1. (a) f = (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13)(2, 4, 6, 8, 10, 12) dunque

• Ord(f) = mcm(6, 7) = 42

• è diapari

• la classe coniugata di f è data dalla sua struttura ciclica (- - - - - -)(- - - - - - -).

(b) g = (1, 4, 2, 7, 13, 9, 6, 12)(3, 10, 8, 5, 14, 11) dunque

• Ord(g) = mcm(6, 8) = 24

• è diapari

• la classe coniugata di g è data dalla sua struttura ciclica (- - - - - -)(- - - - - - - -).

2. (a) n ∈ Z_{18} è un generatore ⇔ mcd(n, 18) = 1, dunque i generatori sono 1, 5, 7, 11, 13, 17.

(b) Poichè 6 divide 18 abbiamo che ℤ_{18} ha un sottogruppo di ordine 6, sia K questo sottogruppo. Allora

K = {0, 3, 6, 9, 12, 15}

(c) Poiché H ha indice 12, si ha Ord(H) = 18 ⇒ H ≅ ℤ_{18} e n ∈ H è un generatore di H ⇔ \frac{n}{12} è un generatore di ℤ_{18}

(d) Poiché 54 divide 216, ci sono esattamente φ(54) omomorfismi surriettivi.

3. (a) ρ è compatibile con il prodotto ses xρy e wρz ⇒ xwρyz. Ricordiamo che |x| |y| = |xy|, da cui la compatibilità.

(b) [1]_{ρ} = ℝ^{+}

(c) ϕ(z) = z/|z|

4. (a) Ovvio

(b) iniettivita ovvia surriettività data da

\frac{1}{q}f(p) = f(\frac{p}{q}).

5. (a) Ord(T) = 8 e T è un sottogruppo perché è finito e chiuso rispetto al prodotto.

(b) I divisori di Ord(T) = 8 sono 1, 2, 4, 8.

Ordine 1:  Id.
Ordine 2: ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) .

Ordine 4:  ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) .
Ordine 8:  Nessuno.

(c) Z(T) = \{Id, ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )\}

(d) Poniamo

ρ = ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

σ = ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) .

Osserviamo che ρ e σ generano T. Allora, i sottogruppi di ordine 2 sono

{Id, σ}
{Id, σρ}
{Id, σρ^{2}}
{Id, σρ^{3}}
{Id, ρ^{2}} .

I sottogruppi di ordine 4 sono:

A = {Id, ρ, ρ^{2}, ρ^{3}} ≅ ℤ_{4}
K_{1} = {Id, σ, ρ^{2}, σρ^{2}} ≅ K
K_{2} = {Id, σρ, ρ^{2}, σρ^{3}} ≅ K.

Dove K è il gruppo di Klein. I sottogruppi normali sono Z(T), perché il centro è sempre normale, A, K_{1} e K_{2}, perchè hanno indice 2. I gruppi omomorfi a T sono

ℤ_{2} ≅ T/A ≅ T/K_{i}
K ≅ T/Z(T).

(e) Ricordiamo che D_{4} è generato da una riflessione, s, e una rotazione, r. Definiamo l’isomorfismo nel modo seguente, ϕ : T → D_{4}, ϕ(σ) = s e ϕ(ρ) = r. Rimane da verificare che l’applicazione è ben definita, cioé che ϕ(σρ) = sr, e che è iniettiva. La surriettività è ovvia, poiché T e D_{4} hanno la stessa cardinalità.