Am1 appello A 16 gennaio 2006

Esercizio 1. Calcolare estremo superiore ed inferiore del seguente insieme

A = \{x = ln (1 + \frac{3}{n}) − \frac{n}{2}, n ∈ N \ \{0\}\}

La successione che definisce l’insieme é decrescente, infatti il primo termine, x = ln 4 − \frac{1}{2}, é un maggiorante:

ln (1 + \frac{3}{n}) − \frac{n}{2} ≤ ln 4 − \frac{n}{2} ≤ ln 4 − \frac{1}{2}.

Quindi \frac{1}{2} é massimo il dell’insieme. Per provare che −∞ é l’estremo inferiore si deve provare che

∀M > 0 ∃ν ∈ IR : ∃x ∈ A, x < −M ∀n > ν.

Pertanto:

ln (1 + \frac{3}{n})−\frac{n}{2} ≤ ln 4−\frac{n}{2} < −M ⇔ −\frac{n}{2} < −M−ln 4 ⇔

⇔ n > 2M + 2 ln 4 = ν.

Esercizio 2. Dimostrare per induzione la seguente proposizione

n ; ∑ ; k=1 2^{k} = 2^{n+1} − 2

Base induttiva: n = 1, 2 = 2^{2} − 2, sempre verificata. Suppongo l’identitá vera per n e la dimostro per n + 1.

n+1 ; ∑ ; k=1 2^{k} = n ; ∑ ; k=1 2^{k}+2^{n+1} = (per ipotesi induttiva ) = 2^{n+1}−2+2^{n+1} l’ultimo membro é uguale a 2^{n+2} − 2, cioé la tesi.

Esercizio 3. Calcolare massimo e minimo limite della seguente successione (giustificare le affermazioni)

a_{n} = n (sin \frac{nπ}{4} − 1)

Per n_{1} = 2 + 8k a_{n_{1}} ≡ 0, mentre per n_{2} = 4k si ha a_{n_{2}} → −∞. Pertanto concudiamo subito che il minimo limite é −∞. Il massimo limite é zero, per provarlo basta mostrare che 0 é un minorante definitivo. poiché sin \frac{nπ}{4} ≤ 1, la quantitá tra parentesi (sin \frac{nπ}{4} − 1) é sempre minore o uguale a zero, quindi a_{n} ≤ 0.

Esercizio 4. Studiare il comportamento della seguente serie:

+∞ ; ∑ ; n=1( ^{n} \sqrt{n} − 1)^{n};

Dato che lim_{n→+∞} ^{n} \sqrt{n}−1 = 0, ( ^{n} \sqrt{n}−1) é definitivamente compreso in un intorno di zero, quindi abbiamo una serie geometrica con ragione minore di uno, cioé copnvergente. Studiare il comportamento della seguente serie al variare del parametro reale x.

+∞ ; ∑ ; n=1 \frac{(2x)^{n}}{log n}

Con il criterio della radice ennesima si deduce che la serie converge per |2x| < 1, ovvero |x| < \frac{1}{2}. Se x = −\frac{1}{2} la serie converge per il criterio di Leibniz, se x = \frac{1}{2} diverge.

Esercizio 5.

Calcolare il limite delle seguenti successioni

lim_{n→∞} |cos (\frac{2n^{2} + 3}{7n^{2}})|^{n}

Il coseno é una funzione continua, quindi |cos (\frac{2n^{2}+3}{7n^{2}})| → |cos \frac{2}{7}| , questa é una quantitá compresa tra 0 e 1, quindi la successione tende a zero.

lim_{n→∞} (\frac{n + 2 sin^{2} n}{n})^{\frac{1}{sin^{2} n}} \frac{1}{e^{−\frac{n}{2}}}

Riscriviamo la successione nel seguente modo:

(\frac{n + 2 sin^{2} n}{n})^{\frac{1}{sin^{2} n}} \frac{1}{e^{−\frac{n}{2}}} = (1 + \frac{2 sin^{2} n}{n})^{\frac{n}{2 sin^{2} n} \frac{2}{n}} e^{\frac{n}{2}}

la prima parte tende a e^{\frac{2}{n}}, che tende a 1, mentre il termine e^{\frac{n}{2}} diverge +∞, quindi il limite della successione di partenza é +∞.