Anno Accademico 2024/2025       



Complementi di Meccanica Analitica (CdL in Fisica)
FM410 - Complementi di Meccanica Analitica (CdLM in Matematica)
Modulo B - Seconda parte (12 ore)

Lezioni: Guido Gentile



1. Caratteristiche dell'insegnamento

Contenuto della seconda parte del modulo B dell'insegnamento
Richiami di teoria della stabilità secondo Ljapunov. Teorema di Ljapunov e teorema di Barbašin-Krasovskij.
Insieme ω-limite, ciclo limite, teorema di Poincaré-Bendixson per sistemi planari. Sistemi meccanici dissipativi.
Pendolo con attrito. Sistemi planari che ammettono una costante del moto. Equazioni di Lotka-Volterra.
Modelli epidemioloici: modello SIR epidemico, modello SIRD epidemico e modello SIR endemico.
II Semestre - Crediti: 6 CFU (Moduli A e B Matematica) - 3 CFU (Modulo B Fisica) - TAF: b/c (Matematica) - c (Fisica)
Testo consigliato
Le lezioni si basano sul testo: Guido Gentile, Introduzione ai sistemi dinamici - Volume 1.
Equazioni differenziali ordinarie, analisi qualitativa e alcune applicazioni, Springer, Milano, 2021.
Modalità degli esami
L'esame consiste nello svolgimento e nella discussione, in riferimento agli argomenti trattati a lezione,
dei seguenti esercizi del testo consigliato: Cap. 5, esercizi 5.12, 5.24, 5.31, 5.47 e 5.64.

2. Orari

Orari delle lezioni: martedì ore 16:00-18:00 (aula 72), giovedì ore 9:00-11:00 (aula 72) e venerdì ore 11:00-13:00 (aula 72).
Inizio delle lezioni: martedì 27 maggio 2025 - Termine delle lezioni: venerdì 6 giugno 2025.
Le registrazioni delle lezioni sono disponibili su Teams.
Orario di ricevimento: per appuntamento (tramite email o Teams)

3. Calendario degli esami

Le date degli esami sono riportate sulla pagina del calendario degli esami dei CdS in Matematica e del CdL in Fisica.

4. Prove di esame

Appello I: 24 giugno 2025 - ore 14:00 - Aula 72
Appello II: 8 luglio 2025 - ore 14:00 - Aula 72
Appello III: 4 settembre 2025 - ore 14:00 - Aula 72
Appello IV: da fissare.
Appello V: da fissare.

5. Programma d'esame

Programma della seconda parte del modulo B dell'insegnamento dell'A.A. 2024-2025 in formato pdf

1. Richiami di teoria della stabilità
Stabilità secondo Ljapunov. Richiami sul teorema di Ljapunov. Teorema di Barbašin-Krasovskij.
Insieme ω-limite: definizione e proprietà. Ciclo limite. Assenza di punti di equilibrio
asinitoticamente stabili e di cicli limite in sistemi che ammettono una costante del moto.
Sistemi meccanici conservativi e dissipitativi: pendolo semplice con e senza attrito.
2. Sistemi dinamici planari
Teorema di Poincaré-Bendixson. Sistemi planari che ammettono una costante del moto.
Sistemi ecologici prede-predatori ed equazioni di Lotka-Volterra: determinazione della
costante del moto, analisi qualitativa del moto, effetti della caccia e leggi di Volterra.
3. Modelli epidemiologici epidemici
Modello SIR epidemico e modello SIRD epidemico: suscettibili, infetti e rimossi,
distinzione tra guariti deceduti tra i rimossi nel modello SIRD, introduzione dei sistemi
ridotti, studio della stabilità dei punti di equilibrio e analisi qualitativa del moto.
4. Modelli epidemiologici endemici
Modello SIR endemico con e senza vaccinazione: introduzione del tasso di mortalità
e del tasso di natalità rispetto al modello SIR endemico, introduzione dei sistemi
ridotti, studio della stabilità dei punti di equilibrio e analisi qualitativa del moto.

6. Diario delle lezioni

Tutti i riferimenti si intendono al testo [G] (cfr. sopra, alla voce Testi consigliati).
Lezione 1 (27/05/2025)
Richiami sulla stabilità di Ljapunov: punti di equilibrio stabili, instabili, attrattivi e asintoticamente
stabili [G, §4.1, pag. 192, definizioni 4.7 e 4.10]. Richiami sul teorema di Ljapunov [G, §4.3, pag. 214,
teorema 4.56]. Teorema di Barbašin-Krasovskij: enunciato [G, §4.3, pag. 217, teorema 4.64].
Insieme ω-limite: definizione e proprietà [G, §4.1, pagg. 193-195, definizione 4.12 e teoremi 4.17 e 4.18].
Lezione 2 (27/05/2025)
Alcune proprietà notevoli degli insiemi ω-limite [G, §.1, pagg. 197-199, teorema 4.24 e osservazione 4.25].
Teorema di Barbašin-Krasovskij: dimostrazione [G, §4.3, pag. 217, teorema 4.64]. Applicazione del
teorema di Barbašin-Krasovskij per dimostrare la stabilità asintotica dell'origine per il pendolo semplice
con attrito [G, §5.4.6, pagg. 281-282]. Piano delle fasi del pendolo con attrito [G, §5.4.6, pag. 283].
Lezione 3 (29/05/2025)
Equazioni di Lotka-Volterra - Parte 1: definizione del modello ecologico prede-predatori, punti
di equilibrio, determinazione della costante del moto e studio della stabilità dei punti di equilibrio,
analisi qualitativa del moto nel piano delle fasi, traiettorie periodiche [G, §5.3, pagg. 267-270].
Lezione 4 (29/05/2025)
Equazioni di Lotka-Volterra - Parte 2: cicli periodici delle popolazioni di prede e predatori, effetti della
caccia sulle popolazioni e leggi di Volterra [G1, teorema 5.37 e osservazione 5.38]. Esempio di sistema
planare che ammette una costante del moto - prima parte [G, Cap. 4, pagg. 306-307, esercizio 5.29].
Lezione 5 (30/05/2025)
Esempio di sistema planare che ammette una costante del moto - seconda parte [G, Cap. 4, pagg. 306-307,
esercizio 5.29]. Modello SIR endemico: suscettibili, infetti, rimossi; tasso di infezione e tasso di rimozione;
ipotesi sull'evoluzione della malattia ed equazioni del moto [G, Cap. 4, pagg. 327-328, esercizio 5.73].
Modello SIR endemico: equazioni del moto del sistema ridotto; determinazione dei punti di equilibrio
del sistema ridotto e studio della loro stabilità - prima parte [G, Cap. 4, pagg. 328-330, esercizio 5.74].
Lezione 6 (30/05/2025)
Modello SIR endemico: studio della stabilità dei punti di equilibrio del sistema ridotto - seconda parte
[G, Cap. 4, pagg. 328-330, esercizio 5.74]. Studio delle traiettorie del sistema ridotto e interpretazione dei
risultati in termini del tasso di infezione e del tasso di rimozione [G, Cap. 4, pagg. 330-331, esercizio 5.75].
Lezione 7 (03/06/2025)
Modello SIR endemico: conclusioni sul sistema ridotto ed estensione dei risultati al sistema completo
[G, Cap. 4, pagg. 329-331, esercizi 5.74 e 5.75]. Modello SIRD epidemico: distinzione tra guariti e
deceduti tra i rimossi rispetto al modello SIR endemico e introduzione del tasso di letalità [G, Cap. 4,
pag. 332, esercizio 5.76]. Modello SIR endemico: suscettibili, infetti, rimossi; tasso di infezione,
tasso di rimozione, tasso di natalità, tasso di mortalità e tasso di vaccinazione, parametro di biforcazione,
ipotesi sull'evoluzione della malattia ed equazioni del moto [G, Cap. 4, pagg. 332-333, esercizio 5.77]
Lezione 8 (03/06/2025)
Modello SIR endemico: sistema ridotto e punti di equilibrio del sistema ridotto; studio della stabilità
dei punti di equilibrio del sistema ridotto nel caso in cui l'analisi lineare è sufficiente [G, Cap. 4, pagg.
333-335, esercizio 5.78]. Modello SIR endemico: studio della stabilità dei punti di equilibrio del sistema
ridotto nel caso in cui l'analisi lineare non è conclusiva [G, Cap. 4, pagg. 333-335, esercizio 5.79].
Stabilità dei punti di equilibrio del sistema completo [G, Cap. 4, pagg. 335-337, esercizi 5.78 e 5.79].
Lezione 9 (05/06/2025)
Modello SIR endemico: non esistenza di traiettorie periodiche [G, Cap. 4, pagg. 337-339, esercizio 5.80].
Lezione 10 (05/06/2025)
Modello SIR endemico: analisi qualitativa del moto al variare del parametro di biforcazione per il sistema
ridotto e interpretazione fisica dei risultati per il sistema completo [G, Cap. 4, pagg. 339-341, esercizio 5.81].
Lezione 11 (06/06/2025)
Esempio di sistema planare che ammette una costante del moto [G, Cap. 4, pagg. 314-315, esercizio 5.49].
Lezione 12 (06/03/2025)
Esempio di sistema planare che ammette una costante del moto [G, Cap. 4, pagg. 307-308, esercizio 5.30].