Università degli studi di Roma Tre

Corso di Laurea Triennale in Matematica, a.a. 2003/2004

AL2 - Algebra 2, gruppi anelli e campi Soluzioni 31 ottobre 2004

1 Gruppo Simmetrico

1. Per ogni divisore p, primo, di Ord(S_{4}) trovare un elemento di ordine p.

Soluzione 1.1. I divisori prini di Ord(S_{4}) sono 2 e 3.

(a) Ordine 2: (1,2).

(b) Ordine 3: (1,2,3).

2. Per quali divisori n di Ord(S_{4}) esiste un elemento di ordine n ?

Soluzione 1.2. I divisori di Ord(S_{4}) sono 1, 2, 3, 4, 6 e 8.

(a) Ordine 1: identità.

(b) Ordine 2: (1,2).

(c) Ordine 3: (1,2,3).

(d) Ordine 4: (1,2,3,4).

(e) Ordine 6 e 8: non ci sono.

3. Verificare l’equazione delle classi per S_{4} e S_{3}.

Soluzione 1.3. L’equazione delle classi è

Ord (G) = ∑ \frac{Ord (G)}{Ord (C (a))}

dove la somma è estesa ad elementi a ∈ G, uno per ogni classe di coniugio.Nel caso di S_{3} si ottiene.

6 = Ord (S_{3}) = \frac{Ord (S_{3})}{Ord (C (id))} + \frac{Ord (S_{3})}{Ord (C ((1, 2)))} + \frac{Ord (S_{3})}{Ord (C ((1, 2, 3)))}
= \frac{6}{6} + \frac{6}{3} + \frac{6}{2} = 1 + 2 + 3.

Analogamente per S_{4}.

4. Dimostrare che due qualsiasi sottogruppi di ordine 3 di S_{4} sono coniugati.

Soluzione 1.4. I sottogruppi di ordine 3 in S_{4} sono:

(a) < (1, 2, 3) >

(b) < (1, 2, 4) >

(c) < (1, 3, 4) >

(d) < (2, 3, 4) >. Allora

(a) < (1, 2, 4) >= (34) < (1, 2, 3) > (34)

(b) < (1, 3, 4) >= (23)(34) < (1, 2, 3) > (34)(23) = (234) < (1, 2, 3) > (243)

(c) < (2, 3, 4) >= (12)(23)(34) < (1, 2, 3) > (34)(23)(12) = (1234) < (1, 2, 3) > (1432).

Poichè il coniugio è una relazione di equivalenza abbiamo che due qualsiasi sottogruppi di ordine 3 sono coniugati.

2 Omomorfismi

1. Siano G e G′ due gruppi di ordine primo fra loro, dimostrare che l’unico omomorfismo fra G e G′ è quello banale. Soluzione 2.1. Sia g = Ord(G) e g′ = Ord(G′) allora MCD(g, g′) = 1 Sia ϕ un omomorfismo fra G e G′, sia H = ker(ϕ). Allora abbiamo tre possibilità.

(a) H = 0: cioè ϕ è iniettiva ⇒ g|g′ assurdo.

(b) H ⊂ G: cioè G′ ≅ G/H ⇒ g′ · h = g assurdo.

(c) H = G: cioè ϕ è l’omomorfismo banale.

2. Trovare tutte gli omomorfismi fra ℤ_{n} e ℤ_{m}:

(a) per m e n = 2, 3, 4, 5

(b) per m e n qualsiasi. Soluzione 2.2. Consideriamo il caso generale. Sia ϕ un omomorfismo fra ℤ_{n} e ℤ_{m}, poniamo H = ker(ϕ) e I = Im(ϕ). Sia h = Ord(H) e i = Ord(I), allora

(a) n = a · h perchè H < ℤ_{n}

(b) m = b · i perchè I < ℤ_{m}

(c) i = \frac{n}{h} perchè I ≅ ℤ_{n}/H Da cui abbiamo che a = i e b = h\frac{m}{n} ⇒ I = h\frac{m}{n}ℤ_{m}. Dunque abbiamo un omomorfismo ⇔ h\frac{m}{n} ∈ ℕ.

3. Trovare tutti gli omomorfismi fra S_{3} e (ℤ_{6}, +)

Soluzione 2.3. I possibili nuclei sono i sottogruppi normali di S_{3}, cioè S_{3}, A_{3} e {id}. Dunque abbiamo tre possibilità:

(a) ker (ϕ) = S_{3}: dunque ϕ è l’omomorfismo nullo.

(b) ker (ϕ) = A_{3}: dunque per il teorema di omomorfismo ϕ (S_{3}) ≅ S_{3}/A_{3} ≅ ℤ_{2} ≅ 3ℤ_{6}. Per cui

ϕ (σ) = \{ \begin{matrix}0 & se σ è pari \\ 3 & se σ è dispari \end{matrix}

(c) ker (ϕ) = {id}: dunque ϕ è iniettiva, ma |S_{3}| = |ℤ_{6}|, dunque ϕ è surriettiva. Ma non può essere un omomorfismo di gruppi perchè ℤ_{6} è commutativo, mentre S_{3} non è commutativo.

4. Sia ϕ un automorfismo di G, dimostrare che ϕ (Z (G)) ⊂ Z (G).

Soluzione 2.4. Sia g ∈ Z(G) allora ∀x ∈ G x = gxg^{−1} dunque

ϕ(x) = ϕ(gxg^{−1}) = ϕ(g)ϕ(x)ϕ(g^{−1}).

Poichè ϕ è un automorfismo, e dunque un isomorfismo, abbiamo che

x = ϕ(g)xϕ(g^{−1}).

Dunque ϕ(x) ∈ Z(G)∀x ∈ Z(G).

3 Gruppi

1. Prodotto semidiretto Sia G un gruppo, H e N sottogruppi con N normale. Sia γ_{x} la coniugazione per l’elemento x ∈ G.

(a) Dimostrare che x ↦ γ_{x} induce un omomorfismo f : H ↦ Aut(N)

(b) Se H ∩ N = {e}, dimostrare che la applicazione H × N ↦ HN data da (x, y) ↦ xy è una biezione, e che questa applicazione è un isomorfismo se e solamente se f è triviale, i.e. f(x) = id_{N} ∀x ∈ H. Diremo che G è il prodotto semidiretto di H e N, e scriviamo G = N ×_{f} H se G = HN e H ∩ N = {e}.

(c) Viceversa siano H e N due gruppi, e sia ϕ : H ↦ Aut(N) un omomorfismo dato. Costruiamo il prodotto semidiretto nel modo seguente. Sia G l’insieme delle coppie (x, h) con x ∈ N e h ∈ H, definiamo il prodotto nel modo seguente:

(x, h)(y, k) = (xϕ(h)(y), hk)

Dimostrare che questa è una legge di gruppo e che G = N ×_{ϕ} H identificando N con (x, 1) e H con (1, h)

(d) Verificare che N ×_{id} H ≅ N × H.

Soluzione 3.1. ...

2. Dire quale dei seguenti gruppi è esprimibile come prodotto diretto o semidiretto di due sottogruppi:

(a) (ℤ, +),

(b) (ℤ_{8}, +),

(c) (D_{4}, ∘),

(d) (ℤ_{6}, +),

(e) (ℂ, +),

(f) (ℂ^{∗}, ·).

Soluzione 3.2. (a) (ℤ, +) no,

(b) (ℤ_{8}, +) no,

(c) (D_{4}, ∘) ≅< σ > ×_{ϕ} < ρ > dove ρ è la rotazione di angolo \frac{π}{2} , σ è il ribaltamento orizontale e ϕ è l’omomorfismo da < σ > a Aut(< ρ >) tale che ϕ(σ)(x) = σxσ^{−1},

(d) (ℤ_{6}, +) ≅< 3 > × < 2 >,

(e) (ℂ, +) ≅ ℝ × iℝ,

(f) (ℂ^{∗}, ·) ≅ ℝ^{+} × {z ∈ ℂ : |z| = 1}.

3. Un sottogruppo C di un gruppo G si dice caratteristico se ϕ(C) ⊆ C per ogni automorfismo ϕ di G. Dimostrare che:

(a) ogni sottogruppo caretteristico è normale in G, e che il viceversa è falso,

(b) G′, sottogruppo derivato, è caratteristico.

Soluzione 3.3. (a) Sia C un sottogruppo caratteristico, allora

gCg^{−1} = ϕ_{g} (C) ⊂ C

perchè ϕ_{g} è un automorfismo. Dunquè C è normale. Per vedere che il viceversa è falso prendiamo G = D_{4} e C = {id, r, ρ^{2}, rρ^{2}} Allora C è normale ma non caratteristico, trovare l’automorfismo tale che ϕ (C) ⊄ C.

(b) Sia ϕ un automorfismo di G. Dimostriamo che ϕ manda i generatori, di G’, in generatori. Infatti

ϕ(xyx^{−1}y^{−1}) = ϕ(x)ϕ(y)ϕ(x^{−1})ϕ(y^{−1})

Dunque G’ è caratteristico.

4. Con metodi elementari si studi la struttura dei possibili gruppi di ordine 1,2,3,4.

Soluzione 3.4. Utilizziamo la notazione moltiplicativa. Poichè un gruppo possiede sempre l’elemento neutro, e, abbiamo che Ord(G) = 1 ⇒ G = {e}. Se Ord(G) = 2 allora G = {e, a} e, poichè ogni elemento ha un inverso, si ha che a = a^{−1}. Se Ord(G) = 3 allora G = {e, a, b},deve risultare ab = e = ba; infatti non può essesre aa = e altrimenti {e, a} è un sottogruppo di ordine 2 in un gruppo di ordine 3.Inoltre, dalla chiusura dell’operazione risulta aa = b e bb = a. Se Ord(G) = 4 allora G = {e, a, b, c}, se aa = b (analogamente se aa = c) allora a^{3} = ab = ba = c, infatti se fosse ab = e allora {e, a, b} sarebbe un sottogruppo di G. Pertanto dalla chiusura dell’operazione deve risultare a^{4} = e, a^{−1} = c e b^{−1} = b. L’altra possibilità è che aa = bb = cc = e e pertanto il prodotto fra due di questi elementi darà come risultato il terzo.

5. Si verifichi il teorema di Cayley per G gruppo ciclico di orine 4 e G gruppo di Klein.

Soluzione 3.5. Il teorema di Caylay dice che ogni gruppo si può realizzare come gruppo di trasformazioni. Applicando il teorema otteniamo

(a) ℤ_{4} ≅ {id, (1, 2, 3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4, 3, 2)}

(b) 𝕂 ≅ {id, (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(3, 2)}

4 Gruppo Diedrale

1. Consideriamo D_{4} il gruppo dei movimenti rigidi del quadrato.

(a) Trovare tutti i sottogruppi di D_{4},

(b) Trovare le classi di coniugio di D_{4}.

Soluzione 4.1. (a) Sia ρ la rotazione di angolo π/4 e r la riflessione rispetto all’asse x. Allora

D_{4} = {id, r, ρ, rρ, rρ^{2}, rρ^{3}, ρ^{2}, ρ^{3}} I sottogruppi sono

Z = {id, ρ, ρ^{2}, ρ^{3}}
K_{1} = {id, r, ρ^{2}, rρ^{2}}
K_{2} = {id, rρ, ρ^{2}, rρ^{3}}
R_{1} = {id, ρ^{2}} = Z (D_{4})
R_{2} = {id, r}
R_{3} = {id, rρ}
R_{4} = {id, rρ^{2}}
R_{3} = {id, rρ^{3}}

(b) Osserviamo che ρr = rρ^{3}. Le classi di coniugio sono

C (r) = {r, rρ^{2}}
C (rρ) = {rρ, rρ^{3}}
C (ρ) = {ρ, ρ^{3}}
C (ρ^{2}) = {ρ^{2}}

2. Determinare il centro di D_{n} per ogni n.

Soluzione 4.2. (a) n dispari: Z(D_{n}) = {id}

(b) n dispari: Z(D_{n}) = \{id, ρ^{\frac{n}{2}} \} dove ρ è lo rotazione di angolo \frac{2π}{n}.

3. Determinare N (D_{4}) in S_{4}.

Soluzione 4.3. N (D_{4}) = ⟨(2, 4), (1, 2)(3, 4), (1, 4)(2, 3)⟩.

4. Dimostrare che D_{n} è generato da una riflessione e da una rotazione.

Soluzione 4.4. Sia ρ la rotazione di angolo 2π/n, sia Z = ⟨ρ⟩. Osserviamo che Z ha indice due, dunque è un sottogruppo normale, sia r_{0} un elemento non congruo a ρ, in particolare r_{0} ha ordine 2. Sia x ∈ D_{n} abbiamo due possibilità:

(a) x mod Z = 1, dunque x = ρ^{i} per qualche i.

(b) x mod Z = −1 dunque x = ρ^{i}r_{0}ρ^{i} per qualche i

Dunque D_{n} è generato da ρ e r_{0}.

5. Si dimostri che il gruppo dei movimenti di un rettangolo è il gruppo di Klein.

Soluzione 4.5. I movimenti del rettangolo sono dati da i ribaltamenti rispetto all’asse orizontale, verticale, e la rotazione di angolo π. Ogni elemento ha ordine 2, da cui l’isomorfismo.

5 Matrici

1. Sia M l’insieme delle matrici 3×3 a valori 0 e 1 e tali che ciascuna riga e ciascuna colonna contiene esattamente un 1. Si dimostri che rispetto al prodotto righe per colonne M è un gruppo e che esso è isomorfo a S_{3}.

Soluzione 5.1.

\begin{aligned}M & = \{( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) , \\ & ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} )\}. \end{aligned}

Consideriamo a = ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) e b = ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix} ). È facile ve-

rificare che a ha ordine 2, b ha ordine 3 e che a e b generano M. Per costrire l’isomorfismo ricordiamoci che S_{3} è generato da (1, 2) e (1, 2, 3). Allora poniamo: ϕ(a) = (1, 2) e ϕ(b) = (1, 2, 3).

2. Consideriamo l’insieme R delle matrici 2×2 della forma ( \begin{matrix}cos(θ) & sin(θ) \\ − sin(θ) & cos(θ) \end{matrix} )

per θ ∈ [0, 2π). Dimostrare che R è un gruppo rispetto al prodotto righe per colonne e che esso è isomorfo a G = {z ∈ ℂ : |z| = 1}

Soluzione 5.2. Ricordiamo le formule di addizione per il coseno e il seno.

cos(α + β) = cos(α) cos(β) − sin(α) sin(β)
sin(α + β) = sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β).

Allora

( \begin{matrix}cos(α) & sin(α) \\ − sin(α) & cos(α) \end{matrix} ) ( \begin{matrix}cos(β) & sin(β) \\ − sin(β) & cos(β) \end{matrix} ) =

= ( \begin{matrix}cos(α) cos(β) − sin(α) sin(β) & sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β) \\ − (sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β)) & cos(α) cos(β) − sin(α) sin(β) \end{matrix} )

= ( \begin{matrix}cos(α + β) & sin(α + β) \\ − sin(α + β) & cos(α + β) \end{matrix} )

Dunque R è un gruppo rispetto al prodotto righe per colonne. L’iso-

morfismo è dato da ϕ (( \begin{matrix}cos(α) & sin(α) \\ − sin(α) & cos(α) \end{matrix} )) = cos(α) + i sin(α).