Anno Accademico 2025-2026             



Analisi Matematica per le Applicazioni - Analisi Matematica II
(CdL in Ingegneria Meccanica)

Lezioni: Guido Gentile


1. Caratteristiche dell'insegnamento

Contenuto dell'insegnamento
Equazioni differenziali ordinarie: esistenza e unicità locale; equazioni differenziali ordinarie lineari omogenee e non omogenee,
metodo di variazione delle costanti, sistemi di equazioni lineari; esponenziale di una matrice; equazione di Bernoulli e di Eulero.
Funzioni di più variabili; continuità; derivate parziali; massimi e minimi locali, matrice hessiana. Integrazione secondo Riemann;
integrali multipli. Curve e integrali curvilinei. Superfici e integrali di superficie. Teorema della divergenza e teorema del rotore.
I Semestre - Crediti: 6 CFU - TAF: a

Testi consigliati
L'insegnamento si basa sui testi:
[BDG] Michiel Bertsch, Roberta Dal Passo, Lorenzo Giacomelli, Analisi matematica, McGraw Hill, Milano, 2011 (seconda ed.);
[G] Guido Gentile, Introduzione ai sistemi dinamici - Volume 1. Equazioni differenziali ordinarie, analisi qualitativa
       e alcune applicazioni, Springer, Milano, 2021.
Un ulteriore testo a cui fare riferimento è:
- Michiel Bertsch, Andrea Dall'Aglio, Lorenzo Giacomelli, Epsilon 2. Secondo corso di Analisi matematica, McGraw Hill, Milano, 2024.
Per gli esercizi, oltre ai testi sopra indicati e alle prove scritte degli anni accademici precedenti 2022-2023, 2023-2024 e 2024-2025,
si vedano anche:
- Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Esercitazioni di analisi matematica due - Volumi 1 e 2, Zanichelli, Bologna, 2017;
- Sandro Salsa, Annamaria Squellati, Esercizi di Analisi matematica 2, Zanichelli, Bologna, 2025 (seconda ed.);
- Pietro Caputo, Raccolta di esercizi di Analisi 2, disponibile online.

Modalità degli esami
L'esame consiste in una prova scritta, da svolgere in 3 ore, e in un successivo colloquio orale, da svolgere dopo la pubblicazione dei
risultati della prova scritta. La prova scritta prevede 6 esercizi, oltre a un esercizio preliminare, articolato in 4 domande; solo nel caso in
cui almeno 3 risposte su 4 siano corrette si procede alla valutazione dei restanti esercizi. Il superamento della prova scritta, con voto ≥18,
consente di sostenere il colloquio orale in un appello qualsiasi dello stesso anno accademico. Sia per la prova scritta che per la prova
orale occorre prenotarsi su GOMP all'appello in cui si intenda sostenerla, obbligatoriamente entro la scadenza fissata indicata sul portale
(per ogni appello su GOMP è indicata solo la data della prova scritta; le date della prova orale sono comunicate sul canale Teams).

2. Orari

Orario delle lezioni: lunedì ore 14:00-16:00 (aula N10), martedì ore 13:00-16:00 (aula N10).
Inizio delle lezioni: 29 settembre 2025 ore 14:00-16:00 - Termine delle lezioni: 23 dicembre 2025 ore 13:00-16:00.
Le registrazioni delle lezioni sono disponibili su Teams.
Orario di ricevimento: giovedì ore 16-18 dietro appuntamento (tramite e-mail o Teams).

3. Calendario degli esami

Le date degli esami e le modalità di prenotazione tramite GOMP sono riportate sulla pagina degli appelli d'esame
del Dipartimento di Ingegneria Industriale, Elettronica e Meccanica.

4. Prove d'esame: testi e risultati



5. Programma d'esame

Programma dell'insegnamento dell'A.A. 2025-2026 in formato pdf

1. Equazioni differenziali ordinarie
Equazioni differenziali del primo ordine. Problema di Cauchy: teorema di esistenza e unicità locale.
Equazioni differenziali a variabili separabili. Equazioni differenziali lineari del primo ordine.
Sistemi di equazioni diffrenziali lineari del primo ordine. Equazioni differenziali lineari di qualsiasi ordine.
Soluzioni linearmente indipendenti e determinante wronskiano. Metodo di variazione delle costanti.
Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti e polinomio caratteristico.
Sistemi lineari del primo ordine a coefficienti costanti. Soluzione in termini di esponenziale di una matrice.
Calcolo dell'esponenziale di una matrice nel caso di matrici diagonalizzabili, nilpotenti e non diagonalizzabili.
Alcune equazioni differenziali ordinarie notevoli: equazione di Bernoulli e di Eulero.

2. Calcolo differenziale in più variabili
Norma e distanza in Rn. Funzioni continue, punti estremali e teorema di Weierstrass. Derivate direzionali.
Derivate parziali e gradiente. Funzioni di classe C1 e funzioni di classe C2.
Sviluppo di Taylor al primo ordine e piano tangente. Derivate successive e matrice hessiana.
Teorema di Schwarz. Derivazione di funzioni composte. Sviluppo di Taylor al secondo ordine.
Massimi e minimi locali. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange per massimi e minimi vincolati.

3. Calcolo integrale in più variabili
Integrazione secondo Riemann. Integrazione di funzioni continue. Integrali doppi e integrali tripli.
Domini normali. Formula di riduzione. Calcolo di aree e di volumi.
Cambiamento di variabili negli integrali e matrice jacobiana. Coordinate polari, cilindriche e sferiche.

4. Curve e superfici
Curve in Rn: parametrizzazione, curve equivalenti, verso di una curva e lunghezza di una curva.
Integrali curvilinei di una funzione (o di prima specie) e integrali di una forma differenziale (o di seconda specie).
Lavoro e integrali curvilinei di un campo vettoriale. Superfici regolari in R3. Area di una superficie.
Integrali su superfici. Formula di Green. Teorema della divergenza e teorema del rotore nel piano e nello spazio.

6. Diario delle lezioni
Tutti i riferimenti si intendono ai testi [BDG] e [G]; cfr. la voce Testi consigliati.

6.1. Prima parte: equazioni differenziali ordinarie
Lezione 1 (29/09/2025)
Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie: equazione di Newton [BDG, Cap. 17, pag. 484].
Equazioni differenziali ordinarie di ordine n in forma normale [BDG, Cap. 17, pagg. 484-485].
Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine lineari omogenee [BDG, Cap. 17, pag. 485].
Soluzione generale di un'equazione lineare omogenea [BDG, Cap. 17, pag. 486]. Problema di Cauchy
per equazioni differenziali lineari non omogeneee: esistenza e unicità della soluzione con condizioni iniziali
fissate [BDG, pagg. 485-486, teorema 17.1]. Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine lineari non
omogenee ed equazioni omogenee associate [BDG, Cap. 17, pag. 485]. Soluzione particolare e soluzione generale
di un'equazione differenziale ordinaria lineare non omogenea [BDG, Cap. 17, pagg. 486-487 e teorema 17.2].
Lezione 2 (29/09/2025)
Metodo di variazione della costante per equazioni differenziali lineari del primo ordine non omogenee
[BDG, pag. 487 e teorema 17.3]. Problema per di Cauchy per equazioni differenziali lineari non omogeneee:
esistenza e unicità della soluzione con condizioni iniziali fissate [BDG, pag. 487, teorema 17.3].
Funzioni localmente lipschitziane e funzioni di classe C1, teorema di esistenza e unicità per equazioni
differenziali ordinarie del primo ordine in R nel caso di funzioni lipschitziane [BDG, pag. 492, teorema 17.4].
Teorema di esistenza e unicità per equazioni differenziali ordinarie di ordine qualsiasi [BDG, pagg. 496-497].
Non unicità della soluzione nel caso in cui le funzioni siano solo continue [BDG, pag. 91, esempio 17.9].
Lezione 3 (30/09/2025)
Metodo ad hoc per determinare una soluzione particolare di un'equazione differenziale lineare del primo ordine
non omogenea y'=a y + b(x): (1) b(x)=eλxPn(x), dove Pn(x) è un polinomio di grado n ⇒ si cerca una soluzione
particolare nella forma eλxQn(x) se a≠λ e nella forma eλx x Qn(x) se a=λ, dove Qn(x) è un polinomio di grado n;
(2) b(x)=eλx(An(x) cosμx +Bn(x) sinμx), dove An(x) e Bn(x) sono polinomi di grado n ⇒ si cerca una soluzione
particolare nella forma eλx(αn(x) cosμx +βn(x) sinμx) se μ≠0 oppure μ=0 e λ≠a, dove αn(x) e βn(x) sono polinomi
di grado n, mentre si cerca nella forma eλx x (αn(x) cosμx +βn(x) sinμx) se μ=0 e λ=a, dove αn(x) e βn(x)
sono polinomi di grado n; (3) b(x) è la somma di funzioni b1(x), b2(x),..., bN(x) della forma considerata
ai punti precedenti ⇒ una soluzione particolare è data dalla somma di soluzioni particolari delle equazioni
differenziali lineari non omogeneey'=a y + b1(x), y'=a y + b2(x),...,y'=a y + bN(x). Alcuni esempi illustrativi
del metodo ad hoc [BDG, pagg. 487-490, esempi 17.3, 17.5, 17.6, 17.7 e 17.8]. Esempio che illustra che
non sempre è possibile esprimere la soluzione in termini di funzioni elementari [BDG, pag. 487, esempio 17.4].
Lezione 4 (30/09/2025)
Alcuni esempi illustrativi del metodo di variazione della costante [BDG, pag. 490, esercizio 17.1, e), f)]
Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine a variabili separabili [BDG, pagg. 490-491].
Lezione 5 (30/09/2025)
Esempi illustrativi di equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili [BDG, pagg. 492, esempio 17.12].
Intervallo massimale in cui è definita la soluzione del problema di Cauchy [BDG, pagg. 492-494, esempio 17.11].
Lezione 6 (06/10/2025)
Equazioni differenziali ordinarie lineari del secondo ordine omogenee e non omogenee [BDG, pag. 498].
Soluzioni linearmente indipendenti di un'equazione differenziale ordinaria lineare omogenea del secondo ordine
[BDG, pag. 498, definizione 17.8]. Equazioni differenziali ordinarie lineari omogenee del secondo ordine
a coefficienti costanti: equazione caratteristica e soluzione generale [BDG, pagg. 500-501, teorema 17.11].
Lezione 7 (06/10/2025)
Determinante wronskiano e soluzioni linearmente indipendenti di un'equazione differenziale ordinaria
lineare omogenea del secondo ordine [BDG, pag. 499, lemma 17.9]. Soluzione generale e soluzione particolare
di un'equazione differenziale ordinaria lineare omogenea del secondo ordine [BDG, pag. 500, teorema 17.10].
Equazioni differenziali ordinarie lineari non omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti: metodo di
variazione delle costanti per determinare una soluzione particolare [BDG, pagg. 502-503, esempio 17.16].
Lezione 8 (07/10/2025)
Metodo ad hoc per determinare una soluzione particolare di un'equazione differenziale lineare del secondo ordine
non omogenea ay''+by'+cy =g(x), dove g(x)=eλx (An(x) sinνx + Bn(x) cosνx), dove An(x) e Bn(x) sono polinomi
di grado n ⇒ si cerca la soluzione particolare nella forma eλx (αn(x) sinνx + βn (x) cosνx) se λ±iν non sono zeri
dell'equazione caratteristica, nella forma x eλx (αn(x) sinνx + βn(x) cosνx) se λ±iν sono zeri semplici dell'equazione
caratteristica, e nella forma x2 eλx (αn(x) sinνx + βn(x) cosνx) se ν=0 e λ è uno zero doppio dell'equazione
caratteristica, dove αn(x) e βn(x) sono polinomi di grado n [G, capitolo 3, pagg. 124-125, esercizi 2.43 e 2.44].
Alcuni esempi illustrativi [BDG, pagg. 503-505, §17.3.2, esempio 17.17, a), b); esempio 17.19; esercizio 17.6, g))].
Lezione 9 (07/10/2025)
Esercizi sulle equazioni differenziali ordinarie lineari non omogenee del primo e del secondo ordine e
sulle equazioni differenziali a variabili separabili [A.A. 2024-2025, Appello III, esercizi 0.1, 0.3, 1 e 3.]
Lezione 10 (07/10/2025)
Esercizi sulle equazioni differenziali ordinarie lineari non omogenee del primo e del secondo ordine e
sulle equazioni differenziali a variabili separabili [A.A. 2023-2024, Appello III, esercizi 0.1, 1 e 3.]
Lezione 11 (13/10/2025)

Lezione 12 (13/10/2025)

Lezione 13 (14/10/2025)

Lezione 14 (14/10/2025)

Lezione 15 (14/10/2025)