Soluzioni VII tutorato di AM1a

Gabriele Nocco  Stefano Urbinati

25 novembre 2005

Esercizio 1. Trovare i seguenti limiti e verificarne l’esattezza attraveso la definizione:

a) lim_{n→+∞} (−\frac{2}{3})^{n+2} Sol: 0

b) lim_{n→+∞} \frac{3n^{2}−n}{2n^{2}+4} Sol: 3/2

c) lim_{n→+∞} log_{2} (\frac{1}{n}) Sol: −∞

d) lim_{n→+∞} tan \frac{1}{n} Sol: 0

e) lim_{n→+∞} 2^{n} Sol: +∞ Suggerimento: per verificare tale risultati si puó razionalizzare e consid-

erare la frazione che è diventata piú semplice!!! Esercizio 2. Dimostrare che, se a_{n} converge ad a e a_{n} ≥ 0 ∀n ∈ ℕ, allora lim_{n→∞} \sqrt{a_{n}} = \sqrt{a}.

Sol: l’idea per semplificarvi la vita è quella di scrivervi

a_{n} − a = (\sqrt{a_{n}} + \sqrt{a})(\sqrt{a_{n}} − \sqrt{a}) e poi utilizzare la definizione di limite in modo opportuno. Esercizio 3. Calcolare i limiti (a, c > 0):

a) lim_{n→+∞} \sqrt{n + 1} − \sqrt{n} Sol: 0

b) lim_{n→+∞} \sqrt{2n} − \sqrt{n − 1} Sol: ∞

c) lim_{n→+∞} \sqrt{n^{2} − n} − \sqrt{n^{2} + 1} Sol: 1

d) lim_{n→+∞} \sqrt{a + b} − \sqrt{cn + d} Sol: −∞ Esercizio 4. Calcolare i seguenti limiti:

a) lim_{n→+∞} \sqrt[2n]{n^{5}} Sol: 1

b) lim_{n→+∞} \sqrt[n]{n^{log n}} Sol: 1 c) lim_{n→+∞} \frac{6n^{2}+2n}{3n^{2}+2 \sqrt[3]{n^{5}}} Sol: 2

d) lim_{n→+∞} [\frac{6n^{2}+2n}{3n^{2}+2 \sqrt[3]{n^{5}}} ] Sol: 1

e) lim_{n→+∞} \frac{log_{4} 3^{^{log}5 ^{7n}}}{2n} Sol: 0

f) lim_{n→+∞} n sin \frac{2}{n} cos \frac{2}{n} Sol: 2

g) lim_{n→+∞} n^{2}(1 − cos \frac{1}{n}) Sol: 1/2

h) lim_{n→+∞} \frac{n(1−cos \frac{1}{n})}{sin \frac{1}{n}} Sol: 1/2

i) lim_{n→+∞} \frac{n^{2}+1}{n+1} sin \frac{1}{n} Sol: 1