Università degli Studi Roma Tre

Corso di Laurea Triennale in Matematica, a.a. 2002/2003

AL2 - algebra 2, gruppi, anelli e campi Tutorato 18 novembre 2003

1. Si consideri il seguente sottoinsieme del corpo dei quaternioni reali H(ℝ):

H(ℤ) = {a1 + bi + cj + dk | a, b, c, d ∈ ℤ}.

1. Verificare che H(ℤ) è un sottoanello di H(ℝ) unitario, non commutativo e privo di divisori dello zero.

2. Determinare gli elementi invertibili di H(ℤ).

3. Se q = 31 − 2j e q′ = −11 + 1i − 2k, trovare q + q′, qq′ e q^{−1}.

2. Sia A un anello ed a ∈ A; a si dice - idempotente se a^{2} = a;

- nilpotente se esiste n > 0 tale che a^{n} = 0.

1. Provare che se a è nilpotente e a ≠ 0, allora a è zero-divisore.

2. Provare che se A è unitario ed a è idempotente con a ≠ 0 e a ≠ 1, allora a è zero-divisore.

3. Dare l’esempio di un elemento ≠ 0 nilpotente e non idempotente.

4. Dare l’esempio di un elemento ≠ 0 e ≠ 1 idempotente e non nilpotente.

5. Trovare gli elementi nilpotenti e gli elementi idempotenti in un dominio d’integrità unitario.

6. Provare che se A è un anello commutativo unitario, a un elemento invertibile e b nilpotente, allora a + b è invertibile.

7. Trovare gli elementi idempotenti e gli elementi nilpotenti di ℤ_{10}, ℤ_{12} e di ℤ_{10} × ℤ_{12}.

3. Un anello R si dice Booleano se a^{2} = a per ogni a ∈ R, i.e. se ogni suo elemento è idempotente. Provare che:

1. per ogni a ∈ R si ha che a + a = 0;

2. R è commutativo.

3. Verificare che sono anelli Booleani:

(a) ℤ_{2}, ℤ_{2} × ℤ_{2};

(b) per ogni insieme S, (P(S), +, ·), dove + è la differenza simmetrica, X + Y = XΔY = (X ∪ Y) − (X ∩ Y) per X, Y sottoinsiemi di S, e · è la intersezione.

(c) per ogni insieme S, P_{fin}(S) = {X ⊆ S | X finito} rispetto alla differenza simmetrica e alla intersezione.

4. Verificare che se S è infinito, P_{fin}(S) non è unitario.

5. Dare le tabelle per + e · per P(S) con S = {a, b}.

4. Sia A un anello commutativo ed N (A) l’insieme dei suoi elementi nilpotenti.

1. Provare che N (A) è un ideale di A detto nilradicale o radicale primo dell’anello A.

2. Trovare N (ℤ) e N (ℤ_{32}).

5. Siano A un anello commutativo ed I un suo ideale; provare che l’insieme \sqrt{I} di tutti gli a ∈ A tali che a^{n} ∈ I per qualche intero positivo n è un ideale di A, detto radicale di I.

1. Dare un esempio di un ideale non nullo I ≠ A tale che \sqrt{I} ≠ I ed un esempio di ideale non nullo J ≠ A tale che \sqrt{J} = J.

2. Quale relazione si può stabilire tra la nozione di nilradicale di un anello e

quella di radicale di un ideale?

6. Nell’anello M_{2}(ℤ_{m}) con m > 1, si consideri il seguente sottoinsieme

A_{m} = \{( \begin{matrix}0 & a \\ 0 & b \end{matrix} ) : a, b ∈ ℤ_{m}\} .

1. Provare che A_{m} è un sottoanello non commutativo e non unitario di M_{2}(ℤ_{m}).

2. Provare che A_{m} è un ideale sinistro e non è un ideale destro di M_{2}(ℤ_{m}).

3. Si consideri l’applicazione φ : A_{m} ⟶ ℤ_{m} definita da φ (( \begin{matrix}0 & a \\ 0 & b \end{matrix} )) = b.

(a) Provare che φ è un omomorfismo.

(b) Determinare Im(φ) e Ker(φ).

4. Sia I_{m} = \{( \begin{matrix}0 & 2c \\ 0 & 0 \end{matrix} ) : c ∈ ℤ_{m}\}. Provare che I_{m} è un ideale di A_{m}.

5. ** Provare che l’anello A_{m}/I_{m} è unitario se e solo se m è dispari.