Università degli Studi Roma Tre

Corso di Laurea Triennale in Matematica, a.a. 2003/2004

AL2 - algebra 2, gruppi, anelli e campi Tutorato 2 dicembre 2003

1. Un ideale I di un anello commutativo ed unitario A si dice primario se

ab ∈ I, a ∉ I ⟹ ∃n ≥ 1 tale che b^{n} ∈ I.

(a) Verificare che ogni ideale primo di A è primario.

(b) Provare che un ideale I di A è primario se e solo se ogni zero-divisore di A/I è nilpotente.

(c) Verificare che l’ideale 8ℤ di ℤ è primario.

(d) Verificare che l’ideale 6ℤ di ℤ non è primario.

(e) Dare una caratterizzazione degli ideali primari di ℤ.

2. (a) Sia A un anello commutativo ed unitario dotato di un solo ideale massimale M. Provare che un elemento di A è invertibile se e solo se appartiene a A − M.

(b) Trovare gli ideali massimali di ℤ_{5}, di ℤ_{9} e di ℤ_{10}.

(c) Determinare per quali interi m ≥ 2 l’anello ℤ_{m} possiede un solo ideale

massimale.

3. Sia A = ℚ[X] l’anello dei polinomi a coefficienti razionali; fissato un

numero razionale q, si consideri l’ideale

I_{q} = {f(X) ∈ A | f(q) = 0} .

(a) Provare che I_{q} è un ideale massimale di A.

(b) Se q e q′ sono due numeri razionali distinti, provare che I_{q} ∩ I_{q′} è un

ideale di A che \underline{non} è un ideale primo.

4. Sia p un numero primo fissato ed

A = \{(\begin{matrix}a & bp \\ b & a \end{matrix}) | a, b ∈ ℚ\} .

(a) Verificare che A è un sottoanello di M_{2}(ℚ), commutativo ed unitario.

(b) Provare che A è un campo determinando esplicitamente l’inverso di ogni suo elemento non nullo.

(c) Determinare un isomorfismo esplicito tra A e il campo ℚ[X]/(X^{2}−p).

5. Si consideri il seguente sottoinsieme dell’anello ℚ[X] :

A = {a_{0} + a_{1}X + ⋯ + a_{n}X^{n} | n ≥ 0, a_{0} ∈ ℤ, a_{i} ∈ ℚ per i ≥ 1} .

(a) Verificare che A è un sottoanello di ℚ[X].

(b) Provare che il seguente sottoinsieme di A I = {b_{1}X + ⋯ + b_{j}X^{j} + ⋯ + b_{m}X^{m} | m ≥ 1, b_{j} ∈ ℚ perj ≥ 1} è un ideale primo di A.

(c) Descrivere gli elementi dell’ideale generato da X in A.

(d) Provare che I non è un ideale principale. (Sugg. X ∈ I)