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FM430 - Meccanica statistica (CdL Matematica)

AA 2012-2013 - II Semestre (Docente: Alessandro Giuliani)

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• Indice
  Diario delle lezioni
  Orari
  Bibliografia
  Esami ed esoneri

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• Diario delle lezioni

• Lezioni 1 e 2 [18/2/13]
  Introduzione: gli obiettivi della meccanica statistica. Richiami di termodinamica. L'ipotesi ergodica. Gli ensemble statistici come modelli di meccanica statistica.

• Lezioni 3 e 4 [21/2/13]
  Ensemble statistici: microcanonico, canonico, grancanonico, microcanonico esteso. Le condizioni di stabilità e temperatezza. La nozione di ortodicità ("buon modello di termodinamica"). Dimostrazione dell'ortodicità dell'ensemble canonico.

• Lezioni 5 e 6 [25/2/13]
  Esistenza del limite termodinamico per l'entropia nell'ensemble microcanonico esteso. Concavità dell'entropia in funzione dell'energia e alla densità. Convessità dell'energia minima in funzione della densità.

• Lezioni 7 e 8 [7/3/13]
  Equivalenza tra l'ensemble microcanonico esteso e il microcanonico "standard". Equivalenza tra microcanonico e canonico. Altri ensemble: equivalenza tra diverse condizioni al bordo. Transizioni di fase come punti di perdita di equivalenza o come perdita di analiticità o come punti di instabilità rispetto alle condizioni al bordo. Modelli di gas su reticolo e di spin di Ising.

• Lezioni 9 e 10 [11/3/13]
  La nozione di stato di Gibbs per modelli di gas su reticolo (o per modelli di spin tipo Ising). La struttura dello spazio degli stati di Gibbs: convessità, stati estremali, condizione di clustering. Disuguaglianze di Griffiths per modelli di Ising ferromagnetici. Esistenza e invarianza per traslazioni degli stati con condizioni al bordo + o −.

• Lezioni 11 e 12 [18/3/13]
  Analiticità della pressione dei modelli di Ising ferromagnetici a h&neq;0. Il teorema di Lee-Yang: enunciato e dimostrazione (parte I).

• Lezioni 13 e 14 [22/3/13]
  Dimostrazione del teorema di Lee-Yang (parte II).

• Lezioni 15 e 16 [25/3/13]
  Unicità dello stato di Gibbs ad alta temperatura. Soluzione del modello di Ising a primi vicini in d=1: unicità dello stato di Gibbs e decadimento esponenziale delle correlazioni.

• Lezioni 17 e 18 [5/4/13]
  Analiticità della pressione e decadimento esponenziale delle correlazioni in modelli di Ising in d=1 con interazioni a portata finita. Teorema di Perron-Froboenius.

• Lezioni 19 e 20 [8/4/13]
  Il ferromagnete di Dyson in d=1 con decadimento r^-p, 1<p<2. Esistenza di una transizione di fase.

• Lezioni 21 e 22 [12/4/13]
  Il modello di Ising in d≥2. Espansione di bassa temperatura. L'argomento di Peierls. Espansione di alta temperatura. Dualità tra alta e bassa temperatura in Ising a primi vicini in d=2. Calcolo della temperatura critica.

• Lezioni 23 e 24 [15/4/13]
  La soluzione di Onsager per l'energia libera di Ising a primi vicini in d=2 (parte I): rappresentazione in dimeri su reticolo decorato. Integrali Grassmanniani.

• Lezioni 25 e 26 [19/4/13]
  La soluzione di Onsager per l'energia libera di Ising a primi vicini in d=2 (parte II): rappresentazione della funzione di partizione in termini di un integrale Grassmanniano gaussiano. Il lemma di Kasteleyn (calcolo dei segni di una configurazione di dimeri in rappresentazione Grassmanniana). Calcolo dell'integrale Grassmanniano: la formula di Onsager.

• Lezioni 27 e 28 [22/4/13]
  La soluzione di Onsager per l'energia libera di Ising a primi vicini in d=2 (parte III): commenti sulla relazione tra le condizioni al bordo per spin e condizioni al bordo per campi Grassmanniani. Ancora sulle transizioni di fase: la nozione di rottura spontanea di simmetria. Il modello dei rotatori e di Heisenberg classici.

• Lezioni 29 e 30 [26/4/13]
  L'approssimazione gaussiana per il modello dei rotatori e di Heisenberg. Assenza di transizione di fase in d=1,2: il teorema di Mermin-Wagner (parte I). La disuguaglianza di Bogoliubov.

• Lezioni 31 e 32 [29/4/13]
  Il teorema di Mermin-Wagner (parte II). Esistenza di una transizione di fase nel modello dei rotatori e in Heisenberg classici in d≥3: il teorema di Frohlich-Simon-Spencer. Positività per riflessioni.
  
  

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• Orario lezioni:
  - lunedí 16:00-18:00, aula 311; venerdí 9:00-11:00, Aula 009
  
  

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• Modalità di esame:
  Discussione orale su tutti gli argomenti del programma.
  

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  Testi e articoli di riferimento:
  
  
  • G. Gallavotti: Statistical Mechanics. A short treatise , Springer-Verlag 1999.
    Disponibile on-line su http://ricerca.mat.uniroma3.it/ipparco/pagine/libri.html
  • G. Gallavotti, F. Bonetto e G. Gentile: Aspects of the ergodic, qualitative and statistical theory of motion , Springer-Verlag 2004. (Disponibile on-line su http://ricerca.mat.uniroma3.it/ipparco/pagine/libri.html)
  • D. Ruelle: STATISTICAL MECHANICS - Rigorous Results, World Scientific 1999.
  • D. Ruelle: Extension of the Lee-Yang Circle Theorem, Phys. Rev. Lett. 26, 303-304 (1971).
  • F. J. Dyson: Existence of a phase-transition in a one-dimensional Ising ferromagnet, Comm. Math. Phys. 12, 91-107 (1969).
  • N. D. Mermin: Absence of Ordering in Certain Classical Systems, J. Math. Phys. 8, 1061 (1967).
  • J. Frohlich, B. Simon, T. Spencer: Infrared bounds, phase transitions and continuous symmetry breaking, Comm. Math. Phys. 50, 79-95 (1976).
  • J. Frohlich, R. Israel, E. H. Lieb, B. Simon: Phase transitions and reflection positivity. I. General theory and long range lattice models, Comm. Math. Phys. 62, 1-34 (1978).
  
  Altri testi consigliati:
  
  
  • L. D. Landau, E. M. Lifschitz: Physique Statistique , MIR, Moscow, 1984.
  • K. Huang: Statistical Mechanics , Wiley and Sons 1987.
  
  
  
  
  
  

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  Ultima modifica 2/5/2013