Soluzioni VI tutorato di AM1a

Gabriele Nocco  Stefano Urbinati

18 novembre 2004

Esercizio 1. Utilizzando la definizione di limite, verificare che:

a) lim_{n→+∞} \frac{n−1}{n} = 1

b) lim_{n→+∞} \frac{n}{2n+1} = \frac{1}{2}

c) lim_{n→+∞} \frac{cos n}{n} = 0

Suggerimento: maggiorate | cos n| con 1!!!

d) lim_{n→+∞} sin \frac{1}{n} = 0

Dovete utilizzare: 0 ≤ sin x ≤ x

e) lim_{n→+∞} log (1 + \frac{1}{n}) = 0

Esercizio 2. Dimostrare che, se a_{n} converge ad a e b_{n} converge a b, allora a_{n} − b_{n} converge ad a − b.

Sol: lavorate con il massimo tra gli n che verificano la caratterizzazione per lo stesso ϵ, poi applicate la definizione, minorando con la disuguaglianza triangolare per i moduli.

Esercizio 3. Calcolare i limiti (a, b, c, d ∈ ℝ, c ≠ 0):

a) lim_{n→+∞} \frac{an+b}{cn+d} Sol: \frac{a}{c}

b) lim_{n→+∞} \frac{an^{2}+b}{cn+d}

sol: 0 se a = 0, se a ≠ 0 varrà +∞ ∨ −∞ a seconda del segno del rapporto a/c.

c) lim_{n→+∞} \frac{an+b}{cn^{2}+d} Sol: 0

d) lim_{n→+∞} \frac{an^{2}+b}{cn^{2}+d} Sol: \frac{a}{c}

Esercizio 4. Provare che se a_{n} → a ∈ ℝ, con a > 0 e se b_{n} → +∞, allora la successione prodotto a_{n} · b_{n} diverge a +∞.

Sol: vi basta maggiorare a − ϵ con a/2 e poi applicare la definizione.

Esercizio 5. Calcolare i seguenti limiti:

a) lim_{n→+∞} \frac{\sqrt{n^{3}+9n^{2}}−\sqrt{n^{4}+1}}{n^{2}+2} Sol: -1

b) lim_{n→+∞} \sqrt[n]{n^{4} + 1} Sol: 1

c) lim_{n→+∞} \frac{n^{2}}{n!}

Sol: 0 (vi basta esplicitare i primi due termini del fattoriale)

d) lim_{n→+∞} \sqrt[n]{2^{n} + 3^{n}} Sol: 3

e) lim_{n→+∞} \frac{n!}{n^{n}}

Sol: 0 (per minorazioni successive arrivate ad 1/n)

Esercizio 6. Data la successione {a_{n}} definita:

\begin{cases}a_{0} = 3 \\ a_{n+1} = \frac{1}{2}a_{n} + 1 \end{cases} n ∈ ℕ

ricavare a_{n} in funzione di n. Stabilire se la successione è crescente o decrescente e se essa è limitata superiormente o inferiormente. Calcolare, se esiste, lim_{n→+∞} a_{n}.

Sol: la successione diventa: a_{n} = \frac{2^{n+1}+1}{2^{n}}