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Anno Accademico 2023/2024 |
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FM440 - Fisica Matematica (CdLM in Matematica)
Lezioni: Livia Corsi e Guido Gentile
1. Caratteristiche dell'insegnamento
Contenuto dell'insegnamento
Sistemi dinamici: proprietà qualitative generali.
Ergodicità e punti ergodici.
Entropia e complessità.
Teorema di Shannon-McMillan. Pavimenti markoviani. Sistemi di Anosov.
Distribuzioni di Gibbs.
Proprietà generali delle distribuzioni di Gibbs e distribuzioni SRB.
I Semestre -
Crediti: 6 CFU -
TAF: b/c |
Testi consigliati
L'insegnamento si basa sul testo:
[GBG] Giovanni Gallavotti, Federico Bonetto, Guido Gentile,
Aspects of Ergodic, Qualitative and Statistical Theory of Motion,
Springer, 2004.
Modalità degli esami
L'esame consiste nello svolgimento di esercizi che sono proposti nel corso delle lezioni
(cfr. la voce Esercizi da svolgere)
e in un successivo colloquio orale
in cui lo studente deve presentare e discutere una tesina su un argomento a piacere.
2. Orari
Orario delle lezioni: martedì ore 09:00-11:00 (aula M4),
mercoledì ore 09:00-11:00 (aula L),
giovedì ore 14:00-16:00 (aula L).
La lezione di giovedì 7/12 è
anticipata alle ore 9.00-11:00 in Aula L.
Inizio delle lezioni: 19 settembre 2023 ore 09:00-11:00.
Termine delle lezioni: 13 dicembre 2023 ore 010:00-10:00.
Orario di ricevimento:
LC per appuntamento (tramite e-mail o Teams);
GG mercoledì ore 14:30-16:30 previo appuntamento (tramite e-mail o Teams).
3. Calendario degli esami
Le date per la verbalizzazione degli esami sono riportate sulla pagina degli esami dei CdS in
Matematica.
Il colloquio orale per la seconda parte dell'esame è fissato in data 21 dicembre 2023 alle ore 11:00 in aula 72.
4. Esercizi da svolgere
Partizioni e frequenze di visita: testo.
Ergodicità e mescolamento di sistemi dinamici: testo.
Frequenze ed entropia di sequenze: testo.
Matrici di compatibilità e pavimenti di Markov: testo.
5. Programma d'esame
Programma dell'insegnamento dell'A.A. 2023-2024 in formato pdf
1. Sistemi dinamici: proprietà qualitative generali
Esempi di sistemi dinamici: sistemi hamiltoniani integrabili,
gatto di Arnold, equazione di Lorenz, applicazioni dell'intervallo.
Sistemi dinamici topologici e sistemi dinamici metrici.
Isomorfismi tra sistemi dinamici.
Partizioni boreliane, partizioni topologiche e partizioni regolari.
Storie e sequenze: partizioni separanti e applicazioni espansive.
Moti simbolici e codici simbolici.
Frequenze di visita e sequenze con frequenze definite
2. Ergodicità e punti ergodici
Frequenze di visita e rotazioni sul toro. Sequenze ergodiche e sequenze mescolanti. Teorema di Birkhoff.
Sistemi dinamici ergodici e sistemi dinamici mescolanti.
Esempi di sistemi dinamici mescolanti e di sistemi ergodici non mescolanti.
Sequenze con frequenze indefinite e punti eccezionali.
Distribuzioni: stazionarie, non stazionarie, ergodiche, mescolanti.
Distribuzioni e misure di probabilità associate. Moti simbolici ergodici e punti ergodici.
Esempi di sistemi dinamici mescolanti: processo di Bernoulli, schema di Bernoulli e trasformazione del fornaio.
Teorema di Perron-Frobenius. Trasformazione a tenda e rappresentazione binaria.
3. Entropia e complessità
Complessità ed entropia di una sequenza
Entropia della sequenza associata a un moto quasi-periodico.
Entropia e coefficiente di espansione di un elemento di linea.
Teorema di Shannon-McMillan.
Entropia del processo di Bernoulli.
Entropia ed entropia media di una distribuzione su sequenze simboliche.
4. Pavimenti markoviani e sistemi di Anosov
Matrice di compatibilità. Pavimenti e pavimenti di Markov.
Distribuzioni di probabilità per sistemi dinamici
che ammettono un pavimento di Markov
Grafici associati alle matrici di compatibilità.
Classi e periodi associati alle matrici di compatibilità.
Rappresentazione di un numero naturale
sufficientemente grande come combinazione lineare
di due numeri naturali coprimi assegnati.
Matrici transitive mescolanti e mescolanti a blocchi
Teorema di Perron-Frobenius per matrici transitive.
Sistemi iperbolici regolari o sistemi di Anosov.
Esempio del gatto di Arnold.
Caratterizzazione dei sistemi di Anosov in termini di spazi tangenti.
Hölder-continuità delle varietà
stabili e instabili dei sistemi di Anosov
S-rettangoli e pavimenti di Markov.
Esistenza di pavimenti di Markov per sistemi di Anosov.
Pavimenti di Markov per il gatto di Arnold.
Pavimenti generanti e non generanti.
Probabilità condizionate in termini di dinamica simbolica.
Coefficienti ed esponenti di contrazione e di espansione.
Potenziali di contrazione e di espansione.
Codifica della misura di volume in termini di dinamica simbolica
per sistemi di Anosov bidimensionali.
5. Distribuzioni di Gibbs
Potenziali per la dinamica simbolica ed energia potenziale.
Distribuzioni di Gibbs ed equazioni DLR.
Esistenza delle distribuzioni di Gibbs. Unicità delle distribuzioni di Gibbs.
Mescolamento delle distribuzioni di Gibbs.
Distribuzioni di Gibbs su Z+.
Applicazioni espansive sull'intervallo.
6. Proprietà delle distribuzioni di Gibbs
Funzione di partizione e pressione di un potenziale:
esistenza, convessità e lipschitzianità della pressione.
Piano tangente al grafico della pressione e legame con le distribuzioni
di Gibbs. Complessità massima
di una distribuzione rispetto
a una funzione e definizione di misura SRB.
Esistenza di una misura massimizzante
ergodica nel caso di funzioni hölderiane.
Esistenza della misura SRB per sistemi di Anosov.
Formula di Pesin.
6. Diario delle lezioni
Tutti i riferimenti si intendono al testo [GBG]; cfr. la voce Testi consigliati.
6.1. Prima parte - Sistemi dinamici: proprietà qualitative generali
Lezione 1 LC (19/09/2023)
Introduzione. Alcuni esempi di sistemi dinamici:
flussi hamiltoniani, flussi quasi-periodici, gatto di Arnold,
equazione di Lorenz, applicazioni dell'intervallo
[GBG, §1.2, esempi 1.2.1, 1.2.2, 1.2.4, 1.2.5, 1.2.6 e 1.2.7].
Lezione 2 LC (19/09/2023)
Definizione di sistema dinamico topologico e metrico [GBG, §1.2, definizioni 1.2.1 e 1.2.2].
Isomorfismi tra sistemi dinamici [GBG, §1.2, definizione 1.2.3].
Lezione 3 GG (20/09/2023)
Oscillatori armonici: diagonalizazione e coordinate azione-angolo
[GBG, §1.3, proposizione 1.3.1 e corollario 1.3.2].
Lezione 4 GG (20/09/2023)
Partizioni: partizioni boreliane, partizioni topologiche e partizioni regolari
[GBG, §1.4, definizione 1.4.1].
Storie e sequenze: partizioni separanti e applicazioni espansive
[GBG, §1.4, pagg. 18-19].
Lezione 5 LC (21/09/2023)
Moti simbolici e codici simbolici [GBG, § 1.4, definizione 1.4.2
e osservazioni successive, proposizione 1.4.1].
Frequenze di visita e sequenze con frequenze definite [GBG, §1.4,
pag. 22 e definizione 1.4.3].
6.2. Seconda parte - Ergodicità e punti ergodici
Lezione 6 LC (21/09/2023)
Determinazione delle frequenze di visita per sistemi integrabili
nel caso in cui le frequenze siano
razionalmente indipendenti [GBG, §2.1, proposizione 2.1.1 e corollario 2.1.1].
Lezione 7 GG (26/09/2023)
Determinazione delle frequenze di visita per sistemi integrabili
nel caso in cui le frequenze siano
razionalmente dipendenti
[GBG, §1.3, proposizione 2.1.2].
Frequenze di vista per rotazioni quasi-periodiche sul toro [GBG, §2.2, proposizione 2.2.1].
Lezione 8 GG (26/09/2023)
Sequenze ergodiche e mescolanti [GBG, § 2.2, definizione 2.2.1].
Enunciato del teorema di Birkhoff [GBG, § 2.2, proposizione 2.2.2].
Osservazioni sul teorema di Birkhoff e sue implicazioni [GBG, § 2.2, osservazioni 1-6].
Lezione 9 GG (27/09/2023)
Dimostrazione del teorema di Birkhoff [GBG, appendice 2.2].
Lezione 10 GG (27/09/2023)
Definizione di sistema dinamico ergodico e mescolante - prima parte [GBG, §2.2, definizione 2.2.2].
Assenza di ergodicità delle rotazioni quasi-periodiche risonanti
[GBG, § 2.2, esercizio 2.30].
Assenza di mescolamento delle rotazioni quasi-periodiche non risonanti - prima parte.
Mescolamento e conseguente ergodicità del gatto di Arnold - prima parte.
Lezione 11 LC (28/09/2023)
Sequenze con frequenze indefinite e punti eccezionali
[GBG, §2.3, definizione 2.3.1].
Distribuzioni: stazionarie, non stazionarie, ergodiche, mescolanti
[GBG; sect;2.3, definizioni 2.3.2 e 2.3.3].
Lezione 12 LC (28/09/2023)
Distribuzioni e misure di probabilità - inizio
[GBG, §2.3, proposizione 2.3.1 - enunciato].
Lezione 13 LC (03/10/2023)
Distribuzioni e misure di probabilità - conclusione
[GBG, §2.3, proposizione 2.3.1 - dimostrazione].
Moti ergodici e punti ergodici [GBG; §2.3, definizione 2.3.4].
Lezione 14 LC (03/10/2023)
Caratterizzazione delle distribuzioni [GBG; §2.3, proposizione 2.3.2].
Lezione 15 GG (04/10/2023)
Definizione di sistema dinamico ergodico e mescolante - seconda parte [GBG, §2.2, proposizione 2.2.4,
ed esercizi 2.2.41 e 2.2.44].
Ancora sull'ergodicità delle rotazioni quasi-periodiche non risonanti
[BDG, §2.2, esercizio 2.2.30].
Assenza di mescolamento delle rotazioni quasi-periodiche non risonanti - seconda parte
[BDG, §2.2, esercizio 2.2.32].
Mescolamento e conseguente ergodicità del gatto di Arnold - seconda parte
[BDG, §2.2, esercizio 2.2.48].
Lezione 16 GG (04/10/2023)
Processo di Bernoulli: definizione e mescolamento [GBG, §2.2, esercizio 2.2.42].
Trasformazione del fornaio: definizione e isomorfismo con il processo di Bernoulli
[GBG, §2.2, esercizio 2.2.43].
Lezione 17 GG (05/10/2023)
Schema di Bernoulli e distribuzione associata
[GBG, §2.3, esercizio 2.3.2].
Teorema di Perron-Frobenius - prima parte [GBG, §2.3, esercizi 2.3.7].
Lezione 18 GG (05/10/2023)
Teorema di Perron-Frobenius - seconda parte [GBG, §2.3, esercizio 2.3.10
(inizio)].
Lezione 19 GG (10/10/2023)
Teorema di Perron-Frobenius - terza parte [GBG, §2.3, esercizi 2.3.10 (conclusione)].
Lezione 20 GG (10/10/2023)
Trasformazione a tenda e rappresentazione binaria [GBG, §1.4, esercizio 1.4.10].
6.3. Terza parte - Entropia e complessità
Lezione 21 LC (11/10/2023)
Complessità ed entropia di una sequenza
[GBG, §3.1, definizione 3.1.1].
Lezione 22 LC (11/10/2023)
Entropia della sequenza associata a un moto quasi-periodico
[GBG, §3.1, proposizione 3.1.1].
Lezione 23 LC (12/10/2023)
Entropia e coefficiente di espansione di un elemento di linea
[GBG, §3.1, definizione 3.1.2 e proposizione 3.1.2].
Lezione 24 LC (12/10/2023)
Teorema di Shannon-McMillan [GBG, §3.2, proposizione 3.2.1 - enunciato,
lemmi 3.2.1, 3.2.2].
Lezione 25 LC (17/10/2023)
Teorema di Shannon-McMillan [GBG, §3.2, proposizione 3.2.1 - prima parte della dimostrazione].
Lezione 26 LC (17/10/2023)
Teorema di Shannon-McMillan [GBG, §3.2, proposizione 3.2.1 - seconda parte della dimostrazione].
Lezione 27 LC (18/10/2023)
Teorema di Shannon-McMillan [GBG, §3.2, proposizione 3.2.1 - terza parte della dimostrazione].
Lezione 28 LC (18/10/2023)
Entropia del processo di Bernoulli [GBG, §3.1, esercizi 3.1.6 e 3.1.10;
§3.2, esercizi 3.2.3 e 3.2.4].
Entropia ed entropia media
di una distribuzione su sequenze simboliche
[GBG, §3.2, esercizio 3.2.2; §3.3, corollario 3.3.1, e definizione 3.3.1].
6.4. Quarta parte - Pavimenti markoviani e sistemi di Anosov
Lezione 29 GG (24/10/2023)
Matrice di compatibilità [GBG, §,4.1, definizione 4.1.2].
Pavimenti [GBG, §4.1, definizione 4.1.2].
Pavimenti di Markov [GBG, §4.1, definizione 4.1.23 e osservazioni 1, 2, 3, 6 e 7].
Distribuzioni di probabilità per sistemi dinamici che ammettono un pavimento di Markov
[GBG, §4.1, proposizione 4.1.1].
Lezione 30 GG (24/10/2023)
Grafici associati alle matrici di compatibilità [GBG, §4.1, esercizi 4.1.4, 4.1.5 e 4.1.6].
Lezione 31 GG (25/10/2023)
Classi e periodi associati alle matrici di compatibilità
[GBG, §4.1, esercizio 4.1.7].
Rappresentazione di un
numero naturale
sufficientemente grande come combinazione lineare
di due numeri naturali coprimi assegnati.
Lezione 32 GG (25/10/2023)
Matrici transitive mescolanti e mescolanti a blocchi
[GBG, §4.1, esercizio 4.1.8].
Lezione 33 GG (26/10/2023)
Teorema di Perron-Frobenius per matrici transitive
[GBG, §4.1, esercizi 4.1.11, 4.1.12, 4.1.13, 4.1.14, 4.1.15 e 4.1.16].
Lezione 34 GG (26/10/2023)
Sistemi iperbolici regolari o sistemi di Anosov [GBG, §4.2, definizione 4.2.1].
Esempio del gatto di Arnold [GBG, §4.2].
Caratterizzazione dei sistemi di Anosov in termini di piani tangenti [GBG, §4.2, proposizione 4.2.1].
Lezione 35 GG (31/10/2023)
Hölder-continuità delle varietà stabili e instabili dei sistemi di Anosov
[GBG, §4.2, proposizione 4.2.1 ed esercizio 4.2.8].
S-rettangoli e pavimenti di Markov [GBG, §4.2, definizione 4.2.2].
Lezione 36 GG (31/10/2023)
Esistenza di pavimenti di Markov per sistemi di Anosov - inizio
[GBG, §4.2, proposizione 4.2.3, punti A, B, C, D ed E].
Lezione 37 GG (02/11/2023)
Esistenza di pavimenti di Markov per sistemi di Anosov - conclusione
[GBG, §4.2, proposizione 4.2.3, punto F].
Lezione 38 GG (02/11/2023)
Pavimenti di Markov per il gatto di Arnold
[GBG, §4.3, esercizi 4.3.6 e 4.3.7].
Lezione 39 GG (14/11/2023)
Ultime osservazioni sui pavimenti di Markov per il gatto di Arnold:
pavimenti generanti e non generanti [GBG, §4.1, osservazione 5].
Discussione degli
esercizi sulle matrici di compatibilità e sui pavimenti di Markov - prima parte.
Lezione 40 GG (14/11/2023)
Discussione degli
esercizi sulle matrici di compatibilità e sui pavimenti di Markov - seconda parte.
Lezione 41 GG (15/11/2023)
Probabilità condizionate in termini di dinamica simbolica
[GBG, §4.3, definizione 4.3.1 e osservazioni successive 1, 2, 3 e 4].
Coefficienti ed esponenti di contrazione e di espansione
[GBG, §4.3, definizione 4.3.2 e osservazioni successive 1, 2 e 3].
Potenziali di contrazione e di espansione
[GBG, §4.3, proposizione 4.3.1].
Lezione 42 GG (15/11/2023)
Codifica della misura di volume in termini di dinamica simbolica
per sistemi di Anosov in d=2 [GBG, §4.3, proposizione 4.3.2].
6.5. Quinta parte - Distribuzioni di Gibbs
Lezione 43 LC (16/11/2023)
Potenziali per la dinamica simbolica ed energia potenziale
[GBG, §5.1, definizione 5.1.1].
Distribuzioni di Gibbs ed equazioni DLR
[GBG, §5.1, definizioni 5.1.2 e 5.1.3].
Lezione 44 LC (16/11/2023)
Esistenza delle distribuzioni di Gibbs
[GBG, §5.1, proposizione 5.1.1 e corollario 5.1.1].
Lezione 45 LC (21/11/2023)
Unicità delle distribuzioni di Gibbs - prima parte
[GBG, §5.2, proposizione 5.2.1 e commenti successivi].
Lezione 46 LC (21/11/2023)
Unicità delle distribuzioni di Gibbs - seconda parte
[GBG, §5.2, proposizione 5.2.1 e commenti successivi].
Lezione 47 LC (22/11/2023)
Mescolamento delle distribuzioni di Gibbs - prima parte [GBG, §5.2, corollario 5.2.1].
Lezione 48 LC (22/11/2023)
Mescolamento delle distribuzioni di Gibbs - seconda parte [GBG, §5.2, corollario 5.2.1].
Lezione 49 LC (23/11/2023)
Distribuzioni di Gibbs su Z+ [GBG, §5.3,
definizione 5.3.1, e proposizioni 5.3.1 e 5.3.2].
Lezione 50 LC (23/11/2023)
Distribuzioni di Gibbs su Z+ [GBG, §5.3,
corollario 5.3.1, proposizione 5.3.3 (inizio)].
Lezione 51 LC (28/11/2023)
Distribuzioni di Gibbs su Z+ [GBG, §5.3,
proposizione 5.3.3 (conclusione)].
Lezione 52 LC (28/11/2023)
Applicazioni espansive sull'intervallo - prima parte [GBG, §5.4, introduzione e proposizione 5.4.1 (inizio)].
Lezione 53 LC (29/11/2023)
Applicazioni espansive sull'intervallo - seconda parte [GBG, §5.4, proposizione 5.4.1 (continuazione)].
Lezione 54 LC (29/11/2023)
Applicazioni espansive sull'intervallo - terza parte [GBG, §5.4, proposizione 5.4.1 (contnuazione)].
Lezione 55 LC (30/11/2023)
Applicazioni espansive sull'intervallo - terza parte [GBG, §5.4, proposizione 5.4.1 (conclusione)].
Lezione 56 LC (30/11/2023)
Discussione degli
esercizi sulle frequenze e sull'entropia di sequenze.
6.6. Sesta parte - Proprietà delle istribuzioni di Gibbs
Lezione 57 GG (05/12/2023)
Funzione di partizione e pressione di un potenziale:
esistenza, convessità e lipschitzianità della pressione
[GBG, §6.1, proposizione 6.1.1].
Lezione 58 GG (05/12/2023)
Piano tangente al grafico della pressione e legame con le distribuzioni
di Gibbs - prima parte [GBG, §6.1, proposizione 6.1.2].
Lezione 59 GG (07/12/2023)
Piano tangente al grafico della pressione e legame con le distribuzioni
di Gibbs - seconda parte [GBG, §6.1, proposizione 6.1.2].
Lezione 60 GG (07/12/2023)
Complessità massima di una distribuzione rispetto
a una funzione e definizione di misura SRB
[GBG, §6.2, definizioni 6.2.1 e 6.2.2].
Esistenza di una misura massimizzante ergodica nel caso di funzioni
hölderiane - prima parte [GBG, §6.2, lemma 6.2.1].
Lezione 61 GG (12/12/2023)
Esistenza di una misura massimizzante ergodica nel caso di funzioni
hölderiane - seconda parte [GBG, §6.2, lemma 6.2.1].
Lezione 62 GG (12/12/2023)
Esistenza della misura SRB per sistemi di Anosov - prima parte
[BDG, §6.3, proposizione 6.3.3].
Lezione 63 GG (13/12/2023)
Esistenza della misura SRB per sistemi di Anosov - seconda parte
[BDG, §6.3, corollario 6.3.1].
Formula di Pesin:
legame tra entropia media delle misure SRB
e i coefficienti di espansione e di contrazione
[BDG, §6.3, proposizione 6.3.4].
Uguaglianza tra l'autovalore massimo di un automorfismo di Anosov e
di una quasiasi matrice di compatibiltà associata
[BDG, §6.3, proposizione 6.3.1, punto (ii),
corollario 6.3.2, e osservazioni 2, 3 e 5].
