Anno Accademico 2025/2026             



FM440 - Fisica Matematica (CdLM in Matematica)


Lezioni: Guido Gentile



1. Caratteristiche dell'insegnamento

Contenuto dell'insegnamento
Integrabilità e caos: due aspetti complementari della dinamica: (1) sistemi hamiltoniani integrabili e superintegrabili, (2) sistemi quasi-integrabili
e teoria KAM, (3) formalismo grafico ed espansione in alberi, (4) sistemi caotici e sistemi iperbolici, (5) partizioni di Markov e dinamica simbolica
I Semestre - Crediti: 6 CFU - TAF: b (CdLM).
Testi consigliati
L'insegnamento si basa sui testi:
[G] Guido Gentile, Introduzione ai sistemi dinamici Vol. 2 - Meccanica lagrangiana e hamiltoniana, Springer, 2022.
[GBG] Giovanni Gallavotti, Federico Bonetto, Guido Gentile, Aspects of Ergodic, Qualitative and Statistical Theory of Motion, Springer, 2004.
Modalità degli esami
L'esame consiste nello svolgimento di esercizi che sono proposti nel corso delle lezioni (cfr. la voce Esercizi da svolgere)
e in un successivo colloquio orale in cui lo studente deve presentare e discutere una tesina su un argomento a piacere.

2. Orari

Orario indicativo delle lezioni: lunedì ore 11:00-13:00 (aula M6), martedì ore 11:00-13:00 (aula M6), giovedì ore 14:00-16:00 (aula L).
Inizio delle lezioni: 29 settembre 2025 ore 11:00-13:00. Termine (indicativo) delle lezioni: 23 dicembre 2023 ore 11:00-13:00.
Orario di ricevimento: per appuntamento (tramite e-mail o Teams).

3. Calendario degli esami

Le date per la verbalizzazione degli esami sono riportate sulla pagina degli esami dei CdS in Matematica.

4. Esercizi da svolgere

1. Superintegrabilità del campo centrale gravitazionale [G, pag. 503, Esercizio 8.61].
2. Teoria perturbativa a tutti gli ordini nel caso di sistemi isocroni [G, pagg. 523-524, Lemma 9.17].
3. Condizioni di compatibilità per la solubilità formale delle serie di Lindstedt [G, §9.5.4, pagg. 571-581].
4. Dimostrazione della stima (10.54) sulla condizione di aniscronia [G, §10.1.6, pag. 735, esercizio 10.26].
5. Misura dei tori che persisitono in sistemi quasi-integrabili [G, §10.3.4, pagg. 718-720].

5. Programma d'esame

Programma dell'insegnamento dell'A.A. 2025-2026 in formato pdf (disponibile al termine delle lezioni)

1. Sistemi hamiltoniani integrabili e superintegrabili

2. Sistemi hamiltoniani quasi-integrabili e teoria KAM

3. Formalismo grafico ed espansione in alberi

4. Sistemi caotici e sistemi iperbolici

5. Partizioni di Markov e dinamica simbolica


6. Diario delle lezioni
Tutti i riferimenti si intendono ai testi [G] e [GBG]; cfr. la voce Testi consigliati.

6.1. Prima parte - Sistemi hamiltoniani integrabili e superintegrabili
Lezione 1 (29/09/2025)
Equazione di Hamilton-Jacobi in sistemi autonomi e funzione caratteristica di Hamilton [G, §8.1, pagg. 429-432].
Sistemi hamiltoniani integrabili [G, §8.1, pag. 433]. Sistemi hamiltoniani superintegrabili e massimamente integrabili,
esempio del problema dei due corpi nel caso di un campo centrale gravitazionale [G, §8.1, pag. 433 e pag. 503, esercizio 8.61].

6.2. Seconda parte - Sistemi hamiltoniani quasi-integrabili: studio formale
Lezione 2 (29/09/2025)
Variabili azione-angolo, moti multiperiodici ed enunciato del teorema di Liouville-Arnold [G, §8.3, pagg. 440-445].
Introduzione alla teoria delle perturbazioni: sistema solare e modello di Fermi-Pasta-Ulam [G, §9.1, pagg. 507-512]
Condizione di non risonanza e condizione diofantea [G, §9.1, pag. 515]. Teoria delle perturbazioni [G, §9.1, pagg. 512-514].
Lezione 3 (30/09/2025)
Condizione di non degenerazione di Kolmogorov (anisocronia), serie di Fourier generica e primo teorema di trivialità
di Poincaré [G, §9.1, pagg. 517-518]. Teoria perturbativa al primo ordine nel caso di sistemi hamiltoniani
che soddisfino la condizione di non degenerazione di Kolmogorov [G, §9.1, pagg. 518-520].
Lezione 4 (30/09/2025)
Teoria perturbativa a tutti gli ordini nel caso di perturbazioni di sistemi isocroni [G, §9.2, pagg. 520-523].
Lezione 5 (02/10/2025)
Serie di Lindstedt e legame con la teoria delle perturbazioni: ricerca di una soluzione multiperiodica delle equazioni di Hamilton
[G, §9.4, pagg. 537-540]. Studio delle serie di Lindstedt al primo ordine nel parametro perturbativo [G, §9.4.1, pagg. 544-545].
Lezione 6 (02/10/2025)
Studio delle serie di Lindstedt al secondo ordine nel parametro perturbativo [G, §9.4.2, pagg. 545-548].
Lezione 7 (06/10/2025)
Studio delle serie di Lindstedt agli ordini superiori nel parametro perturbativo [G, §9.4.3, pagg. 549-551].
Lezione 8 (06/10/2025)
Rappresentazione grafica delle serie di Lindstedt 1: grafi, alberi e relazioni di equivalenza [G, §9.5.1, pagg. 552-557].
Lezione 9 (07/10/2025)
Rappresentazione grafica delle serie di Lindstedt 2: regole grafiche e costruzione degli alberi - parte 1 [G, §9.5.2, pagg. 557-564].
Lezione 10 (07/10/2025)
Rappresentazione grafica delle serie di Lindstedt 3: rappresentazione in termini di alberi - parte 1 [G, §9.5.3, pagg. 564-571].
Lezione 11 (09/10/2025)
Rappresentazione grafica delle serie di Lindstedt 2: regole grafiche e costruzione degli alberi - parte 2 [G, §9.5.2, pagg. 557-564].
Lezione 12 (09/10/2025)
Rappresentazione grafica delle serie di Lindstedt 3: rappresentazione in termini di alberi - parte 2 [G, §9.5.3, pagg. 564-571].
Lezione 13 (13/10/2025)
Rappresentazione grafica delle serie di Lindstedt 2: regole grafiche e costruzione degli alberi - parte 3 [G, §9.5.2, pagg. 557-564].
Lezione 14 (13/10/2025)
Stime dei valori dei singoli alberi ignorando i propagatori - parte 1 [G, §9.5.2, pagg. 558-564].
Lezione 15 (14/10/2025)
Stime dei valori dei singoli alberi ignorando i propagatori - parte 2 [G, §9.5.2, pagg. 558-564].
Lezione 16 (14/10/2025)
Stime dei valori dei singoli alberi tenendo conto dei propagatori [G, §9.5.5, pagg. 581-586]

6.3. Terza parte - Sistemi hamiltoniani quasi-integrabili: teorema KAM
Lezione 17 (16/10/2025)
Notazioni, enunciato del teorema KAM e interpetazione del risultato in termini di tori invarianti [G, §10.1.1, pagg. 633-635].
Primo passo 1: trasformazione canonica, riduzione del dominio di analiticità, nuova hamiltoniana - parte 1 [G, §10.1.2, pagg. 635-641].
Lezione 18 (16/10/2025)
Primo passo 1: trasformazione canonica, riduzione del dominio di analiticità, nuova hamiltoniana - parte 2 [G, §10.1.2, pagg. 635-641].
Lezione 19 (20/10/2025)
Primo passo 2: stime dell'hamiltoniana espressa nelle nuove coordinate [G, §10.1.3, pagg. 641-643].
Lezione 20 (20/10/2025)
Primo passo 3: blocco della frequenza in modo da preservare la condizione diofantea [G, §10.1.4, pagg. 643-645].
Primo passo 4: ulteriore riduzione del dominio di analiticità [G, §10.1.5, pagg. 645-647].
Lezione 21 (21/10/2025)
Passo generale: relazioni tra i parametri del passo generale e i parametri iniziali [G, §10.1.5, pagg. 647-651].
Lezione 22 (21/10/2025)
Passo generale: conclusione del teorema e stima finale sul parametro perturbativo [G, §10.1.5, pagg. 647-651].

6.4. Quarta parte - Sistemi hamiltoniani quasi-integrabili: convergenza delle serie di Lindstedt
Lezione 23 (27/10/2025)
Richiami sulla rappresentazione grafica delle serie di Lindstedt: etichette associate alle linee
e ai nodi di un albero, propagatori, operatori di linea, fattori di nodo [G, §9.5.2, pagg. 558-564].
Lezione 24 (27/10/2025)
Analisi multiscala 1: partizione dell'unità e decomposizione in scale del proagatore [G, §10.3.1, pagg. 677-679].
Lezione 25 (28/10/2025)
Analisi multiscala 2: ammassi, ammassi risonanti, linee risonanti, esempi di ammassi risonanti [G, §10.3.1, pagg. 679-686].
Lezione 26 (28/10/2025)
Analisi multiscala 3: stima del numero di linee non risonanti su scala fissata e lemma di Siegel-Brjuno [G, §10.3.1, pagg. 679-686].
Lezione 27 (30/10/2025)
Condizioni di compatibilità per la solubilità formale delle serie di Lindstedt - parte 1 [G, §9.5.4, pagg. 571-581].
Lezione 28 (30/11/2025)
Condizioni di compatibilità per la solubilità formale delle serie di Lindstedt - parte 2 [G, §9.5.4, pagg. 571-581].
Lezione 29 (03/11/2025)
Stima del numero di ammassi risonanti su scala fissata [G, §10.3.1, pagg. 687-689]. [G, §10.3.2, pagg. 689-697].
Lezione 30 (03/11/2025)
Cancellazioni 1: albero associato a una risonanza, tipo di una risonanza, famiglia di una risonanza, [G, §10.3.2, pagg. 689-692].
Lezione 31 (04/11/2025)
Cancellazioni 2: operatori di localizzazione e di regolarizzazione, cancellazione dei valori localizzati [G, §10.3.2, pagg. 692-697].
Lezione 32 (04/11/2025)
Rinormalizzazione 1: operatore di localizzazione e di regolarizzazione iterativa [G, §10.3.3, pagg. 697-703].
Lezione 33 (06/11/2025)
Proprietà di supporto dei propagatori ed estensione del lemma di Siegel-Brjuno - parte 1 [G, §10.3.1, pagg. 687-689].
Lezione 34 (06/11/2025)
Proprietà di supporto dei propagatori ed estensione del lemma di Siegel-Brjuno - parte 2 [G, §10.3.1, pagg. 687-689].
Lezione 35 (10/11/2025)
Rinormalizzazione 2: ridefinizione del valore di un albero in modo da tener vconto delle cancellazioni [G, §10.3.3, pagg. 704-706].
Lezione 36 (10/11/2025)
Rinormalizzazione 3: nuvola di una risonanza e guadagno di una risonanza [G, §10.3.3, pagg. 706-709].
Lezione 37 (11/11/2025)
Rinormalizzazione 4: catene di risonanze e stime dei propagatori [G, §10.3.4, pagg. 709-713].
Lezione 38 (11/11/2025)
Rinormalizzazione 5: verifica della proprietà di supporto e stime finali [G, §10.3.4, pagg. 714-720].

6.5. Quinta parte - Proprietà ergodiche
Lezione 39 (17/11/2025)
Definizione di sistema dinamico topologico e sistema dinamico metrico [GBG, §1.2, pagg. 8-9, definizioni 1.2.1 e 1.2.2].
Alcuni esempi di sistemi dinamici: flussi hamiltoniani, flussi quasi-periodici, rotazione del cerchio, gatto di Arnold,
applicazioni dell'intervallo [GBG, §1.2, pagg. 4-8, esempi 1.2.2, 1.2.4, 1.4.1, 1.2.5 e 1.2.7; §1.4, pag. 18, esempio 1.4.1].
Lezione 40 (17/11/2025)
Isomorfismi tra sistemi dinamici [GBG, §1.2, pag. 9, definizione 1.2.3]. Definizione di σ-algebra di Borel e di
misura di Borel [GBG, App. 1.2]. Partizioni: partizioni di Borel, partizioni topologiche e partizioni regolari
[GBG, §1.4, pagg. 17-18, definizione 1.4.1]. Sequenze: partizioni separanti e partizioni espansive [GBG, §1.4,
pagg. 18-19]. Esempi di partizioni separanti ed espansive [GBG, §1.4, pagg. 24-25, esercizi 1.4.4, 1.4.5, 1.4.11].
Moti simbolici e codici simbolici per partizioni espansive [GBG, §1.4, pagg. 20-21, definizione 1.4.2, proposizione 1.4.1].
Lezione 41 (18/11/2025)
Partizioni espansive per il gatto di Arnold [GBG, §1.4, pag. 25, esercizi 1.4.6]. Frequenze di visita, frequenze di
comparsa di una stringa in una sequenza e sequenze con frequenze definite [GBG, §1.4, pagg. 22-23, definizione
1.4.3]. Frequenze di vista per rotazioni quasi-periodiche sul toro [GBG, §2.2, pagg. 32-33, proposizione 2.2.1].
Lezione 42 (18/11/2025)
Sequenze ergodiche e mescolanti[GBG, §2.2, pag. 34, definizione 2.2.1]. Sistemi dinamici ergodici e sistemi
dinamici mescolanti [GBG, §2.2, pag. 37, definizione 2.2.2]. Esempio di sistema ergodico non mescolante:
rotazioni quasi-periodiche sul toro [GBG, §2.2, pag. 37, osservazione (4) ed esercizio 2.2.32.
Lezione 43 (20/11/2025)
Teorema di Birkhoff: enunciato e implicazioni [GBG, §2.2, pagg. 34-36, proposizione 2.2.2 e osservazioni (1)-(6)].
Lezione 44 (20/11/2025)
Teorema di Birkhoff: dimostrazione nel caso di funzioni misurabili [GBG, App. 2.2, pagg. 39-41].
Lezione 45 (24/11/2025)

Lezione 46 (24/11/2025)

Lezione 47 (25/11/2025)

Lezione 48 (25/11/2025)

Lezione 49 (27/11/2025)

Lezione 50 (27/11/2025)

Lezione 51 (01/12/2025)

Lezione 52 (01/12/2025)

Lezione 53 (02/12/2025)

Lezione 54 (02/12/2025)

Lezione 55 (04/12/2025)

Lezione 56 (04/12/2025)

Lezione 57 (09/12/2025)

Lezione 58 (09/12/2025)

Lezione 59 (11/12/2025)

Lezione 60 (11/12/2025)