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Anno Accademico 2026-2027 |
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Analisi Matematica per le Applicazioni - Analisi Matematica II
(CdL in Ingegneria Meccanica)
Lezioni: Guido Gentile
1. Caratteristiche dell'insegnamento
Contenuto dell'insegnamento
Equazioni differenziali ordinarie: esistenza e unicità locale;
equazioni differenziali ordinarie lineari omogenee e non omogenee,
metodo di variazione delle costanti, sistemi di equazioni lineari;
esponenziale di una matrice; equazione di Bernoulli e di Eulero.
Funzioni di più variabili; continuità; derivate parziali;
massimi e minimi locali, matrice hessiana. Integrazione secondo Riemann;
integrali multipli.
Curve e integrali curvilinei. Superfici e integrali di superficie.
Teorema della divergenza e teorema del rotore.
I Semestre -
Crediti: 6 CFU -
TAF: a |
Testi consigliati
L'insegnamento si basa sui testi:
[BDG] Michiel Bertsch, Andrea Dall'Aglio, Lorenzo Giacomelli, Epsilon 2. Secondo corso di Analisi matematica,
McGraw Hill, Milano, 2024;
[G] Guido Gentile, Introduzione ai sistemi dinamici - Volume 1.
Equazioni differenziali ordinarie, analisi qualitativa
e alcune applicazioni, Springer, Milano, 2021.
Un altro testo a cui si può fare riferimento è:
- Michiel Bertsch, Roberta Dal Passo, Lorenzo Giacomelli, Analisi matematica,
McGraw Hill, Milano, 2011 (seconda edizione).
Per gli esercizi, oltre ai testi sopra indicati e alle prove scritte degli anni accademici precedenti
2022-2023,
2023-2024,
2024-2025,
2025-2026,
si vedano anche:
- Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Esercitazioni di analisi matematica due - Volumi 1 e 2,
Zanichelli, Bologna, 2017;
- Sandro Salsa, Annamaria Squellati, Esercizi di Analisi matematica 2,
Zanichelli, Bologna, 2025 (seconda ed.);
- Pietro Caputo, Raccolta di esercizi di Analisi 2, disponibile
online.
Modalità degli esami
L'esame consiste in una prova scritta, da svolgere in 2 ore, e in un
successivo colloquio orale, da svolgere dopo la pubblicazione dei risultati
della prova scritta. La prova scritta prevede 4 esercizi, oltre a un
esercizio preliminare, articolato in 4 domande; solo nel caso in cui almeno
3 risposte su 4 siano corrette si procede alla valutazione dei restanti
esercizi. La prova scritta si considera superata se si consgue un voto ≥18.
Il colloquio orale deve essere sostenuto nello stesso appello in cui si
è superata la prova scritta. Per potersi presentare alla prova scritta e alla
successiva prova orale occorre prenotarsi su GOMP all'appello in
cui si intenda sostenere l'esame, obbligatoriamente entro la scadenza indicata
sul portale
(per ogni appello su GOMP è indicata solo la data della prova scritta; le date della prova orale
sono comunicate sul canale Teams).
2. Orari
Orario delle lezioni: lunedì ore 13:00-15:00 (aula N10),
mercoledì ore 12:00-14:00 (aula N10).
Inizio delle lezioni: 21 settembre 2026 ore 13:00-15:00 -
Termine delle lezioni: 23 dicembre 2026 ore 12:00-14:00.
Le registrazioni delle lezioni sono disponibili su Teams.
Orario di ricevimento:
giovedì ore 16-18 dietro appuntamento (tramite e-mail o Teams).
3. Calendario degli esami
Le date degli esami e le modalità di prenotazione tramite GOMP sono riportate sulla pagina degli
appelli d'esame del Dipartimento
di Ingegneria Industriale, Elettronica e Meccanica (per le date cfr. anche la voce successiva
Prove d'esame: testi e risultati).
4. Prove d'esame: testi e risultati
Appello I: da fissare.
Appello II: da fissare.
Appello III: da fissare.
Appello IV: da fissare.
Appello V: da fissare.
Appello VI: da fissare.
5. Programma d'esame
Programma dell'insegnamento dell'A.A. 2026-2027 in formato pdf
(disonibile al termine delle lezioni).
1. Equazioni differenziali ordinarie
Equazioni differenziali del primo ordine.
Problema di Cauchy: teorema di esistenza e unicità locale.
Equazioni differenziali a variabili separabili.
Equazioni differenziali lineari del primo ordine.
Sistemi di equazioni diffrenziali lineari del primo ordine.
Equazioni differenziali lineari di qualsiasi ordine.
Soluzioni linearmente indipendenti e determinante wronskiano.
Metodo di variazione delle costanti.
Equazioni differenziali lineari
a coefficienti costanti e polinomio caratteristico.
Sistemi lineari del primo ordine a coefficienti costanti.
Soluzione in termini di esponenziale di una matrice.
Calcolo dell'esponenziale di una matrice nel caso di
matrici diagonalizzabili, nilpotenti e non diagonalizzabili.
Alcune equazioni differenziali ordinarie notevoli: equazione di Bernoulli e di Eulero.
2. Calcolo differenziale in più variabili
Norma e distanza in Rn. Funzioni continue,
punti estremali e teorema di Weierstrass. Derivate direzionali.
Derivate parziali e gradiente.
Funzioni di classe C1
e funzioni di classe C2.
Sviluppo di Taylor al primo ordine e piano tangente. Derivate successive e matrice hessiana.
Teorema di Schwarz. Derivazione di funzioni composte. Sviluppo di Taylor al secondo ordine.
Massimi e minimi locali.
Metodo dei moltiplicatori di Lagrange per massimi e minimi vincolati.
3. Calcolo integrale in più variabili
Integrazione secondo Riemann.
Integrazione di funzioni continue. Integrali doppi e integrali tripli.
Domini normali. Formula di riduzione.
Calcolo di aree e di volumi.
Cambiamento di variabili negli integrali
e matrice jacobiana. Coordinate polari, cilindriche e sferiche.
4. Curve e superfici
Curve in Rn: parametrizzazione, curve equivalenti, verso di una curva
e lunghezza di una curva.
Integrali curvilinei di una funzione (o di prima specie)
e integrali di una forma differenziale
(o di seconda specie).
Lavoro e integrali curvilinei di un campo vettoriale.
Superfici regolari in R3.
Area di una superficie.
Integrali su superfici.
Formula di Green. Teorema della divergenza e teorema del rotore nel piano e nello spazio.
6. Diario delle lezioni
Tutti i riferimenti si intendono ai testi [BDG] e [G]; cfr. la voce Testi consigliati.
6.1. Prima parte: equazioni differenziali ordinarie
Lezione 1 (21/09/2026)
Introduzione alle equazioni differenziali ordinarie: equazione
di Newton [BDG, Cap. 7, pag. 297]. Equazioni differenziali ordinarie
di ordine n in forma normale [BDG, Cap. 7, pagg. 297-298].
Equazioni differenziali ordinarie lineari del primo ordine omogeneee
lineari [BDG, Cap. 7, pag. 299]. Soluzione generale
di un'equazione lineare del primo ordine omogenea [BDG, Cap. 7, pagg. 299-300,
teorema 7.1].
Equazioni differenziali ordinarie lineari del primo ordine
non omogenee ed equazioni omogenee associate [BDG, Cap. 7,
pag. 300]. Soluzione particolare e soluzione generale
di un'equazione differenziale ordinaria lineare del primo ordine non omogenea
[BDG, Cap. 7, pagg. 300, teorema 7.3].
Determinazione della soluzione particolare di un'equazione differenziale lineare del primo ordine
non omogeneea con il metodo di variazione delle costanti
[BDG, Cap. 7, pagg. 300-301, teorema 7.5 ed esempio 7.6 (i)].
Problema di
Cauchy per equazioni differenziali lineari del primo ordine:
esistenza e unicità della soluzione [BDG, Cap. 7, pag. 305, Teorema 7.14].
Lezione 2 (21/09/2026)
Metodo di somiglianza per determinare una soluzione particolare
di un'equazione differenziale lineare del primo ordine non omogenea
della forma y'=a y + b(x), con (1) b(x)=eλxPn(x),
dove Pn(x) è un polinomio di grado n
⇒ si cerca una soluzione
particolare nella forma
eλxQn(x)
se a≠λ
e nella forma eλx x Qn(x)
se a=λ,
dove Qn(x)
è un polinomio di grado n;
(2) b(x)=eλx(An(x) cosμx +Bn(x) sinμx),
dove
An(x) e
Bn(x) sono
polinomi di grado n e μ≠0
⇒ si cerca una soluzione particolare nella forma
eλx(αn(x) cosμx
+βn(x) sinμx)
dove
αn(x)
e βn(x) sono
polinomi di grado n.
Alcuni esempi illustrativi
del metodo di somiglianza
[BDG, Cap. 7, pagg. 302-305, esempi 7.7, 7.8 e 7.9]
Lezione 3 (23/09/2026)
Soluzione di un'equazione differenziale
lineare del primo ordine della forma
y'=a y + b(x),
dove b(x) è
somma
di funzioni
b1(x), b2(x),...,
bN(x)
della forma considerata
ai punti (1) e (2) della Lezione 2 ⇒
una soluzione particolare è data dalla somma
di N funzioni, ciascuna delle quali
è una
soluzione particolare
di una delle N equazioni
differenziali linearidel primo ordine
non omogenee y'=a y + b1(x),
y'=a y + b2(x),...,
y'=a y + bN(x)
[BDG. Cap. 7, pag. 304, osservazione 7.12].
Un esempio illustrativo nel caso N=2
[BDG, Cap. 7, pagg. 302-305, esempio 7.13].
Lezione 4 (23/09/2026)
Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine a variabili separabili
[BDG, Cap. 7, pagg. 307-308].
Esempio illustrativo di un'equazione
differenziale del primo ordine a variabili separabili
[BDG, Cap. 7, pag. 308, esempio 7.18].
Intervallo massimale in cui à definita la soluzione
di un'equazione differenziale del primo ordine
[BDG, Cap. 7, pag. 309, osservazione 7.22].
Funzioni di classe C1 [BDG, Cap. 1, pag. 33,
definizione 1.73]. Funzioni localmente lipschitziane
[BDG, Cap. 7, pag. 309, osservazione 7.21].
Teorema di esistenza e unicità
per equazioni differenziali ordinarie del primo
ordine in R nel caso di funzioni di classe C1
o lipschitziane [BDG, Cap. 7, pagg. 308-309,
teorema 7.19].
Non unicità della soluzione nel caso
in cui le funzioni siano solo continue [BDG, Cap. 7, pag. 307, esempio 7.17].
Lezione 5 (28/09/2026)
Esempio che
illustra che
non sempre è possibile esprimere
la soluzione in termini di funzioni elementari [BDG, Cap. 7, pag. 301,
esempio
17.6 (ii)].
Teorema di esistenza e unicità per equazioni differenziali
ordinarie
di ordine qualsiasi [BDG, Cap. 7,
pagg. 311-312, teorema 7.29].
Equazioni differenziali ordinarie lineari del secondo
ordine omogenee e non omogenee [BDG, Cap. 7, pag. 314].
Soluzioni linearmente
indipendenti di un'equazione differenziale ordinaria lineare omogenea del secondo ordine
[BDG, Cap. 7,
pag. 314, definizione 7.33].
Determinante wronskiano e soluzioni linearmente
indipendenti di un'equazione differenziale ordinaria
lineare omogenea del secondo ordine
[BDG, Cap. 7, pag. 315, lemma 7.35].
Soluzione generale di un'equazione differenziale ordinaria
lineare omogenea del secondo ordine
e soluzione generale
di un'equazione differenziale ordinaria
lineare non omogenea del secondo ordine
[BDG, Cap.7, pag. 316, teorema 7.37].
Lezione 6 (28/09/2026)
Equazioni differenziali
ordinarie lineari del secondo ordine omogenee
a coefficienti costanti: equazione caratteristica e soluzione generale
[BDG, Cap. 7, pagg. 318-319, teorema 7.39].
Equazioni differenziali ordinarie lineari del secondo ordine
omogenee a coefficienti costanti:
equazione caratteristica e determinazione delle due soluzioni
linearmente indipendenti [Cap. 7, pag. 318, teorema 7.39, esempio 7.40].
Metodo di
variazione delle costanti per determinare una soluzione particolare
di un'equazione differenziale ordinaria lineare del secondo ordine
non omogenea una volta che siano note le soluzioni linearmente indipendenti
dell'equazione omogenea associata
[BDG, Cap. 7, pag. 317].
Esercizio sul metodo di variazione
delle costanti per un'equazione differenziale lineare del secondo ordine
[BDG, Cap. 7, pag. 317, esempio 7.38].
Lezione 7 (30/09/2026)
Metodo di somiglianza per determinare una soluzione particolare
dell'equazione differenziale lineare del secondo ordine
non omogenea a
coefficienti costanti ay''+by'+cy =g(x),
con g(x)=eλx
(An(x) sinμx +
Bn(x) cosμx),
dove An(x) e Bn(x)
sono polinomi
di grado n ⇒ si cerca
la
soluzione particolare nella forma
(1) eλx
(αn(x) sinμx +
βn
(x) cosμx)
se λ±iμ non sono zeri
dell'equazione caratteristica,
(2) x eλx
(αn(x) sinμx
+ βn(x) cosμx)
se λ±iμ sono zeri semplici dell'equazione
caratteristica,
(3)
x2
eλx
(αn(x) sinμx +
βn(x) cosμx)
se μ=0 e λ è uno zero doppio
dell'equazione
caratteristica, dove, in tutti e tre i casi,
αn(x) e βn(x)
sono polinomi di grado n [BDG, Cap. 7, pag. 322, proposizione 7.46].
Lezione 8 (30/09/2026)
Esempi che illustrano l'applicazione del metodo di somiglianza
[BDG, Cap. 7. pagg. 322-323, esempio 7.48 (i), (ii) e (iii)
ed esempio 7.49].
Esercizi sulle
equazioni differenziali ordinarie linearidel secondo ordine
non omogenee a coefficienti costanti con il
metodo di somiglianza
[BDG, Cap. 7, pag. 325
esercizio 7.4.1 (g) e (i)]
e con il metodo di variazione delle costanti
[BDG, Cap. 7, pag. 325, esercizio 7.4.1 (k)].
Lezione 9 (05/10/2026)
Esercizi sulle equazioni differenziali ordinarie lineari
del primo ordine non omogenee
[BDG, Cap. 7, pag. 306, esercizio 7.2.1 (k)].
Esercizi sulle equazioni differenziali ordinarie lineari
del secondo ordinenon omogenee
[BDG, Cap. 7, pag. 325, esercizio 7.4.1 (l)].
Lezione 10 (05/10/2026)
Esercizi sulle equazioni differenziali ordinarie lineari
del secondo ordine non omogenee a coefficienti costanti
e sulle equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili
[A.A. 2024-2025, Appello III,
esercizi 0.1, 0.3 e 1].
Lezione 11 (07/10/2026)
Sistemi di equazioni differenziali ordinarie lineari del primo ordine omogenee
a coefficienti costanti: riscrittura in forma
vettoriale
y' = Ay
[BDG, Cap. 2, pagg. 514-515]. Esponenziale di una matrice:
definizione come
serie di matrici assolutamente convergente
[G, Cap. 2,
pagg. 25-26, definizione 1.67 e proposizione 1.68].
Soluzione di un sistema di equazioni differenziali ordinarie
lineari
del primo ordine omogenee a coefficienti costanti
nella forma di un esponenziale di matrice [G, Cap. 2, pag. 70, lemma 2.3].
Calcolo dell'esponenziale di una matrice diagonale [G, Cap. 2, pagg. 26-27, lemma 1.69, proprietà 4].
Calcolo
dell'esponenziale
di una matrice diagonalizzabile con autovalori reali
[G, pagg. 26-28, lemma 1.69, proprietà 1 e osservazione 1.70].
Lezione 12 (07/10/2026)
Esercizio sui sistemi di equazioni differenziali ordinarie
lineari omogenee del primo ordine a coefficienti costanti
nel caso di matrici diagonalizzabili [BDG, Cap. 2, pag. 517, esempio 17.29,
tramite il calcolo dell'esponenziale della matrice].
Calcolo dell'esponenziale di una matrice semisemplice
[G, Cap. 2, pagg. 22, lemma 1.63, pag. 26, lemma 1.69, proprietà 5].
Esercizio sui sistemi di equazioni differenziali ordinarie
lineari omogenee del primo ordine
a coefficienti costanti nel
caso di matrici semisemplici
[BDG, Cap. 2, pag. 518-19, esempio 17.30,
tramite il calcolo dell'esponenziale della matrice].
6.2. Seconda parte: calcolo differenziale in più variabili
6.3. Terza parte: calcolo integrale in più variabili
6.4. Quarta parte: curve e superfici
