Anno Accademico 2025/2026             



FM440 - Fisica Matematica (CdLM in Matematica)


Lezioni: Guido Gentile



1. Caratteristiche dell'insegnamento

Contenuto dell'insegnamento
Integrabilità e caos: due aspetti complementari della dinamica: (1) sistemi hamiltoniani integrabili e superintegrabili, (2) sistemi quasi-integrabili
e teoria KAM, (3) formalismo grafico ed espansione in alberi, (4) sistemi caotici e sistemi iperbolici, (5) partizioni di Markov e dinamica simbolica
I Semestre - Crediti: 6 CFU - TAF: b (CdLM).
Testi consigliati
L'insegnamento si basa sui testi:
[G] Guido Gentile, Introduzione ai sistemi dinamici Vol. 2 - Meccanica lagrangiana e hamiltoniana, Springer, 2022.
[GBG] Giovanni Gallavotti, Federico Bonetto, Guido Gentile, Aspects of Ergodic, Qualitative and Statistical Theory of Motion, Springer, 2004.
Modalità degli esami
L'esame consiste nello svolgimento di esercizi che sono proposti nel corso delle lezioni (cfr. la voce Esercizi da svolgere)
e in un successivo colloquio orale in cui lo studente deve presentare e discutere una tesina su un argomento a piacere.

2. Orari

Orario indicativo delle lezioni: lunedì ore 11:00-13:00 (aula M6), martedì ore 11:00-13:00 (aula M6), giovedì ore 14:00-16:00 (aula L).
Inizio delle lezioni: 29 settembre 2025 ore 11:00-13:00. Termine (indicativo) delle lezioni: 23 dicembre 2023 ore 11:00-13:00.
Orario di ricevimento: per appuntamento (tramite e-mail o Teams).

3. Calendario degli esami

Le date per la verbalizzazione degli esami sono riportate sulla pagina degli esami dei CdS in Matematica.

4. Esercizi da svolgere

1. Superintegrabilità del campo centrale gravitazionale (Esercizio 8.61).
2. Teoria perturbativa a tutti gli ordini nel caso di sistemi isocroni (Lemma 9.17).

5. Programma d'esame

Programma dell'insegnamento dell'A.A. 2025-2026 in formato pdf (disponibile al termine delle lezioni)

1. Sistemi hamiltoniani integrabili e superintegrabili

2. Sistemi hamiltoniani quasi-integrabili e teoria KAM

3. Formalismo grafico ed espansione in alberi

4. Sistemi caotici e sistemi iperbolici

5. Partizioni di Markov e dinamica simbolica


6. Diario delle lezioni
Tutti i riferimenti si intendono ai testi [G] e [GBG]; cfr. la voce Testi consigliati.

6.1. Prima parte - Sistemi hamiltoniani integrabili e superintegrabili
Lezione 1 (29/09/2025)
Equazione di Hamilton-Jacobi in sistemi autonomi e funzione caratteristica di Hamilton [G, §8.1, pagg. 429-432].
Sistemi hamiltoniani integrabili [G, §8.1, pag. 433]. Sistemi hamiltoniani superintegrabili e massimamente integrabili,
esempio del problema dei due corpi nel caso di un campo centrale gravitazionale [G, §8.1, pag. 433 e pag. 503, esercizio 8.61].

6.2. Seconda parte - Sistemi hamiltoniani quasi-integrabili: studio formale
Lezione 2 (29/09/2025)
Variabili azione-angolo, moti multiperiodici ed enunciato del teorema di Liouville-Arnold [G, §8.3, pagg. 440-445].
Introduzione alla teoria delle perturbazioni: sistema solare e modello di Fermi-Pasta-Ulam [G, §9.1, pagg. 507-512]
Condizione di non risonanza e condizione diofantea [G, §9.1, pag. 515]. Teoria delle perturbazioni [G, §9.1, pagg. 512-514].
Lezione 3 (30/09/2025)
Condizione di non degenerazione di Kolmogorov (aniscronia), serie di Fourier generica e primo teorema di trivialità
di Poincaré [G, §9.1, pagg. 517-518]. Teoria perturbativa al primo ordine nel caso di sistemi hamiltoniani
che soddisfino la condizione di non degenerazione di Kolmogorov [G, §9.1, pagg. 518-520].
Lezione 4 (30/09/2025)
Teoria perturbativa a tutti gli ordini nel caso di perturbazioni di sistemi isocroni [G, §9.2, pagg. 520-523].
Lezione 5 (02/10/2025)
Serie di Lindstedt e legame con la teoria delle perturbazioni: ricerca di una soluzione multiperiodica delle equazioni di Hamilton
[G, §9.4, pagg. 537-540]. Studio delle serie di Lindstedt al primo ordine nel parametro perturbativo [G, §9.4.1, pagg. 544-545].
Lezione 6 (02/10/2025)
Studio delle serie di Lindstedt al secondo ordine nel parametro perturbativo [G, §9.4.2, pagg. 545-548].
Lezione 7 (06/10/2025)
Studio delle serie di Lindstedt agli ordini superiori nel parametro perturbativo [G, §9.4.3, pagg. 549-551].
Lezione 8 (06/10/2025)
Rappresentazione grafica delle serie di Lindstedt 1: grafi, alberi e relazioni di equivalenza [G, §9.5.1, pagg. 552-557].
Lezione 9 (07/10/2025)
Rappresentazione grafica delle serie di Lindstedt 2: regole grafiche e costruzione degli alberi - parte 1 [G, §9.5.2, pagg. 557-564].
Lezione 10 (07/10/2025)
Rappresentazione grafica delle serie di Lindstedt 3: rappresentazione delle serie di Lindstedt in termini di alberi - parte 1 [G, §9.5.3, pagg. 564-571].
Lezione 11 (09/10/2025)
Rappresentazione grafica delle serie di Lindstedt 2: regole grafiche e costruzione degli alberi - parte 2 [G, §9.5.2, pagg. 557-564].
Lezione 12 (09/10/2025)
Rappresentazione grafica delle serie di Lindstedt 3: rappresentazione delle serie di Lindstedt in termini di alberi - parte 2 [G, §9.5.3, pagg. 564-571].
Lezione 13 (13/10/2025)
Rappresentazione grafica delle serie di Lindstedt 4: condizioni di compatibilità per la solubilità formale [G, §9.5.4, pagg. 571-581].
Lezione 14 (13/10/2025)
Rappresentazione grafica delle serie di Lindstedt 5: piccoli divisori e stime dei valori dei singoli alberi [G, §9.5.5, pagg. 581-586].

6.3. Terza parte - Sistemi hamiltoniani quasi-integrabili: studio rigoroso