Simulazione di esonero di AM1

Un consiglio: fatelo da soli e senza libri in tre ore, altrimenti che simulazione sarebbe??

Giustificare tutte le affermazioni

Esercizio 1. Dato l’insieme:

A = \{x = \frac{\sqrt{2}n}{2 + n}, n ∈ N\}

Determinarne l’estremo superiore ed inferiore, specificare se si tratta di massimo o minimo.

Esercizio 2. Dato l’insieme

A = \{x = (−1)^{n} + \frac{1}{n}, n ∈ N \ \{0\}\}

trovare gli eventuali punti di accumulazione. Dimostrare che il punto x = 1 + \frac{1}{4} é isolato.

Esercizio 3. Dimostrare per induzione che

∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k + 1)} = 1 − \frac{1}{n + 1} ∀n ∈ N.

Esercizio 4. Dando per buono il seguente Teorema (permanenza del segno per polinomi):

Teorema 0.0 Sia P (x) un polinomio a coefficienti reali. Se per un certo x_{0} ∈ IR risulta P (x_{0}) > 0, allora esiste un intorno I(x_{0}, r), r > 0, tale che ∀x ∈ I(x_{0}, r), P (x) > 0.

Dimostrare il Teorema degli zeri per polinomi, ovvero:

Teorema 0.1 Sia P (x) un polinomio a coefficienti reali, siano x_{1}, x_{2} ∈ IR, x_{1} < x_{2}. Se P (x_{1}) < 0 e P (x_{2}) > 0 allora esiste c ∈ (x_{1}, x_{2}) tale che P (c) = 0.