Am1 secondo esonero 10 gennaio 2006

Esercizio 1. Calcolare il limite della seguente successione

lim_{n→∞} \frac{ne^{log_{2} n}}{(1 + n)| arctan n|}

Considerando che

lim_{n→∞} \frac{n}{n + 1} = 1, lim_{n→∞} arctan n = \frac{π}{2}, lim_{n→∞} e^{log_{2} n} = +∞,

il limite della successione iniziale é +∞. Dimostrare, usando la definizione di limite, che

lim_{n→∞} \frac{3n^{3}}{n + 1} = +∞

Si deve provare che ∀M > 0 ∃ν ∈ IR : \frac{3n^{3}}{n+1} > M ∀n ≥ ν. Pertanto:

\frac{3n^{3}}{n + 1} > \frac{3n^{2}}{n + 1} > M ⇔ \frac{3n^{2} − Mn − M}{n + 1} > 0,

quindi si ha, considerando che il denominatore é positivo,

n = \frac{M ± \sqrt{M^{2} + 12M}}{6}

per n > \frac{M+\sqrt{M^{2}+12M}}{6} = ν, si ha \frac{3n^{3}}{n+1} > M.

Esercizio 2. Studiare il comportamento della seguente serie:

+∞ ; ∑ ; n=1 \frac{n^{2}e^{n^{2}x}}{log (1 + \frac{1}{n})^{n}}

La serie é a termini positivi, usando in confronto asintotico si deduce che la serie data é equivalente alla serie di termine generico b_{n} = n^{2}e^{n^{2}x}. A questo punto, usando in criterio della radice ennesima su ∑ b_{n}, si ha che la serie converge se e^{nx} < 1, ovvero se x < 0.

Esercizio 3. Calcolare massimo e minimo limite della seguente successione (giustificare le affermazioni)

a_{n} = (1^{2n} + (−1)^{n})2^{n}

Ovviamente si ha che a_{n} = (1 + (−1)^{n})2^{n}. Poiché se n é pari a_{2k} = 2 · 2^{2k} → +∞, si deduce immediatamente che il massimo limite é +∞ (se la successione di partenza ammette una sottosuccessione che diverge a piú infinito, sicuramente il massimo limite é +∞.). Se n = 2k + 1 si ha a_{2k+1} ≡ 0. Avendo trovato una sottosuccessione che tende a zero, se proviamo che 0 é anche un minorante definitivo, potremo concludere che zero ’e minimo limite.

a_{n} = 0 per n pari, 2 · 2^{n} per n dispari

quindi si ha sempre a_{n} ≥ 0.

Esercizio 4. Dimostrare ENTRAMBE LE PROPOSIZIONI SEGUENTI:

Teorema 0.0 Una successione a_{n} é convergente se e solo se é una successione di Cauchy

Ricordiamo che si definisce successione di Cauchy una successione per cui

∀ε > 0∃ ν ∈ IR : ∀n, m > ν, |a_{n} − a_{m}| < ε.

Teorema 0.1 (Criterio del rapporto per serie a termini positivi) Sia ∑ a_{n} una serie a termini positivi, e supponiamo che risulti

lim_{n→∞} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = L.

Se L < 1 la serie ∑ a_{n} converge, mentre se L > 1 la serie ∑ a_{n} diverge.