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Anno Accademico 2024/2025 |
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Complementi di Meccanica Analitica (CdL in Fisica)
FM410 - Complementi di Meccanica Analitica (CdLM in Matematica)
Modulo B - Seconda parte (12 ore)
Lezioni: Guido Gentile
1. Caratteristiche dell'insegnamento
Contenuto della seconda parte del modulo B dell'insegnamento
Richiami di teoria della stabilità secondo Ljapunov.
Teorema di Ljapunov e teorema di Barbašin-Krasovskij.
Insieme ω-limite, ciclo limite, teorema di Poincaré-Bendixson
per sistemi planari. Sistemi meccanici dissipativi.
Pendolo con attrito. Sistemi planari che ammettono una costante del moto.
Equazioni di Lotka-Volterra.
Modelli epidemioloici: modello SIR epidemico, modello SIRD epidemico
e modello SIR endemico.
II Semestre -
Crediti: 6 CFU (Moduli A e B Matematica) - 3 CFU (Modulo B Fisica) -
TAF: b/c (Matematica) - c (Fisica) |
Testi consigliati
Le lezioni si basano sul testo: Guido Gentile, Introduzione ai sistemi dinamici - Volume 1.
Equazioni differenziali ordinarie, analisi qualitativa e alcune applicazioni, Springer, Milano, 2021.
Modalità degli esami
L'esame consiste in un colloquio orale in cui lo studente dovrà
discutere gli argomenti trattati a lezione,
secondo quanto indicato nel diario delle lezioni.
In riferimento alla seconda parte dell'insegnamento
si richiede inoltre lo svolgimento di alcuni esercizi
c he saranno assegnati al termine delle lezioni.
2. Orari
Orari delle lezioni: martedì ore 16:00-18:00 (aula 72), giovedì ore 9:00-11:00 (aula 72) e
venerdì ore 11:00-13:00 (aula 72).
Inizio delle lezioni: martedì 27 maggio 2025 -
Termine delle lezioni: venerdì 6 giugno 2025.
Le registrazioni delle lezioni sono disponibili su Teams.
Orario di ricevimento:
per appuntamento (tramite email o Teams)
3. Calendario degli esami
Le date degli esami sono riportate sulla pagina del calendario degli esami dei CdS in
Matematica
e del CdL in Fisica.
4. Prove di esame
Appello I:
24 giugno 2025 - ore 14:00 - Aula 72
Appello II:
8 luglio 2025 - ore 14:00 - Aula 72
Appello III:
4 settembre 2025 - ore 14:00 - Aula 72
Appello IV:
da fissare.
Appello V:
da fissare.
5. Programma d'esame
Programma della seconda parte del modulo B dell'insegnamento dell'A.A. 2024-2025 in formato pdf
1. Richiami di teoria della stabilità
Stabilità secondo Ljapunov.
Richiami sul teorema di Ljapunov.
Teorema di Barbašin-Krasovskij.
Insieme ω-limite: definizione e proprietà.
Ciclo limite.
Assenza di punti di equilibrio
asinitoticamente stabili
e di cicli limite in sistemi che ammettono una costante del moto.
Sistemi meccanici conservativi e dissipitativi: pendolo semplice con e senza attrito.
2. Sistemi dinamici planari
Teorema di Poincaré-Bendixson.
Sistemi planari che ammettono una costante del moto.
Sistemi ecologici prede-predatori ed equazioni di Lotka-Volterra:
determinazione della
costante del moto,
analisi qualitativa del moto, effetti della caccia
e leggi di Volterra.
3. Modelli epidemiologici epidemici
Modello SIR epidemico e modello SIRD epidemico:
suscettibili, infetti e rimossi,
distinzione tra guariti deceduti tra i rimossi nel modello SIRD,
introduzione dei sistemi
ridotti,
studio della stabilità dei punti di equilibrio
e analisi qualitativa del moto.
4. Modelli epidemiologici endemici
Modello SIR endemico con e senza vaccinazione:
introduzione del tasso di mortalità
e del tasso di natalità rispetto al modello SIR endemico,
introduzione dei sistemi
ridotti, studio della stabilità dei punti di equilibrio
e analisi qualitativa del moto.
6. Diario delle lezioni
Tutti i riferimenti si intendono al testo [G] (cfr. sopra,
alla voce Testi consigliati).
Lezione 1 (27/05/2025)
Richiami sulla stabilità di Ljapunov: punti di equilibrio
stabili, instabili, attrattivi e asintoticamente
stabili [G, §4.1, pag. 192, definizioni 4.7 e 4.10]. Richiami sul
teorema di Ljapunov [G, §4.3, pag. 214,
teorema 4.56]. Teorema di Barbašin-Krasovskij: enunciato [G, §4.3, pag. 217,
teorema 4.64].
Insieme ω-limite: definizione e proprietà
[G, §4.1, pagg. 193-195, definizione 4.12 e teoremi 4.17 e 4.18].
Lezione 2 (27/05/2025)
Alcune proprietà notevoli degli insiemi ω-limite [G, §.1,
pagg. 197-199, teorema 4.24 e osservazione 4.25].
Teorema di Barbašin-Krasovskij: dimostrazione [G, §4.3,
pag. 217, teorema 4.64]. Applicazione del
teorema di Barbašin-Krasovskij
per dimostrare la stabilità asintotica dell'origine per il pendolo semplice
con attrito [G, §5.4.6, pagg. 281-282]. Piano delle fasi del pendolo con attrito
[G, §5.4.6, pag. 283].
Lezione 3 (29/05/2025)
Equazioni di Lotka-Volterra - Parte 1:
definizione del modello ecologico prede-predatori, punti
di equilibrio,
determinazione della costante del moto e studio della stabilità
dei punti di equilibrio,
analisi qualitativa del moto
nel piano delle fasi, traiettorie periodiche [G, §5.3, pagg. 267-270].
Lezione 4 (29/05/2025)
Equazioni di Lotka-Volterra - Parte 2:
cicli periodici delle popolazioni di prede e predatori, effetti della
caccia sulle popolazioni e
leggi di Volterra [G1, teorema 5.37 e osservazione 5.38].
Esempio di sistema
planare che ammette una costante del moto - prima parte
[G, Cap. 4, pagg. 306-307, esercizio 5.29].
Lezione 5 (30/05/2025)
Esempio di sistema
planare che ammette una costante del moto - seconda parte
[G, Cap. 4, pagg. 306-307,
esercizio 5.29]. Modello SIR endemico:
suscettibili, infetti, rimossi; tasso di infezione e tasso
di rimozione;
ipotesi sull'evoluzione della malattia ed
equazioni del moto [G, Cap. 4, pagg. 327-328, esercizio 5.73].
Modello SIR endemico: equazioni del moto del sistema ridotto;
determinazione dei punti di equilibrio
del sistema ridotto e studio della loro stabilità - prima parte
[G, Cap. 4, pagg. 328-330, esercizio 5.74].
Lezione 6 (30/05/2025)
Modello SIR endemico: studio della stabilità
dei punti di equilibrio del sistema ridotto - seconda parte
[G, Cap. 4, pagg. 328-330, esercizio 5.74].
Studio delle traiettorie del sistema ridotto e interpretazione dei
risultati in termini del tasso di infezione e del tasso di rimozione
[G, Cap. 4, pagg. 330-331, esercizio 5.75].
Lezione 7 (03/06/2025)
Modello SIR endemico: conclusioni sul sistema ridotto ed estensione dei risultati
al sistema completo
[G, Cap. 4,
pagg. 329-331, esercizi 5.74 e 5.75].
Modello SIRD epidemico: distinzione tra guariti e
deceduti tra i rimossi rispetto al modello SIR endemico e
introduzione del tasso di letalità [G, Cap. 4,
pag. 332, esercizio 5.76].
Modello SIR endemico: suscettibili,
infetti, rimossi; tasso di infezione,
tasso di rimozione, tasso di natalità,
tasso di mortalità e tasso di vaccinazione,
parametro di biforcazione,
ipotesi sull'evoluzione
della malattia ed equazioni del moto [G, Cap. 4, pagg. 332-333, esercizio 5.77]
Lezione 8 (03/06/2025)
Modello SIR endemico: sistema ridotto e punti di equilibrio
del sistema ridotto; studio della stabilità
dei punti di equilibrio del sistema ridotto
nel caso in cui l'analisi lineare è
sufficiente [G, Cap. 4, pagg.
333-335, esercizio 5.78].
Modello SIR endemico: studio della stabilità
dei punti di equilibrio del sistema
ridotto nel caso in cui l'analisi lineare
non è conclusiva [G, Cap. 4, pagg. 333-335, esercizio 5.79].
Stabilità dei punti di equilibrio
del sistema completo [G, Cap. 4, pagg. 335-337, esercizi 5.78 e 5.79].
Lezione 9 (05/06/2025)
Modello SIR endemico: non esistenza di traiettorie periodiche
[G, Cap. 4, pagg. 337-339, esercizio 5.80].
Lezione 10 (05/06/2025)
Modello SIR endemico: analisi qualitativa del moto
al variare del parametro di biforcazione per il
sistema
ridotto e interpretazione fisica dei risultati per il sistema completo
[G, Cap. 4, pagg. 339-341, esercizio 5.81].
Lezione 11 (06/06/2025)
Lezione 12 (06/03/2025)