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FM430 - Meccanica statistica (CdL Matematica)

AA 2013-2014 - I Semestre (Docente: Alessandro Giuliani)

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• Indice
  Diario delle lezioni
  Orari
  Bibliografia
  Esami ed esoneri

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• Diario delle lezioni

• Lezioni 1 e 2 [30/9/2013]
  Introduzione: gli obiettivi della meccanica statistica. Richiami di termodinamica.

• Lezioni 3 e 4 [2/10/2013]
  L'ipotesi ergodica. L'ensemble microcanonico. Buoni modelli di termodinamica (ensemble ortodici). L'ensemble microcanonico come buon modello di termodinamica. Potenziali stabili e temperati.

• Lezioni 5 e 6 [7/10/2013]
  Ensemble statistici: microcanonico, canonico, grancanonico, microcanonico esteso. La nozione di equivalenza tra ensemble statistici.

• Lezioni 7 e 8 [9/10/2013]
  Esistenza del limite termodinamico per l'entropia nell'ensemble microcanonico esteso (parte 1). Insiemi e densità diadici. Convessità dell'energia minima in funzione della densità. Stima a priori dall'alto sull'entropia come funzione dell'energia e della densità.

• Lezioni 9 e 10 [15/10/2013]
  Esistenza del limite termodinamico per l'entropia nell'ensemble microcanonico esteso (parte 2). Quasi-concavità e monotonia dell'entropia. Esistenza del limite dell'entropia lungo una sequenza diadica di scatole. Estendibilità per continuità dell'entropia e dell'energia dello stato fondamentale fuori dai diadici (uniforme continuità sui diadici).

• Lezioni 11 e 12 [17/10/2013]
  Indipendenza del limite termodinamico dalla scelta della sequenza speciale di cubi. Limite a'la Van Hove. Equivalenza tra l'ensemble microcanonico esteso e il microcanonico "standard". Equivalenza tra microcanonico e canonico.

• Lezioni 13 e 14 [22/10/2013]
  Equivalenza tra il canonico e il grancanonico. Proprietaà delle funzioni convesse. Dualità convessa.

• Lezioni 15 e 16 [24/10/2013]
  Transizioni di fase come punti di perdita di stretta equivalenza tra gli ensemble o come punti di non-differenziabilità delle funzioni termodinamiche. Il caso della trasizione gas-liquido. Transizioni di fase del prim'ordine o di ordine superiore. Un caso risolubile: il gas ideale; derivazione dell'equazione di stato.

• Lezioni 17 e 18 [5/11/2013]
  Correzioni all'equazione di stato del gas ideale. L'equazione di stato di Van der Waals. Correzioni di alta temperatura/debole accoppiamento/bassa densità: la serie del viriale. Calcolo dei primi due coefficienti dell'espansione.

• Lezioni 19 e 20 [7/11/2013]
  Un metodo alternativo di espansione a alta temperatura/debole accoppiamento/bassa densità: le equazioni di Kirkwood e Salsburg. Funzioni di correlazione. Le equazioni ricorsive di K-S.

• Lezioni 21 e 22 [12/11/2013]
  Convergenza e analiticità della soluzione in serie alle equazioni di K-S. Limite termodinamico della solzuione e invarianza per traslazioni del limite. Confronto con la serie del viriale. Unicità della soluzione al variare delle condizioni al bordo. Cenni alla struttura degli stati di Gibbs: stati puri e proprietà di clustering.

• Lezioni 23 e 24 [14/11/2013]
  Dimostrazione della proprietà di clustering per la soluzione delle equazioni di KS. Ancora sull'equazione di Van der Waals: esistenza di una transizione di fase nell'approssimazione di VdW e regola di Maxwell. Riinterpretazione dell'equazione di VdW come approssimazione di campo medio. Potenziali di Kac e enunciato del teorema di Lebowotz-Penrose.

• Lezioni 25 e 26 [19/11/2013]
  Il teorema di Lebowitz-Penrose (dimostrazione).

• Lezioni 27 e 28 [21/11/2013]
  La disuguaglianza di Jensen e fine della dimostrazione del teorema di Lebowitz-Penrose. Modelli di gas su reticolo e di spin di Ising. La nozione di stato di Gibbs per modelli di gas su reticolo (o per modelli di spin tipo Ising).

• Lezioni 29 e 30 [26/11/2013]
  La struttura dello spazio degli stati di Gibbs: convessità, stati estremali, condizione di clustering. Disuguaglianze di Griffiths per modelli di Ising ferromagnetici.

• Lezioni 31 e 32 [28/11/2013]
  Modelli di Ising ferromagnetici: esistenza e invarianza per traslazioni degli stati con condizioni al bordo + o −. Il teorema degli zeri di Lee e Yang: enunciato e implicazioni: analiticità dell'energia libera di Ising in campo magnetico non nullo.

• Lezioni 33 e 34 [3/12/2013]
  Dimostrazione del teorema degli zeri di Lee-Yang nella formulazione di Ruelle. La contrazione di Asano.

• Lezioni 35 e 36 [5/12/2013]
  Un'altra implicazione del teorema di Lee-Yang-Ruelle: analiticità dell'energia libera ad alta temperatura. Il modello di Ising 1D: soluzione esatta con la matrice di trasferimento.

• Lezioni 37 e 38 [10/12/2013]
  Cenni alla dimostrazione di assenza di transizione di fase in modelli di Ising 1D a portata finita: il teorema di Perron-Froboenius (solo enunciato). Rappresentazione geometrica del modello di Ising a bassa temperatura.

• Lezioni 39 e 40 [12/12/2013]
  L'argomento di Peierls: esistenza di una transizione di fase nel modello di Ising a due o piú dimensioni.

• Lezioni 41 e 42 [17/12/2013]
  La rappresentazione geometrica di Ising ad alta temperatura. Dualità del modello 2D. La soluzione esatta di Onsager (parte I).

• Lezioni 43 e 44 [19/12/2013]
  Variabili e integrali Grassmanniani. La soluzione esatta di Onsager (parte II).
  
  

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• Orario lezioni:
  - martedí 11:00-13:00, aula 211; giovedí 11:00-13:00, Aula 211
  
  

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• Modalità di esame:
  Discussione orale su tutti gli argomenti del programma.
  

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  Testi e articoli di riferimento:
  
  
  • G. Gallavotti: Statistical Mechanics. A short treatise , Springer-Verlag 1999.
    Disponibile on-line su http://ricerca.mat.uniroma3.it/ipparco/pagine/libri.html
  • G. Gallavotti, F. Bonetto e G. Gentile: Aspects of the ergodic, qualitative and statistical theory of motion , Springer-Verlag 2004. (Disponibile on-line su http://ricerca.mat.uniroma3.it/ipparco/pagine/libri.html)
  • D. Ruelle: STATISTICAL MECHANICS - Rigorous Results, World Scientific 1999.
  • D. Ruelle: Extension of the Lee-Yang Circle Theorem, Phys. Rev. Lett. 26, 303-304 (1971).
  • F. J. Dyson: Existence of a phase-transition in a one-dimensional Ising ferromagnet, Comm. Math. Phys. 12, 91-107 (1969).
  • N. D. Mermin: Absence of Ordering in Certain Classical Systems, J. Math. Phys. 8, 1061 (1967).
  • J. Frohlich, B. Simon, T. Spencer: Infrared bounds, phase transitions and continuous symmetry breaking, Comm. Math. Phys. 50, 79-95 (1976).
  • J. Frohlich, R. Israel, E. H. Lieb, B. Simon: Phase transitions and reflection positivity. I. General theory and long range lattice models, Comm. Math. Phys. 62, 1-34 (1978).
  
  Altri testi consigliati:
  
  
  • L. D. Landau, E. M. Lifschitz: Physique Statistique , MIR, Moscow, 1984.
  • K. Huang: Statistical Mechanics , Wiley and Sons 1987.
  
  
  
  
  
  

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  Ultima modifica 28/12/2013