formalismo lagrangiano e mediante l'uso dei moltiplicatori di Lagrange. Calcolo delle reazioni vincolari.
7. Simmetrie e costanti del moto
Variabili cicliche e metodo di Routh. Applicazione al problema dei due corpi. Gruppi a un parametro di diffeomorfismi.
Trasformazioni di coordinate e loro sollevamenti. Campi vettoriali, momenti associati ai campi vettoriali e momenti coniugati.
Sistemi invarianti sotto l'azione di un gruppo a un parametro. Teorema di Noether. Sistemi invarianti per traslazione e sistemi invarianti per rotazione.
Cenni sui sistemi invarianti sotto l'azione di più gruppi a un parametro: gruppi commutanti ed estensione del teorema di Noether (senza dimostrazione).
8. Meccanica hamiltoniana
Spazio delle fasi. Trasformata di Legendre. Hamiltoniana ed equazioni di Hamilton. Metodo di Routh nel formalismo hamiltoniano.
Secondo principio variazionale di Hamilton. Campo vettoriale hamiltoniano. Campi a divergenza nulla.
Teorema di Liouville (senza dimostrazione). Teorema del ritorno di Poincaré. Esperimento di Maxwell.
9. Trasformazioni canoniche
Trasformazioni di coordinate nello spazio delle fasi. Matrici simplettiche. Trasformazioni che conservano la struttura canonica delle equazioni.
Trasformazioni canoniche. Trasformazioni simplettiche. Parentesi di Poisson e loro proprietà.
Paraentesi di Poisson fondamentali. Criterio per riconoscere una trasformazione canonica sulla base delle parentesi di Poisson fondamentali.
Richiami sulle forme differenziali esatte e chiuse. Differenziale a tempo bloccato. Condizione di Lie.
Criterio per riconoscere una trasformazione canonica sulla base della condizione di Lie.
10. Funzioni generatrici e metodo di Hamilton-Jacobi
Funzioni generatrici indipendenti e dipendenti dal tempo. Funzioni generatrici di prima e seconda specie.
Sollevamento di una trasformazione di coordinate a una trasformazione simplettica. Equazione di Hamilton-Jacobi.
Integrale generale e integrale completo. Funzione principale di Hamilton. Funzione caratteristica di Hamilton.
Sistemi separabili. Variabili azione-angolo per sistemi unidimensionali. Variabili azione-angolo per sistemi a più dimensioni:
teorema di Liouville-Arnol'd (senza dimostrazione), caso dei sistemi separabili, sistemi integrabili.

6. Diario delle lezioni

Tutti i riferimenti si intendono ai testi [G1] e [G2] (cfr. sopra, alla voce Testi consigliati).

6.1. Prima parte
Lezione 1 (20/02/2024)
Richiami sulle equazioni differenziali ordinarie (solo enunciati) - Parte 1 [G1, §§3.1 e 3.2]: equazioni del primo ordine [G1, pagg. 132-133, definizione 3.6];
soluzione e problema di Cauchy [G1, pagg. 133-135, definizioni 3.7 e 3.14]: funzioni lipschitziane e localmente lipschitziane [G1, pag. 135, definizione 3.15,
lemma 3.18, esercizio 3.34]; teorema di esistenza e unicità [G1, pag. 143, teorema 3.29], controesempio di non unicità [G1, pagg. 145-146, esempio 3.36].
Lezione 2 (20/02/2024)
Richiami sulle equazioni differenziali ordinarie (solo enunciati) - Parte 2 [G1, §§3.3 e 3.5]: prolungamenti e soluzioni massimali [G1, pagg. 151-152,
definizioni 3.48 e 3.49, ed esempio 3.47]; esistenza di una soluzione massimale [G1, pag. 152, teorema 3.52,]; teorema del prolungamento e sue implicazioni
[G1, pagg. 156-157, teorema 3.58; pag. 157, corollario 3.59]; equazioni del secondo ordine: moto di un punto materiale sotto l'azione della forza di gravità.
Lezione 3 (21/02/2024)
Richiami sulle equazioni differenziali ordinarie (solo enunciati) - Parte 3 [G1, §§3.1, 3.2, 3.4 e 3.5]: regolarità nel tempo della soluzione [G1, pag.142,
osservazione 3.25 e proposizione 3.26], teoremi di dipendenza (continua e differenziabile) dai dati iniziali [G1, pagg. 147 e 149, teoremi 3.39 e 3.44];
equazioni di ordine qualsiasi [G1, pagg. 163-164, §3.5], equazioni a variabili separabili [G1, §3.4 ed]. Definizione di sistema dinamico [G1, pag. 130,
definizione 3.1]. Corrispondenza tra sistemi dinamici ed equazioni differenziali ordinarie [G1, §3.1.3, pag. 143; §3.1.1 e osservazione 3.5].
Lezione 4 (21/02/2024)
Curve e vettori tangenti a una curva [G1, pag. 132, osservazione 3.5]. Criterio per ottenere le curve descritte dalle soluzioni a partire dal campo vettoriale:
esempio del punto materiale sotto l'azione della forza di gravità. Esponenziale di una matrice (solo enunciati) [G1, §1.3]: definizione e proprietà
[G1, pagg. 25-26, definizione 1.6 e proposizione 1.68. Soluzione di un sistema di equazioni lineari omogeneee del primo ordine [G1, pag. 70, lemma 2.3].
Calcolo dell'esponenziale di una matrice: caso di matrici diagonali e di matrici diagonalizzabili [G1, pag. 26, lemma 1.69, proprietà 1 e 4].
Caso di matrici nilpotenti [G1, pagg. 28-29, definizione 1.71 e osservazione 1.73]. Caso di matrici non diagonalizzabili [G1, pagg. 36, teorema 1.84].
Espressione generale della soluzione di un sistema di equazioni differenziali ordinarie lineari [G1, §2.3, pag. 80, teorema 2.9].
Lezione 5 (27/02/2024)
Sistemi dinamici planari: analisi qualitativa [G1, §2.2]. Autovalori reali distinti: nodi propri, pozzi e sorgenti, punti di sella [G1, §2.2.1, pagg. 74-75].
Autovalori reali coincidenti - Parte 1 (matrice diagonalizzabile): nodi propri, pozzi e sorgenti [G1, §2.2.3 pagg.77-78].
Autovalori reali coincidenti - Parte 2 (matrice non diagonalizzabile): nodi impropri, pozzi e sorgenti [G1, §2.2.4, pagg. 78-79].
Lezione 6 (27/02/2024)
Autovalori complessi coniugati: centri e moti a spirale, studio del sistema utilizzando coordinate polari [G1, §1.2, Lemma 1.63, e osservazione 1.64;
§2.2.2, pagg. 76-77]. Traiettorie, orbite e flussi di un sistema dinamico [G1, pagg. 133-134]. Studio di una funzione lungi una raiettoria: derivata sostanziale
o derivata totale rispetto al tempo [G1, §4.1 pag. 191]. Costanti del moto o integrali primi [G1, §4.1 pag. 191]. Discussione dell'oscillatore armonico.
Lezione 7 (28/02/2024)
Legge di Newton, sistemi meccanici, sistemi meccanici conservativi e sistemi meccanici conservativi generalizzati, energia cinetica, energia potenziale,
energia totale, conservazione dell'energia [G1, pagg. 199-202, definizioni 4.28, 4.31 e 4.34, osservazioni 4.29, 4.30, 4.32 e 4.33, esercizio 4.11].
Lezione 8 (28/02/2024)
Stabilità secondo Ljapunov: punto di equilibrio [G1, pag. 192, definizione 4.7]. Punti di equilibrio stabili, instabili, attrattivi e asintoticamente stabili
[G1, pag. 192, definizione 4.10]. Studio della stabilità dell'origine per sistemi dinamici planari [G1, pag. 238, esercizio 4.29].
Esempio di un punto di equilibrio che è attrattivo ma non stabile [G1, pag. 193, osservazione 4.11].
Assenza di punti di equilibrio asintoticamente stabili in sistemi che ammettono una costante del moto [G1, pagg. 260-261, teorema 5.19].
Linearizzazione: definizione di sistema linearizzato associato a un sistema dinamico [G1, pag. 202, definizione 4.37].
Linearizzazione: stabilità nel caso in cui gli autovalori abbiano tutti parte reale negativa, senza dimostrazione [G1, pag. 205, teorema 4.41].
Linearizzazione: stabilità nel caso in cui almeno un autovalore abbia parte reale positiva, senza dimostrazione [G1, pag. 207, teorema 4.43].
Esempio di sistema dinamico in cui l'analisi lineare non dà informazioni sulla stabilità [G1, pag. 209, esempio 4.45].
Lezione 9 (05/03/2024)
Teorema di Ljapunov, con dimostrazione solo della stabilità [G1, teorema 4.56]. Teorema di Lagrange-Dirichlet [G1, pag. 218, teorema 4.68,
osservazione 4.70, esercizi 4.33 e 4.34]. Moto sulle curve di livello della costante del moto nel caso di sistemi planari [G1, §4.1, pag. 192;
§5.1, pag. 250]. Orbite chiuse, traiettorie periodiche, periodo di una traiettoria periodica [G1, pag.190, definizione 4.1, osservazioni 4.2 e 4.3].
Lezione 10 (05/03/2024)
Analisi qualitativa del pendolo semplice: equazioni del moto del pendolo ed esistemza di una costante del moto [G1, §5.4, pagg. 272-273].
Analisi qualitativa del pendolo semplice: discussione della stabilità dei punti di equilibrio e studio delle curve di livello [G1, §5.4, pagg. 274-2800].
Analisi qualitativa del pendolo semplice: moti periodici, soluzioni oscillatorie, soluzioni rotatorie [G1, §5.4, pagg. 274-280].
Lezione 11 (06/03/2024)
Analisi qualitativa del pendolo semplice: separatrice e studio del moto asintotico sulla separatrice [G1, §5.4, pagg. 274-280].
Analisi qualitativa del pendolo semplice: studio periodo delle traiettorie periodiche oscillatorie e rotatorie [G1, §5.4, pagg. 274-280].
Analisi qualitativa del pendolo semplice attraverso lo studio del grafico dell'energia potenziale [G1, §6.3, pagg. 361-372].
Lezione 12 (06/03/2024)
Analisi qualitativa dei sistemi unidimensionali: curve di livello dell'energia, studio dell'energia potenziale, punti di inversione, moti periodici,
moti asintotici, andamento delle curve in corrispondenza dei punti di equilibrio instabili [G1, §§6.1, 6.2 e 6.3, pagg. 353-372].
Lezione 13 (12/03/2024)
Analisi qualitativa dei sistemi unidimensionali: moti periodici e periodo delle soluzioni oscillatorie nell'approssimazione delle piccole oscillazioni
[G1, §6.4]. Periodo nel caso di energia potenziale proporzionale a x2n e limiti asintotici di alta e bassa energia [G1, esercizio 6.32].
Lezione 14 (12/03/2024)
Esercizio sull'analisi qualitativa dei sistemi unidimensionali: studio dell'energia potenziale [G1, pagg. 397-399, esercizio 6.28].
Lezione 15 (13/03/2024)
Esercizio sull'analisi qualitativa dei sistemi unidimensionali: analisi qualitativa e diagramma di biforcazione [G1, pagg. 397-399, esercizio 6.28].
Problema dei due corpi: introduzione e impostazione del problema [G1, pagg. 411-416; §7.1.1]. Mote del centro di massa [G1, pag. 416].
Lezione 16 (13/03/2024)
Forze conservative, forze centrali e campi centrali [G1, pagg. 411-416, definizioni 7.1 e 7.4; lemmi 7.2, 7.5 e 7.6; osservazione 7.3].
Discussione del moto relativo per il problema dei due corpi: conservazione dell'energia e del momento angolare [G1, pagg. 416-420, lemmi 7.8, 7.9 e 7.10].
Lezione 17 (19/03/2024)
Energia potenziale efficace e centrifuga [G1, pag. 421, osservazione 7.13]. Orbite chiuse e orbite aperte per i moti centrali con momento angolare non nullo:
condizione necessaria e sufficiente perché si abbia un moto periodico nel piano [G1, pagg. 420-426, lemmi 7.17 e 7.19]. Teorema di Bertrand (solo enunciato)
ed eccezionalità del campo centrale coulombiano e del campo centrale gravitazionale [G1, teorema 7.47 e osservazione 7.49]. Campo centrale armonico:
studio dell'energia potenziale efficace e determinazione dell'equazione delle orbite [G1, pag. 428 e pagg. 432-433, osservazione 7.22 e corollario 7.23].
Lezione 18 (19/03/2024)
Prima forma dell'equazione delle orbite [G1, pag. 426, lemma 7.20]. Campo centrale gravitazionale: studio dell'energia potenziale efficace e analisi qualitativa
del moto della variabile radiale [G1, §7.2.2, pagg. 433-434], determinazione dell'equazione delle orbite chiuse (ellissi) [G1, pagg. 438-440, corollario 7.27].
Lezione 19 (20/03/2024)
Campo centrale gravitazionale: determinazione dell'equazione delle orbite aperte (perboli e parabole) [G1, pagg. 438-440, corollario 7.28]. Moto dei pianeti
nel sistema eliocentrico e nel sistema del centro di massa: velocità areolare e leggi di Keplero [G1, pagg. 440-443, teorema 7.29, e pagg. 459-460, esercizio 7.13].
Lezione 20 (20/03/2024)
Esercizio sui moti centrali [G1, pagg. 467-468, esercizio 7.31]. Regola dei segni di Cartesio (solo enunciato) [G1, pag. 406, esercizio 6.45].
Lezione 21 (26/03/2024)
Moti relativi: sistemi di riferimento fissi e sistemi di riferimento mobili, trasformazioni rigide, traslazioni, rotazioni, rototraslazioni [G1, §8.1, pagg. 471-477].
Rotazioni e matrici ortogonali [G1, §8.1, pag. 476, lemma 8.5, osservazione 8.6]. Rotazione intorno a un asse cartesiano [G1, pag. 482, osservazione 8.20,
esercizio 8.9]. Richiami sul prodotto vettoriale e definizione di velocità angolare [G1, pagg. 477-481, lemmi 8.9 e 8.11, definizione 8.13 e 8.16].
Velocità assoluta, velocità relativa, componenti traslatoria e rotatoria della velocità di trascinamento [G1, pagg. 484-485, lemma 8.23, teorema 8.24, esempio 8.26].
Lezione 22 (26/03/2024)
Forze d'inerzia: forza inerziale di traslazione, forza inerziale di rotazione, forza centrifuga, forza di Coriolis [G1, §8.2, pagg. 485-488]. Effetti della forza
centrifuga sull'accelerazione di gravità [G1, pag. 488, esempio 8.34]. Effetti della forza di Coriolis sul moto in un sistema di riferimento rotante
[G1, §8.2, pag. 480, esempi 8.37 e 8.39, e osservazione 8.38] Sistemi di riferimento inerziali e primo principio della dinamica [G1, pagg. 494-495, definizione 8.40].
Lezione 23 (27/04/2024)
Vincoli, vincoli olonomi, vincoli bilateri e vincoli unilateri, vincoli scleronomi, forze vincolari, vincoli regolari e indipendenti, superficie di vincolo
[G1, §9.1, pagg. 521-525]. Traiettorie virtuali, principio di d'Alembert, vincoli perfetti, moltiplicatori di Lagrange [G1, §9.5, pag. 526;
§9.6, pagg. 544-546, principio 9.53, lemma 9.55, proposizione 9.57, definizione 9.58, osservazioni 9.59 e 9.60; pag. 560, esercizio 9.2].
Lezione 24 (27/04/2024)
Calcolo dei moltiplicatori di Lagrange: teoria generale e derivazione delle equazioni del moto del pendolo semplice [G1, esercizi 9.11 e 9.21].
Lezione 25 (03/04/2024)
Pendolo di Foucault: equazioni del moto e studio della dinamica nell'approssimazione delle piccole oscillazioni [G1, pag. 488-492, esempio 8.35].
Lezione 26 (03/04/2024)
Corpi rigidi discreti, spazio delle configurazioni dei corpi rigidi, [G1, §9.2.1, pagg. 526-529, definizioni 9.17, 9.20 e 9.22, teorema 9.19 e corollari 9.21 e 9.24].
Lezione 27 (09/04/2024)
Corpi rigidi continui [G1, §9.2.2, pagg. 529-530]. Velocità dei punti di un corpo rigido [G1, §9.3, pag. 531, lemma 9.26].
Caratteristiche cinematiche dei corpi rigidi: energia cinetica e teorema di König, quantità di moto e momento angolare [G1, §9.4, pagg. 538-541].
Operatore di inerzia di un corpo rigido discreto, momenti principali di inerzia e assi di inerzia, momenti di inerzia [G1, §10.1, pagg. 574-578].
Momento angolare ed energia cinetica in termini di velocità angolare e operatore di inerzia [G1, §10.1, pagg. 576, teorema 10.3].
Lezione 28 (09/04/2024)
Matrice che rappresenta l'operatore d'inerzia in una base fissata [G1, §10.1, pag. 574-575 ed esercizion 10.1]. Operatore di inerzia di un corpo rigido continuo
omogeneo e non omogeneo [G1, §10.1.2]. Assi di inerzia di un corpo rigido continuo invariante per rotazioni intorno a un asse [G1, pag. 581, osservazione 10.17].
Momenti principali d'inerzia di alcuni corpi rigidi notevoli: asta, disco e cilindro [G1, pagg. 582-586, esempio 10.19 e §§10.2.1, 10.2.2, 10.2.3 e 10.2.5].
Caratteristiche dinamiche dei corpi rigidi: equazioni del moto [G1, §9.5 pagg.542-543]. Traiettorie virtuali e applicazione del principio di d'Alembert ai vincoli rigidi:
equazioni cardinali della dinamica [G1, §9.7, pagg. 548-552, lemmi9.63, 9.64 e 9.65; teorema 9.66, corollario 9.68; pagg. 566-567, esercizi 9.14 e 9.15].

6.2. Seconda parte
Lezione 29 (23/04/2024)
Formalismo lagrangiano: spazio delle traiettorie e spazio delle deformazioni, lagrangiana e lagrangiana associata a un sistema meccanico conservativo
[G2, §1.1, pagg. 1-3]. Funzionale d'azione e suo differenziale [G2, §1.1, pagg. 3-5, definizione 1.6, lemmi 1.8 e 1.9]. Equazioni di Eulero-Lagrange
[G2, §1.1, pagg. 5-6, definizione 1.11 e teorema 1.12]. Primo principio variazionale di Hamilton [G2, §1.1, pag. 7, principio 1.15 e osservazione 1.16].
Equivalenza tra equazioni di Eulero-Lagrange ed equazioni di Newton [G2, §1.1, pagg. 6-7, teorema 1.14; pag. 11, osservazione 1.21].
Lezione 30 (23/04/2024)
Formalismo lagrangiano per sistemi meccanici soggetti a vincoli olonomi bilateri [G2, §1.3, pagg. 16-17]. Lagrangiana vincolata [G1, §1.3, pag. 16].
Estensione del primo principio variazionale di Hamilton ai sistemi lagrangiani vincolati [G2, §1.3, pag. 17, principio 1.28]. Equivalenza tra
equazioni di Eulero-Lagrange ed equazioni di Newton integrate dal principio di d'Alembert [G2, §1.3, pagg. 17-19, osservazione 1.29 e teorema 1.30].
Lezione 31 (24/04/2024)
Problema con condizioni al contorno [G2, esempio 1.17 e commenti successivi, ed esercizio 1.6] Calcolo delle forze vincolari [G2, §1.3, pag 20, osservazione 1.32].
Invarianza delle equazioni del moto se si modifica la lagrangiana tramite l'aggiunta di una derivata totale [G1, pag. 11, osservazione 1.21].
Forma generale della lagrangiana di un sistema meccanico conservativo soggetto a vincoli olonomi bilateri [G2, pagg. 72-73, lemmi 2.2 e 2.3; pag. 47, esercizio 1.21].
Stabilità delle configurazioni di equilibrio di un sistema lagrangiano [G2, §2.1, pagg. 73-79, definizione 2.5, teorema 2.6 e corollario 2.10 - solo enunciato].
Lezione 32 (24/04/2024)
Energia potenziale gravitazionale sulla superfice della Terra [G2, pag. 110, esercizio 2.12]. Energia potenziale elastica [G2, pagg. 110-111, esercizio 2.13].
Energia potenziale centrifuga in un sistema rotante [G2, pag. 109, esercizio 2.7]. Esempio di sistema lagrangiano: derivazione delle equazioni del moto
e analisi qualitiva del pendolo semplice [G2, pag. 61, esercizio 1.49]. Calcolo delle forze vincolari per il pendolo semplice [G2, pagg. 61-62, esercizio 1.50].
Configurazioni di equilibrio relativo e analisi qualitativa del pendolo semplice in un piano rotante [G2, §2.1, pagg. 79-81, definizione 2.15 ed esempio 2.16].
Lezione 33 (30/04/2024)
Variabili cicliche di un sistema lagrangiano [G2, §2.2, pagg. 81-82, definizione 2.17, osservazione 2.18, lemma 2.19 ed esercizio 2.10].
Metodo di Routh: teorema e applicazione ai moti centrali [G2, §2.2, pagg. 82-84, teorema 2.20, definizione 2.21, esempio 2.23, e osservazioni 2.2 e 2.24].
Gruppi a un parametro di diffeomorfismi e campi vettoriali associati [G2, §3.1, pagg. 187-189, definizione 3.1, lemma 3.2, osservazione 3.4].
Sollevamento di un gruppo a un parametro di diffeomorfismi e campi vettoriali associati [G2, §3.1, definizione 3.5].
Lezione 34 (30/04/2024)
Momenti associati a un gruppo a un parametro di diffeomorfismi e momenti conservati [G2, §3.1, pagg. 190-192, definizioni 3.9 e 3.14, e lemma 3.10.]
Esempi di diffeomeorfismi e di campi vettoriali e momenti associati: traslazioni e rotazioni [G2, esempi 3.12 e 3.13, ed esercizi 3.5, 3.6, 3.7 e 3.8].
Lagrangiana invariante sotto l'azione di un gruppo di diffeomorfismi e gruppi di simmetrie [G2, §3.1, pagg. 192-193, definizioni 3.16 e 3.18].
Lezione 35 (07/05/2024)
Momenti coniugati [G2, pag. 192, definizione 3.14 e lemma 3.15]. Teorema della scatola di flusso, senza dimostrazione [G1, teorema 4.82].
Teorema di Noether nel caso di un gruppo a un parametro di diffeomorfismi [G2, §3.1, pagg. 193-194, teorema 3.19 e osservazione 3.20].
Teorema di Noether nel caso di più gruppi di diffeomorfismi [G2, §3.2, pagg. 196 e 207, introduzione e teorema 3.37 - senza dimostrazione].
Applicazione del metodo di Routh e del teorema di Noether al problema dei due corpi [G2, pagg. 221-223. esercizi 3.31 e 3.32].
Lezione 36 (07/05/2024)
Derivazione associata a un campo vettoriale e prodotti di Lie di due campi vettoriali [G2, pag. 190 e pag. 197, definizione 3.24, lemmi 3.25 e 3.26].
Prodotto di Lie di campi vettoriali e legame con la commutazione dei corrispondenti gruppi di diffeomorfismi [G2, §3,2, pag. 198, teorema 3.29,
senza dimostrazione]. Esempio di sistemi invarianti per traslazioni lungo i tre assi: conservazione della quantità di moto [G2, esempio 3.42].
Prodotto di Lie di campi vettoriali lineari e commutatore delle matrici corrispondenti [G2, pag. 208, esempio 3.39; pag. 217, esercizi 3.18, 3.19 e 3.20].
Esempio di sistemi invarianti per rotazioni intorno ai tre assi: conservazione del momento angolare e assenza di simmetrie intermedie
tra quella cilindrica e quella sferica [G2, pagg. 207-208, teorema 3.38, senza dimostrazione, esempio 3.40 e osservazione 3.41; pag. 218, esercizio 3.21].
Lezione 37 (08/05/2024)
Esercizio sui sistemi lagrangiani - inizio: lagrangiana, lagrangiana vincolata ed equazioni di Eulero-Lagrange [G2, pagg. 146-149, esercizio 2.45].
Lezione 38 (08/05/2024)
Esercizio sui sistemi lagrangiani - conclusione: determinazione e studio della stabilità delle configurazioni di equilibrio [G2, pagg. 146-149, esercizio 2.45].
Commenti sulla proprietà di gruppo dei diffeomorfismi a un parametro [G2, pag. 189, osservazione 3.4; pagg. 214-215, esercizio 3.10].
Lezione 39 (14/05/2024)
Trasformata di Legendre in R [G2, §6.1, pagg. 303-305, definizione 6.1, osservazione 6.2, esempi 6.3 e 6.4; pagg. 320-321, esercizi 6.4, 6.5, 6.6, 6.9, 6.10 e 6.11].
Trasformata di Legendre in Rn [G2, §6.1, pagg. 306-307]. Hamiltoniana, coordinate canoniche, spazio delle fasi [G2, §6.1, pagg. 307-308, definizioni 6.7 e 6.9].
Equazioni di Hamilton, matrice simplettica standard, campo vettoriale hamiltoniano [G2, pag. 309, definizioni 6.12, 6.14, 6.15 e 61.6, e osservazioni 6.13 e 6.18].
Lezione 40 (14/05/2024)
Trasformazioni che conservano il volume e teorema di Liouville [G2, §6.1, pagg. 310, definizione 6.1 e teorema 6.20 - senza dimostrazione].
Teorema del ritorno di Poincaré ed esperimento (o diavoletto) di Maxwell [G2, §6.1, pagg. 311-314, teorema 6.22 e osservazione 6.24.]
Lezione 41 (15/05/2024)
Metodo di Routh nel formalismo hamiltoniano [G2, §6.2, pagg. 314-315]. Secondo principio variazionale di Hamilton G2, §6.3, pagg. 316-318].
Matrici simplettiche [G2, §7.1, pagg. 330-332, definizione 7.3, lemmi 7.5, 7.6, 7.7 e 7.8, e osservazione 7.9, e teorema 7.11 - senza dimostrazione].
Lezione 42 (15/05/2024)
Trasformazioni di coordinate: trasformazioni canoniche, trasformazioni simplettiche e trasformazioni che conservano la struttura canonica delle equazioni
[G2, §7.1, pagg. 333-335, definizioni 7.12, 7.15, 7.16 e 7.17, esempi 7.13 e 7.14, e osservazione 7.19]. Esempi di trasformazioni canoniche
[G2, §:7.1, osservazione 7.19 ed esercizio 7.11]. Caso dell'oscillatore armonico [G2, pag. 413, esercizio 7.93]. Teoremi sulle trasformazioni canoniche 1:
le trasformazioni canoniche conservano la struttura canonica delle equazioni [G2, §:7.1, pagg. 333-335, teorema 7.20].
Lezione 43 (22/05/2024)
Teoremi sulle trasformazioni canoniche 2: una trasformazione è simplettica se e solo se conserva la struttura canonica delle equazioni
con la stessa hamiltoniana [G2, §:7.1, pag. 335, osservazione 7.21 e teorema 7.22]. Parentesi di Poisson: definizione e proprietà
[G2, §7.2, pagg. 336-337, definizioni 7.23 e osservazione 7.26]. Parentesi di Poisson fondamentali [G2, §7.2, pag. 339, definizione 7.30].
Criterio per verificare che una trasformazione è canonica basato sulle parentesi di Poisson [G2, §7.2, pagg. 339-340, teorema 7.31].
Lezione 44 (22/05/2024)
Differenziale a tempo bloccato e condizione di Lie per trasformazioni di coordinate [G2, §7.4.1, definizioni 7.65 e 7.67, e osservazioni 7.66 e 7.68].
Criterio per verificare che una trasformazione è canonica basato sulla condizione di Lie [G2, §7.4.1, pagg. 354-355, teorema 7.69].
Funzioni generatrici e trasformazioni canoniche: procedimenti di prima specie nel caso di trasformazioni indipendenti dal tempo [G2, §7.4.2, pagg. 359-360].
Lezione 45 (28/05/2024)
Funzioni generatrici e e trasformazioni canoniche: procedimenti di prima specie nel caso di trasformazioni dipendenti dal tempo [G2, §7.4.3, pag. 360];
Procedimenti di seconda specie [G2, §7.4.3, pagg. 360-361]. Esercizio sulle trasformazioni canoniche: oscillatore armonico [G2, pag. 413, esercizio 7.94].
Altri procedimenti per generare trasformazioni canoniche [G2, §7.4.4, pagg. 361-362]. Sistemi hamiltoniani ingrabili [G2, §8.1, pag. 433].
Esempi di procedimenti di seconda specie: trasformazione identità e trasformazioni vicine all'identità nel caso di sistemi hamiltoniani
che siano perturbazioni di sistemi hamiltoniani integrabili [G2, §7.4.4, pagg. 363-364, teoremi 7.84 e 7.86, e osservazione 7.85].
Lezione 46 (28/05/2024)
Equazione di Hamilton-Jacobi in generale: funzione principale di Hamilton e funzione caratteristica di Hamilton [G2, §8.1, pagg. 429-433]
Equazione di Hamilton-Jacobi nel caso di un sistema meccanico conservativo unidimensionale [G2, §8.1, pagg. 435-436].
Lezione 47 (29/05/2023)
Estensione di una trasformazione di coordinate lagrangiane a una trasformazione canonica [G2, §7.4, pagg. 363-364, teorema 7.86].
Variabili azione-angolo per sistemi hamiltoniani in una dimensione e applicazione all'oscillatore armonico [G2, §8.3, pagg. 440-442; §8.6.1, pag. 463].
Lezione 48 (29/05/2023)
Equazione di Hamilton-Jacobi nel caso di sistemi separabili: procedimento di separazione di variabili [G2, §8.2, pagg.437-438].
Enunciato del teorema di Arnol'd-Liouville: moti multiperiodici, multiperiodici e quasiperiodici [G2, §8.3, pagg. 442-445, teorema 8.28,
osservazioni 8.29, 8.32 e 8.33, e definizione 8.34]. Dimostrazione del teorema di Arnol'd-Liouville nel caso di sistemi separabili [G2, §8.3, pag. 443].

7. Diario delle esercitazioni

7.1. Prima parte
Esercitazione 1 LC (22/02/2024)
Sistemi di equazioni lineari omogenee nel piano: matrice non diagonalizzabile [A.A. 2005/2006, tutorato II, esercizio 2 - Testo].
Sistemi di equazioni lineari omogenee nel piano: matrice con due autovalori distinti [A.A. 2021/2022, recupero del primo esonero, esercizio 1 - Testo].
Esercitazione 2 LC (22/02/2024)
Sistemi di equazioni lineari omogenee nello spazio: matrice con tre autovalori reali distinti [A.A. 2020/2021, primo esonero, esercizio 1 - Testo].
Sistemi di equazioni lineari omogenee nello spazio: matrice con tre autovalori reali distinti [A.A. 2022/2023, primo esonero, esercizio 1 - Testo].
Esercitazione 3 GG (29/02/2024)
Sistemi di equazioni lineari omogenee nello spazio: matrice con tre autovalori distinti di cui due complessi coniugati [G1, pagg. 91, esempio 2.11].
Esercitazione 4 GG (29/02/2024)
Sistemi di equazioni lineari omogenee nello spazio: matrice non diagonalizzabile con due autovalori uguali [A.A. 2005/2006, tutorato II, esercizio 1 - Testo].
Enunciato del teorema di decomposizione primaria e determinazione della matrice diagonalizzabile e della matrice nilpotente [G1, pag. 33, teorema 1.80, e pag. 38].
Sistemi di equazioni lineari omogenee nello spazio: matrice diagonalizzabile con due autovalori uguali [A.A. 2021/2022, prima prova d'esonero, esercizio 1 - Testo].
Esercitazione 5 LC (07/03/2024)
Esercizio sull'analisi qualitativa di sistemi unidimensionali [A.A. 2022/2023, prima prova di esonero, esercizio 2: prima parte - Testo].
Esercitazione 6 LC (07/03/2024)
Esercizio sull'analisi qualitativa di sistemi unidimensionali [A.A. 2022/2023, prima prova di esonero, esercizio 2: seconda parte - Testo].
Esercitazione 7 LC (14/03/2024)
Esercizio sull'analisi qualitativa di sistemi unidimensionali [A.A. 2022/2023, terzo appello, esercizio 1 - Testo].
Esercizio sull'analisi qualitativa di sistemi unidimensionali [A.A. 2022/2023, quinto appello, esercizio 1: prima parte - Testo].
Esercitazione 8 LC (14/03/2024)
Esercizio sull'analisi qualitativa di sistemi unidimensionali [A.A. 2022/2023, quinto appello, esercizio 1: seconda parte - Testo].
Esercizio sull'analisi qualitativa di sistemi unidimensionali [A.A. 2004/2005, tutorato VII, esercizio 3 - Testo].
Esercitazione 9 GG (21/03/2024)
Esercizio sui moti centrali [G1, pagg. 464-465, esercizio 7.27].
Esercitazione 10 GG (21/03/2024)
Esercizio sui moti centrali [A.A. 2022/2023, prima prova di esonero, esercizio 4 - Testo].
Esercitazione 11 LC (28/03/2024)
Esercizio sui moti relativi e sul cambiamento di sistema di riferimento [A.A. 2022/2023, prima prova di esonero, esercizio 5 - Testo].
Esercitazione 12 LC (28/03/2024)
Esercizio sui moti relativi e sul cambiamento di sistema di riferimento: [A.A. 2022/2023, terzo appello, esercizio 2 - Testo].
Esercizio sui moto relativi e sul cambiamento di sistema di riferimento [A.A. 2022/2023, secondo appello, esercizio 2 - Testo].
Esercitazione 13 LC (04/04/2024)
Esercizio sui moti relativi e sul cambiamento di sistema di riferimento [A.A. 2022/2023, prima prova di esonero, esercizio 5 - Testo.
Esercitazione 14 LC (04/04/2024)
Esercizio sui moti relativi e sul cambiamento di sistema di riferimento [A.A. 2008/2009, tutorato XI, esercizi 1 e 2 - Testo].
Esercitazione 15 GG (10/04/2024)
Vincoli anolomomi e vincoli di mobilità [G1, §9.8.1, pag. 552]. Moto di rotolamento senza strisciamento [G1, §9.8.2, pagg. 556-559, esempi 9.79 e 9.80].
Esercitazione 16 GG (10/04/2024)
Esercizio sui moti relativi e sul cambiamento di sistemi di riferimento [A.A. 2022/2023, quinto appello, esercizio 2 - Testo].
Esercizio sui moti in un campo centrale [A.A. 2022/2023, recupero della prima prova di esonero, esercizio 4 - Testo].
Esercitazione 17 LC (11/04/2024)
Esercizi di ricapitolazione [A.A. 2021/2022, recupero della prima prova di esonero, esercizi 1, 2 e 3 (inizio) - Testo].
Esercitazione 18 LC (11/04/2024)
Esercizi di ricapitolazione [A.A. 2021/2022, recupero della prima prova di esonero, esercizi 3 (conclusione), 4 e 5 - Testo].

7.2. Seconda parte
Esercitazione 19 LC (02/05/2024)
Studio di un sistema lagrangiano - inizio: lagrangiana, equazioni di Eulero-Lagrange, configurazioni di equilibrio [G2, §2.3, pagg. 84-90].
Esercitazione 20 LC (02/04/2024)
Studio di un sistema lagrangiano - continuazione: calcolo delle forze vincolari e caso del piano rotante [G2, §2.3, pagg. 91-94].
Esercitazione 21 GG (09/05/2024)
Esercizio sui sistemi lagrangiani: lagrangiana, equazioni di Eulero-Lagrange, forze vincolari e configurazioni di equilibrio [G2, pagg. 161-162, esercizio 2.50].
Esercitazione 22 GG (09/05/2024)
Esercizio sui sistemi lagrangiani - lagrangiana e studio della stabilità delle configurazioni di equilibrio [G2, pagg. 172-173, esercizio 2.62].
Esercitazione 23 LC (16/05/2024)
Esercizio sui sistemi lagrangiani [A.A. 2019/2020, Appello zero, esercizio 1 - Testo].
Esercitazione 24 LC (16/05/2023)
Esercizio sui sistemi lagrangiani [A.A. 2019/2020, Appello I, esercizi 1 e 5 - Testo].
Esercitazione 25 LC (23/05/2024)
Esercizio sulle trasformazioni canoniche [A.A. 2021/2022, Esonero 2, esercizio 4 [G2, pag. 425, esercizio 7.105] - Testo].
Esercitazione 26 LC (23/05/2024)
Esercizio sulle trasformazioni canoniche [A.A. 2019/2020, Appello zero, esercizio 3 - Testo].
Esercitazione 27 GG (30/05/2024)
Esercizio sulle trasformazioni canoniche: parentesi di Poisson fondamentali e condizione di Lie [A.A. 2021/2022, Appello 2, esercizio 5 - Testo].
Esercitazione 28 GG (30/05/2024)
Esercizio sulle trasformazioni canoniche: condizione di Lie [A.A. 2020/2021, Appello 1, esercizio 5 [G2, pag. 427, esercizio 7.108 - Testo].
Esercizio sulle trasformazioni canoniche: parentesi di Poisson fondamentali e condizione di Lie [G2, pagg. 424-425, esercizio 7.104].
Esercitazione 29 GG (04/06/2024)
Esercizi di ricapitolazione: preparazione alla seconda prova di esonero [A.A. 2022/2023, Esonero 2, esercizio 1 - Testo].
Esercitazione 30 GG (04/06/2024)
Esercizi di ricapitolazione: preparazione alla seconda prova di esonero [A.A. 2022/2023, Esonero 2, esercizi 2 e 5 - Testo].

8. Diario delle attività di tutorato

8.1. Prima parte
Tutorato 1-1 (29/02/2024)
Equazioni differenziali lineari omogenee e non omogenee ed esponenziali di matrici - Testo.
Tutorato 1-2 (29/02/2024)
Equazioni differenziali lineari omogenee e non omogenee ed esponenziali di matrici - Soluzioni.
Tutorato 2-1 (08/03/2024)
Sistemi meccanici unidimensionali: studio dell'energia potenziale e analisi qualitativa del moto - Testo.
Tutorato 2-2 (08/03/2024)
Sistemi meccanici unidimensionali: studio dell'energia potenziale e analisi qualitativa del moto - Soluzioni.
Tutorato 3-1 (14/03/2024)
Sistemi meccanici unidimensionali: studio dell'energia potenziale e analisi qualitativa del moto - Testo.
Tutorato 3-2 (14/03/2024)
Sistemi meccanici unidimensionali: studio dell'energia potenziale e analisi qualitativa del moto - Soluzioni.
Tutorato 4-1 (22/03/2024)
Sistemi meccanici unidimensionali e moti centrali - Testo.
Tutorato 4-2 (22/03/2024)
Sistemi meccanici unidimensionali e moti centrali - Soluzioni.
Tutorato 5-1 (05/04/2024)
Moti centrali e moti relativi - Testo.
Tutorato 5-2 (05/04/2024)
Moti centrali e moti relativi - Testo.
Tutorato 6-1 (15/04/2024)
Moti relativi, moti unidimensionali e moti centrali - Testo.
Tutorato 6-2 (15/04/2024)
Moti relativi, moti unidimensionali e moti centrali - Soluzioni.

8.2. Seconda parte
Tutorato 7-1 (03/05/2024)
Formalismo lagrangiano: Lagrangiana, equazioni di Eulero-Lagrange e configurazioni di equilibrio - Testo.
Tutorato 7-2 (03/05/2024)
Formalismo lagrangiano: Lagrangiana, equazioni di Eulero-Lagrange e configurazioni di equilibrio - Soluzioni.
Tutorato 8-1 (10/05/2024)
Formalismo lagrangiano: Lagrangiana, equazioni di Eulero-Lagrange e configurazioni di equilibrio - Testo.
Tutorato 8-2 (10/05/2024)
Formalismo lagrangiano: Lagrangiana, equazioni di Eulero-Lagrange e configurazioni di equilibrio - Soluzioni.
Tutorato 9-1 (17/05/2024)
Formalismo lagrangiano: Lagrangiana, equazioni di Eulero-Lagrange e configurazioni di equilibrio - Testo.
Tutorato 9-2 (17/05/2024)
Formalismo lagrangiano: Lagrangiana, equazioni di Eulero-Lagrange e configurazioni di equilibrio - Soluzioni.
Tutorato 10-1 (24/05/2024)
Formalismo lagrangiano e trasformazioni canoniche - Testo.
Tutorato 10-2 (24/05/2024)
Formalismo lagrangiano e trasformazioni canoniche - Soluzioni.
Tutorato 11-1 (31/05/2024)
Sistemi hamiltoniani e trasformazioni canoniche - Testo.
Tutorato 11-2 (31/05/2024)
Sistemi hamiltoniani e trasformazioni canoniche - Soluzioni.