MS410 - Meccanica statistica matematica
AA 2022-2023 - II Semestre (Docente: Alessandro Giuliani)
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Diario delle lezioni
- Lezioni 1 e 2 [20/2/2023]
Panoramica generale sul programma, sui temi del corso e sulla sua organizzazione. Gli obiettivi della meccanica statistica nel contesto dei fluidi termodinamici. Equazione di stato e diagramma di fase di un fluido termodinamico semplice (acqua, idrogeno, neon, argon, ...)- Lezioni 3 e 4 [21/2/2023]
Introduzione alla meccanica statistica, I. Dal microscopico (equazioni del moto di Newton) al macroscopico (termodinamica: diagramma di fase, equazione di stato, ...). Grandezze termodinamiche come medie temporali di osservabili microscopiche. L'ipotesi ergodica.- Lezioni 5 e 6 [23/2/2023]
Introduzione alla meccanica statistica, II. La proposta di Boltzmann: gli ensemble statistici (microcanonico e canonico) come buoni modelli di termodinamica. Problemi risolti e problemi aperti nella meccanica statistica: il problema delle transizioni di fase in sistemi di particelle interagenti nel continuo. Una strategia per comprendere le transizioni di fase: modelli di meccanica statistica su reticolo. Gas su reticolo e modello di Ising.- Lezioni 7 e 8 [27/2/2023]
Introduzione alla meccanica statistica, III. Modelli di meccanica statistica su reticolo. Alcuni risultati noti: calcolo della linea di transizione gas-liquido in modelli di gas su reticolo, punto critico, esponenti critici. L'ipotesi dell'universalità in meccanica statistica.
Richiami di termodinamica, I. Gli assiomi della termodinamica dell'equilibrio per sistemi isolati: composizione di sottosistemi, stato di equilibrio di un sistema composto soggetto a vincoli. La funzione entropia e il principio del massimo dell'entropia. Ref: [FV17], sezioni 1.1.1, 1.1.2- Lezioni 9 e 10 [28/2/2023]
Richiami di termodinamica, II. Omogeneità e concavità dell'entropia. Temperatura, pressione e potenziale chimico come derivate dell'entropia. Primo principio della termodinamica e identità di Eulero. La termodinamica del gas perfetto. Ref: [FV17], sezioni 1.1.2, 1.1.3, 1.1.4- Lezioni 11 e 12 [2/3/2023]
Richiami di termodinamica, III. Sistemi in contatto termico con un termostato che ne fissa la temperatura. Energia libera di Helmoltz. Altri potenziali termodinamici: potenziale di Landau, energia libera di Gibbs. Proprietà di convessità/concavità dei potenziali termodinamici e loro equivalenza. Identità di Eulero per i potenziali termodinamici. Identità per le derivate parziali dei potenziali termodinamici. Ref: [FV17], sezione 1.1.5- Lezioni 13 e 14 [6/3/2023]
Funzioni convesse: teorema di regolarità (esistenza delle derivate sinistra e destra, numerabilità dei punti di non-differenziabilità); teorema di convergenza uniforme e di scambio del limite con la derivata per sequenze di funzioni convesse. Trasformata di Legendre: definizione ed esempi. Ref: [FV17], appendice B.2, fino a metà di B.2.3- Lezioni 15 e 16 [7/3/2023]
Trasformata di Legendre come involuzione sulla classe delle funzioni convesse e semicontinue inferiormente. Equivalenza tra le funzioni termodinamiche e loro singolarità come luogo dei valori dei parametri termodinamici corrispondenti alle transizioni di fase. Esempio: transizione di fase liquido-gas in fluidi semplici e del corrispondente salto nel volume specifico al variare della pressione (a T,N fissati). Ref: [FV17], appendice B.2, in particolare B.2.3 e B.2.4
Sui modelli di termodinamica a'la Boltzmann: definizione aggiornata e migliorata del modello associato all'ensemble microcanonico. Nozione di limite termodinamico e di "buon modello di termodinamica". Ref: [Ga99], sezioni 2.1, 2.2- Lezioni 17 e 18 [9/3/2023]
Ancora sulla definizione di ensemble microcanonico come buon modello di termodinamica. La funzione entropia di Boltzmann: il logaritmo del volume dello spazio delle fasi accessibile. Sulle ipotesi necessarie per l'esistenza del limite termodinamico di entropia specifica, temperatura e pressione: condizioni di temperatezza e stabilità. Il caso delle interazioni di Coulomb: cenni al problema della stabilità della materia per sistemi di particelle quantistiche interagenti secondo la legge di Coulomb.- Lezioni 19 e 20 [13/3/2023]
Definizione di ensemble canonico come buon modello di termodinamica. Equivalenza tra microcanonico e canonico. La densità di probabilità canonica come marginale di quella microcanonica. Il gas perfetto: soluzione esatta del modello di termodinamica associato all'ensemble microcanonico.- Lezioni 21 e 22 [14/3/2023]
Il gas perfetto: soluzione esatta del modello di termodinamica associato all'ensemble canonico; equivalenza tra le soluzioni ottenute con il microcanonico e con il canonico. Caso di potenziale di interazione generico: idee della dimostrazione che l'ensemble canonico è un buon modello di termodinamica, I. Proprietà di fN a V,N finiti: monotonia di fN in v=V/N; concavità di βfN in β; relazioni tra fN e uN, pN (∂β(βfN)=uN e ∂v(βfN)=−pN).- Lezioni 23 e 24 [16/3/2023]
Idee della dimostrazione che l'ensemble canonico è un buon modello di termodinamica, II. Convessità di fN in v e esistenza del limite di fNk(β,vk) lungo una sequenza diadica di Nk e Vk nel caso di potenziali stabili a portata finita. Importanza e significato delle ipotesi di temperatezza e stabilità.- Lezioni 25 e 26 [20/3/2023]
Idee della dimostrazione dell'equivalenza tra ensemble microcanonico e canonico. Ensemble grancanonico: definizione, relazioni termodinamiche e equivalenza con l'ensemble canonico. Indipendenza del limite termodinamico da: precisione Δ (per il microcanonico esteso); forma della scatola; condizioni al bordo.- Lezioni 27 e 28 [21/3/2023]
Modello di gas su reticolo e sua riformulazione in termini di spin di Ising. Enunciato del teorema di Fisher sull'esistenza del limite termodinamico dei potenziali termodinamici ed equivalenza degli ensemble per il modello di Ising con potenziale temperato. Dimostrazione del teorema di Fisher per Ising, I: convessit&\agrave; della pressione grancanonica a volume finito, indipendenza dalle condizioni al bordo, parità in h- Lezioni 29 e 30 [23/3/2023]
Dimostrazione del teorema di Fisher per Ising, II: esistenza del limite termodinamico della pressione grancanonica. Sull'energia libera canonica: concavità in β a volume finito; indipendenza del limite (in caso esista) dalle condizioni al bordo; limite lungo sequenza di scatole diadiche con magnetizzazione diadica; convessità della funzione limite in m. Ref: [FV17], sezione 3.2.2- Lezioni 31 e 32 [27/3/2023]
Dimostrazione del teorema di Fisher, III: estensione della funzione limite per l'energia libera canonica fuori dall'insieme delle magnetizzazioni diadiche per uniforme continuità indipendenza del limite termodinamico per l'energia libera canonica dalla scelta della sequenza di scatole e magnetizzazione.- Lezioni 33 e 34 [28/3/2023]
Dimostrazione del teorema di Fisher, IV: equivalenza tra gli esemble canonico e grancanonico. Magnetizzazione e magnetizzazione spontanea: conseguenze del teorema di Fisher. Comportamento della funzione magnetizzazione per interazioni ferromagnetiche. Transizioni di fase del prim'ordine come punti di discontinuità della magnetizzazione. Comportamento paramegnetico e ferromagnetico. Soluzione esatta del modello di Ising a primi vicini in 1D. Cenni alla soluzione nel caso di interazioni a portata finita in 1D e al teorema di Perron-Frobenius. Cenni al caso di portata infinita in 1D: generalizzazione del teorema di Perron-Frobenius al caso di interazioni che decadono più velocemente di (distanza)-2; esistenza di transizione di fase per il ferromagnete di Dyson con J(x)=J0|x|-p per x≠0 e 1<p≤2. Ref: [FV17], sezioni 3.2.3, 3.2.4 e 3.3.- Lezioni 35 e 36 [30/3/2023]
Modello di Ising in campo medio (o modello di Curie-Weiss): definizione e motivazione, relazione euristica con modelli di Ising su Zd con interazione ferromagnetica a portata lunga ma finita. Soluzione esatta del modello di Curie-Weiss: calcolo della pressione grancanonica e dell'energia libera canonica. Calcolo della magnetizzazione spontanea e esistenza di una transizione di fase. Ref: [FV17], sezioni 2.1, 2.2, 2.3- Lezioni 37 e 38 [3/4/2023]
Modello di Curie-Weiss: calcolo degli esponenti critici alla transizione di fase del second'ordine. Le classi di universalità per la transizione di fase del secon'ordine di Ising ferromagnetico con interazioni a portata finita secondo la teoria del Gruppo di Rinormalizzazione: d≥4, d=3 e d=2. Enunciato del teorema di Lebowitz-Penrose sulla convergenza di pressione e energia libera di un modello di Ising con interazioni di Kac nel limite di portata infinita all'inviluppo convesso di quelle di campo medio. Ref: [FV17], sezioni 2.5.3, 4.10- Lezioni 39 e 40 [4/4/2023]
Teorema di Lebowitz-Penrose sulla convergenza della pressione e energia libera di un modello di Ising con interazioni di Kac all'inviluppo convesso di quelle di Curie-Weiss: enunciato e interpretazione fisica nel linguaggio del gas su reticolo. Connessione con la teoria di Van der Waals del gas imperfetto e con la regola di Maxwell per correggere le isoterme di Van der Waals. Ref: [FV17], sezione 4.9- Lezioni 41 e 42 [6/4/2023]
Dimostrazione del teorema di Lebowitz-Penrose.- Lezioni 43 e 44 [14/4/2023]
Stati di volume infinito e stati di Gibbs di volume infinito. Funzioni locali e basi numerabili delle funzioni locali. Esistenza degli stati di Gibbs di volume infinito attraverso l'estrazione di una sottosequenza diagonale. Ref: [FV17], sezioni 3.4, 3.5- Lezioni 45 e 46 [28/4/2023]
Stati di Gibbs di volume infinito come misure di probabilità sullo spazio delle configurazioni di spin su Zd con la sigma-algebra generata dagli eventi cilindrici. Teorema (enunciato e prima parte della dimostrazione): il limite degli stati di Gibbs di volume finito con condizioni al bordo + o - esistono e sono puri (i.e., sono invarianti per traslazioni e soddisfano la proprietà di clustering). Disuguaglianza FKG (solo enunciato). Ref: [FV17], sezioni 3.6.2, 3.6.3, 6.1, 6.2- Lezioni 47 e 48 [2/5/2023]
Dimostrazione che il limite degli stati di Gibbs di volume finito con condizioni al bordo + o - sono puri (i.e., sono invarianti per traslazioni e soddisfano la proprietà di clustering). Estremalità degli stati di Gibbs con condizioni al bordo + e -. Condizione DLR. Struttura di simplesso dell'insieme G(β,h) delle misure di volume infinito che soddisfano DLR a parametri (β,h). Ref: [FV17], sezioni 3.6.3, 6.2.1, 6.8- Lezioni 49 e 50 [5/5/2023]
Caratterizzazione degli stati estremali di G(β,h) in termini della proprietà di clustering. Teorema (solo enunciato): tutti gli stati estremali di G(β,h) sono ottenibili come limite debole di stati di Gibbs di volume finito. Decomposizione in stati estremali. La struttura degli stati di Gibbs di volume infinito per Ising a primi vicini in d=2. Dimostrazione che per Ising a primi vicini in d=3 esistono elementi di G(β,h) che non sono ottenibili come limite debole di misure di volume finito. (Non-)rigidità dell'interfaccia tra fase + e fase − in Ising bi- e tri-dimensionale. Dimostrazione della disuguaglianza FKG (prima parte). Ref: [FV17], sezioni 3.8.2, 6.2.1, 6.7, 6.8- Lezioni 51 e 52 [8/5/2023]
Dimostrazione della disuguaglianza FKG (seconda parte). Disuguaglianza GKS. Monotonia della magnetizzazione sponntanea come funzione di β. Due corollari delle disuguaglianze FKG e GKS: lo stato di Gibbs è unico se e solo se <σ0>+β,h ≠ <σ0>−β,h. Inoltre, la magnetizzazione con condizioni al bordo + è crescente in h, continua da destra e, per h≥0, è crescente in β. Equivalenza tra la nozione di transizione di fase del prim'ordine in termini della (non-)differenziabilità in h della pressione e quella in termini della (non-)unicità dello stato di Gibbs di volume infinito. Ref: [FV17], sezioni 3.6.1, 3.7.1, 3.8.1, 3.8.2- Lezione 53 e 54 [9/5/2023]
Monotonia di m*(β) e definizione di βc. Ising a primi vicini in due dimensioni a h=0: rappresentazione geometrica delle configurazioni di spin in termini di contorni di Peierls (espansione di bassa temperatura). Argomento di Peierls: Ising a primi vicini in 2D ha una transizione di fase del prim'ordine a h=0 e β≫1. Ref: [FV17], sezioni 3.7.2- Lezioni 55 e 56 [12/5/2023]
Corollario dell'argomento di Peierls per Ising 2D a primi vicini: usando GKS l'esistenza della transizione di fase segue anche per Ising in d≥2 con
J(x-y)≥Jδ|x-y|,1 temperata. Sulla rappresentazione geometrica di Ising a bassa temperatura in dimensione 3 e in presenza di condizioni al bordo diverse da +. Rappresentazione di alta temperatura per la funzione di partizione di Ising a primi vicini in dimensione d≥1 a h=0. Ref: [FV17], sezione 3.7.3- Lezioni 57 e 58 [15/5/2023]
Espansione di alta temperatura per la media dello spin all'origine con condizioni al bordo + in una scatola di lato L. Unicità dello stato di Gibbs di Ising a primi vicini in dimensione d a h=0 e β abbastanza piccola. Dualità di Kramers-Wannier per il modello di Ising a primi vicini in d=2 e valore esatto della temperatura critica per tale modello. Ref: [FV17], sezioni 3.7.3 e 3.10.1- Lezioni 59 e 60 [16/5/2023]
Il teorema degli zeri di Lee-Yang: enunciato e implicazioni per l'analiticità della pressione per h≠0. I teoremi di Vitali-Porter e di Hurwitz (enunciati). Dimostrazione del teorema di Lee-Yang (prima parte). Ref: [FV17], sezioni 3.7.4, App. B.3- Lezioni 61 e 62 [19/5/2023]
Dimostrazione del teorema di Lee-Yang (seconda parte): la contrazione di Asano. Ref: [FV17], sezione 3.7.4- Lezioni 63 e 64 [22/5/2023]
Dimostrazione dell'esistenza di una transizione di fase nel ferromagnete di Dyson (prima parte). La stima infrarossa. Discussione di come tale stima implica l'esistenza di una transizione di fase: nessun limite debole degli stati di Gibbs di volume finito con condizioni al bordo periodiche è estremale.- Lezioni 65 e 66 [23/5/2023]
Dimostrazione dell'esistenza di una transizione di fase nel ferromagnete di Dyson (seconda parte). Integrabilità di 1/E(k), con E(k) la trasformata di Fourier dell'interazione. Dominazione Gaussiana. Positività per riflessioni.- Lezioni 67 e 68 [26/5/2023]
Soluzione esatta del modello di Ising a primi vicini in d=2 a h=0 (prima parte): equivalenza tra la funzione di partizione come somma sui multipoligoni di "alta temperatura" e un modello di dimeri su reticolo decorato. Obiettivo: riscrivere la funzione di partizione del modello di dimeri come integrale Gaussiano Grassmanniano. Definizione dell'algebra di Grassmann, delle variabili Grassmanniane e dell'integrazione Grassmanniana. Cambi di variabili negli integrali Grassmanniani.- Lezioni 69 e 70 [29/5/2023]
Soluzione esatta del modello di Ising a primi vicini in d=2 a h=0 (seconda parte): integrali Gaussiani Grassmanniani. Equivalenza tra la funzione di partizione del modello di dimeri su reticolo decorato e un integrale Gaussiano Grassmanniano: riduzione al calcolo del segno associato alle componenti di multipoligoni connesse. Il caso delle componenti connesse `banali' (di vuoto) e della più semplice componente connessa non banale (il quadrato di lato 1).- Lezioni 71 e 72 [30/5/2023]
Soluzione esatta del modello di Ising a primi vicini in d=2 a h=0 (terza parte): Equivalenza tra la funzione di partizione del modello di dimeri su reticolo decorato e un integrale Gaussiano Grassmanniano; calcolo dei segni associati alle componenti connesse non banali (caso generale). Condizioni periodiche al bordo: equivalenza tra la funzione di partizione di Ising sul toro e una combinazione lineare di quattro funzioni di partizioni Grassmanniane con condizioni al bordo periodiche/antiperiodiche in direzione orizzontale o verticale. Diagonalizzazione a blocchi della forma quadratica associata alle funzioni di partizioni Grassmanniane. Derivazione della formula di Onsager per la pressione. Divergenza logaritmica della derivata seconda rispetto a β della pressione a β=βc. Esponenti critici delle funzioni di correlazione spin-spin e energia-energia (solo enunciato).
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Orario lezioni
- lunedì 15:30-17:30 (Aula M6); martedì 10:30-12:30 (Aula M6); venerdì 10:30-12:30 (Aula A)
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Testi di riferimento:
- [FV17] S. Friedli and Y. Velenik: Statistical Mechanics of Lattice Systems: A Concrete Mathematical Introduction,
Cambridge: Cambridge University Press, 2017.
Disponibile online in preprint version su https://www.unige.ch/math/folks/velenik/smbook/index.html - [Ga99] G. Gallavotti:
Statistical Mechanics. A Short Treatise,
Springer-Verlag 1999.
Disponibile on-line su http://ricerca.mat.uniroma3.it/ipparco/pagine/libri.html - [Ru99] D. Ruelle: Statistical Mechanics: Rigorous Results, World Scientific, 1999.
Ultima modifica 5/6/2023