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Anno Accademico 2025-2026 |
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Analisi Matematica per le Applicazioni - Analisi Matematica II
(CdL in Ingegneria Meccanica)
Lezioni: Guido Gentile
1. Caratteristiche dell'insegnamento
Contenuto dell'insegnamento
Equazioni differenziali ordinarie: esistenza e unicità locale;
equazioni differenziali ordinarie lineari omogenee e non omogenee,
metodo di variazione delle costanti, sistemi di equazioni lineari;
esponenziale di una matrice; equazione di Bernoulli e di Eulero.
Funzioni di più variabili; continuità; derivate parziali;
massimi e minimi locali, matrice hessiana. Integrazione secondo Riemann;
integrali multipli.
Curve e integrali curvilinei. Superfici e integrali di superficie.
Teorema della divergenza e teorema del rotore.
I Semestre -
Crediti: 6 CFU -
TAF: a |
Testi consigliati
L'insegnamento si basa sui testi:
[BDG] Michiel Bertsch, Roberta Dal Passo, Lorenzo Giacomelli, Analisi matematica,
McGraw Hill, Milano, 2011 (seconda ed.);
[G] Guido Gentile, Introduzione ai sistemi dinamici - Volume 1.
Equazioni differenziali ordinarie, analisi qualitativa
e alcune applicazioni, Springer, Milano, 2021.
Un ulteriore testo a cui fare riferimento è:
- Michiel Bertsch, Andrea Dall'Aglio, Lorenzo Giacomelli, Epsilon 2. Secondo corso di Analisi matematica,
McGraw Hill, Milano, 2024.
Per gli esercizi, oltre ai testi sopra indicati e alle prove scritte degli anni accademici precedenti
2022-2023,
2023-2024 e
2024-2025,
si vedano anche:
- Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Esercitazioni di analisi matematica due - Volumi 1 e 2,
Zanichelli, Bologna, 2017;
- Sandro Salsa, Annamaria Squellati, Esercizi di Analisi matematica 2,
Zanichelli, Bologna, 2025 (seconda ed.);
- Pietro Caputo, Raccolta di esercizi di Analisi 2, disponibile
online.
Modalità degli esami
L'esame consiste in una prova scritta, da svolgere in 3 ore,
e in un successivo colloquio orale, da svolgere dopo la pubblicazione dei
risultati della prova scritta. La prova scritta prevede 6 esercizi,
oltre a un esercizio preliminare, articolato in 4 domande; solo nel caso in
cui almeno 3 risposte su 4 siano corrette si procede alla valutazione
dei restanti esercizi.
Il superamento della prova scritta, con voto ≥18,
consente di sostenere il colloquio orale in un appello qualsiasi dello stesso anno accademico.
Sia per la prova scritta che per la prova
orale occorre prenotarsi su GOMP all'appello in cui si intenda sostenerla,
obbligatoriamente entro la scadenza fissata indicata sul portale
(per ogni appello su GOMP è indicata solo la data della prova scritta; le date della prova orale sono
comunicate sul canale Teams).
2. Orari
Orario delle lezioni: lunedì ore 14:00-16:00 (aula N10),
martedì ore 13:00-16:00 (aula N10).
Inizio delle lezioni: 29 settembre 2025 ore 14:00-16:00 -
Termine delle lezioni: 23 dicembre 2025 ore 13:00-16:00.
Le registrazioni delle lezioni sono disponibili su Teams.
Orario di ricevimento:
giovedì ore 16-18 dietro appuntamento (tramite e-mail o Teams).
3. Calendario degli esami
Le date degli esami e le modalità di prenotazione tramite GOMP sono riportate sulla pagina degli
appelli d'esame del Dipartimento
di Ingegneria Industriale, Elettronica e Meccanica (per le date cfr. anche la voce successiva
Prova d'esame: testi e risultati).
4. Prove d'esame: testi e risultati
Appello I:
16 gennaio 2025 - ore 14:00 - da confermare
(le modalità di prenotazioni per la prova orale sono indicate su Teams).
Appello II:
3 febbraio 2025 - ore 14:00 - da confermare
(le modalità di prenotazioni per la prova orale sono indicate su Teams).
Appello III: da fissare.
Appello IV: da fissare
Appello V: da fissare
Appello VI: da fissare
5. Programma d'esame
Programma dell'insegnamento dell'A.A. 2025-2026 in formato pdf
1. Equazioni differenziali ordinarie
Equazioni differenziali del primo ordine.
Problema di Cauchy: teorema di esistenza e unicità locale.
Equazioni differenziali a variabili separabili.
Equazioni differenziali lineari del primo ordine.
Sistemi di equazioni diffrenziali lineari del primo ordine.
Equazioni differenziali lineari di qualsiasi ordine.
Soluzioni linearmente indipendenti e determinante wronskiano.
Metodo di variazione delle costanti.
Equazioni differenziali lineari
a coefficienti costanti e polinomio caratteristico.
Sistemi lineari del primo ordine a coefficienti costanti.
Soluzione in termini di esponenziale di una matrice.
Calcolo dell'esponenziale di una matrice nel caso di
matrici diagonalizzabili, nilpotenti e non diagonalizzabili.
Alcune equazioni differenziali ordinarie notevoli: equazione di Bernoulli e di Eulero.
2. Calcolo differenziale in più variabili
Norma e distanza in Rn. Funzioni continue,
punti estremali e teorema di Weierstrass. Derivate direzionali.
Derivate parziali e gradiente.
Funzioni di classe C1
e funzioni di classe C2.
Sviluppo di Taylor al primo ordine e piano tangente. Derivate successive e matrice hessiana.
Teorema di Schwarz. Derivazione di funzioni composte. Sviluppo di Taylor al secondo ordine.
Massimi e minimi locali.
Metodo dei moltiplicatori di Lagrange per massimi e minimi vincolati.
3. Calcolo integrale in più variabili
Integrazione secondo Riemann.
Integrazione di funzioni continue. Integrali doppi e integrali tripli.
Domini normali. Formula di riduzione.
Calcolo di aree e di volumi.
Cambiamento di variabili negli integrali
e matrice jacobiana. Coordinate polari, cilindriche e sferiche.
4. Curve e superfici
Curve in Rn: parametrizzazione, curve equivalenti, verso di una curva
e lunghezza di una curva.
Integrali curvilinei di una funzione (o di prima specie)
e integrali di una forma differenziale
(o di seconda specie).
Lavoro e integrali curvilinei di un campo vettoriale.
Superfici regolari in R3.
Area di una superficie.
Integrali su superfici.
Formula di Green. Teorema della divergenza e teorema del rotore nel piano e nello spazio.
6. Diario delle lezioni
Tutti i riferimenti si intendono ai testi [BDG] e [G]; cfr. la voce Testi consigliati.
6.1. Prima parte: equazioni differenziali ordinarie
Lezione 1 (29/09/2025)
Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie: equazione di Newton
[BDG, Cap. 17, pag. 484].
Equazioni differenziali ordinarie di ordine n in forma normale [BDG, Cap. 17, pagg. 484-485].
Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine lineari omogenee
[BDG, Cap. 17, pag. 485].
Soluzione generale di un'equazione lineare omogenea [BDG, Cap. 17, pag. 486]. Problema di Cauchy
per equazioni differenziali lineari non omogeneee: esistenza e unicità
della soluzione con condizioni iniziali
fissate [BDG, pagg. 485-486, teorema 17.1]. Equazioni differenziali
ordinarie del primo ordine lineari non
omogenee ed equazioni omogenee associate [BDG, Cap. 17, pag. 485].
Soluzione particolare e soluzione generale
di un'equazione differenziale ordinaria lineare non omogenea [BDG, Cap. 17, pagg. 486-487 e teorema 17.2].
Lezione 2 (29/09/2025)
Metodo di variazione della costante per equazioni differenziali lineari del primo ordine non omogenee
[BDG, pag. 487 e teorema 17.3]. Problema per di Cauchy per equazioni differenziali lineari non omogeneee:
esistenza e unicità della soluzione con condizioni iniziali fissate [BDG, pag. 487, teorema 17.3].
Funzioni localmente lipschitziane e funzioni di classe C1, teorema di esistenza e unicità
per equazioni
differenziali ordinarie del primo ordine in R nel caso di funzioni lipschitziane [BDG, pag. 492, teorema 17.4].
Teorema di esistenza e unicità per equazioni differenziali ordinarie
di ordine qualsiasi [BDG, pagg. 496-497].
Non unicità della soluzione nel caso in cui le funzioni siano solo continue
[BDG, pag. 91, esempio 17.9].
Lezione 3 (30/09/2025)
Metodo ad hoc per determinare una soluzione particolare
di un'equazione differenziale lineare del primo ordine
non omogenea y'=a y + b(x): (1) b(x)=eλxPn(x),
dove Pn(x) è un polinomio di grado n
⇒ si cerca una soluzione
particolare nella forma eλxQn(x)
se a≠λ e nella forma eλx x Qn(x)
se a=λ,
dove Qn(x)
è un polinomio di grado n;
(2) b(x)=eλx(An(x) cosμx +Bn(x) sinμx),
dove An(x) e
Bn(x) sono polinomi di grado n
⇒ si cerca una soluzione
particolare nella forma
eλx(αn(x) cosμx
+βn(x) sinμx)
se μ≠0 oppure μ=0 e λ≠a,
dove αn(x) e βn(x)
sono polinomi
di grado n, mentre si cerca nella forma
eλx x (αn(x) cosμx
+βn(x) sinμx)
se μ=0 e λ=a,
dove αn(x) e βn(x)
sono polinomi di grado n;
(3) b(x) è la somma
di funzioni b1(x), b2(x),...,
bN(x) della forma considerata
ai punti precedenti ⇒ una soluzione particolare è data
dalla somma di soluzioni particolari delle equazioni
differenziali lineari non omogeneey'=a y + b1(x),
y'=a y + b2(x),...,y'=a y + bN(x).
Alcuni esempi illustrativi
del metodo ad hoc
[BDG, pagg. 487-490, esempi 17.3, 17.5, 17.6, 17.7 e 17.8].
Esempio che illustra che
non sempre è possibile esprimere
la soluzione in termini di funzioni elementari [BDG, pag. 487, esempio 17.4].
Lezione 4 (30/09/2025)
Alcuni esempi illustrativi del metodo di variazione della costante [BDG, pag. 490, esercizio 17.1, e), f)]
Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine a variabili separabili [BDG, pagg. 490-491].
Lezione 5 (30/09/2025)
Esempi illustrativi di equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili
[BDG, pagg. 492, esempio 17.12].
Intervallo massimale in cui è definita la soluzione
del problema di Cauchy [BDG, pagg. 492-494, esempio 17.11].
Lezione 6 (06/10/2025)
Equazioni differenziali ordinarie lineari del secondo ordine omogenee e non omogenee [BDG, pag. 498].
Soluzioni linearmente indipendenti di un'equazione differenziale ordinaria lineare omogenea del secondo ordine
[BDG, pag. 498, definizione 17.8]. Equazioni differenziali ordinarie lineari omogenee del secondo ordine
a coefficienti costanti: equazione caratteristica e soluzione generale
[BDG, pagg. 500-501, teorema 17.11].
Lezione 7 (06/10/2025)
Determinante wronskiano e soluzioni linearmente
indipendenti di un'equazione differenziale ordinaria
lineare omogenea del secondo ordine [BDG, pag. 499, lemma 17.9].
Soluzione generale e soluzione particolare
di un'equazione differenziale
ordinaria lineare omogenea del secondo ordine [BDG, pag. 500, teorema 17.10].
Equazioni differenziali ordinarie lineari non omogenee del secondo ordine a coefficienti costanti:
metodo di
variazione delle costanti per determinare una soluzione particolare
[BDG, pagg. 502-503, esempio 17.16].
Lezione 8 (07/10/2025)
Metodo ad hoc per determinare una soluzione particolare
di un'equazione differenziale lineare del secondo ordine
non omogenea ay''+by'+cy =g(x),
dove g(x)=eλx
(An(x) sinνx +
Bn(x) cosνx),
dove An(x) e Bn(x)
sono polinomi
di grado n ⇒ si cerca
la soluzione particolare nella forma eλx
(αn(x) sinνx +
βn
(x) cosνx)
se λ±iν non sono zeri
dell'equazione
caratteristica, nella forma x eλx
(αn(x) sinνx +
βn(x) cosνx)
se λ±iν sono zeri semplici dell'equazione
caratteristica, e nella forma
x2
eλx
(αn(x) sinνx +
βn(x) cosνx)
se ν=0 e λ è uno zero doppio
dell'equazione
caratteristica, dove
αn(x) e βn(x)
sono polinomi di grado n [G, capitolo 3, pagg. 124-125, esercizi 2.43 e 2.44].
Alcuni esempi illustrativi
[BDG, pagg. 503-505, §17.3.2, esempio 17.17, a), b); esempio 17.19;
esercizio 17.6, g)].
Lezione 9 (07/10/2025)
Esercizi sulle equazioni differenziali ordinarie lineari non omogenee del primo
e del secondo ordine e
sulle equazioni differenziali a variabili separabili
[A.A. 2024-2025, Appello III,
esercizi 0.1, 0.3, 1 e 3.]
Lezione 10 (07/10/2025)
Esercizi sulle equazioni differenziali ordinarie lineari non omogenee del primo
e del secondo ordine e
sulle equazioni differenziali a variabili separabili
[A.A. 2023-2024, Appello III, esercizi 0.1, 1 e 3.]
Lezione 11 (13/10/2025)
Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine in Rn:
esistenza e unicità della soluzione del problema di Cauchy
[G, pag. 159]. Equazioni differenziali ordinarie di ordine n in R:
riduzione al caso delle equazioni differenziali ordinarie
del primo ordine [G, pagg. 163-164]
Equazioni differenziali ordinarie lineari di ordine n omogenee:
soluzione generale
[BDG, pagg. 506-507]. Equazioni differenziali ordinarie lineari
di ordine n non omogenee a coefficienti costanti:
soluzione particolare e soluzione generale [BDG, pag. 507].
Esempio di equazione differenziale ordinaria lineare
non omogenea a coefficienti costanti di ordine 4 [BDG, pagg. 506-507, esempi 17.20, 17.21 e 17.22].
Lezione 12 (13/10/2025)
Sistemi di equazioni differenziali ordinarie lineari omogenee del primo ordine: riscrittura in forma
vettoriale y' = A(x)y
[BDG, pagg. 514-515]. Esponenziale di una matrice:
definizione come
serie di matrici assolutamente convergente
[G, pagg. 25-26, definizione 1.67 e proposizione 1.68].
Soluzione di un sistema di equazioni differenziali ordinarie
lineari
omogenee a coefficienti costanti
nella forma di un esponenziale di matrice [G, pag. 70, lemma 2.3].
Calcolo dell'esponenziale
di una matrice diagonale [G, pagg. 26-27, lemma 1.69, proprietà 4].
Calcolo
dell'esponenziale
di una matrice diagonalizzabile
[G, pagg. 26-28, lemma 1.69, proprietà 1 e osservazione 1.70].
Lezione 13 (14/10/2025)
Esercizio sui sistemi di equazioni differenziali ordinarie
lineari omogenee del primo ordine a coefficienti costanti
nel caso di matrici diagonalizzabili [BDG, pag. 517, esempio 17.29,
tramite il calcolo dell'esponenziale della matrice].
Calcolo dell'esponenziale di una matrice semisemplice
[G, pagg. 22, lemma 1.63, pag. 26, lemma 1.69, proprietà 5].
Esercizio sui sistemi di equazioni differenziali ordinarie
lineari omogenee del primo ordine
a coefficienti costanti nel
caso di matrici semisemplici
[BDG, pag. 518-19, esempio 17.30,
tramite il calcolo dell'esponenziale della matrice].
Lezione 14 (14/10/2025)
Calcolo dell'esponenziale di una matrice nilpotente
[G, pag. 29, osservazione 1.73].
Calcolo dell'esponenziale
di una matrice non diagonalizzabile
[G, pag. 26, lemma 1.69, proprietà 2,
e pag. 36, teorema 1.84].
Esercizio sui
sistemi di equazioni differenziali ordinarie lineari omogenee
del primo ordine nel caso di matrici
non diagonalizzabili [BDG, pagg. 518-19, esempio 17.31,
tramite il calcolo dell'esponenziale della matrice].
Lezione 15 (14/10/2025)
Ricerca della soluzione generale di
un sistema di equazioni differenziali ordinarie lineari omogenee del primo ordine
a coefficienti costanti come combinazione di esponenziali con coefficienti polinomiali
[G, pag. 80, teorema 2.9].
Esercizio sui sistemi di equazioni differenziali ordinarie
lineari omogenee del primo ordine a coefficienti costanti
in R3 nel caso di matrici semisemplici
[G, pagg. 83-91, esempio 2.11, metodo 1 e metodo 4].
Lezione 16 (20/10/2025)
Esercizio sui sistemi di equazioni differenziali ordinarie
lineari omogenee del primo ordine
a coefficienti costanti in R3
nel caso di matrici il cui
l'esponenziale si possa
calcolare direttamente
a partire dalla definizione come serie
[G, pag. 64, esercizio 1.53 e pag. 118, esercizio 2.30].
Lezione 17 (20/10/2025)
Oscillatore armonico in presenza di dissipazione (attrito)
e di un eventuale termine forzante: soluzione
generale e soluzione particolare, condizione di risonanza,
ponte di Tacoma Narrows [BDG, pag. 505,
esercizio 1.8; G, pag. 103, esempio 2.19,
pagg. 107-109, esempio 2.31 e osservazione 2.32].
Lezione 18 (21/10/2025)
Esercizi sui sistemi di equazioni differenziali lineari omogenee del primo ordine
a coefficienti
costanti in R2
[A.A. 2022-2023, Appello I, esercizio 2;
A.A. 2023-2024, Appello IV, esercizio 2].
Lezione 19 (21/10/2025)
Equazione di Eulero: determinazione della soluzione attraverso
un cambio di variabile [BDG, pagg. 509-510].
Esercizi sulle equazioni di Eulero
[BDG, pag. 510, esempio 17.26, esercizi 17.12, a) e b)].
Equazione differenziale
di Bernoulli: determinazione della soluzione
attraverso un cambio di variabile
[G, pag. 186, esercizio 3.38].
Lezione 20 (21/10/2025)
Esercizio sulle equazioni differenziali di Bernoulli
[G, pagg. 186-187, esercizi 3.39 e 3.40].
Esempio di equazione
differenziale lineare non omogeneea a coefficienti costanti del terzo ordine
[BDG, pag. 509, esercizio 17.10, a)].
Esercizo sulle equazioni differenziali di Bernouilli
[A.A. 2024-2025, Appello IV, esercizio 2:
testo e
soluzione].
Lezione 21 (27/10/2025)
Esercizi sulle equazioni differenziali ordinarie
[A.A. 2023-2024, Appello IV, esercizi 0.3, 1 e 3].
Lezione 22 (27/10/2025)
Esercizi sulle equazioni differenziali ordinarie
[A.A. 2022-2023,
Appello straordinario del 21/11/2023,
esercizi 2 e 3; A.A. 2022-2023,
Appello II, esercizi 1 e 2: equazioni a variabili separabili e sistemi lineari].
6.2. Seconda parte: calcolo differenziale in più variabili
Lezione 23 (28/10/2025)
Funzioni di più variabili [BDG, pagg. 303-304].
Dominio [BDG, pag. 305, definizione ed esempio 10.1].
Prodotto scalare, norma euclidea,
distanza [BDG, pag. 306].
Intorni (sferici), punti interni, punti esterni e
punti di frontiera; interno di un insieme; frontiera di un insieme; chiusura di un insieme
insiemi aperti,
insiemi chiusi, insiemi limitati e insiemi compatti [BDG, pagg. 307-308, definizioni ed esempio 10.13, a) e c)].
Lezione 24 (28/10/2025)
Limite in Rn: definizione e proprietà
[BDG, pag. 313].
Funzioni continue in Rn
[BDG, pag. 314, definizione 10.9].
Curve parametrizzate [BDG, §10.3.3, pagg. 316-317, definizione 10.14 ed esempi 10.10 e 10.11, b)].
Limite di forme indeterminate in Rn
[BDG, pagg. 319-320, esempio 10.14; pagg. 323-324, esempio 10.19].
Studio del limite per (x,y) → (0,0) delle funzioni
(xy)/(x2+y2),
(x2y)/(x2+y2),
(x4+y4)/(x2+y4),
y(x2+y2)/(x4+y2).
Lezione 25 (28/10/2025)
Calcolo di limiti attraverso l'uso di coordinate polari [BDG, pagg. 324-326, esempi 10.14 e 10.19].
Studio del limite delle
delle
(xy)/(x2+y2),
(x2y)/(x2+y2),
(x4+y4)/(x2+y4) e
y(x2+y2)/(x4+y2)
utilizzando coordinate polari.
Rapporto incrementale,
derivata direzionale, derivate parziali, gradiente [BDG, pagg. 328-331,
definizioni 11.1 e 11.2, esempi 11.1 e 11.2].
Lezione 26 (03/11/2025)
Derivabilità e differenziabilità di funzioni di più variabili [BDG, pagg. 330-334, definizione 11.3].
Implicazioni della differenziabilità sulla continuità e
derivabilità di una funzione [BDG, teorema 11.4].
Esempio di funzione di due variabili che è derivabile ma non è differenziabile:
f(x,y) = xy/(x2+y2).
Teorema del differenziale totale e funzioni di classe C1
[BDG, teorema 11.5, definizione 11.6 e corollario 11.7].
Esempio di funzione differenziabile che non è di classe
C1: f(x) = x2sin(1/x)
[BDG, pag. 337].
Lezione 27 (03/11/2025)
Derivate direzionali e derivate parziali del secondo ordine
[BDG, pag. 341, definizioni ed esempio 11.13].
Funzioni due volte differenziabili e teorema di Schwarz
[BDG, pagg. 341-342, e teorema 11.11].
Matrice hessiana e forma quadratica associata
[BDG, pagg. 342-343 ed esempio 11.15].
Polinomio di Taylor al secondo ordine: derivazione [BDG, pagg. 343-345, teorema 11.12 ed esempio 11.16].
Funzioni discontinue nel piano: esempi [BDG, pag. 320-322, esempio 10.15, esercizio 10.15, a), c)].
Lezione 28 (04/11/2025)
Punti di massimo e di minimo locale [BDG, §10.3, pag. 313].
Funzioni continue in insiemi compatti: teorema di
Weierstrass [BDG, pag. 316,
teorema 10.10]. Punti critici (o stazionari) e punti estremali (o di estremo)
[BDG, pag. 350,
definizione 11.22 e teorema 11.23]. Punti di sella di una funzione [BDG, pag. 350,
definizione 11.24 ed esempio 11.21].
Studio dei punti estremali di una funzione nel piano [BDG, pagg. 351-352, esempio 11.23].
Schema generale
per la determinazione dei massimi e minimi di una funzione di due variabili in un insieme compatto [BDG, pag. 401].
Lezione 29 (04/11/2025)
Criterio per la determinazione dei punti di minimo e di massimo locale
e dei punti di sella tramite lo studio
della matrice hessiana [BDG, pag. 351, teorema 11.25 e corollario 11.26].
Studio dei punti estremali vincolati
di una funzione: metodo diretto [BDG, pag. 396, definizione 13.8].
Esercizio sul calcolo dei punti estremali
di una funzione nel piano o in un insieme compatto del piano con il metodo
diretto [BDG, pagg. 351-352,
esempio 11.23, nel cerchio
x2+y2 ≤
R2, con R=1 o R=2,
e nella corona circolare
1 ≤ x2+y2 ≤ 4
o in R2].
Lezione 30 (04/11/2025)
Esercizi sul calcolo differenziale in più variabili:
determinazione dei punti di
massimo e di minimo di una
funzione di due variabili in un insieme compatto [A.A. 2023-2024,
Appello VI, esercizio 4;
A.A. 2023-2024,
Appello III, esercizio 4;
A.A. 2023-2024, Appello IV, esercizio 4;
A.A. 2023-2024, Appello I, esercizio 4].
Lezione 31 (10/11/2025)
Studio dei punti estremali vincolati di una funzione: metodo dei
moltiplicatori di Lagrange [BDG, pagg. 398-399,
e teorema 13.11]. Esercizio sul calcolo dei punti estremali di una funzione in un sottoinsieme
compatto del piano
con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange
[BDG, pagg. 399-400, esempi 13.8 nel cerchio di raggio 1 - parte 1].
Lezione 32 (10/11/2025)
Esercizi sul calcolo degli estremi vincolati di una funzione di due variabili e
dei punti estremali di funzioni
di due variabili in un insieme compatto [A.A. 2023-2024,
Appello IV, esercizio 4,
con il metodo dei moltiplicatori
di Lagrange; A.A. 2023-2024,
Appello I, esercizio 4,
con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange].
6.3. Terza parte: calcolo integrale in più variabili
Lezione 33 (11/11/2025)
Richiami sull'integrazione di una funzione di una variabile e integrali doppi su rettangoli [BDG, pag. 414].
Suddivisioni di rettangoli, somme superiori e somme inferiori [BDG, pag. 414, definizione 14.1].
Funzioni integrabili secondo Riemann in un rettangolo [BDG, pag. 414, definizione 14.2].
Integrabilità in un rettangolo delle funzioni continue [BDG, pag. 415, teorema 14.4].
Proprietà
delle funzioni integrabili in rettangoli [BDG, pag. 415, teorema 14.5].
Formula di riduzione
per integrali doppi su rettangoli [BDG, pag. 415-417, teorema 14.6 ed esempio 14.4]
Lezione 34 (11/11/2025)
Domini semplici (o normali) rispetto all'asse x e rispetto all'asse y [BDG, pagg. 420-421,
definizione 14.16 ed
esempio 14.5]. Formule di riduzione per integrali doppi su domini semplici
[BDG, pagg. 422-423, teorema 14.17].
Integrali su un dominio che si decompone
nell'unione di domini semplici [BDG, pag. 424, teorema 14.18].
Esercizi sugli integrali doppi su domini semplici [BDG, pagg. 425-426, esercizio 14.5, d) e f)].
Lezione 35 (11/11/2025)
Esercizio sul calcolo dei punti estremali di una funzione in un sottoinsieme
compatto del piano con il metodo
dei moltiplicatori di Lagrange [BDG, pagg. 399-400, esempi 13.8 nel cerchio di raggio 1 - parte 2].
Lezione 36 (17/11/2025)
Cambiamento di coordinate in R2, matrice jacobiana
e formula di cambiamento di variabili per gli
integrali doppi [BDG, pagg. 426-428, introduzione, formula (14.15) e teorema 14.19].
Coordinate polari
per il calcolo di integrali [BDG, pagg. 428-430,
corollario 14.20, esempio 14.12 ed esercizio 14.8, c)].
Lezione 37 (17/11/2025)
Altri cambiamenti di variabili per gli integrali doppi
[BDG, pagg. 426-428, esempi 14.16, 14.17 e 14.20].
Lezione 38 (18/11/2025)
Integrali tripli su parallelepipedi [BDG, pagg. 440-442].
Formule di riduzione su parallelepipedi
[BDG, pagg. 442-443, teorema 14.26 ed esempio 14.28].
Domini semplici rispetto a un asse
e formule di riduzione per fili [BDG, pagg. 443-445, teorema 14.27 ed esempio 14.29].
Lezione 39 (18/11/2025)
Formule di riduzione per strati
[BDG, pag. 444, teorema 14.28 ed esempio 14.30].
Cambiamento di coordinate
in R3,
matrice jacobiana e formula di cambiamento di coordinate
per gli integrali tripli [BDG, pag. 446].
Lezione 40 (18/11/2025)
Coordinate cilindriche [BDG, pagg. 446-447, esempio 14.34].
Coordinate sferiche [BDG, pagg. 448-450, esempi 14.37 e 14.38].
Lezione 41 (24/11/2025)
Esercizi sul calcolo integrale in più variabili
[A.A. 2024-2025, Appello I, esercizio 5;
A.A. 2023-2024,
Appello V, esercizio 5;
A.A. 2024-2025, Appello II, esercizio 5;
A.A. 2024-2025, Appello VI, esercizio 5].
Lezione 42 (24/11/2025)
Esercizi sul calcolo integrale in più variabili
[A.A. 2022-2023,
Appello straordinario del 21/11/2023, esercizio 5].
6.4. Quarta parte: curve e superfici
