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Anno Accademico 2024/2025 |
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FM210 - Meccanica Analitica (CdL in Matematica)
Meccanica Analitica (CdL in Fisica)
Lezioni: Guido Gentile
Esercitazioni: Livia Corsi e Guido Gentile
Tutorato: Simone Corriano e Laura Fagotto
1. Caratteristiche dell'insegnamento
Contenuto dell'insegnamento
Sistemi meccanici conservativi. Analisi qualitativa del moto e stabilità secondo Ljapunov.
Sistemi unidimensionali.
Moti centrali e problema dei due corpi.
Cambiamento di sistemi di riferimento. Forze apparenti. Vincoli. Sistemi rigidi.
Meccanica lagrangiana. Primo principio variazionale di Hamilton. Variabili cicliche, momenti conservatie simmetrie.
Meccanica hamiltoniana. Secondo principio variazionale di Hamilton.
Teorema di Liouville e teorema del ritorno di Poincaré.
Trasformazioni canoniche. Condizione di Lie. Funzioni generatrici. Metodo di Hamilton-Jacobi e variabili azione-angolo.
II Semestre -
Crediti: 9 CFU (Matematica) - 9 CFU (Fisica) -
TAF: b (Matematica) - b (Fisica) |
Testi consigliati
L'insegnamento si basa sui testi:
[G1] Guido Gentile, Introduzione ai sistemi dinamici - Volume 1.
Equazioni differenziali ordinarie, analisi qualitativa e alcune applicazioni, Springer, Milano, 2021;
[G2]
Guido Gentile, Introduzione ai sistemi dinamici - Volume 2.
Formalismo lagrangiano e hamiltoniano, Springer, Milano, 2022.
Per un elenco di esercizi,
oltre a quelli riportati nei testi sopra indicati, si vedano anche
il diario delle esercitazioni,
il diario delle attività di tutorato,
la raccolta di
esercizi svolti a cura di Valerio Brunetti,
la raccolta degli
esercizi discussi durante le attività di tutorato nell'A.A. 2022-2023
a cura di Federico Manzoni e Michela Policella,
i diari di esercitazioni e attività di tutorato, e
i testi delle prove di esonero e di esame degli
anni accademici precedenti.
Modalità degli esami
L'esame consiste in una prova scritta, da svolgere in 3 ore ed
eventualmente sostituita da due prove in itinere (esoneri),
e una prova orale, da svolgere dopo la pubblicazione dei
risultati della prova scritta. La prova scritta prevede 5 esercizi
(cfr. i testi delle prove d'esame scritte degli anni accademici
precedenti per la tipologia degli esercizi). Il superamento
della prova scritta (con voto ≥18) consente di sostenere la prova orale
in un qualsiasi appello purché dello stesso anno
accademico. Sia per la prova scritta che per la prova orale occorre
prenotarsi su GOMP alla prova scritta dell'appello
in cui si intenda sostenerla, obbigatoriamente entro la scadenza
indicata sul portale; eventuali problemi di prenotazione
su GOMP deono essere comunicati tassativamente prima della scadenza,
altrimenti non sono presi in considerazione.
2. Orari
Orari delle lezioni: martedì ore 14:00-16:00 (aula M3) e mercoledì ore 11:00-13:00 (aula M3).
Inizio delle lezioni: martedì 25 febbraio 2025 -
Termine delle lezioni: mercoledì 4 giugno 2025.
Le registrazioni delle lezioni sono disponibili su Teams.
Orari delle esercitazioni (didattica integrativa):
giovedì ore 14:00-16:00
(aula M3).
Inizio delle esercitazioni: giovedì 27 febbraio 2025 -
Termine delle esercitazioni: giovedì 5 giugno 2025.
Le registrazioni delle esercitazioni sono disponibili su Teams.
Orari delle attività di tutorato:
venerdì ore 16:00-18:00 (aula M3).
Inizio delle attività di tutorato: venerdì 28 febbraio 2025 -
Termine delle attività di tutorato: venerdì 13 giugno 2025.
Orario di ricevimento:
per appuntamento (tramite email o Teams)
3. Calendario degli esami
Esoneri:
Le date degli esoneri sono riportate sulla pagina del calendario degli esoneri dei CdS in
Matematica
e del CdL in Fisica.
Esami: Le date degli esami sono riportate sulla pagina del calendario degli esami dei CdS in
Matematica
e del CdL in Fisica.
4. Prove di esonero e prove di esame
4.1. Prove di esonero
Prima prova di esonero:
16 aprile 2025 - ore 10:00 - Aula M1
(prenotazione su GOMP entro il 12 aprile) -
Testo -
Risultati.
Seconda prova di esonero:
11 giugno 2025 - ore 10:00 - Aula M1
(prenotazione su GOMP entro l'8 giugno).
4.2. Prove di esame
Appello I:
23 giugno 2025 - ore 14:00 - Aula M1
(prenotazione su GOMP entro 20 giugno).
Orali: da fissare.
Appello II:
8 luglio 2025 - ore 14:00 - Aula M1
(prenotazione su GOMP entro il 5 luglio).
Orali: da fissare.
Appello III:
2 settembre 2025 - ore 14:00 - Aula M1
(prenotazione su GOMP entro il 31 agosto).
Orali: da fissare.
Appello IV:
19 gennaio 2026 - ore 14:00 - Aula M1
(prenotazione su GOMP entro il 16 gennaio).
Orali: da fissare.
Appello V:
2 febbraio 2026 - ore 14:00 - Aula M1
(prenotazione su GOMP entro il 31 gennaio).
Orali: da fissare.
5. Programma d'esame
Programma dell'insegnamento
dell'A.A. 2024-2025 in formato pdf
1. Equazioni differenziali ordinarie e sistemi dinamici
Richiami sulle equazioni differenziali ordinarie: equazioni del primo ordine; problema di Cauchy,
teorema di esistenza e unicità;
dipendenza continua dai dati iniziali; dipendenza differenziabile dai dati iniziali;
prolungamenti ed esistenza di una soluzione massimale;
teorema del prolungamento e suo corollario.
Equazioni di ordine qualsiasi, equazioni in forma normale, equazioni autonome e non autonome:
equazioni lineari e soluzioni in termini di esponenziali di matrici.
Sistemi dinamici: traiettorie, orbite, flussi, traiettorie periodiche,
insiemi invarianti, derivata sostanziale,
costanti del moto. Sistemi meccanici e sistemi meccanici conservativi; legge di Newton.
2. Analisi qualitativa e stabilità
Sistemi dinamici lineari planari: analisi qualitativa, pozzi, sorgenti, centri e moti a spirale.
Stabilità secondo Ljapunov.
Punti di equilibrio:
stabili, asintoticamente stabili, attrattivi e instabili.
Sistemi dinamici linearizzati. Teoremi di stabilità nel caso di sistemi conservativi:
teoremi che si riconducono allo studio del sistema linearizzato (senza dimostrazione),
teorema di Ljapunov (dimostrazione della stabilità),
teorema di Lagrange-Dirichlet. Sistemi meccanici conservativi unidimensionali:
conservazione dell'energia e curve di livello.
Moti periodici e moti asintotici.
Separatrici, traiettorie omocline e traiettorie eterocline.
L'oscillatore armonico e il pendolo semplice.
Periodo come integrale definito e stima del periodo.
Piccole oscillazioni per sistemi meccanici unidimensionali.
3. Moti centrali
Forze centrali. Problema dei due corpi. Moti centrali.
Conservatività delle forze centrali.
Conservazione del momento angolare per le forze centrali. Moto radiale e moto angolare.
Condizioni di periodicità del moto. Teorema di Bertrand (senza dimostrazione).
Campo centrale armonico e campo centrale coulombiano: equazioni delle orbite.
Velocità areolare. Leggi di Keplero.
4. Moti relativi
Sistemi di riferimento fissi e sistemi di riferimento mobili, trasformazioni rigide,
traslazioni e rotazioni, matrici ortogonali.
Rotazione intorno a un asse.
Richiami sul prodotto vettoriale: matrici ortogonali e prodotti vettoriali.
Velocità angolare.
Legge di trasformazione delle velocità.
Forze d'inerzia: forza inerziale di traslazione, forza inerziale di rotazione,
forza centrifuga, forza di Coriolis.
Effetti della forza centrifuga sull'accelerazione di gravità,
pendolo di Foucault nell'approssimazione lineare.
5. Vincoli e sistemi rigidi
Sistemi vincolati. Vincoli olonomi bilateri e superfici di vincolo. Principio di d'Alembert.
Moltiplicatori di Lagrange.
Sistemi rigidi discreti e continui: definizione e proprietà,
spazio delle configurazioni dei sistemi rigidi.
Velocità dei punti di un sistema rigido.
Caratteristiche cinematiche dei sistemi rigidi: quantità di moto,
momento angolare, energia cinetica, teorema di König.
Principio di d'Alembert ed equazioni cardinali della dinamica.
Operatore d'inerzia, momenti d'inerzia, momenti principali d'inerzia, assi d'inerzia.
Moto di rotolamento senza strisciamento: disco che rotola in un piano o all'interno di una guida circolare.
6. Meccanica lagrangiana
Lagrangiana e funzionale d'azione.
Equazioni di Eulero-Lagrange. Primo principio variazionale di Hamilton.
Equazioni di Newton ed equazioni di Eulero-Lagrange
per sistemi meccanici conservativi.
Lagrangiana per sistemi vincolati.
Equazioni di Newton integrate dal principio di
d'Alembert ed equazioni di Eulero-Lagrange
per sistemi meccanici conservativi vincolati.
Equazioni del moto per il pendolo semplice, nel formalismo lagrangiano e
mediante l'uso dei moltiplicatori di Lagrange.
Calcolo delle reazioni vincolari.
7. Simmetrie e costanti del moto
Variabili cicliche e metodo di Routh. Applicazione al problema dei due corpi.
Gruppi a un parametro di diffeomorfismi.
Trasformazioni di coordinate e loro sollevamenti.
Campi vettoriali, momenti associati ai campi vettoriali e momenti coniugati.
Sistemi invarianti sotto l'azione di un gruppo a un parametro. Teorema di Noether.
Sistemi invarianti per traslazione e sistemi invarianti per rotazione.
Cenni sui sistemi invarianti sotto l'azione di più gruppi
a un parametro: gruppi commutanti ed estensione del teorema di Noether
(senza dimostrazione).
8. Meccanica hamiltoniana
Spazio delle fasi. Trasformata di Legendre. Hamiltoniana ed equazioni di Hamilton.
Metodo di Routh nel formalismo hamiltoniano.
Secondo principio variazionale di Hamilton.
Campo vettoriale hamiltoniano. Campi a divergenza nulla.
Teorema di Liouville (senza dimostrazione).
Teorema del ritorno di Poincaré. Esperimento di Maxwell.
9. Trasformazioni canoniche
Trasformazioni di coordinate nello spazio delle fasi. Matrici simplettiche.
Trasformazioni che conservano la struttura canonica delle equazioni.
Trasformazioni canoniche.
Trasformazioni simplettiche.
Parentesi di Poisson e loro proprietà.
Paraentesi di Poisson fondamentali.
Criterio per riconoscere una trasformazione canonica
sulla base delle parentesi di Poisson fondamentali.
Richiami sulle forme differenziali esatte e chiuse.
Differenziale a tempo bloccato. Condizione di Lie.
Criterio per riconoscere una trasformazione canonica
sulla base della condizione di Lie.
10. Funzioni generatrici e metodo di Hamilton-Jacobi
Funzioni generatrici indipendenti e dipendenti dal tempo. Funzioni generatrici di
prima e seconda specie.
Sollevamento di una trasformazione di coordinate a una trasformazione simplettica.
Equazione di Hamilton-Jacobi.
Integrale generale e integrale completo. Funzione principale di Hamilton.
Funzione caratteristica di Hamilton.
Sistemi separabili. Variabili azione-angolo per sistemi unidimensionali.
Variabili azione-angolo per sistemi a più dimensioni:
teorema di Liouville-Arnol'd (senza dimostrazione),
caso dei sistemi separabili, sistemi integrabili.
6. Diario delle lezioni
Tutti i riferimenti si intendono ai testi [G1] e [G2] (cfr. sopra,
alla voce Testi consigliati).
6.1. Prima parte
Lezione 1 (25/02/2025)
Richiami sulle equazioni differenziali ordinarie (solo enunciati) - Parte 1
[G1, §§3.1, 3.2 e 3.3]: equazioni del primo ordine
[G1, pagg. 132-133, definizione 3.6]; soluzione e problema di
Cauchy [G1, pagg. 133-135, definizioni 3.7 e 3.14]; funzioni
lipschitziane e localmente lipschitziane [G1, pag. 135, definizione
3.15, lemma 3.18, esercizio 3.34]; teorema di esistenza
e unicità [G1, pag. 143, teorema 3.29], controesempio
di non unicità [G1, pagg. 145-146, esempio 3.36];
prolungamenti e
soluzioni massimali [G1, pagg. 151-152,
definizioni 3.48 e 3.49, ed esempio 3.47]; esistenza di una soluzione massimale
[G1, pag. 152, teorema 3.52];
teorema del prolungamento e implicazioni
[G1, pagg. 156-157, teorema 3.58 e corollario 3.59].
Lezione 2 (25/02/2025)
Richiami sulle equazioni differenziali ordinarie (solo enunciati) - Parte 2
[G1, §§3.1, 3.3, 3 e 3.5]: regolarità nel tempo della
soluzione [G1, pag.142, osservazione 3.25 e proposizione 3.26]; teoremi
di dipendenza (continua e differenziabile) dai dati
iniziali [G1, pagg. 147 e 149, teoremi 3.39 e 3.44];
equazioni ddel secondo ordine e di ordine qualsiasi [G1, pagg. 163-164];
esempio di equazione del secondo ordine:
analisi qualitativa del moto di un punto materiale sotto l'azione della forza di gravità.
Lezione 3 (26/02/2025)
Definizione di sistema dinamico [G1, §3.1, pag. 130, definizione 3.1].
Curve, traiettorie e flussi [G1, §3.1, pag. 133-134,
definizioni 3.8, 39 e 3.10].
Corrispondenza tra sistemi dinamici ed equazioni differenziali
ordinarie [G1, §3.1.1, pagg. 130-131].
Lezione 4 (26/02/2025)
Sistemi dinamici planari: analisi qualitativa [G1, §2.2].
Autovalori reali distinti: nodi propri, pozzi e sorgenti, punti di sella
[G1, §2.2.1, pagg. 74-75].
Autovalori reali coincidenti nel caso di una matrice diagonalizzabile: nodi propri,
pozzi e sorgenti
[G1, §2.2.3 pagg.77-78].
Autovalori complessi coniugati:
centri e moti a spirale, studio del sistema dinamico planare
utilizzando coordinate polari, esempio dell'oscillatore armonico
[G1, §1.2, Lemma 1.63; §2.2.2, pagg. 76-77].
Autovalori
reali coincidenti nel caso di una matrice non diagonalizzabile: nodi impropri, pozzi e sorgenti,
[G1, §2.2.4, pagg. 78-79].
Lezione 5 (04/03/2025)
Studio di una funzione lungo una traiettoria: derivata sostanziale
o derivata totale rispetto al tempo, costanti del moto
o integrali primi [G1, §4.1 pag. 191]. Legge di Newton,
sistemi meccanici, sistemi meccanici conservativi e sistemi
meccanici conservativi generalizzati, energia cinetica, energia potenziale, energia totale
conservazione dell'energia
totale [G1, §4.1, pagg. 199-202,
definizioni 4.28, 4.31 e 4.34, osservazioni 4.29, 4.30, 4.32 e 4.33, esercizio 4.11].
Omeomorfismi, superfici e curve di livello dell'energia totale
[G1, §4.1, pag. 191, definizioni 4.5 e 4.6, esercizio 4.6].
Lezione 6 (04/03/2025)
Stabilità secondo Ljapunov: punto di equilibrio
[G1, §4.1, pag. 192, definizione 4.7].
Punti di equilibrio stabili, instabili,
attrattivi e asintoticamente stabili [G1, §4.3, pag. 192,
definizione 4.10]. Esempio di un punto di equilibrio che è
attrattivo ma non stabile [G1, §4.1, pag. 193, osservazione 4.11].
Assenza di punti di equilibrio asintoticamente stabili in
sistemi che ammettono una costante del moto quali i
sistemi meccanici conservativi [G1, §4.1, pagg. 260-261, teorema 5.19].
Lezione 7 (05/03/2025)
Studio della stabilità dell'origine per sistemi dinamici
planari [G1, §4, pag. 238, esercizio 4.29].
Soluzioni di sistemi dinamici
lineari come combinazioni lineari di esponenziali
con coefficienti polinomiali [G1, §2.3, teorema 2.9].
Sistema linearizzato
associato a un sistema dinamico [G1, §4.2, pag. 202, definizione 4.37].
Studio della stabilità di un punto
di equilibrio sulla base
degli autovalori della matrice del sistema linearizzato (solo enunciati):
caso in cui gli autovalori abbiano
tutti parte reale
negativa [G1, §4.2, pag. 205, teorema 4.41]; caso in cui almeno un autovalore abbia
parte reale positiva [G1, §4.2, pag. 207,
teorema 4.43]. Esempio di sistema dinamico in cui l'analisi
lineare non dà informazioni sulla
stabilità del punto di equilibrio
[G1, §4.2, pag. 209, esempio 4.45].
Teorema di Ljapunov, con dimostrazione solo della stabilità
[G1, §4.3, teorema 4.56].
Lezione 8 (05/03/2025)
Teorema di Lagrange-Dirichlet
[G1, §4.3, pagg. 218-219, teorema 4.68, osservazione 4.70
ed esercizio 4.33].
Moto sulle curve di livello della costante del moto nel caso di sistemi planari
[G1, §4.1, pag. 192; §5.1, pag. 250].
Analisi qualitativa del moto del pendolo semplice - Parte 1:
equazioni del moto ed esistenza di una costante del moto
[G1, §5.4.1, pagg. 272-273]; discussione della stabilità dei punti di
equilibrio [G1, §5.4.2 e 5.4.4, pagg. 274-277];
inizio dello studio delle curve di livello e analisi qualitativa del moto -
curve chiuse regolari [G1, §5.4, pagg. 274-275].
Lezione 9 (06/03/2025)
Analisi qualitativa del moto del pendolo semplice - Parte 2:
conclusione studio delle curve di livello e analisi qualitativa
del moto - moti periodici oscillatori e rotatori, moti asintotici
[G1, §5.4, pagg. 274-280]. Orbite chiuse e orbite aperte, orbite
limitate e orbite illimitate, periodo di una traiettoria periodica
[G1, §4.3, pag.190, definizione 4.1, osservazioni 4.2 e 4.3].
Analisi qualitativa del pendolo semplice attraverso
lo studio del grafico dell'energia potenziale [G1, §6.3, pagg. 361-372].
Lezione 10 (11/03/2025)
Analisi qualitativa dei sistemi unidimensionali: curve di livello dell'energia
attraverso lo studio dell'energia potenziale,
punti di inversione, moti periodici, moti asintotici,
andamento delle curve di livello in corrispondenza dei punti di equilibrio
instabili [G1, §§6.1, 6.2 e 6.3, pagg. 353-372];
rappresentazione del periodo come integrale definito
[G1, §6.4, pag. 377].
Lezione 11 (11/03/2025)
Periodo nell'approssimazione delle piccole oscillazioni
[G1, §6.4, pagg. 377-379, lemma 6.47 e teorema 6.48].
Periodo nel caso di
energia potenziale della forma
V(x)=αx2n, con α>0,
e limiti asintotici di alta e bassa energia [G1, pagg. 400-401,
esercizio 6.32].
Lezione 12 (18/03/2025)
Problema dei due corpi: notazioni [G1, §7.1, pagg. 412-413];
impostazione del problema [G1, §7.1.1, pagg. 414-415];
forze conservative, forze centrali e campi centrali
[G1, §7.1.1, pagg. 411-416, definizioni 7.1 e 7.4;
lemmi 7.2, 7.5 e 7.6;
osservazione 7.3]; moto del centro di massa
[G1, §7.1.1, pag. 416]; discussione del moto relativo, energia potenziale
centrale, conservazione dell'energia, conservazione del momento angolare L,
confinamento del moto lungo una retta,
se L = 0,
o nel piano ortogonale al momento angolare, se L ≠ 0
[G1, §7.1.2, pagg. 416-420, lemmi 7.8 e lemma 7.9].
Lezione 13 (18/03/2025)
Descrizione del moto relativo nel piano in cui si svolge il moto in termini
delle coordinate polari: energia potenziale
efficace ed energia poteniale centrifuga [G1, §7.1.2, pagg. 419-421,
osservazione 7.13]. Orbite chiuse e orbite aperte
per i moti centrali con momento angolare non nullo: moto nel piano all'interno di una
corona circolare; condizione
necessaria e sufficiente perché si abbia un moto periodico nel piano
[G1, §7.1.2, pagg. 421-424, lemmi 7.17 e 7.19].
Lezione 14 (19/03/2025)
Campo centrale armonico: studio dell'energia potenziale efficace;
studio del moto nel caso in cui il momento angolare
L sia nullo;
studio del moto e determinazione delle orbite nel piano ortogonale al momento angolare L
nel caso in cui
L non sia nullo [G1, §7.21, pagg. 427-428, lemma 7.21;
pagg. 432-433, osservazione 7.22 e corollario 7.23]. Prima
forma dell'equazione delle orbite nel caso in cui il momento angolare non sia nullo
[G1, §7.1.1, pag. 426, lemma 7.20].
Lezione 15 (19/03/2025)
Campo centrale gravitazionale - Parte 1: studio nel moto nel
caso di momento angolare nullo; studio del grafico dell'energia
potenziale efficace e analisi qualitativa del moto della variabile
radiale nel caso in cui il momento angolare non sia nullo
[G1, §7.2.2, pagg. 433-435];
determinazione delle orbite chiuse (ellissi) - inizio
[G1, §7.2.2, pagg. 436-437, corollario 7.27].
Lezione 16 (25/03/2025)
Campo centrale gravitazionale - Parte 2:
determinazione delle orbite chiuse (ellissi) - conclusione
[G1, §7.2.2, pagg. 437-439,
corollario 7.27]; determinazione delle orbite aperte
(iperboli e parabole) [G1, pagg. 439-440, corollario 7.28].
Moto dei pianeti
nel sistema eliocentrico e nel sistema
del centro di massa: definizione e calcolo della velocità areolare;
leggi di Keplero
[G1, pagg. 440-443, teorema 7.29, e pagg. 459-460, esercizio 7.13].
Eccezionalità del campo centrale
coulombiano e del campo
centrale gravitazionale: teorema di Bertrand (solo enunciato)
[G1, §7.3, pagg. 453-454, teorema 7.47 e osservazione 7.49].
Lezione 17 (25/03/2025)
Esercizio sui moti centrali [G1, pagg. 467-468, esercizio 7.31].
Regola dei segni di Cartesio [G1, pag. 406, esercizio 6.45].
Lezione 18 (26/03/2025)
Moti relativi: sistemi di riferimento fissi e sistemi di riferimento
mobili, trasformazioni rigide, traslazioni, rotazioni, rototraslazioni
[G1, §8.1, pagg. 471-477]. Rotazioni e matrici ortogonali
[G1, §8.1, pag. 476, lemma 8.5, osservazione 8.6]. Rotazione intorno a
un asse cartesiano [G1, pag. 482, osservazione 8.20, esercizio 8.9].
Richiami sul prodotto vettoriale e definizione di velocità
angolare [G1, pagg. 477-481, lemmi 8.9 e 8.11, definizione 8.13 e 8.16].
Velocità assoluta, velocità relativa, componenti traslatoria
e componente rotatoria della velocità
di trascinamento [G1, pagg. 484-485, lemma 8.23, teorema 8.24, esempio 8.26].
Lezione 19 (26/03/2025)
Sistemi di riferimento inerziali e primo principio della dinamica
[G1, §8.2, pagg. 494-495, definizione 8.40]. Forze d'inerzia: forza
inerziale di traslazione, forza inerziale di rotazione,
forza centrifuga, forza di Coriolis [G1, §8.2, pagg. 485-488].
Effetti della forza
centrifuga sull'intensità e sulla direzione della forza di gravità
[G1, §8.2, pag. 488, esempio 8.34]. Effetti della forza di Coriolis
sul moto di un corpo sulla superficie della Terra: differenze tra emisfero settentrionale
ed emisfero meridionale [G1, §8.2, pag. 488].
Lezione 20 (01/04/2025)
Vincoli, vincoli olonomi e vincoli anolonomi, vincoli bilateri e vincoli unilateri,
vincoli scleronomi e vincoli reonomi, vincoli
regolari e indipendenti, superficie di vincolo, equazioni del moto e forze vincolari
[G1, §9.1, pagg. 521-525; pag. 560, esercizio 9.2].
Traiettorie virtuali, principio
di d'Alembert e sue implicazioni, vincoli perfetti, moltiplicatori di Lagrange
[G1, §9.5, pag. 526,
definizione 9.13, osservazione 9.14; §9.6, pagg. 544-546, principio 9.53,
lemma 9.55, proposizione 9.57, definizioni 9.54 e 9.58].
Lezione 21 (01/04/2025)
Pendolo di Foucault nell'approssimazione delle piccole oscillazioni - Parte 1
[G1, §8.2, pagg. 488-492, esempio 8.35].
Lezione 22 (01/04/2025)
Pendolo di Foucault nell'approssimazione delle piccole oscillazioni - Parte 2
[G1, §8.2, pagg. 488-492, esempio 8.35].
Lezione 23 (02/04/2025)
Erosione delle anse dei fiumi: differenze tra fiumi grandi e fiumi piccoli
[G1, §8.2, pagg. 493-494, esempio 8.37 e osservazione 8.38].
Corpi rigidi discreti liberei e con un punto fisso: definizione,
spazio delle configurazioni, sistema di riferimento mobile solidale con
il corpo rigido [G1, §9.2.1, pagg. 526-529, definizioni 9.17, 9.20 e 9.22,
teorema 9.19 e corollari 9.21 e 9.24].
Corpi rigidi continui
[G1, §9.2.2, pagg. 529-530].
Velocità dei punti di un corpo rigido in un sistema di riferimento fisso
[G1, §9.3, pag. 531, lemma 9.26].
Lezione 24 (02/04/2025)
Caratteristiche cinematiche dei corpi rigidi: quantità di moto,
momento angolare ed energia cinetica; teorema di König
[G1, §9.4, pagg. 538-541]. Operatore di inerzia di un corpo rigido
discreto, momenti principali di inerzia e assi di inerzia,
momenti di inerzia [G1, §10.1, pagg. 574-578]. Momento angolare
ed energia cinetica in termini di velocità angolare e
operatore di inerzia [G1, §10.1, pagg. 576, teorema 10.3].
Matrice che rappresenta l'operatore d'inerzia in una base fissata
[G1, §10.1, pag. 574-575 ed esercizio 10.1]. Momenti
principali di inerzia e assi di inerzia: matrice che rappresenta l'operatore
di inerzia nella base degli assi di inerzia [G1, §10.1.1,
pagg. 575-578, teorema 10.3, definizioni 10.5 e 10.9,
osservazioni 10.7 e 10.8,
corollario 10.10]. Operatore di inerzia di
un corpo rigido continuo omogeneo e non omogeneo
[G1, §10.1.2]. Assi di inerzia di un corpo
rigido continuo invariante per rotazioni intorno a un asse
[G1, pag. 581, osservazione 10.17]. Momenti principali d'inerzia di alcuni
corpi rigidi omogenei notevoli - Parte 1:
asta (o sbarra) e cilindro circolare retto
[G1, §10.2.1, pag. 583; §10.2.5, pagg. 585-586].
Lezione 25 (09/04/2025)
Caratteristiche dinamiche dei corpi rigidi: equazioni del moto
[G1, §9.5 pagg.542-543].
Traiettorie virtuali e applicazione
del principio di d'Alembert
ai vincoli rigidi: rotazioni, traslazioni ed
equazioni cardinali della dinamica
[G1, §9.7, pagg. 548-552, lemmi 9.63, 9.64 e 9.65;
teorema 9.66, corollario 9.68; pagg. 566-567, esercizi 9.14 e 9.15].
Lezione 26 (09/04/2025)
Momenti principali d'inerzia di alcuni corpi rigidi omogenei notevoli - Parte 2:
disco, anello, sfera [G1, §§10.2.1, 10.2.3,
10.2.4, 10.2.6; pagg. 583-587].
Stima del periodo per moti periodici in sistemi unidimensionali
[G1, §6.5, pagg. 379-381].
Esercizio sull'analisi qualitativa dei sistemi unidimensionali
[A.A. 2021/2022, prima prova di esonero, esercizio 2 -
Testo].
6.2. Seconda parte
Lezione 27 (29/04/2025)
Formalismo lagrangiano: spazio delle traiettorie e spazio
delle deformazioni, lagrangiana e lagrangiana associata a un
sistema meccanico conservativo [G2, §1.1, pagg. 1-3].
Funzionale d'azione e suo differenziale [G2, §1.1, pagg. 3-5,
definizione 1.6, lemmi 1.8 e 1.9]. Equazioni di Eulero-Lagrange
[G2, §1.1, pagg. 5-6, definizione 1.11 e teorema 1.12].
Primo principio variazionale di Hamilton [G2, §1.1, pag. 7,
principio 1.15 e osservazione 1.16]. Equivalenza tra
equazioni di Eulero-Lagrange ed equazioni di Newton [G2, §1.1, pagg. 6-7,
teorema 1.14; pag. 11, osservazione 1.21].
Lezione 28 (29/04/2025)
Formalismo lagrangiano per sistemi meccanici soggetti a vincoli
olonomi bilateri [G2, §1.3, pagg. 16-17].
Lagrangiana vincolata [G1, §1.3, pag. 16]. Estensione
del primo principio variazionale di Hamilton ai sistemi
lagrangiani vincolati [G2, §1.3, pag. 17, principio 1.28].
Equivalenza tra equazioni di Eulero-Lagrange ed
equazioni di Newton integrate dal principio di d'Alembert
[G2, §1.3, pagg. 17-19, osservazione 1.29 e teorema 1.30].
Lezione 29 (30/04/2025)
Problema con condizioni al contorno [G2, §1.1, esempio 1.17 e
commenti successivi, ed esercizio 1.6]. Calcolo delle
forze vincolari [G2, §1.3, pag 20, osservazione 1.32].
Invarianza delle equazioni del moto se si modifica la lagrangiana
tramite l'aggiunta di una derivata totale [G1, §1.1, pag. 11,
osservazione 1.21]. Forma generale della lagrangiana di un
sistema meccanico conservativo soggetto a vincoli olonomi bilateri
[G2, §2.1, pagg. 72-73, lemmi 2.2 e 2.3; pag. 47,
esercizio 1.21]. Stabilità delle configurazioni di
equilibrio di un sistema lagrangiano [G2, §2.1, pagg. 73-79,
definizione 2.5, teorema 2.6 e corollario 2.10 - solo enunciato].
Lezione 30 (30/04/2025)
Energia potenziale gravitazionale sulla superfice della Terra
[G2, Cap. 2, pag. 110, esercizio 2.12]. Energia potenziale elastica
[G2, Cap. 2, pagg. 110-111, esercizio 2.13]. Energia potenziale centrifuga
in un sistema rotante [G2, Cap. 2, pag. 109, esercizio 2.7].
Esempio di sistema lagrangiano: derivazione delle equazioni del moto
e analisi qualitiva del pendolo semplice [G2, Cap. 2, pag. 61,
esercizio 1.49]. Calcolo delle forze vincolari per il pendolo semplice
[G2, Cap. 2, pagg. 61-62, esercizio 1.50]. Configurazioni di
equilibrio relativo e analisi qualitativa del pendolo semplice
in un piano rotante [G2, §2.1, pagg. 79-81, definizione 2.15 ed esempio 2.16].
7. Diario delle esercitazioni
7.1. Prima parte
Esercitazione 1 LC (27/02/2025)
Sistemi di equazioni lineari omogenee nel piano:
matrice non diagonalizzabile
[A.A. 2005/2006, tutorato I, esercizio 1 -
Testo].
Esercitazione 2 LC (27/02/2025)
Sistemi di equazioni lineari omogenee nello spazio:
matrice semisemplice
[A.A. 2006/2007, tutorato II, esercizio 2 -
Testo].
Calcolo dell'esponenziale di una matrice che risolve un'equazione polinomiale
[A.A. 2007/2008, primo esonero, esercizio 1 -
Testo].
Esercitazione 3 GG (06/03/2025)
Esercizio sull'analisi qualitativa di sistemi unidimensionali
[A.A. 2023/2024, appello IV, esercizio 1 -
Testo].
Esercitazione 4 GG (12/03/2025)
Esercizi sui sistemi unidimensionali: studio dell'energia potenziale,
analisi qualitativa del moto e diagramma di biforcazione nel
caso in cui l'energia potenziale dipende da un parametro - Parte 1
[G1, pagg. 388-389, esercizio 6.16; pagg. 397-399, esercizio 6.28].
Esercitazione 5 GG (12/03/2025)
Esercizi sui sistemi unidimensionali: studio dell'energia potenziale,
analisi qualitativa del moto e diagramma di biforcazione nel
caso in cui l'energia potenziale dipende da un parametro - Parte 2
[G1, pagg. 388-389, esercizio 6.16; pagg. 397-399, esercizio 6.28].
Esercitazione 6 LC (13/03/2025)
Esercizio sull'analisi qualitativa di sistemi unidimensionali
[A.A. 2023/2024, prima prova di esonero, esercizio 3: prima parte -
Testo].
Esercitazione 7 LC (13/03/2025)
Esercizio sull'analisi qualitativa di sistemi unidimensionali
[A.A. 2023/2024, prima prova di esonero, esercizio 3: seconda parte -
Testo].
Esercitazione 8 LC (20/03/2025)
Esercizio sull'analisi qualitativa di sistemi unidimensionali
[A.A. 2022/2023, recupero della prima prova di esonero, esercizio 3 -
Testo].
Esercizio sull'analisi qualitativa di sistemi unidimensionali
[A.A. 2023/2024, recupero della prima prova di esonero, esercizio 3 -
Testo].
Esercitazione 9 LC (20/03/2025)
Esercizio sull'analisi qualitativa di sistemi unidimensionali
[A.A. 2023/2024, appello straordinario, esercizio 1 -
Testo].
Esercizio sull'analisi qualitativa di sistemi unidimensionali
[A.A. 2022/2023, prima prova di esonero, esercizio 2 -
Testo].
Esercitazione 10 GG (27/03/2025)
Esercizio sui moti centrali - Parte 1 [G1, pagg. 464-465, esercizio 7.27].
Relazione tra la forza dovuta all'energia potenziale centrifuga
che contribuisce all'energia potenziale efficace e la forza centrifuga
che compare quale forza apparente in un sistema di riferimento mobile.
Esercitazione 11 GG (27/03/2025)
Esercizio sui moti centrali - Parte 2 [G1, pagg. 464-465, esercizio 7.27].
Campo centrale armonico: differenza tra il moto con momento
angolare non nullo (orbita ellittica) e il moto nel caso di
momento angolare nullo (oscillazione intorno all'origine lungo una direzione).
Esercitazione 12 LC (03/04/2025)
Esercizio sui moti centrali dipendenti da una parametro
[A.A. 2023/2024, prima prova di esonero, esercizio 4 -
Testo].
Esercitazione 13 LC (03/04/2025)
Esercizio sui moti relativi e sul cambiamento di sistema di riferimento
[A.A. 2023/2024, prima prova di esonero, esercizio 5 -
Testo].
Esercitazione 14 GG (08/04/2025)
Esercizi di ricapitolazione - Parte 1:
sistemi unidimensionali
[A.A. 2021/2022, recupero della prima prova di esonero, esercizio 2 -
Testo].
Esercitazione 15 GG (08/04/2025)
Esercizi di ricapitolazione - Parte 2:
moti relativi
[A.A. 2021/2022, recupero della prima prova di esonero, esercizio 5 -
Testo].
Esercitazione 16 GG (08/04/2025)
Esercizi di ricapitolazione - Parte 3:
moti centrali [G1, pag. 469, esercizio 7.33];
sistemi lineari
[A.A. 2021/2022, prima prova di esonero, esercizio 1 -
Testo].
Esercitazione 17 LC (10/04/2025)
Esercizio sui moti relativi e sul cambiamento di sistema di riferimento -
[A.A. 2007/2008, tutorato XI, esercizi 1 e 2 -
Testo].
Esercitazione 18 LC (10/04/2025)
Esercizio sui moti relativi e sul cambiamento di sistema di riferimento -
[A.A. 2007/2008, tutorato XII, esercizio 1
Testo].
Esercitazione 19 GG (30/04/2025)
Soluzione degli esercizi della prima prova di esonero del 16 aprile 2025 -
(testo della prova di esonero).
7.2. Seconda parte
8. Diario delle attività di tutorato
8.1. Prima parte
Tutorato 1-1 (28/02/2025)
Equazioni differenziali lineari omogenee e non omogenee ed esponenziali di matrici -
Testo.
Tutorato 1-2 (28/02/2025)
Equazioni differenziali lineari omogenee e non omogenee ed esponenziali di matrici -
Soluzioni.
Tutorato 2-1 (14/03/2025)
Sistemi meccanici unidimensionali: studio dell'energia potenziale e analisi qualitativa del moto -
Testo.
Tutorato 2-2 (14/03/2025)
Sistemi meccanici unidimensionali: studio dell'energia potenziale e analisi qualitativa del moto -
Soluzioni.
Tutorato 3-1 (21/03/2025)
Sistemi meccanici unidimensionali: studio dell'energia potenziale e analisi qualitativa del moto -
Testo.
Tutorato 3-2 (21/03/2025)
Sistemi meccanici unidimensionali: studio dell'energia potenziale e analisi qualitativa del moto -
Soluzioni.
Tutorato 4-1 (28/03/2025)
Sistemi meccanici unidimensionali e moti centrali -
Testo.
Tutorato 4-2 (28/03/2025)
Sistemi meccanici unidimensionali e moti centrali -
Soluzioni.
Tutorato 5-1 (04/04/2025)
Sistemi meccanici unidimensionali e moti centrali -
Testo.
Tutorato 5-2 (04/04/2025)
Sistemi meccanici unidimensionali e moti centrali -
Testo.
Tutorato 6-1 (11/04/2025)
Moti relativi e cambiamento di sistemi di riferimento -
Testo.
Tutorato 6-2 (11/04/2025)
Moti relativi e cambiamento di sistemi di riferimento -
Soluzioni.
8.2. Seconda parte
