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Anno Accademico 2025/2026 |
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FM440 - Fisica Matematica (CdLM in Matematica)
Lezioni: Guido Gentile
1. Caratteristiche dell'insegnamento
Contenuto dell'insegnamento
Integrabilità e caos: due aspetti complementari della dinamica:
(1) sistemi hamiltoniani integrabili e superintegrabili,
(2) sistemi quasi-integrabili
e teoria KAM, (3) formalismo grafico ed espansione in alberi,
(4) sistemi caotici e sistemi iperbolici,
(5) partizioni di Markov e dinamica simbolica
I Semestre -
Crediti: 6 CFU -
TAF: b (CdLM). |
Testi consigliati
L'insegnamento si basa sui testi:
[G] Guido Gentile,
Introduzione ai sistemi dinamici Vol. 2 - Meccanica lagrangiana e hamiltoniana,
Springer, 2022.
[GBG] Giovanni Gallavotti, Federico Bonetto, Guido Gentile,
Aspects of Ergodic, Qualitative and Statistical Theory of Motion,
Springer, 2004.
Modalità degli esami
L'esame consiste nello svolgimento di esercizi che sono proposti nel corso delle lezioni
(cfr. la voce Esercizi da svolgere)
e in un successivo colloquio orale
in cui lo studente deve presentare e discutere una tesina su un argomento a piacere.
2. Orari
Orario indicativo delle lezioni: lunedì ore 11:00-13:00 (aula M6),
martedì ore 11:00-13:00 (aula M6),
giovedì ore 14:00-16:00 (aula L).
Inizio delle lezioni: 29 settembre 2025 ore 11:00-13:00.
Termine (indicativo) delle lezioni: 23 dicembre 2023 ore 11:00-13:00.
Orario di ricevimento:
per appuntamento (tramite e-mail o Teams).
3. Calendario degli esami
Le date per la verbalizzazione degli esami sono riportate sulla pagina degli esami dei CdS in
Matematica.
4. Esercizi da svolgere
1. Superintegrabilità del campo centrale gravitazionale [G, pag. 503, Esercizio 8.61].
2. Teoria perturbativa a tutti gli ordini nel caso di sistemi isocroni [G, pagg. 523-524, Lemma 9.17].
3. Condizioni di compatibilità per la solubilità formale delle serie di Lindstedt
[G, §9.5.4, pagg. 571-581].
4. Dimostrazione della stima (10.54) sulla condizione di aniscronia
[G, §10.1.6, pag. 735, esercizio 10.26].
5. Misura dei tori che persisitono in sistemi quasi-integrabili
[G, §10.3.4, pagg. 718-720].
5. Programma d'esame
Programma dell'insegnamento dell'A.A. 2025-2026 in formato pdf
(disponibile al termine delle lezioni)
1. Sistemi hamiltoniani integrabili e superintegrabili
2. Sistemi hamiltoniani quasi-integrabili e teoria KAM
3. Formalismo grafico ed espansione in alberi
4. Sistemi ergodici, sistemi mescolanti e sistemi iperbolici
5. Pavimenti di Markov e matrici di compatibilità
6. Diario delle lezioni
Tutti i riferimenti si intendono ai testi [G] e [GBG]; cfr. la voce Testi consigliati.
6.1. Prima parte - Sistemi hamiltoniani integrabili e superintegrabili
Lezione 1 (29/09/2025)
Equazione di Hamilton-Jacobi in sistemi autonomi e funzione caratteristica di Hamilton [G, §8.1, pagg. 429-432].
Sistemi hamiltoniani integrabili [G, §8.1, pag. 433]. Sistemi hamiltoniani
superintegrabili e massimamente integrabili,
esempio del problema dei due corpi nel caso di un campo centrale gravitazionale
[G, §8.1, pag. 433 e pag. 503, problema 8.61].
6.2. Seconda parte - Sistemi hamiltoniani quasi-integrabili: studio formale
Lezione 2 (29/09/2025)
Variabili azione-angolo, moti multiperiodici ed enunciato del teorema di Liouville-Arnold [G, §8.3, pagg. 440-445].
Introduzione alla teoria delle perturbazioni: sistema solare e modello di Fermi-Pasta-Ulam
[G, §9.1, pagg. 507-512]
Condizione di non risonanza e condizione diofantea [G, §9.1, pag. 515].
Teoria delle perturbazioni [G, §9.1, pagg. 512-514].
Lezione 3 (30/09/2025)
Condizione di non degenerazione di Kolmogorov (anisocronia), serie di Fourier generica e primo teorema
di trivialità
di Poincaré [G, §9.1, pagg. 517-518].
Teoria perturbativa al primo ordine nel caso di sistemi hamiltoniani
che soddisfino la condizione di non degenerazione di Kolmogorov [G, §9.1, pagg. 518-520].
Lezione 4 (30/09/2025)
Teoria perturbativa a tutti gli ordini nel caso di perturbazioni di sistemi isocroni
[G, §9.2, pagg. 520-523].
Lezione 5 (02/10/2025)
Serie di Lindstedt e legame con la teoria delle perturbazioni: ricerca di una soluzione multiperiodica
delle equazioni di Hamilton
[G, §9.4, pagg. 537-540].
Studio delle serie di Lindstedt al primo ordine nel parametro perturbativo
[G, §9.4.1, pagg. 544-545].
Lezione 6 (02/10/2025)
Studio delle serie di Lindstedt al secondo ordine nel parametro perturbativo
[G, §9.4.2, pagg. 545-548].
Lezione 7 (06/10/2025)
Studio delle serie di Lindstedt agli ordini superiori nel parametro perturbativo
[G, §9.4.3, pagg. 549-551].
Lezione 8 (06/10/2025)
Rappresentazione grafica delle serie di Lindstedt 1:
grafi, alberi e relazioni di equivalenza
[G, §9.5.1, pagg. 552-557].
Lezione 9 (07/10/2025)
Rappresentazione grafica delle serie di Lindstedt 2:
regole grafiche e costruzione degli alberi - parte 1
[G, §9.5.2, pagg. 557-564].
Lezione 10 (07/10/2025)
Rappresentazione grafica delle serie di Lindstedt 3:
rappresentazione in termini di alberi - parte 1
[G, §9.5.3, pagg. 564-571].
Lezione 11 (09/10/2025)
Rappresentazione grafica delle serie di Lindstedt 2:
regole grafiche e costruzione degli alberi - parte 2
[G, §9.5.2, pagg. 557-564].
Lezione 12 (09/10/2025)
Rappresentazione grafica delle serie di Lindstedt 3:
rappresentazione in termini di alberi - parte 2
[G, §9.5.3, pagg. 564-571].
Lezione 13 (13/10/2025)
Rappresentazione grafica delle serie di Lindstedt 2:
regole grafiche e costruzione degli alberi - parte 3
[G, §9.5.2, pagg. 557-564].
Lezione 14 (13/10/2025)
Stime dei valori dei singoli alberi ignorando i propagatori - parte 1
[G, §9.5.2, pagg. 558-564].
Lezione 15 (14/10/2025)
Stime dei valori dei singoli alberi ignorando i propagatori - parte 2
[G, §9.5.2, pagg. 558-564].
Lezione 16 (14/10/2025)
Stime dei valori dei singoli alberi tenendo conto dei propagatori
[G, §9.5.5, pagg. 581-586]
6.3. Terza parte - Sistemi hamiltoniani quasi-integrabili: teorema KAM
Lezione 17 (16/10/2025)
Notazioni, enunciato del teorema KAM e interpetazione del risultato in termini di tori invarianti
[G, §10.1.1, pagg. 633-635].
Primo passo 1: trasformazione canonica,
riduzione del dominio di analiticità, nuova hamiltoniana - parte 1
[G, §10.1.2, pagg. 635-641].
Lezione 18 (16/10/2025)
Primo passo 1: trasformazione canonica,
riduzione del dominio di analiticità, nuova hamiltoniana - parte 2
[G, §10.1.2, pagg. 635-641].
Lezione 19 (20/10/2025)
Primo passo 2: stime dell'hamiltoniana espressa nelle nuove coordinate
[G, §10.1.3, pagg. 641-643].
Lezione 20 (20/10/2025)
Primo passo 3: blocco della frequenza in modo da preservare la condizione diofantea
[G, §10.1.4, pagg. 643-645].
Primo passo 4: ulteriore riduzione del dominio di analiticità
[G, §10.1.5, pagg. 645-647].
Lezione 21 (21/10/2025)
Passo generale: relazioni tra i parametri del passo generale e i parametri iniziali
[G, §10.1.5, pagg. 647-651].
Lezione 22 (21/10/2025)
Passo generale: conclusione del teorema e stima finale sul parametro perturbativo
[G, §10.1.5, pagg. 647-651].
6.4. Quarta parte - Sistemi hamiltoniani quasi-integrabili: convergenza delle serie di Lindstedt
Lezione 23 (27/10/2025)
Richiami sulla rappresentazione grafica delle serie di Lindstedt:
etichette associate alle linee
e ai nodi di un albero, propagatori, operatori di linea, fattori di nodo
[G, §9.5.2, pagg. 558-564].
Lezione 24 (27/10/2025)
Analisi multiscala 1: partizione dell'unità e decomposizione in scale
del proagatore [G, §10.3.1, pagg. 677-679].
Lezione 25 (28/10/2025)
Analisi multiscala 2: ammassi, ammassi risonanti, linee risonanti,
esempi di ammassi risonanti [G, §10.3.1, pagg. 679-686].
Lezione 26 (28/10/2025)
Analisi multiscala 3: stima del numero di linee non risonanti su scala fissata
e lemma di Siegel-Brjuno [G, §10.3.1, pagg. 679-686].
Lezione 27 (30/10/2025)
Condizioni di compatibilità per la solubilità formale delle serie di Lindstedt - parte 1
[G, §9.5.4, pagg. 571-581].
Lezione 28 (30/11/2025)
Condizioni di compatibilità per la solubilità formale delle serie di Lindstedt - parte 2
[G, §9.5.4, pagg. 571-581].
Lezione 29 (03/11/2025)
Stima del numero di ammassi risonanti su scala fissata [G, §10.3.1, pagg. 687-689].
[G, §10.3.2, pagg. 689-697].
Lezione 30 (03/11/2025)
Cancellazioni 1: albero associato a una risonanza, tipo di una risonanza, famiglia di una risonanza,
[G, §10.3.2, pagg. 689-692].
Lezione 31 (04/11/2025)
Cancellazioni 2: operatori di localizzazione e di regolarizzazione,
cancellazione dei valori localizzati
[G, §10.3.2, pagg. 692-697].
Lezione 32 (04/11/2025)
Rinormalizzazione 1: operatore di localizzazione e di regolarizzazione iterativa
[G, §10.3.3, pagg. 697-703].
Lezione 33 (06/11/2025)
Proprietà di supporto dei propagatori ed estensione
del lemma di Siegel-Brjuno - parte 1 [G, §10.3.1, pagg. 687-689].
Lezione 34 (06/11/2025)
Proprietà di supporto dei propagatori ed estensione
del lemma di Siegel-Brjuno - parte 2 [G, §10.3.1, pagg. 687-689].
Lezione 35 (10/11/2025)
Rinormalizzazione 2: ridefinizione del valore di un albero in modo
da tener vconto delle cancellazioni
[G, §10.3.3, pagg. 704-706].
Lezione 36 (10/11/2025)
Rinormalizzazione 3: nuvola di una risonanza e guadagno di una risonanza
[G, §10.3.3, pagg. 706-709].
Lezione 37 (11/11/2025)
Rinormalizzazione 4: catene di risonanze e stime dei propagatori
[G, §10.3.4, pagg. 709-713].
Lezione 38 (11/11/2025)
Rinormalizzazione 5: verifica della proprietà di supporto
e stime finali [G, §10.3.4, pagg. 714-720].
6.5. Quinta parte - Sistemi ergodici e sistemi mescolanti
Lezione 39 (17/11/2025)
Definizione di sistema dinamico topologico e sistema dinamico metrico
[GBG, §1.2, pagg. 8-9, definizioni 1.2.1 e 1.2.2].
Alcuni esempi di sistemi dinamici:
flussi hamiltoniani, flussi quasi-periodici, rotazione del cerchio, gatto di Arnold,
applicazioni dell'intervallo
[GBG, §1.2, pagg. 4-8, esempi 1.2.2, 1.2.4, 1.4.1, 1.2.5 e 1.2.7;
§1.4, pag. 18, esempio 1.4.1].
Lezione 40 (17/11/2025)
Isomorfismi tra sistemi dinamici [GBG, §1.2, pag. 9, definizione 1.2.3].
Definizione di σ-algebra di Borel e di
misura di Borel [GBG, App. 1.2].
Partizioni: partizioni di Borel, partizioni
topologiche e partizioni regolari
[GBG, §1.4, pagg. 17-18, definizione 1.4.1].
Sequenze: partizioni separanti e partizioni espansive
[GBG, §1.4,
pagg. 18-19]. Esempi di partizioni separanti ed espansive
[GBG, §1.4, pagg. 24-25,
problemi 1.4.4, 1.4.5, 1.4.11].
Moti simbolici e codici simbolici per partizioni espansive
[GBG, §1.4, pagg. 20-21,
definizione 1.4.2, proposizione 1.4.1].
Lezione 41 (18/11/2025)
Partizioni espansive per il gatto di Arnold
[GBG, §1.4, pag. 25,
problema 1.4.6].
Frequenze di visita, frequenze di
comparsa di una stringa in una sequenza e sequenze
con frequenze definite [GBG, §1.4,
pagg. 22-23, definizione
1.4.3]. Frequenze di vista per rotazioni quasi-periodiche sul toro
[GBG, §2.2, pagg. 32-33, proposizione 2.2.1].
Lezione 42 (18/11/2025)
Sequenze ergodiche e mescolanti[GBG, §2.2, pag. 34, definizione 2.2.1].
Sistemi dinamici ergodici e sistemi
dinamici mescolanti
[GBG, §2.2, pag. 37, definizione 2.2.2].
Esempio di sistema ergodico non mescolante:
rotazioni
quasi-periodiche sul toro
[GBG, §2.2, pag. 37, osservazione (4) e problema 2.2.32.
Lezione 43 (20/11/2025)
Teorema di Birkhoff: enunciato e prime implicazioni
[GBG, §2.2, pagg. 34-35, proposizione 2.2.2 e
osservazioni (1)-(4)].
Lezione 44 (20/11/2025)
Teorema di Birkhoff: dimostrazione nel caso di funzioni in L∞(Ω,S,μ) - prima parte
[GBG, App. 2.2, pagg. 39-41].
Lezione 45 (24/11/2025)
Teorema di Birkhoff: dimostrazione nel caso di funzioni in L∞(Ω,S,μ) - seconda parte
[GBG, App. 2.2, pagg. 39-41].
Lezione 46 (24/11/2025)
Teorema di Birkhoff: dimostrazione nel caso di funzioni in L∞(Ω,S,μ) - terza parte
[GBG, App. 2.2, pagg. 39-41].
Teorema di Birkhoff: dimostrazione nel caso di funzioni in L1(Ω,S,μ)
[GBG, App. 2.2, pag. 41].
Lezione 47 (25/11/2025)
Implicazioni del teorema di Birkhoff per sistemi ergodici e mescolanti
[GBG, §2.2, pagg. 34-35, osservazioni (5)-(6)].
Processo di Bernouilli e "doubling map": definizioni, isomorfismo e mescolamento [GBG, §2.2, pag.49, problema 2.4.42].
Lezione 48 (25/11/2025)
Proprietà delle medie per sistemi mescolanti: mescolamento del gatto di Arnold
[GBG, §2.2, pag.50, problemi 2.4.44 e 2.4.48].
6.6. Sesta parte - Pavimenti di Markov e matrici di compatibilità per sistemi iperbolici
Lezione 49 (27/11/2025)
Matrici di compatibilità [GBG, §4.1, pagg. 109-110, definizione 4.1.1].
Pavimenti di Markov [GBG, §4.1, pagg. 110-111,
definizioni 4.1.2 e 4.1.3, e osservazioni (2)-(7)].
Distribuzzoni di probabilitrà e misure di probabilità
[GBG, §4.1,
pagg. 112-113, proposizione 4.1.1].
Grafici associati alle matrici di compatibilità
[GBG, §4.1, pag. 115, problema 4.1.4].
Lezione 50 (27/11/2025)
Indici equivalenti, indici inessenziali e classi di equivalenza
di una matrice di compatibilità
[GBG, §4.1, pag. 115, problema 4.1.4].
Periodi, transitività e mescolamento
di una matrice di compatibilità - prima parte
[GBG, §4.1, pag. 115, problemi 4.1.7 e 4.1.8].
Lezione 51 (01/12/2025)
Periodi, transitività e mescolamento
di una matrice di compatibilità - seconda parte
[GBG, §4.1, pag. 115, problema 4.1.8].
Lezione 52 (01/12/2025)
Teorema del punto fisso di Brouwer (enunciato). Teorema di
Perron-Frobenius sugli autovalori e autovettori di matrici
i cui elementi siano tutti non negativi: caso di elementi
tutti positivi [GBG, §2.3, pagg. 60-62, problemi 2.3.7-2.3.10].
Lezione 53 (02/12/2025)
Teorema di Perron-Frobenius sugli autovalori e autovettori di
matrici mescolanti [GBG, §2.3, pag. 62, problema 2.3.12].
Teorema di Perron-Frobenius sugli autovalori e autovettori di
matrici i cui elementi siano tutti non negativi - prima parte:
caso di una matrice transitiva e legame con le matrici di compatibilità
[GBG, §2.3, pagg. 117-118, problemi 4.1.12-4.1.17].
Lezione 54 (02/12/2025)
Teorema di Perron-Frobenius sugli autovalori e autovettori di
matrici i cui elementi siano tutti non negativi - seconda parte:
calcolo di autovalori e autovettori nel caso di matrici di compatibilità transitive
con periodo d=2 e con periodo d=3.
Lezione 55 (04/12/2025)
Ultimi commenti sul teorema di Perron Frobenius.
Ancora sui grafici associati alle matrici di compatibilità
[GBG, §4.1, pagg. 115-116,
problemi 4.1.5 e 4.1.6].
Sistemi iperbolici regolari (o sistemi di Anosov):
definizione ed esempio del gatto di Arnold [GBG, §4.2, pagg. 119-121,
introduzione e definizione 4.2.1].
Lezione 56 (04/12/2025)
Caratterizzazione dei sistemi iperbolici regolari
in termini di piani tangenti
[GBG, §4.2, pagg. 121,
proposizione 4.2.1].
Hölder-continuità della varietà stabile e della varietà instabile
di un sistema iperbolico
regolare: teorema di Anosov [GBG, §4.2, pag. 122,
proposizione 4.2.1; pagg. 137-138, problema 4.2.8].
Lezione 57 (09/12/2025)
Costruzione di un pavimento di Markov non generante per il gatto di Arnold
[GBG, §4.3, pagg. 150-151, problema 4.3.6].
Lezione 58 (09/12/2025)
Costruzione di un pavimento di Markov generante per il gatto di Arnold
[GBG, §4.3, pagg. 151-152, problema 4.3.7].
Lezione 59 (11/12/2025)
S-rettangoli e pavimenti di Markov [GBG, §4.2, pag. 123, definizione 4.2.2].
Esistenza di pavimenti di
Markov per sistemi di Anosov - inizio
[GBG, §4.2, pagg. 123-127, proposizione 4.2.3, punti A, B, C e D].
Lezione 60 (11/12/2025)
Esistenza di pavimenti di Markov per sistemi di Anosov - conclusione
[GBG, §4.2, pagg. 127-132, proposizione 4.2.3, punti E ed F].
Lezione 61 (15/12/2025)
Esistenza di un insieme denso di orbite periodiche in sistemi di Anosov
[BDG, §4.2, pag. 139, problema 4.2.13].
Densità delle varietà stabili e instabili dei punti fissi
in sistemi di Anosov [BDG, §4.2, pagg. 139-140, problema 4.2.14].
Lezione 62 (15/12/2025)
Densità delle varietà stabili e instabili dei punti periodici
in sistemi di Anosov [BDG, §4.2, pagg. 139-140, problema 4.2.15].
Shadowing lemma e approssimazione di orbite
per sistemi di Anosov [GBG, §4.2, pagg. 134-135, proposizione 4.2.7].
Lezione 63 (16/12/2025)
Transitività e
mescolamento della matrice di compatibilità
associata a un sistema di Anosov [BDG, §4.2, pagg. 132-133, proposizione 4.2.4].
Lezione 64 (16/12/2025)
Definizione di sistema caotico e di dipendenza sensibile dai dati iniziali.
Dipendenza sensibile dai dati iniziali in sistemi caotici.
Dimostrazione che i sistemi di Anosov sono caotici.
Verifica esplicita di dipendenza sensibile dai dati iniziali in sistemi di Anosov.
Lezione 65 (18/12/2025)
Probabilità condizionate in termini di dinamica simbolica
[GBG, §4.3, pagg. 141-142, definizione 4.3.1 e osservazioni (1)-(4)].
Coefficienti ed esponenti di contrazione e di espansione
[GBG, §4.3, pagg. 142-143, definizione 4.3.2 e osservazioni (1)-(3)].
Lezione 66 (18/12/2025)
Potenziali di contrazione e di espansione per sistemi di Anosov
[GBG, §4.3, pagg. 143-144, proposizione 4.3.1].
Codifica della
misura di volume in termini di dinamica simbolica
per sistemi di Anosov in d=2
[GBG, §4.3, pagg. 144-149, proposizione 4.3.2].
