2. ESERCIZI SUI PUNTI DI ACCUMULAZIONE E TOPOLOGIA DELLA

RETTA REALE

Esercizio 1 Trovare i punti di accumulazione e i punti isolati dei seguenti insiemi: (A): = \{x = \frac{1}{n}, n ∈ IN\} (B): = \{x = \frac{1}{2}, 3 − \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, 3 − \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, 3 − \frac{1}{4}, ...., \frac{1}{n}, 3 − \frac{1}{n}; n ∈ IN\} (C): = \{x = \frac{n−1}{n}; n ∈ IN\}

Esercizio 2 Dare un esempio di:

(i) un insieme con infiniti elementi e senza punti di accumulazione; (ii) un insieme con infiniti elementi e un solo punto di accumulazione; (iii) un insieme che abbia un solo punto di accumulazione, tutti gli altri punti siano isolati e sia illimitato.

Esercizio 3 Dire se i seguenti insiemi sono aperti o chiusi, oppure né aperti né chiusi:

(i) {x ∈ IR: 1 < |x − 2| < 3}; (ii) \{x ∈ IR: x = \frac{1}{n} , n = 1, 2, 3...\}; (iii) {x ∈ IR: x^{2} + 3x + 1 = 0}; (iv) {x ∈ IR: (x − 2)^{2} ≠ 0}.

Esercizio 4 Dimostare che ogni insieme A ⊂ IR chiuso e limitato ha massimo e minimo.

Esercizio 5 Dimostare che se un insieme A ⊂ IR é limitato superiormente e sup A ∉ A, allora sup A é un punto di accumulazione per A.