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Anno Accademico 2024-2025 |
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Analisi Matematica per le Applicazioni
(CdL in Ingegneria Meccanica)
Lezioni: Guido Gentile
1. Caratteristiche dell'insegnamento
Contenuto dell'insegnamento
Equazioni differenziali ordinarie: esistenza e unicità locale;
equazioni differenziali ordinarie lineari omogenee e non omogenee,
metodo di variazione delle costanti, sistemi di equazioni lineari;
esponenziale di una matrice; equazione di Bernoulli e di Eulero.
Funzioni di più variabili; continuità; derivate parziali;
massimi e minimi locali, matrice hessiana. Integrazione secondo Riemann;
integrali multipli.
Curve e integrali curvilinei. Superfici e integrali di superficie.
Teorema della divergenza e teorema del rotore.
I Semestre -
Crediti: 6 CFU -
TAF: a |
Testi consigliati
L'insegnamento si basa sui testi:
[BDG] Michiel Bertsch, Roberta Dal Passo, Lorenzo Giacomelli, Analisi matematica,
McGraw Hill, Milano, 2011 (seconda ed.);
[C] Pietro Caputo, Raccolta di esercizi di Analisi 2, disponibile
online;
[G] Guido Gentile, Introduzione ai sistemi dinamici - Volume 1.
Equazioni differenziali ordinarie, analisi qualitativa
e alcune applicazioni, Springer, Milano, 2021.
Un ulteriore testo a cui fare riferimento per gli esercizi è:
Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Esercitazioni di analisi matematica due - Volumi 1 e 2,
Zanichelli, Milano, 2017.
Modalità degli esami
L'esame consiste in una prova scritta, da svolgere in 3 ore, e in un successivo colloquio orale, da svolgere dopo la pubblicazione dei
risultati della prova scritta. La prova scritta prevede 6 esercizi, oltre a un esercizio preliminare, articolato in 4 domande; solo nel caso
in cui almeno 3 risposte su 4 siano corrette si procede alla valutazione dei restanti esercizi della prova (cfr. i testi delle prove d'esame
scritte degli anni accademici 2022-2023 e
2023-2024
per la tipologia degli esercizi).
Il superamento della prova scritta (con voto ≥18)
consente di sostenere il colloquio orale in un appello qualsiasi dello stesso anno accademico. Sia per la prova scritta che per la prova
orale occorre prenotarsi su GOMP all'appello in cui si intenda sostenerla, obbligatoriamente entro la scadenza fissata indicata sul portale.
2. Orari
Orario delle lezioni: lunedì ore 16:00-18:00 (aula N1),
giovedì ore 16:00-19:00 (aula N1).
Inizio delle lezioni: 26 settembre 2024 ore 16:00-19:00 -
Termine delle lezioni: 19 dicembre 2024 ore 16:00-19:00.
Le registrazioni delle lezioni sono disponibili su Teams.
Orario di ricevimento:
giovedì ore 14:00-16:00 previo appuntamento (tramite e-mail o Teams).
3. Calendario degli esami
Le date degli esami e le modalità di prenotazione tramite GOMP sono riportate sulla pagina degli
appelli d'esame
del
Dipartimento di Ingegneria Industriale, Elettronica e Meccanica.
4. Prove d'esame: testi e risultati
Appello I:
29 gennaio 2025 - ore 14:00 - aule N1 e N10 -
Testo -
Risultati.
Orali: 6 febbraio 2025 - ore 10:00 - aula N21;
7 febbraio 2025 - ore 10:00 - aula N21;
10 febbraio 2025 - ore 10:00 - aula N6; 11 febbraio 2025 - ore 10:00 - aula N6
(le modalità di prenotazioni per la prova orale sono indicate su Teams).
Appello II:
17 febbraio 2025 - ore 14:00 - aule N1 e N10 -
Testo -
Soluzioni -
Risultati.
Orali: 24 febbraio 2025 - ore 11:00 - aula 52 (Dipartimento di Matematica
e Fisica - Via della Vasca Navale, 84);
27 febbraio 2025 - ore 10:00 - aula N21;
28 febbraio 2025 - ore 10:00 - aula N21
(le modalità di prenotazioni per la prova orale sono indicate su Teams).
Appello III:
23 aprile 2025 ore 14:00 - aula N4 -
Testo -
Risultati.
Orali:
30 aprile 2025 ore 14:00 - aula N4;
5 maggio 2024 ore 14:00 - aula M6
(Dipartimento di Matematica e Fisica, Largo S. Leonardo Murialdo 1).
Appello IV: da fissare.
Appello V: da fissare.
Appello VI: da fissare.
5. Programma d'esame
Programma orientativo dell'insegnamento dell'A.A. 2024-2025 in formato pdf
1. Equazioni differenziali ordinarie
Equazioni differenziali del primo ordine.
Problema di Cauchy: teorema di esistenza e unicità locale.
Equazioni differenziali a variabili separabili.
Equazioni differenziali lineari del primo ordine.
Sistemi di equazioni diffrenziali lineari del primo ordine.
Equazioni differenziali lineari di qualsiasi ordine.
Soluzioni linearmente indipendenti e determinante wronskiano.
Metodo di variazione delle costanti.
Equazioni differenziali lineari
a coefficienti costanti e polinomio caratteristico.
Sistemi lineari del primo ordine a coefficienti costanti.
Soluzione in termini di esponenziale di una matrice.
Calcolo dell'esponenziale di una matrice nel caso di
matrici diagonalizzabili, nilpotenti e non diagonalizzabili.
Alcune equazioni differenziali ordinarie notevoli: equazione di Bernoulli e di Eulero.
2. Calcolo differenziale in più variabili
Norma e distanza in Rn. Funzioni continue,
punti estremali e teorema di Weierstrass. Derivate direzionali.
Derivate parziali e gradiente.
Funzioni di classe C1
e funzioni di classe C2.
Sviluppo di Taylor al primo ordine e piano tangente. Derivate successive e matrice hessiana.
Teorema di Schwarz. Derivazione di funzioni composte. Sviluppo di Taylor al secondo ordine.
Massimi e minimi locali.
Metodo dei moltiplicatori di Lagrange per massimi e minimi vincolati.
3. Calcolo integrale in più variabili
Integrazione secondo Riemann.
Integrazione di funzioni continue. Integrali doppi e integrali tripli.
Domini normali. Formula di riduzione.
Calcolo di aree e di volumi.
Cambiamento di variabili negli integrali
e matrice jacobiana. Coordinate polari, cilindriche e sferiche.
4. Curve e superfici
Curve in Rn: parametrizzazione, curve equivalenti, verso di una curva
e lunghezza di una curva.
Integrali curvilinei di una funzione (o di prima specie)
e integrali di una forma differenziale
(o di seconda specie).
Lavoro e integrali curvilinei di un campo vettoriale.
Superfici regolari in R3.
Area di una superficie.
Integrali su superfici.
Formula di Green. Teorema della divergenza e teorema del rotore nel piano e nello spazio.
6. Diario delle lezioni
Tutti i riferimenti si intendono ai testi [BDG], [C] e [G]; cfr. la voce Testi consigliati.
6.1. Prima parte: equazioni differenziali ordinarie
Lezione 1 (26/09/2024)
Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie: equazione di Newton
[BDG, Cap. 17, pag. 484].
Equazioni differenziali ordinarie di ordine n in forma normale [BDG, Cap. 17, pagg. 484-485].
Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine lineari omogenee
[BDG, Cap. 17, pag. 485].
Soluzione generale di un'equazione lineare omogenea [BDG, Cap. 17, pag. 486]. Problema di Cauchy:
esistenza e unicità della soluzione con condizioni iniziali fissate [BDG, pagg. 485-486, teorema 17.1].
Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine lineari non omogenee ed equazioni omogenee
associate [BDG, Cap. 17, pag. 485]. Soluzione particolare di un'equazione differenziale ordinaria
lineare non omogenea [BDG, Cap. 17, pag. 487].
Soluzione generale di un'equazione differenziale
ordinaria lineare non omogenea [BDG, Cap. 17, pagg. 486-487 e teorema 17.2].
Lezione 2 (26/09/2024)
Metodo ad hoc per determinare una soluzione particolare:
(1) y' = a y + Pn(x),
dove Pn(x) è un polinomio
di grado n ⇒
si cerca la soluzione particolare nella forma Qn(x),
dove Qn(x)
è un polinomio di grado n;
(2) y'=a y + Aeλx ⇒
si cerca la soluzione particolare nella forma αeλx
se a≠λ e nella forma xeλx se a=λ;
(3) y'=a y + eλxPn(x), dove Pn(x) è un polinomio di grado n
⇒ si cerca la soluzione particolare
nella forma eλxQn(x)
se a≠λ e nella forma eλx x Qn(x)
se a=λ,
dove Qn(x)
è un polinomio di grado n.
Lezione 3 (26/09/2024)
Metodo ad hoc per determinare una soluzione particolare:
(4) y'=a y + Acosμx +Bsinμx
⇒ si cerca
la soluzione particolare nella forma αsinμx +βsinμx;
(5) y'=a y + eλx(An(x) cosμx +Bn(x) sinμx),
dove An(x) e
Bn(x) sono polinomi di grado n
⇒ si cerca la soluzione particolare nella forma
eλx(αn(x) cosμx +βn(x) sinμx)
se μ≠0 oppure μ=0 e λ≠a
e nella forma eλx x (αn(x) cosμx
+βn(x) sinμx)
se μ=0 e λ=a,
dove αn(x) e βn(x)
sono polinomi di grado n; (6) y'=a y + b(x), dove b(x) è la somma
di funzioni b1(x), b2(x),...,
bN(x) della forma considerata ai punti precedenti ⇒ la soluzione particolare è data
dalla somma delle soluzioni particolari delle equazioni y'=a y + b1(x),
y'=a y + b2(x),...,y'=a y + bN(x).
Alcuni esempi illustrativi del metodo ad hoc [BDG, pagg. 487-490, esempi 17.3, 17.5, 17.6, 17.7 e 17.8].
Lezione 4 (30/09/2024)
Metodo di variazione della costante per equazioni differenziali lineari del primo ordine non omogenee
[BDG, pag. 487 e teorema 17.3]. Problema per di Cauchy per equazioni differenziali lineari non omogeneee:
esistenza e unicità della soluzione con condizioni iniziali fissate [BDG, pag. 487, teorema 17.3].
Lezione 5 (30/09/2024)
Alcuni esempi illustrativi del metodo di variazione della costante [BDG, pag. 490, esercizi 17.1, e), f)
e 17.2, a), b)].
Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine a variabili separabili
[BDG, pagg. 490-491].
Un esempio di equazione differenziale a variabili separabili
[BDG, pagg. 492, esempio 17.10].
Lezione 6 (03/10/2024)
Funzioni localmente lipschitziane e funzioni di classe C1, teorema di esistenza e unicità
per equazioni
differenziali ordinarie del primo ordine in R [BDG, pag. 492, teorema 17.4].
Sistemi di equazioni
differenziali ordinarie del primo ordine in Rn e di ordine qualsiasi in R
[BDG, pagg. 496-497].
Teorema di esistenza e unicità
per equazioni differenziali ordinarie del primo ordine in Rn e per equazioni
differenziali ordnarie di ordine qualsiasi in R [BDG, pagg. 496-497, paragrafo 17.2.3 e teorema 17.6].
Lezione 7 (03/10/2024)
Intervallo massimale in cui è definita la soluzione e grafico della soluzione
del problema di Cauchy
[BDG, pagg. 492-494, teorema 17.4, figura 17.3 ed esempio 17.11].
Equazioni differenziali ordinarie
del primo ordine nel caso di funzioni solo lipschitiziane [G, pag. 185, esercizio 3.34]
e nel caso di
funzioni continue non lipschitiziane: non unicità della soluzione [BDG, pag. 491, esempio 17.9].
Equazioni differenziali ordinarie lineari del secondo ordine omogenee e non omogenee [BDG, pagg. 498].
Lezione 8 (03/10/2024)
Soluzioni linearmente indipendenti di un'equazione differenziale ordinaria lineare omogenea del secondo ordine
[BDG, pag. 498, definizione 17.8]. Equazioni differenziali ordinarie lineari omogenee del secondo ordine
a coefficienti costanti: equazione caratteristica e soluzione generale [BDG, pagg. 500-501, paragrafo 17.3.1
e teorema 17.11].
Esercizi sulle equazioni a variabili separabili [G, pagg. 182-183, esercizi 3.27 e 3.29].
Lezione 9 (07/10/2024)
Determinante wronskiano e soluzioni linearmente
indipendenti di un'equazione differenziale ordinaria
lineare omogenea del secondo ordine [BDG, pag. 499, lemma 17.9].
Soluzione generale di un'equazione
differenziale
ordinaria lineare omogenea del secondo ordine [BDG, pag. 500, teorema 17.10].
Equazioni differenziali ordinarie lineari non omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti: metodo di
variazione delle costanti per determinare una soluzione particolare dell'equazione non omogeneea e calcolo
della soluzione generale [BDG, pagg. 502-503, paragrafo 17.3.2, sottoparagrafo 1, ed esempio 17.16].
Lezione 10 (07/10/2024)
Metodo ad hoc per determinare una soluzione particolare: (1) alcuni esempi propedeutici al caso
generale [BDG, pagg. 503-505, paragrafo 17.3.2, sottoparagrafo 2, esempio 17.17, a), ed esempio 17.18];
(2) ay''+by'+cy = eλx
(An(x) sinνx +
Bn(x) cosνx),
dove An(x) e Bn(x)
sono polinomi di grado n ⇒ si cerca
la soluzione particolare nella forma eλx
(αn(x) sinνx +
βn
(x) cosνx)
se λ±iν non sono zeri dell'equazione
caratteristica, nella forma x eλx
(αn(x) sinνx +
βn(x) cosνx)
se λ±iν sono zeri semplici dell'equazione
caratteristica, e nella forma
x2
eλx
(αn(x) sinνx +
βn(x) cosνx)
se ν=0 e λ è uno zero doppio
dell'equazione caratteristica, dove
αn(x) e βn(x)
sono polinomi di grado n [G, esercizi 2.43 e 2.44].
Lezione 11 (10/10/2024)
Esercizi sulle equazioni differenziali ordinarie lineari non omogenee del secondo ordine
[BDG, pagg. 504-505, esempio 17.19, esercizio 17.6, g), h, i)
(soluzione); C, esercizio 1.25].
Lezione 12 (10/10/2024)
Esercizi sulle equazioni differenziali a variabili separabili
[G, pag. 184, esercizio 3.33;
A.A. 2022-2023,
Appello V, esercizio 1
(soluzione);
A.A. 2022-2023,
Appello III, esercizio 1].
Lezione 13 (10/10/2024)
Esercizi sulle equazioni differenziali ordinarie lineari non omogenee del secondo ordine
[A.A.
2022-2023, Appello V, esercizio 3
(soluzione);
A.A. 2023-2024,
Appello III, esercizio 3
(soluzione)].
Lezione 14 (14/10/2024)
Equazioni differenziali ordinarie lineari di ordine n omogenee:
problema di Cauchy,
soluzione generale e matrice wronskiana [BDG, pagg. 506-507]. Equazioni differenziali ordinarie
lineari
di ordine n non omogenee a coefficienti costanti: soluzione particolare
e soluzione generale [BDG, pag. 507]. Esercizi sulle equazioni differenziali ordinarie lineari
non omogenee a coefficienti costanti [BDG, pagg. 506-507, esempi 17.20, 17.21 e 17.22].
Lezione 15 (14/10/2024)
Sistemi di equazioni differenziali ordinarie lineari omogenee del primo ordine: riscrittura in forma
vettoriale y' = A(x)y
[BDG, pagg. 514-515]. Esponenziale di una matrice:
definizione come
serie di matrici assolutamente convergente [G, pagg. 25-26, definizione 1.67 e proposizione 1.68].
Soluzione di un sistema di equazioni differenziali ordinarie lineari
omogenee a coefficienti costanti
nella forma di un esponenziale di matrice [G, pag. 70, lemma 2.3].
Calcolo dell'esponenziale
di una matrice diagonale [G, pagg. 26-27, lemma 1.69, proprietà 4].
Calcolo dell'esponenziale
di una matrice diagonalizzabile
[G, pagg. 26-28, lemma 1.69, proprietà 1 e osservazione 1.70].
Esercizio sui sistemi di equazioni differenziali ordinarie
lineari omogenee del primo ordine
a coefficienti costanti nel caso di matrici diagonalizzabili [BDG, pag. 517, esempio 17.29].
Lezione 16 (17/10/2024)
Calcolo dell'esponenziale di una matrice semisemplice
[G, pagg. 22, lemma 1.63, pag. 26,
lemma 1.69, proprietà 5].
Esercizio sui sistemi di equazioni differenziali ordinarie
lineari omogenee
del primo ordine
a coefficienti costanti nel caso di matrici semisemplici
[BDG, pag. 518-19,
esempio 17.30]. Calcolo dell'esponenziale di una matrice nilpotente
[G, pag. 29, osservazione 1.73].
Lezione 17 (17/10/2024)
Calcolo dell'esponenziale di una matrice non diagonalizzabile
[G, pag. 26, lemma 1.69, proprietà 2,
e pag. 36, teorema 1.84].
Esercizio sui sistemi di equazioni differenziali ordinarie
lineari omogenee
del primo ordine nel caso di matrici non diagonalizzabili
[BDG, pag. 518-19, esempio 17.31].
Oscillatore armonico in presenza di dissipazione
e di un'eventuale forzante: soluzione generale e condizione
di risonanza [BDG, pag. 505, esercizio 1.8; G,
pag. 103, esempio 2.19, pagg. 107-108, esempio 2.31].
Lezione 18 (17/10/2024)
Esercizi sui sistemi di equazioni differenziali ordinarie
lineari omogenee del primo ordine a coefficienti
costanti in R3 nel caso di matrici semisemplici
[G, pagg. 83-91, esempio 2.11]
e di matrici il cui
l'esponenziale
si possa calcolare a partire
dalla definizione
[G, pag. 64, esercizio 1.53 e pag. 118, esercizio 2.30, inizio].
Lezione 19 (21/10/2024)
Equazione di Eulero: determinazione della soluzione attraverso
un cambio di variabile [BDG, pagg. 509-510].
Esercizi sulle equazioni di Eulero
[BDG, pag. 510, esempio 17.26, ed esercizi 17.12 e 17.13].
Equazione di
Bernoulli: determinazione della soluzione
attraverso un cambio di variabile
[G, pag. 186, esercizio 3.38].
Lezione 20 (21/10/2024)
Esercizi sulle equazioni di Bernoulli
[G, pagg. 186-187, esercizi 3.39 e 3.40;
C, esercizi 1.18 e 1.20].
Esempio
di equazione differenziale lineare del terzo ordine
[BDG, pag. 509, esercizio 17.10, a)].
Esercizi sui sistemi
di equazioni differenziali ordinarie
lineari omogenee del primo ordine a coefficienti
costanti in R3
nel caso di
matrici il cui l'esponenziale
si possa calcolare a partire
dalla definizione
[G, pag. 118, esercizio 2.30, fine].
Lezione 21 (24/10/2024)
Esercizi di ricapitolazione sulle equazioni differenziali ordinarie - prima parte
[A.A. 2022-2023, Appello
I, esercizio 2;
A.A. 2022-2023,
Appello II, esercizio 3].
Lezione 22 (24/10/2023)
Esercizi di ricapitolazione sulle equazioni differenziali ordinarie - seconda parte
[A.A. 2023-2024,
Appello IV, esercizio 1;
A.A. 2023-2024, Appello
IV, esercizio 2].
Lezione 23 (24/10/2024)
Esercizi di ricapitolazione sulle equazioni differenziali ordinarie - terza parte
[A.A. 2023-2024, Appello
IV, esercizio 3;
A.A. 2023-2024,
Appello VI, esercizio 1].
Lezione 24 (28/10/2024)
Esercizi di ricapitolazione sulle equazioni differenziali ordinarie - quarta parte
[A.A. 2022-2023, Appello straordinario del 21/11/2023, esercizio 3;
A.A. 2022-2023,
Appello II, esercizio 3;
A.A. 2022-2023, Prova di valutazione del 02-11-2022, esercizio 2].
Lezione 25 (28/10/2024)
Esercizi di ricapitolazione sulle equazioni differenziali ordinarie - quinta parte
[C, esercizio 1.5;
A.A. 2022-2023, Prova di valutazione del 26-12-2022, esercizio 1;
A.A. 2022-2023,
Appello II, esercizio 1;
A.A. 2023-2024,
Appello VI, esercizio 2].
6.2. Seconda parte: calcolo differenziale in più variabili
Lezione 26 (31/10/2024)
Funzioni di più variabili [BDG, pagg. 303-304].
Dominio [BDG, pag. 305, definizione ed esempio 10.1].
Richiami su prodotto scalare, norma euclidea,
distanza [BDG, pag. 306].
Intorni sferici; punti di
accumulazione e punti isolati; punti interni, punti esterni e punti di frontiera; interno di un insieme;
chiusura di un insieme; insiemi aperti, insiemi chiusi e insiemi limitati
[BDG, pagg. 307-308].
Lezione 27 (31/10/2024)
Elemento ∞ [BDG, §10.2.3, pag. 310].
Limite in Rn: definizione e proprietà
[BDG, pag. 313].
Funzioni continue in Rn [BDG, pag. 314, definizione 10.9].
Calcolo di limiti: osservazioni generali ed esempi.
Curve parametrizzate [BDG, §10.3.3, pagg. 316-317, definizione 10.14 ed esempi 10.10 e 10.11].
Lezione 28 (31/10/2024)
Limite di forme indeterminate in Rn
[BDG, pagg. 319-320, esempio 10.14; pagg. 323-324, esempio 10.19].
Studio del limite per (x,y) → (0,0) delle funzioni
(x4+y4)/(x2+y4) e
y(x2+y2)/(x4+y2).
Punti di massimo
e di minimo locale [BDG, §10.3, pag. 313].
Insiemi compatti (chiusi e limitati) in Rn [BDG, pag. 315].
Funzioni continue in insiemi compatti: teorema di Weierstrass [BDG, pag. 316, teorema 10.10].
Lezione 29 (04/11/2024)
Funzioni discontinue: esempi [BDG, pag. 320-322, esempio 10.15, esercizio 10.15, a), c)].
Calcolo di limiti attraverso l'uso di coordinate polari [BDG, pagg. 324-326, esempi 10.14 e 10.19].
Studio del limite delle funzioni
(x4+y4)/(x2+y4) e
y(x2+y2)/(x4+y2)
utilizzando coordinate polari.
Rapporto incrementale, derivata direzionale, derivate parziali, gradiente, funzioni derivabili
[BDG, pagg. 328-331,
definizioni 11.1 e 11.2, esempi 11.1, 11.2 e 11.4].
Esempio di funzione
di più variabili che ammette derivate parziali ma non è
continua [BDG, esempio 11.5].
Lezione 30 (04/11/2024)
Derivabilità e differenziabilità di funzioni di più variabili [BDG, pagg. 330-334, definizione 11.3].
Implicazioni della differenziabilità sulla continuità e
derivabilità di una funzione [BDG, teorema 11.4].
Teorema del differenziale totale e funzioni di classe C1
[BDG, teorema 11.5, definizione 11.6 e corollario 11.7].
Esempio di funzione differenziabile che non è di classe
C1: f(x) = x2sin(1/x)
[BDG, pag. 337].
Derivate direzionali e derivate parziali del secondo ordine
[BDG, pag. 341, definizioni ed esempio 11.13].
Funzioni due volte differenziabili e teorema di Schwarz
[BDG, pagg. 341-342, e teorema 11.11].
Matrice hessiana e forma quadratica associata - inizio
[BDG, pagg. 342-343 ed esempio 11.15].
Lezione 31 (07/11/2024)
Matrice hessiana e forma quadratica associata - conclusione
[BDG, pagg. 342-343 ed esempio 11.15].
Polinomio di Taylor al secondo ordine: derivazione
[BDG, pagg. 343-345, teorema 11.12 ed esempio 11.16].
Punti critici (o stazionari) e punti estremali (o di estremo)
[BDG, pag. 350, definizione 11.22 e teorema 11.23].
Punti di sella di una funzione
[BDG, pag. 350, definizione 11.24 ed esempio 11.21].
Lezione 32 (07/11/2024)
Criterio per la determinazione dei punti di minimo e di massimo forte
e dei punti di sella
tramite lo studio della matrice hessiana
[BDG, pag. 351, teorema 11.25 e corollario 11.26].
Studio dei punti estremali liberi di una funzione nel piano
[BDG, pagg. 351-352, esempio 11.23].
Massimi e minimi di funzioni di due variabili in insiemi compatti:
schema generale [BDG, pag. 401].
Lezione 33 (07/11/2024)
Studio dei punti estremali vincolati di una funzione: metodo diretto [BDG, pag. 396, definizione 13.8].
Esercizio sul calcolo dei punti estremali di una funzione in un sottoinsieme compatto del piano con il metodo
diretto [BDG, pagg. 351-352, esempio 11.23,
nel cerchio x2+y2 ≤ R2, con R=1 o R=2 o R=3,
e nella corona
circolare 1 ≤ x2+y2 ≤ 4].
Esercizi sui limiti di funzioni di due variabili
[BDG, pag. 326, esercizio 10.16, e), g)].
Lezione 34 (11/11/2024)
Studio dei punti estremali vincolati di una funzione: metodo dei
moltiplicatori di Lagrange [BDG, pagg. 398-399,
e teorema 13.11]. Esercizio sul calcolo dei punti estremali di una funzione in un sottoinsieme compatto
del piano con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange [BDG, pagg. 399-400, esempi 13.8, 13.19, 13.10 e 13.11].
Lezione 35 (11/11/2024)
Esercizi sul calcolo degli estremi vincolati di una funzione di due variabili e
dei punti estremali di funzioni di due
variabili in un insieme compatto [C, esercizio 2.6;
BDG, pag. 401, esercizio 13.8, e); pag. 406, esercizio 13.11, a)].
Lezione 36 (14/11/2024)
Esercizi di ricapitolazione sul calcolo differenziale in più variabili - prima parte
A.A. 2023-2024, Appello VI, esercizio 4;
A.A. 2022-2023,
Appello I, esercizio 4].
Lezione 37 (14/11/2024)
Esercizi di ricapitolazione sul calcolo differenziale in più variabili - seconda parte [A.A. 2023-2024,
Appello III, esercizio 4 (assegnato);
A.A. 2022-2023, Prova di valutazione dell'8-1-2023, esercizio 2].
Lezione 38 (14/11/2024)
Esercizi di ricapitolazione sul calcolo differenziale in più variabili - terza parte
A.A. 2023-2024,
Appello IV, esercizio 4;
A.A. 2023-2024,
Appello I, esercizio 4].
6.3. Terza parte: calcolo integrale in più variabili
Lezione 39 (18/11/2024)
Richiami sull'integrazione di una funzione di una variabile e integrali doppi su rettangoli [BDG, pag. 414].
Suddivisioni di rettangoli, somme superiori e somme inferiori [BDG, pag. 414, definizione 14.1].
Funzioni integrabili secondo Riemann in un rettangolo [BDG, pag. 414, definizione 14.2].
Integrabilità in un rettangolo delle funzioni continue [BDG, pag. 415, teorema 14.4].
Proprietà delle funzioni integrabili in rettangoli [BDG, pag. 415, teorema 14.5].
Formula di
riduzione per integrali doppi su rettangoli [BDG, pag. 415-416, teorema 14.6 ed esempi 14.2 e 14.4]
Lezione 40 (18/11/2024)
Domini semplici (o normali) rispetto all'asse x e rispetto all'asse y [BDG, pagg. 420-421,
definizione 14.16 ed esempio 14.5]. Formule di riduzione per integrali doppi su domini semplici
[BDG, pagg. 422-423, teorema 14.17]. Integrali su un dominio che si decompone
nell'unione di domini semplici [BDG, pag. 424, teorema 14.18 ed esempio 14.9].
Lezione 41 (18/11/2024)
Esercizi sugli integrali doppi su domini semplici [BDG, pagg. 425-426, esercizio 14.5, d), f), i)].
Lezione 42 (25/11/2024)
Cambiamento di coordinate in R2, matrice jacobiana
e formula di cambiamento di variabili per gli
integrali doppi [BDG, pagg. 426-428, introduzione, formula (14.15) e teorema 14.19]. Coordinate polari
per il calcolo di integrali
[BDG, pagg. 428-430,
corollario 14.20, esempio 14.12 ed esercizio14.8, c)].
Lezione 43 (25/11/2024)
Altri cambiamenti di variabili per gli integrali doppi
[BDG, pagg. 426-428, esempi 14.16, 14.17 e 14.20].
Lezione 44 (28/11/2024)
Integrali tripli su parallelepipedi [BDG, pagg. 440-441].
Formule di riduzione per integrali tripli
su parallelepipedi [BDG,
pagg. 442-443, teorema 14.26 ed esempio 14.28].
Domini semplici
e formule di riduzione per fili [BDG, pagg. 443-444,
teorema 14.27 ed esempio 14.29].
Lezione 45 (28/11/2024)
Formule di riduzione per strati
[BDG, pag. 444, teorema 14.28 ed esempio 14.30].
Cambiamento di coordinate in R3,
matrice jacobiana e formula di cambiamento di coordinate
per gli integrali tripli [BDG, pag. 446]. Coordinate cilindriche
[BDG, pagg. 446-447,
formule ed esempio 14.34].
Coordinate sferiche
[BDG, pagg. 448-450, formule ed esempio 14.38].
Lezione 46 (28/11/2024)
Calcolo del volume della sfera
[BDG, pagg. 449-450, esempio 14.37].
Esercizi sul cambiamento di
coordinate per gli integrali tripli
[C, pagg. 43-44, esercizio 4.4; pagg. 46-47, esercizio 4.8 - inizio].
Lezione 47 (02/12/2024)
Esercizi di ricapitolazione sul calcolo integrale in più variabili - prima parte
A.A. 2023-2024,
Appello IV, esercizio 5;
A.A. 2023-2024,
Appello VI, esercizio 5;
A.A. 2022-2023,
Appello I, esercizio 5;
A.A. 2023-2024,
Appello II, esercizio 5].
Lezione 48 (02/12/2024)
Esercizi di ricapitolazione sul calcolo integrale in più variabili - seconda parte
[A.A. 2022-2023,
Prova di valutazione del 30-12-2022, esercizio 5 (non svolto in aula);
A.A. 2023-2024, Appello V,
esercizio 5; C, pagg. 46-47, esercizio 4.8 - fine].
6.4. Quarta parte: curve e superfici
Lezione 49 (05/12/2024)
Curve in Rn: chiuse, semplici, piane,
orientate [BDG, pagg. 358-359, definizione 12.1 esempio 12.1].
Vettore tangente e versore tangente a una curva
[BDG, pag. 360, formula (12.3) ed esempio 12.3]
Curve regolari e curve regolari a tratti
[BDG, pagg. 360-361, definizioni 12.3 e 12.5, teorema 12.4].
Curve cartesiane e grafici di funzioni [BDG, pag. 358].
Cambiamento di parametrizzazione e curve
equivalenti con veeso uguale od opposto
[BDG, pagg. 361-362, definizione 12.6 ed esempio 12.4].
Lezione 50 (05/12/2024)
Integrali di funzioni vettoriali [BDG, pag. 362,
definizione 12.7 e teorema 12.8]. Curve rettificabili
e lunghezza di una curva [BDG, pagg. 363-365,
definizione 12.9 e teoremi 12.10 e 12.11].
Lunghezza della circonferenza.
Altri esempi: astroide ed elica cilindrica [BDG, esempio 12.6].
Lunghezza di una curva cartesiana [BDG, pag. 365,
formula (12.5) ed esempio 12.7].
Integrali curvilinei
di prima specie [BDG, pagg. 367-368,
definizione 12.12, esempio 12.10, a), esercizio 12.7, a) e b)].
Esempio di un filo con denistà di massa non omogegea
(ovvero con distribuita in modo non uniforme).
Lezione 51 (05/12/2024)
Forme differenziali e integrali curvilinei di seconda
specie [BDG, pagg. 368-370, definizione 12.13,
teorema 12.14, ed esempi 12.11, 12.12 e 12.13].
Forme differenziali esatte e potenziali corrispondenti
[BDG, pag. 371-372, definizione 12.15, e teoremi
12.16 e 12.17]. Forme differenziali chiuse [BDG,
pagg. 372-373, definizione 12.18].
Relazione tra forme differenziali esatte e chiuse: se ω è una forma
differenziale, ω esatta ⇒ ω chiusa, mentre
ω chiusa ⇏ ω esatta
[BDG, pag. 373, esempi 12.4 e 12.15].
Lezione 52 (09/12/2024)
Campi di forze, lavoro e campi di forze conservativi
[BDG, pag. 357, pag. 370, pag. 372].
Costruzione del potenziale [BDG, esempi 12.16 e 12.17].
Curve omotope [BDG, pag. 377,
definizione 12.19]. Insiemi semplicemente connessi [BDG, pagg. 377-378,
definizione 12.20
e figura 12.12]. Relazioni tra
forme differenziali esatte e chiuse: se ω è una
forma differenziale in un
insieme semplicemente connesso ω esatta ⇔ ω chiusa
[BDG, pagg. 378-379, teoremi 12.21 e 12.22].
Lezione 53 (09/12/2024)
Esercizi sugli integrali curvilinei di prima e di seconda specie
[C, pag. 49, esecizio 5.2,
pag. 50, esercizio 5.4, pag. 51, esercizio 5.8]
Appello
III dell'A.A. 2022-2023, esercizio 6.]
Lezione 54 (12/12/2024)
Superfici in R3, paraboloide, cilindro e sfera,
[BDG, pagg. 453-454, definizione 15.1, ed esempi 15.1
e 15.2, a), b)]. Piano tangente a una superficie [BDG, pagg. 455-456,
definizione 15.3 ed esempio 15.4,
a) e b)].
Area di una superficie [BDG, pagg. 458-459,
definizione 15.5, ed esempi 15.6 e 15.7].
Lezione 55 (12/12/2024)
Integrali di superficie [BDG, pag. 459,
definizione 15.6, esempio 15.10].
Campi vettoriali nel piano e nello spazio:
divergenza e rotore
[BDG, pagg. 469-470, definizioni].
Forme chiuse e campi irrotazionali [BDG, pagg. 373-375].
Lezione 56 (12/12/2024)
Formula di Green per domini semplici
[BDG, pagg. 471-472, teorema 16.1 ed esempio 16.1].
Formula di Green per domini regolari a tratti nel
piano [BDG, pagg. 472-473, teorema 16.3].
Calcolo dell'area di un dominio
attraverso la formula di Green [BDG, pag. 474,
ed esempio 16.2].
Lezione 57 (16/12/2024)
Versore normale esterna a un dominio nel piano
[BDG, pag. 474]. Teorema della divergenza nel piano
[BDG, pag. 475, teorema 16.5].
Teorema del rotore nel piano [BDG, pagg. 475-476, teorema 16.6].
Campi vettoriali nel piano: flusso uscente da un dominio
e circuitazione lungo un curva chiusa [BDG, pag. 476].
Esercizi sul teorema della divergenza e del rotore nel piano
[BDG, pagg. 475-476, esempi 16.3 e 16.4].
Lezione 58 (16/12/2024)
Campi vettoriale nello spazio: flusso uscente da un dominio
e circuitazione lungo un curva chiusa
[BDG, pagg. 479-480].
Teorema della divergenza nello spazio [BDG, teorema 16.8 ed esempio 16.7].
Teorema del rotore nello spazio [BDG, pagg. 480-481,
teorema 16.9 ed esempio 16.9].
Esercizi sul teorema del rotore nello spazio
[BDG, pag. 481, esercizio 16.6, a)].
Lezione 59 (19/12/2024)
Esercizi di ricapitolazione sugli integrali curvilinei e di superficie - prima parte
[Appello
IV dell'A.A. 2022-2023, esercizio 6;
Appello
V dell'A.A. 2022-2023, esercizio 6].
Lezione 60 (19/12/2024)
Esercizi di ricapitolazione sugli integrali curvilinei e di superficie - seconda parte
[Appello
VI dell'A.A. 2023-2024, esercizio 6;
Appello
V dell'A.A. 2023-2024, esercizio 6].
Lezione 61 (19/12/2024)
Esercizi di ricapitolazione sugli integrali curvilinei e di superficie - terza parte
[Appello
Straordinario II dell'A.A. 2022-2023, esercizio 6;
Appello
I dell'A.A. 2022-2023, esercizio 6.]
