Università degli Studi Roma Tre

Corso di Laurea Triennale in Matematica, a.a. 2004/2005

AL3 - Fondamenti di Algebra Commutativa Esercizi 3 - Anelli di frazioni

1. Siano R un anello commutativo unitario ed S un suo sottoinsieme moltiplicativamente chiuso. Sia j_{S} : R ⟶ S^{−1}R l’omomorfismo canonico. Verificare che se I e J sono ideali di R si ha che:

(a) (I + J)^{e} = I^{e} + J^{e};

(b) (IJ)^{e} = I^{e}J^{e};

(c) (I ∩ J)^{e} = I^{e} ∩ J^{e};

(d) (\sqrt{I})^{e} = \sqrt{I^{e}}.

2. Un anello commutativo unitario R si dice ridotto se il suo nilradicale è nullo.

(a) Verificare che se R è ridotto ed S è un suo sottoinsieme moltiplicativamente chiuso, allora anche S^{−1}R è ridotto.

(b) Sia R un anello commutativo unitario tale che, per ogni P ∈ Spec(R), l’anello R_{P} è ridotto. Provare che R è ridotto.

3. Siano R un anello commutativo unitario ed S un suo sottoinsieme moltiplicativamente chiuso. Sia I un ideale di R ed \overline{S} l’immagine di S in R/I.

(a) Provare che l’applicazione canonica:

ρ : (\overline{S}^{−1})(R/I) ⟶ S^{−1}R/IS^{−1}R

definita da

ρ (\frac{r + I}{s + I} ) = \frac{r}{s} + IS^{−1}R

è un isomorfismo di anelli.

(b) Dedurne che se P ∈ Spec(R) con I ⊆ P (da cui segue che P/I ∈ Spec(R/I)), allora

(R/I)_{P/I} ≅ R_{P} /IR_{P}

(c) Dedurne che il campo residuo dell’anello locale (R_{P} , P R_{P}) è isomorfo al campo dei quozienti di R/P.

4. Sia P un ideale primo minimale di un anello ridotto R. Provare che P R_{P} = (0) da cui R_{P} = R_{P} /P R_{P} ≅ q.f.(R/P), cioè la localizzazione di un anello ridotto R in un suo ideale primo minimale P è un campo isomorfo al campo dei quozienti di R/P.

5. Si consideri l’anello ℤ/6ℤ; determinare le localizzazioni di ℤ/6ℤ nei suoi ideali primi minimali.

6. Se R è un anello commutativo unitario con la proprietà che R_{P} è un dominio d’integrità per ogni P ∈ Spec(R), deve necessariamente essere R un dominio d’integrità?

7. Siano R un anello commutativo unitario e P, Q suoi ideali primi con P ⊆ Q. Provare che R_{P} è canonicamente isomorfo a (R_{Q})_{P R_{Q}}. Dedurne che se R è un dominio d’integrità, per P = (0), si ha un isomorfismo canonico tra q.f.(R) e q.f.(R_{Q}).

8. Sia D un dominio di integrità con campo dei quozienti K; per l’esercizio precedente, ogni localizzazione di D è immersa in K. Provare che

⋂_{M∈Max(D)} D_{M} = D.

9. Siano R un anello commutativo unitario e P un suo ideale primo. Sia j_{R\P} : R ⟶ R_{P} l’omomorfismo canonico. Provare che per n ∈ ℕ l’ideale (P^{n})^{ec} è un ideale P -primario di R, detto la n-esima potenza simbolica di P e denotato con P^{(n)}.