Università degli Studi Roma Tre Corso di Laurea Triennale in Matematica, a.a. 2003/2004 AL2 - Algebra 2, gruppi, anelli e campi Seconda prova di valutazione intermedia 12 gennaio 2004

Cognome_{−−−−−−−−−−−−−−−−−−} Nome_{−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−}

Numero di matricola_{−−−−−−−−−−−−−−−−−−}

Avvertenza: Svolgere ogni esercizio nello spazio assegnato, senza consegnare altri fogli e giustificando tutte le affermazioni fatte. Non è consentito l’uso di libri, appunti e calcolatrici.

1. (10 pt) Siano p un numero primo ed A = M_{3} (ℤ_{p}) l’anello delle matrici con l’usuale somma e prodotto righe per colonne.

1. Trovare la cardinalità di A.

2. Sia

B = {M = (m_{ij}) ∈ A : m_{ij} = 0, i ≤ j}

Verificare se

(a) B è un sottoanello di A.

(b) B è un ideale destro o sinistro di A.

(c) ∀ M ∈ B esiste n ∈ ℕ tale che M^{n} = 0.

3. Definiamo un nuovo prodotto ∗ su A: ∀ M e N ∈ A ponendo

M ∗ N = M · N − N · M.

(a) Verificare se ∗ gode della proprietà associativa.

(b) Verificare se vale la proprietà distributiva della usuale somma tra matrici + rispetto a ∗ .

Dire se (A, +, ∗) è un anello.

2. (9 pt) Stabilire se i seguenti ideali di ℤ[X] sono primi e/o massimali: 1. (3, X);

2. (X^{2} − 3X + 2)

3. (X^{2} − 3);

4. (7, X^{2} − 3).

3. (8 pt) Nell’anello degli interi di Gauss ℤ[i] si consideri l’ideale

I = (3 − i, 5 + 10i).

1. Stabilire se I è principale ed eventualmente determinarne un generatore.

2. Stabilire se I è primo e/o massimale.

3. Descrivere l’anello quoziente ℤ[i]/I.

(Sugg. Si consideri l’omomorfismo anulare φ : ℤ ⟶ ℤ[i]/I definito da φ(n) = n + I per ogni n ∈ ℤ).

4. (9 pt) Si consideri nell’anello ℤ_{3}[X] il polinomio f(X) = X^{3} + 2X^{2} + 1; sia I = (X^{3} + 2X^{2} + 1).

1. Verificare che il polinomio f(X) è irriducibile in ℤ_{3}[X].

2. Descrivere il campo K = ℤ_{3}[X]/I.

3. Trovare in K l’inverso dell’elemento (X^{4} + X) + I.

4. Provare che t = X + I è un generatore del gruppo moltiplicativo K − {0}.