Università degli studi di Roma Tre

Corso di Laurea Triennale in Matematica, a.a. 2003/2004

AL2 - Algebra 2, gruppi anelli e campi Esercizi 3 ottobre 2004

1 Definizione di gruppo

1. Determinare quali dei sistemi (G, ∗) qui descritti sono gruppi. In caso negativo dire quali degli assiomi di gruppo non sono verificati.

• G = ℤ con a ∗ b = a − b

• G = ℕ con a ∗ b = ab

• G = insieme dei numeri razionali con denominatore dispari, a∗b = a + b

• G = a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6} con

– a_{i} ∗ a_{j} = a_{i+j} se i + j < 7

– a_{i} ∗ a_{j} = a_{i+j−7} se i + j ≥ 7.

2. Se G è un gruppo nel quale (ab)^{2} = a^{2}b^{2} per ogni a, b ∈ G allora G è abeliano.

3. Se G è un gruppo nel quale (ab)^{i} = a^{i}b^{i} per tre interi i consecutivi e per ogni a, b ∈ G, allora G è abeliano.

4. Se G è un gruppo finito, dimostrare che esiste un intero N tale che a^{N} = e.

5. Se G è un guppo di ordine pari, dimostrare che in G esiste un elemento a ≠ e tale che a^{2} = e.

6. Sia G un insieme non vuoto, chiuso rispetto a un prodotto che sia associativo e che soddisfi inoltre le seguenti condizioni:

(a) Esiste un elemento e tale che a ∗ e = a per ogni a ∈ G

(b) Dato a ∈ G esiste un elemento y(a) ∈ G tale che a ∗ y(a) = e

Dimostrare allora che G è un gruppo rispetto a questo prodotto.

7. Supponiamo che G sia un insieme finito chiuso rispetto ad un prodotto associativo, e che valgano entrambe le leggi di cancellazione. Dimostrare che G è un gruppo.

8. Usando il risultato dell’esercizio 7 dimostrare che:

(a) gli interi modulo p primo, diversi da 0, sono un gruppo rispetto alla moltiplicazione modulo p

(b) gli interi coprimi con n sono un gruppo rispetto alla moltiplicazione modulo n.

9. Si provi che un gruppo non abeliano non è mai ciclico.

2 Sottogruppi

1. Quali sono le condizioni perché un sottoinsieme di un gruppo sia un sottogruppo.

2. Se H e K sono sottogruppi di G allora HK è un sottogruppo di G se e solo se HK = KH.

3. Siano H e K due sottogruppi finiti di G, sia |HK| la cardinalità di HK come insieme allora

|HK| = \frac{Ord(H)Ord(K)}{Ord(H ⋂ K)}.  (1)

4. Sia H un sottogruppo di G, sia aHa^{−1} = {aha^{−1} : h ∈ H}, dimostrare che aHa^{−1} è un sottogruppo di G. Se G è finito calcolare Ord(aHa^{−1}).

5. Scrivere esplicitamente le classi laterali destre di H in G dove:

(a) G = (a) è un gruppo ciclico di ordine 10 e H = (a^{2})

(b) G come sopra e H = (a^{5}).

6. Sia a ∈ G, definiamo C(a) = {x ∈ G : xa = ax}. Dimostrare che C(a) è un sottogruppo di G. C(a) si chiama il centralizzante di a in G.

7. Sia H un sottogruppo di G, definiamo C(H) = {x ∈ G : xh = hx ∀h ∈ H}. Dimostrare che C(H) è un sottogruppo di G.

8. Sia H un sottogruppo di G, definiamo N(H) = {x ∈ G : xHx^{−1} = H}. Dimostrare che N(H) è un sottogruppo di G e che N(H) ⊇ H.

3 Gruppo Simmetrico

1. Calcolare tutti i sottogruppi di S_{3}.

2. Determinare le orbite e i cicli delle seguenti permutazioni:

(a) ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 1 & 6 & 7 & 9 & 8 \end{matrix} )

(b) ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 5 & 4 & 3 & 1 & 2 \end{matrix} ).

3. Scrivere le permutazioni del problema 2 come prodotto di cicli disgiunti.

4. Dimostrare che il più piccolo sottogruppo di S_{n} che contiene (1 2) e (1 2 ... n) è S_{n}.